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第六章　平面向量及其应用　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图1所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则-= (　　)
图1
A. B. C. D.
2.若向量a=(2,0),b=(1,1),则 (　　)
A.a·b=1 B.|a|=|b| C.(a-b)⊥b D.a∥b
3.在△ABC中,A=60°,a=,b=4,满足条件的三角形的个数为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.无数多
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,b=6,sin A-2sin C=0,则a= (　　)
A.3 B.2 C.4 D.12
5.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=2,cos A=,sin B=2sin C ,则△ABC的面积是 (　　)
A. B. C. D.
6.已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+2b|=6,a2+a·b-2b2=-9,则|b|= (　　)
A.2 B. C. D.
7.如图2,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥BD,△BCD为边长为2的等边三角形,点P为边BD上一动点,则·的取值范围为 (　　)
图2
[-6,0] B.[-,0] C.[-,0] D.[-7,0]
8.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,tan A=,若+=2m,则m的值是 (　　)
A. B. C. D.1
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,下列说法正确的是 (　　)
A.a与b的夹角为钝角
B.向量a在b方向上的投影向量为(-1,1)
C.2m+n=4
D.mn的最大值为2
10.《数书九章》是中国南宋数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九韶的许多成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=.现有△ABC满足sin A∶
sin B∶sin C=2∶3∶,且S△ABC=6,请运用上述公式判断下列命题正确的是 (　　)
A.△ABC的周长为5+
B.C=
C.△ABC的外接圆半径R为
D.△ABC的中线CD的长为
11.如图3,已知点G为△ABC的重心,点D,E分别为AB,AC上的点,且D,G,E三点共线,=m,=n,m>0,n>0,记△ADE,△ABC,四边形BDEC的面积分别为S1,S2,S3,则 (　　)
图3
A.+=3 B.=mn C.≥ D.≤
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,且(3a+5b)⊥(ma-b),则m的值为　　　　.
13.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A).若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角A=　　　　,角B=　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
14.欧几里得在《几何原本》中,以定义、公设和公理作为推理的出发点,论证命题,
图4
得到定理.书中给出了一种证明勾股定理(毕达哥拉斯定理)的思路,如下.如图4,Rt△ABC中,∠BAC=90°,四边形ABHL,ACFG,BCDE都是正方形,AN⊥DE于点N,交BC于点M.先证明△ABE与△HBC全等,继而得到矩形BENM与正方形ABHL面积相等,同理可得到矩形CDNM与正方形ACFG面积相等,进一步推理即可得证.在该图中,若tan∠BAE=,则sin∠BEA=　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图5,已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50 N.一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m,分别求力F和摩擦力f所做的功. (g=10 N/kg)
图5
16.(15分)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,=2e1+e2,=-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.
(1)求实数λ的值;
(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求的坐标;
(3)已知点D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形, 求点A的坐标.
17.(15分)在①m=(-cos ,sin ),n=(cos ,sin ),且m·n=-,②(2b-c)cos A=acos C,③f(x)=
cos x·cos(x-)-,f(A)=这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并对其进行求解.
在锐角三角形ABC中,a=2,　　　　.
(1)求角A;
(2)求△ABC的周长l的范围.
注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.
18.(17分)如图6,在平面四边形ABCD中,已知AB=4,AD=2,∠BAD+∠BCD=π.
(1)若BD=2,求∠BAD;
(2)若AC平分∠BAD,求的最大值.
图6
19.(17分)如图7所示,某市在海岛A上建了一水产养殖中心.在海岸线l上有相距70公里的B,C两个小镇,并且AB=30公里,AC=80公里,已知B镇在养殖中心工作的员工有三百人,C镇在养殖中心工作的员工有五百人.现欲在B,C之间建一个码头D,接送来自两镇的员工到养殖中心工作,又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1:2.
(1)求sin∠ABC的大小;
(2)设∠ADB=θ,试确定θ的大小,使得运输总成本最少.
图7
第六章　平面向量及其应用　单元测试卷　参考答案
1.C　利用向量减法的三角形法则作出向量-,通过平移即可发现-=.
2.C　a·b=2,所以A不正确;
|a|=2,|b|=,则|a|≠|b|,所以B不正确;
a-b=(1,-1),(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,所以(a-b)⊥b,所以C正确;
由于2×1-0×1=2≠0,所以a,b不平行,所以D不正确.
3.A　在△ABC中,A=60°,a=,b=4,由正弦定理=,得sin B====>1,
∴B不存在,即不存在这样的三角形.
4.C　∵sin A-2sin C=0,∴由正弦定理可得c=a.
∵B=,b=6,∴由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得62=a2+(a)2-2a··,解得a=4.
5.A　∵sin B=2sin C,∴b=2c,又sin A==,∴由a2=b2+c2-2bccos A,可得8=4c2+c2-3c2,解得c=2,∴b=4,∴S△ABC=bcsin A=×4×2×=.
6.D　由条件,知a2+a·b-2b2=(a-b)·(a+2b)=-9,
所以|3b|=|(a+2b)-(a-b)|
=
=
=3,
所以|b|=.
7.C　由题意可知,△BCD为等边三角形,则有∠DBC=60°,∠ABD=30°,
在Rt△ABD中,AD=BD×tan 30°=2×=2,AB=2AD=4.
如图D 1,以B为原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则有A(0,4),C(2,0),
图D 1
因为∠DBC=60°,所以可设点P的坐标为(x,x),且0≤x≤.
所以=(x,x-4),=(x-2,x),
所以·=x(x-2)+(x-4)x=4x2-6x=4(x-)2-.
又0≤x≤,
所以当x=时,·取得最小值,为-;
当x=0时,·取得最大值,为0.
所以-≤·≤0.
8.A　如图D 2,取AB的中点D,连接DO,则=+.
图D 2
代入+=2,得+=2m(+).
∵⊥,∴·=0.
∴·+·=2m(+)·,
∴c2+bccos A=mc2,
由==,
得sin2C+sin Bsin Ccos A=msin2C,
∴m===sin A,
又tan A=,
∴sin A===.
9.CD　对于A,向量a=(2,1),b=(1,-1),则a·b=2-1=1>0,则a,b的夹角为锐角,A错误;
对于B,向量a在b方向上的投影向量为·=×=(,-),B错误;
对于C,a-b=(1,2),因为(a-b)∥c,所以-n=2(m-2),整理得2m+n=4,C正确;
对于D,由2m+n=4,且m,n均为正数得,mn=(2m·n)≤()2=2,即mn的最大值为2,D正确.
10.BC　由sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶及正弦定理得a∶b∶c=2∶3∶,故可设a=2k,b=3k,c=k,k>0,
则S△ABC==6,
把a=2k,b=3k,c=k代入,整理得k=2,故a=4,b=6,c=2,故三角形ABC的周长为10+2,故A错误;
利用余弦定理的推论得cos C==,由于0由正弦定理得2R==,解得R=,故C正确;
利用=(+),所以||2=(+)2=×(36+16+2×4×6×)=19,故CD=,故D错误.故选BC.
11.ABC　连接AG,由D,G,E三点共线,得=λ+(1-λ),
又=,=,m>0,n>0,
所以=λ+(1-λ),
又=(+),
所以λm=,(1-λ)n=,
则+=3λ+3(1-λ)=3,即选项A正确;
S1=||||sin A=mn||||sin A,
S2=||||sin A,
则=mn,即选项B正确;
==-1=-1≤()2-1=,当且仅当=,即m=n=时取等号,
则≥,即选项C正确,选项D错误.
故选ABC.
12.　由题意得,(3a+5b)·(ma-b)=3ma2+(5m-3)a·b-5b2=3m+(5m-3)×1×2×cos 60°-5×4=0,即8m=23,解得m=.
13.　　因为角A,B,C为△ABC的内角,由m⊥n,得cos A-sin A=2cos(A+)=0,∴A+=,解得A=.
方法一 由正弦定理==及acos B+bcos A=csin C,得sin Acos B+sin Bcos A=
sin Csin C,即sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C=sin2C,又sin C≠0,∴sin C=1,∴C=,
∴B=π--=.
方法二 由余弦定理及acos B+bcos A=csin C,有a·+b·=csin C,即2c2=2c2sin C,
∴sin C=1,解得C=,∴B=π--=.
方法三 由图形的几何意义易知acos B+bcos A=c,∴c=csin C,即sin C=1,解得C=,
∴B=π--=.
14.　设AB=k,AC=m,BC=n,可得k2+m2=n2.
∵BH∥CL,∴∠BHC=∠HCL,
又△ABE≌△HBC,∴∠BAE=∠BHC,∴∠HCL=∠BAE,
∴tan∠HCL=,即=,∴m=k,∴n=k.
在△ABE中,由tan∠BAE=,得sin∠BAE=,
则由=,得=,
可得sin ∠BEA==.
15.设木块的位移为s,则力F所做的功为F·s=|F||s|cos 30°=50×20×=500(J).
如图D 3,将力F分解,它在竖直方向上的分力为F1,|F1|=|F|sin 30°=50×=25(N).
设木块的重力为G,则摩擦力f的大小为|f|=|μ(G+F1)|=0.02×(8×10-25)=1.1(N),
因此,f所做的功为f·s=|f||s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22(J).
图D 3
16.(1)=+=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.
∵A,E,C三点共线,∴存在实数k,使得=k,即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.
∵e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,
∴解得
(2)=+=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).
(3)∵A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,∴=.
设A(x,y),则=(3-x,5-y).
∵=(-7,-2),∴解得即点A的坐标为(10,7).
17.(1)若选①.∵m=(-cos ,sin ),n=(cos ,sin),且m·n=-,
∴m·n=-cos2+sin2=-,
∴cos A=.∵A∈(0,),∴A=.
若选②.∵(2b-c)cos A=acos C,∴2bcos A=acos C+ccos A=a·+c·,
∴2bcos A=b,∴cos A=,
∵A∈(0,),∴A=.
若选③.f(x)=cos x(cos x+sin x)-=cos2x+cos x·sin x-=×+×-=
(cos 2x+sin 2x)=sin(2x+),
∵f(A)=,∴sin(2A+)=.
∵A∈(0,),∴A=.
(2)∵=4,∴l=4sin(-B)+4sin B+2,
∴l=4sin(B+)+2.
∵△ABC为锐角三角形且A=,∴B∈(,),
∴B+∈(,),∴l∈(6+2,6].
18.(1)在△ABD中,AB=4,AD=2,BD=2,由余弦定理,得cos∠BAD===-,所以∠BAD=.
(2)设∠BAD=2θ,θ∈(0,),
则由∠BAD+∠BCD=π,可得A,B,C,D四点共圆,
因为AC平分∠BAD,所以∠DAC=∠BAC,
而∠BDC=∠BAC,∠DBC=∠DAC,
所以∠BDC=∠DBC=θ,所以CD=BC.
在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos 2θ=36-32cos2θ　①.
图D 4
在△BCD中,取BD的中点E,连接CE,如图D 4,则CE⊥BD,于是CD=BC==,
所以CD·BC=,
即=4cos2θ　②.
①×②可得=4cos2θ(36-32cos2θ)=8·4cos2θ·(-4cos2θ)≤8·()2=8·=,
当且仅当4cos2θ=-4cos2θ即cos θ=时取等号,
所以的最大值为.
19.(1)根据余弦定理的推论得cos∠ABC==-,于是sin∠ABC=.
(2)不妨设水路运输每百人每公里的运输成本为m元,则陆路运输每百人每公里的运输成本为2m元.
因为CD=70-BD,所以总成本p=8AD·m+(3BD+5CD)·2m=(700+8AD-4BD)·m.
在△ABD中应用正弦定理,有
==,解得AD=,
BD=ADcos θ-ABcos(π-∠ABD)=-,
因此2AD-BD=·+.
设y=,则y>0,变形得ysin θ+cos θ=2,
因为ysin θ+cos θ=sin(θ+φ)≤,其中tan φ=,
所以≥2,解得y≥,且θ=时取得等号.
因此当θ=时,运输总成本最少.

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