资源简介

2026年上海中考复习 简答第22题专题复习
(知识总结+考点精讲+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 图形变换（旋转、翻折、平移）的本质，能运用变换构造特殊图形（等腰三角形、平行四边形、菱形）。
熟练运用 无刻度直尺作图技巧：作垂线、中线、重心、平行四边形，理解格点作图原理。
理解 锐角三角比的概念，能解直角三角形，解决测量（仰角、俯角、影长）及旋转问题中的距离计算。
掌握 一次函数的实际应用：待定系数法求解析式，分段函数建模，最优方案决策（费用、利润、运输）。
会利用 一次函数图象解决行程问题（相遇、追及、剩余油量）、增长率问题、交通流量分析。
建立模型 通过新定义（邻等对补四边形）、折叠问题（A4纸比例）、几何综合题，提升探究与迁移能力。
渗透思想 数形结合、分类讨论、方程思想、几何变换在尺规作图与综合题中的灵活运用。
核心聚焦：尺规作图与图形变换、解直角三角形实际应用、一次函数模型与优化决策。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一、图形变换与尺规作图
旋转：对应点到旋转中心距离相等，旋转角相等，旋转前后图形全等。常用于构造等腰三角形、平行四边形（如题1旋转180°得全等三角形）。
平移与轴对称：平移前后对应点连线平行且相等；翻折（轴对称）折痕垂直平分对应点连线。网格中利用对称性作图。
无刻度直尺作图：仅用直尺（无圆规）在格点或已知线段上完成垂线、中点、平行线、重心等。原理：利用网格线平行、对角线性质、三角形中位线等（如题3、4、27）。
中点四边形与平行四边形构造：顺次连接四边形各边中点得平行四边形；通过作平行线（AC、BD）可构造平行四边形（题3）。
正多边形作图：正五边形中利用对称性作菱形、作新正五边形（题5）。
函数与线段等分：利用正比例函数图象的几何性质，通过构造相似三角形实现线段n等分（题6）。
☆ 二、锐角三角比与解直角三角形
锐角三角比定义：，，，特殊角30°、45°、60°的三角比值。
解直角三角形应用：测量高度（仰角、俯角）、影长问题（相似三角形与三角比结合，题7）、旋转后求距离（后备厢旋转，题8）。
三角板拼接求非特殊角三角比：利用30°、45°三角板拼图构造15°、75°角，通过勾股定理和面积法求值（题10）。
中线、角平分线与三角比综合：在三角形中利用中线、角平分线性质结合正切求线段长（题9）。
噪音影响范围：点到直线距离、勾股定理、垂线段最短与三角比结合（题11）。
☆ 三、一次函数与实际应用
一次函数解析式：待定系数法求，根据图象求截距、斜率。常见于剩余油量（题14）、养护费用（题15）、加水过程（题16）、车辆速度与密度（题17）。
分段函数：不同自变量范围内函数表达式不同，需注意定义域及转折点（题15、17）。
最优方案问题：通过一次函数模型建立总费用与数量的关系，利用不等式求最值（题22、23、26）。
增长率与营业额：设月增长率为，建立一元二次方程求解（题13）。
一次函数与几何综合：直线与坐标轴围成的三角形面积，以及两条直线与坐标轴围成的面积关系（题18）。
交通流量分析：利用一次函数拟合数据，根据不等式判断可变车道方向（题24）。
☆ 知识模块速查表
模块 核心内容/定理 常见题型/方法
图形变换与作图 旋转、平移、轴对称；无刻度直尺作中点、垂线、重心 利用网格特征、三角形中位线、平行四边形判定构造
解直角三角形 锐角三角比，仰角俯角，影长，旋转后距离 构造直角三角形，勾股定理，相似三角形
一次函数建模 待定系数法，分段函数，图象信息提取 行程问题、费用优化、剩余油量、交通量预测
最优化决策 一次函数增减性，不等式约束，整数解 总收益最大、总费用最小、运输方案
几何新定义探究 邻等对补四边形，折叠问题，A4纸比例 类比探究，全等相似，勾股定理求线段长
核心考点 ·典型例题
一．作图题（共6小题）
1．某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究．
（1）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E是AB中点，D是梯形的顶点，将△ADE绕E旋转180°得到△BFE，若AD＝a，且此时DF＝DC，求BC的长（用含a的代数式尝试表示）；
（2）如图2，梯形MNPQ，MN∥PQ，MQ＝NP，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点．（模仿1中的表述：点E是AB中点，D是梯形的顶点）
2．同学用两副三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．
（1）若直角三角形斜边上的高都为h，求：
①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）；
②平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）；
（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．
3．我们知道“顺次联结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点E、F、G、H分别在四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形EFGH仍然是平行四边形？
稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图1）：
①在边AB上任取符合条件的一点E，作EF∥AC，交边BC于点F；
②作FG∥BD，交边CD于点G；③作GH∥AC，交边AD于点H；④联结HE．
（1）求证：小明画出的四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，在10×9的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点均在格点上，点E在边AB上，AE＝2．请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形EFGH，使点F、G、H分别在边BC、CD、AD上，且此平行四边形的边与AC或BD平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
4．已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点．
（1）请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图；
（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果）
①在图1中，作出CD⊥AB，垂足为点D；
②在图2中，作出△EFG的重心O；
（2）利用②的作图结果，求sin∠OFG的值．
5．已知正五边形ABCDE，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）．
【初步感知】如图1，请直接写出∠ABE的度数；
【实践探究】请在图1中作出以BE为对角线的菱形ABME，并证明你的结论；
【拓展延伸】请在图2正五边形ABCDE的基础上再设计一个新的正五边形A1B1C1D1E1.（不需要证明）
6．【问题背景】
我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段．
在如图1中，已知线段MN，为了平分线段MN，小普同学进行了如下的操作：
①在平面直角坐标系xOy中，画出函数的图象；
②在x轴的正半轴上截取OA＝MN，过点A作AD⊥x轴交函数的图象于点D；
③以点M为圆心，AD长为半径作弧，交MN于点P．
所以点P平分线段MN．
【解决问题】
（1）根据小普同学的做法，如果要将线段MN三等分，那么可以借助函数　 　 的图象在图1中的线段AD上，找到点C，使，于是可作出线段MN上的一个三等分点．（填函数解析式）
（2）平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点B在x轴的正半轴上，OB＝b．运用我们学过的函数知识，在图2中作出坐标为的点Q，写出画图步骤．（保留作图痕迹）
二．锐角三角比（共5小题）
7．我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，α的代数式表示）
（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．
8．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．
9．如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE．
（1）求BE的长；
（2）求tan∠EBC的值．
10．小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为30°、45°、60°的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出30°、45°、60°的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了15°、75°的三角比．
（1）计算：；
（2）小杰的一副特制的三角板，如图1，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°，DE＝AC＝2；小杰的想法是：将Rt△ABC和Rt△DEF的边DE和AC重合，拼接成如图2所示的四边形ABCF．请利用图2，求sin15°和tan75°的值．
11．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．
（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：1.7）
三．应用题及一次函数（共7小题）
12．“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．
（1）他实际花了多少钱购买加油卡？
（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）．
（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
13．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
14．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
15．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；
（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
16．某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：t．
（1）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度．
17．某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时．
①求该时刻高架路上每百米车的数量；
②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？
18．一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究：
类型Ⅰ：一条直线y＝kx+b（k、b都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小；
类型Ⅱ：两条直线l1：y1＝k1x+b1和l2：y2＝k2x+b2（k1≠k2、b1≠b2且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系．
小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数k和b符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论．
（1）如图1，请你帮助小组求出△ABO的面积S（用含k和b的式子表示）．
（2）将直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S1，直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S2，直线l1、l2和x轴所围成的三角形面积记为Sx，它们和y轴所围成的三角形面积记为Sy．
i）在图2中已经画出了直线l1和l2大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的k和b符号选项正确的是　 　 ．
（A）k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＞0；
（B）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＜0；
（C）k1＞0，b1＜0，k2＜0，b2＞0；
（D）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＞0．
此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是　 　 ．
ii）如图3，保持直线l1不变，改变直线l2中k2和b2的符号（不考虑|k2|和|b2|的大小），请在图中画出直线l2的大致图象，此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是　 　 ．
课后巩固 · 针对性练习
复习建议：强化无刻度直尺作图的原理训练，熟练掌握解直角三角形的实际模型，灵活运用一次函数解决最值、图象分析问题，并注重新定义几何题的类比迁移。
1．我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80kW h，行驶了240km后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（kW h）与行驶路程x（km）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）已知这辆车的“满电量”为100kW h，且该车型电量降至10%则会出现电亏警报，若王师傅从B市高速公路出口驶出后还要继续在高速公路上行驶，请你通过计算提醒王师傅，还能行驶多少km汽车会出现电亏警报．
2．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，M、D、E在一条直线上，ME⊥EC，其相关数据为AM＝10cm，ME＝28cm，求EC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.73）
3．如图，在△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过点P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且，求此时∠A的大小．
4．昆明市周边蔬菜基地种植了白菜和菠菜两种蔬菜共30亩，设种植白菜x亩，总收益为y万元，有关数据见表：
成本 （单位：万元/亩） 销售额（单位：万元/亩）
白菜 2.4 3　
菠菜 2 2.5
（1）求y关于x的函数关系式（收益＝销售额﹣成本）；
（2）若计划投入的总成本不超过70万元，要使获得的总收益最大，基地应种植白菜和菠菜各多少亩？
（3）已知白菜每亩地需要化肥400kg，菠菜每亩地需要化肥600kg，根据（2）中的种植亩数，基地计划运送所需全部化肥，为了提高效率，实际每次运送化肥的总量是原计划的1.25倍，结果运送完全部化肥的次数比原计划少1次，求基地原计划每次运送多少化肥？
5．综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是xcm，单层部分的长度是ycm，得到如下数据： 双层部分长度x（cm）261014a单层部分长度y（cm）1161081009270
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3
素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为53.5cm；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围．
任务2 设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式．
任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
6．某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征．
时间x 8时 11时 14时 17时 20时
y1自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34
y2自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13
（1）请用一次函数分别表示y1与x、y2与x之间的函数关系．（不写定义域）
（2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为v总＝y1+y2，车流量大的方向交通量为vm，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．
7．寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6：00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象．
根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）图中的a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；
（3）她们能否在中午12：30之前到达目的地？请说明理由．
8．网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零．
（1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？
（2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x元的消费与实际总支付y元间存在着依赖关系，当320＜x＜375时，写出y关于x的函数关系式；
（3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由．
9．如图，点A、B、C都在6×6的小正方形网格的格点上．如果设A的坐标为（1，2），点C的坐标为（4，0）．请只使用无刻度的直尺画图（不写画法，保留画图痕迹，写出结论）．
（1）画出△ABC的中线BE；
（2）找到△ABC的重心G，直接写出重心G的坐标．
10．A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入DIN（编号是DIN476），ISO216定义了A、B、C三组纸张尺寸．
（1）观察发现：如图1，将A4纸2次折叠，发现第1次的折痕与A4纸较长的边重合，由此可求出A4纸较短边与较长边的比为　 　 ；
（2）探究迁移：如图2，将一张A4纸沿对角线折叠，展开后得折痕AC，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．则　 　 ；
（3）拓展应用：如图3，利用一张A4纸经过裁剪获得一张边长为21cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．则　 　 ．
11．综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作判断
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 　 　 （填序号）．
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）．
（3）拓展应用
如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长．2026年上海中考复习 简答第22题专题复习
(知识总结+考点精讲+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 图形变换（旋转、翻折、平移）的本质，能运用变换构造特殊图形（等腰三角形、平行四边形、菱形）。
熟练运用 无刻度直尺作图技巧：作垂线、中线、重心、平行四边形，理解格点作图原理。
理解 锐角三角比的概念，能解直角三角形，解决测量（仰角、俯角、影长）及旋转问题中的距离计算。
掌握 一次函数的实际应用：待定系数法求解析式，分段函数建模，最优方案决策（费用、利润、运输）。
会利用 一次函数图象解决行程问题（相遇、追及、剩余油量）、增长率问题、交通流量分析。
建立模型 通过新定义（邻等对补四边形）、折叠问题（A4纸比例）、几何综合题，提升探究与迁移能力。
渗透思想 数形结合、分类讨论、方程思想、几何变换在尺规作图与综合题中的灵活运用。
核心聚焦：尺规作图与图形变换、解直角三角形实际应用、一次函数模型与优化决策。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一、图形变换与尺规作图
旋转：对应点到旋转中心距离相等，旋转角相等，旋转前后图形全等。常用于构造等腰三角形、平行四边形（如题1旋转180°得全等三角形）。
平移与轴对称：平移前后对应点连线平行且相等；翻折（轴对称）折痕垂直平分对应点连线。网格中利用对称性作图。
无刻度直尺作图：仅用直尺（无圆规）在格点或已知线段上完成垂线、中点、平行线、重心等。原理：利用网格线平行、对角线性质、三角形中位线等（如题3、4、27）。
中点四边形与平行四边形构造：顺次连接四边形各边中点得平行四边形；通过作平行线（AC、BD）可构造平行四边形（题3）。
正多边形作图：正五边形中利用对称性作菱形、作新正五边形（题5）。
函数与线段等分：利用正比例函数图象的几何性质，通过构造相似三角形实现线段n等分（题6）。
☆ 二、锐角三角比与解直角三角形
锐角三角比定义：，，，特殊角30°、45°、60°的三角比值。
解直角三角形应用：测量高度（仰角、俯角）、影长问题（相似三角形与三角比结合，题7）、旋转后求距离（后备厢旋转，题8）。
三角板拼接求非特殊角三角比：利用30°、45°三角板拼图构造15°、75°角，通过勾股定理和面积法求值（题10）。
中线、角平分线与三角比综合：在三角形中利用中线、角平分线性质结合正切求线段长（题9）。
噪音影响范围：点到直线距离、勾股定理、垂线段最短与三角比结合（题11）。
☆ 三、一次函数与实际应用
一次函数解析式：待定系数法求，根据图象求截距、斜率。常见于剩余油量（题14）、养护费用（题15）、加水过程（题16）、车辆速度与密度（题17）。
分段函数：不同自变量范围内函数表达式不同，需注意定义域及转折点（题15、17）。
最优方案问题：通过一次函数模型建立总费用与数量的关系，利用不等式求最值（题22、23、26）。
增长率与营业额：设月增长率为，建立一元二次方程求解（题13）。
一次函数与几何综合：直线与坐标轴围成的三角形面积，以及两条直线与坐标轴围成的面积关系（题18）。
交通流量分析：利用一次函数拟合数据，根据不等式判断可变车道方向（题24）。
☆ 知识模块速查表
模块 核心内容/定理 常见题型/方法
图形变换与作图 旋转、平移、轴对称；无刻度直尺作中点、垂线、重心 利用网格特征、三角形中位线、平行四边形判定构造
解直角三角形 锐角三角比，仰角俯角，影长，旋转后距离 构造直角三角形，勾股定理，相似三角形
一次函数建模 待定系数法，分段函数，图象信息提取 行程问题、费用优化、剩余油量、交通量预测
最优化决策 一次函数增减性，不等式约束，整数解 总收益最大、总费用最小、运输方案
几何新定义探究 邻等对补四边形，折叠问题，A4纸比例 类比探究，全等相似，勾股定理求线段长
核心考点 ·典型例题
一．作图题（共6小题）
1．某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究．
（1）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E是AB中点，D是梯形的顶点，将△ADE绕E旋转180°得到△BFE，若AD＝a，且此时DF＝DC，求BC的长（用含a的代数式尝试表示）；
（2）如图2，梯形MNPQ，MN∥PQ，MQ＝NP，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点．（模仿1中的表述：点E是AB中点，D是梯形的顶点）
【答案】（1）3a；（2）见解析．
【分析】（1）如图1中，过点D作DH⊥BC于点H．证明BG＝AD＝a，BH＝AD＝a，再证明FH＝HC＝2a可得结论；
（2）取MN，MQ，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PQ的延长线于点L，连接JT，延长JT交QP的延长线于点G即可，
【解答】解：（1）如图1中，过点D作DH⊥BC于点H．
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∵∠DHB＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD＝BH＝a，
∵E是AB的中点，
∴AE＝EB，
∵∠A＝∠EBF＝90°，∠AED＝∠FEB，
∴△AED≌△BEF（ASA），
∴AD＝FB＝a，
∵DF＝DC，DH⊥CF，
∴FH＝HC＝2a，
∴BC＝BH+CH＝3a；
（2）图形如图2所示．
方法：取MN，MQ，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PQ的延长线于点L，连接JT，延长JT交QP的延长线于点G，
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．同学用两副三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．
（1）若直角三角形斜边上的高都为h，求：
①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）；
②平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）；
（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．
【答案】（1）①等腰直角三角板直角边为 ，含 30° 的直角三角形板直角边为2h和 ；②小平行四边形的底为 ，高为 ，面积为 ；大平行四边形的底为h，面积为（2）h2；平行四边形的高为；
（2）见解析．
【分析】（1）①解直角三角形即可求解；②由题意可知四边形MNGH是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积；
（2）根据题意画出图形即可．
【解答】解：（1）①如图，△ABC为等腰直角三角板，∠ACB＝90°，则，
如图，△DEF为含30°的直角三角形板，∠DEF＝90°，∠F＝30°，D＝60°，则EF＝2h，；
综上，等腰直角三角板直角边为 ，含 30° 的直角三角形板直角边为2h和 ；
②由题意可知∠MNG＝∠NGH＝∠GHM＝∠HMN＝90°，
∴四边形MNGH是矩形，
由图可得，，，
∴，
故小平行四边形的底为 ，高为 ，面积为 ，
∵MN＝h，∠BCN＝30°，
∴CMh，
∵∠NBM＝60°，
∴BMh，
∴底BCh，
S ABCD＝22h2+2h2（2）h2；
平行四边形的高；
（2）如图，即为所作图形．
【点评】本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键．
3．我们知道“顺次联结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点E、F、G、H分别在四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形EFGH仍然是平行四边形？
稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图1）：
①在边AB上任取符合条件的一点E，作EF∥AC，交边BC于点F；
②作FG∥BD，交边CD于点G；③作GH∥AC，交边AD于点H；④联结HE．
（1）求证：小明画出的四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，在10×9的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点均在格点上，点E在边AB上，AE＝2．请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形EFGH，使点F、G、H分别在边BC、CD、AD上，且此平行四边形的边与AC或BD平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
【答案】见解析．
【分析】（1）分别证明GH∥EF，EH∥FG即可；
（2）取格点J，连接EJ交AD于点H（使得AH：DH＝2：3），在CD，CB上取点G，F（使得CG：DG＝2：3，CF：BF＝2：3，连接HG，FG，EF，四边形EFGH即为所求．
【解答】（1）证明：∵EF∥AC，
∴，
∵FG∥BD，
∴，
∵HG∥AC，
∴，
∴，
∴EH∥BD∥FG，
∵EF∥AC，GH∥AC，
∴GH∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：如图，四边形EFGH即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定，平行线分线段成比例定理，中点四边形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点．
（1）请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图；
（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果）
①在图1中，作出CD⊥AB，垂足为点D；
②在图2中，作出△EFG的重心O；
（2）利用②的作图结果，求sin∠OFG的值．
【答案】（1）①见解答．
②见解答．
（2）．
【分析】（1）①利用网格直接画图即可．
②结合三角形的重心的定义，取FG的中点M，EG的中点H，连接EM，FH相交于点O，则点O即为所求．
（2）由图可得，sin∠OFG＝sin∠NFK，结合勾股定理求出FN的长，进而可得答案．
【解答】解：（1）①如图1，CD即为所求．
②如图2，取FG的中点M，EG的中点H，连接EM，FH相交于点O，
则点O即为所求．
（2）由图可得，sin∠OFG＝sin∠NFK．
由勾股定理得，FN，
∴，
∴sin∠OFG的值为．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．已知正五边形ABCDE，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）．
【初步感知】如图1，请直接写出∠ABE的度数；
【实践探究】请在图1中作出以BE为对角线的菱形ABME，并证明你的结论；
【拓展延伸】请在图2正五边形ABCDE的基础上再设计一个新的正五边形A1B1C1D1E1.（不需要证明）
【答案】【初步感知】36°；【实践探究】【拓展延伸】见解析．
【分析】【初步感知】利用正五边形与等腰三角形的性质求解；
【实践探究】连接BD，CE交于点M，四边形ABME即为所求；
【拓展延伸】各边延长线的交组成的五边形A1B1C1D1E1即为所求．
【解答】解：【初步感知】∵AB＝AE，∠A＝108°，
∴∠ABE＝∠AEB＝36°；
【实践探究】如图，四边形ABME即为所求．
理由：∵AB∥CE，AE∥DB，
∴四边形ABME是平行四边形，
∵AB＝AE，
∴四边形ABME是菱形；
【拓展延伸】如图2中，正五边形A1B1C1D1E1即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．【问题背景】
我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段．
在如图1中，已知线段MN，为了平分线段MN，小普同学进行了如下的操作：
①在平面直角坐标系xOy中，画出函数的图象；
②在x轴的正半轴上截取OA＝MN，过点A作AD⊥x轴交函数的图象于点D；
③以点M为圆心，AD长为半径作弧，交MN于点P．
所以点P平分线段MN．
【解决问题】
（1）根据小普同学的做法，如果要将线段MN三等分，那么可以借助函数yx 的图象在图1中的线段AD上，找到点C，使，于是可作出线段MN上的一个三等分点．（填函数解析式）
（2）平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点B在x轴的正半轴上，OB＝b．运用我们学过的函数知识，在图2中作出坐标为的点Q，写出画图步骤．（保留作图痕迹）
【答案】（1）yx；
（2）见解答．
【分析】（1）由问题背景的例题知，将线段MN三等分，同理可借助函数yx，即可求解；
（2）过点B作y轴的平行线交两个函数于点D、C，则点C、D的纵坐标分别为：、，以点O为圆心，以BD长度为半径画弧交x轴于点E，则OE，过点E作EF⊥x轴，以点B为圆心，以BC长度为半径交EF于点Q，即可求解．
【解答】解：（1）由问题背景的例题知，将线段MN三等分，同理可借助函数yx，
如图：
故答案为：yx；
（2）作出y和y的函数图象如下：
过点B作y轴的平行线交两个函数于点D、C，则点C、D的纵坐标分别为：、，
以点O为圆心，以BD长度为半径画弧交x轴于点E，则OE，
过点E作EF⊥x轴，以点B为圆心，以BC长度为半径交EF于点Q，则点Q即为所求点．
【点评】本题为一次函数综合运用，涉及到反比例函数的图象和性质、函数作图等，理解题意，将作图问题转化为函数方法是解题的关键．
二．锐角三角比（共5小题）
7．我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，α的代数式表示）
（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．
【答案】（1）（atanα+b）米；
（2）3.8米．
【分析】（1）根据题意可得BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝α，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，进行计算即可解答；
（2）根据题意得：GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，然后证明A字模型△ABH∽△GCH，从而可得，再证明A字模型△ABF∽△EDF，从而可得，进而可得，最后求出BC的长，从而求出AB的长．
【解答】解：（1）如图：
由题意得：
BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝α，
在Rt△AEC中，AE＝CE tanα＝atanα（米），
∴AB＝AE+BE＝（b+atanα）米，
∴灯杆AB的高度为（atanα+b）米；
（2）由题意得：
GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，
∵∠AHB＝∠GHC，
∴△ABH∽△GCH，
∴，
∴，
∵∠F＝∠F，
∴△ABF∽△EDF，
∴，
∴，
∴，
∴BC＝0.9米，
∴，
∴AB＝3.8米，
∴灯杆AB的高度为3.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，数学常识，中心投影，列代数式，平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE及D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离；
（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．
【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．
由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．
在Rt△AD′F中，D′F＝AD′ sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．
又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，
∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，
∴D′H＝D′F+FH＝（4570）厘米．
答：点D′到BC的距离为（4570）厘米．
（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．
由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，
∴AE30厘米，
∴EE′＝30厘米．
答：E、E′两点的距离是30厘米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．
9．如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE．
（1）求BE的长；
（2）求tan∠EBC的值．
【答案】（1）8；
（2）．
【分析】（1）先根据∠ABE的正切及AB的长求出BH的长，再结合AD⊥BE及AD平分∠ABC即可解决问题．
（2）根据题意，分别得出DH和EF为△BEF和△CAD的中位线，据此求出DH的长，最后在Rt△DHB中根据正切的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AD⊥BE，
∴在Rt△ABH中，
tan∠ABE．
又∵AB＝5，∠ABE，
∴AH＝3，BH＝4．
又∵AD平分∠BAC，
∴BE＝2BH＝8．
（2）∵EF⊥BE，AD⊥BE，
∴AD∥EF．
又∵BH＝EH，
∴DH是△BEF的中位线，
∴EF＝2DH．
同理可得，AD＝2EF，
∴AD＝4DH，
即3+DH＝4DH，
∴DH＝1．
在Rt△BDH中，
tan∠EBC．
【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的判定与性质，熟知正切的定义及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
10．小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为30°、45°、60°的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出30°、45°、60°的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了15°、75°的三角比．
（1）计算：；
（2）小杰的一副特制的三角板，如图1，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°，DE＝AC＝2；小杰的想法是：将Rt△ABC和Rt△DEF的边DE和AC重合，拼接成如图2所示的四边形ABCF．请利用图2，求sin15°和tan75°的值．
【答案】（1）2；
（2）sin15°，tan75°＝2．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值求解即可；
（2）如图2中，过点B作BH⊥AF于点H，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．连接BF．利用面积法求出BH，利用勾股定理求出AH，在Rt△ABH中，根据三角函数的定义求解．
【解答】解：（1）原式2；
（2）如图2中，过点B作BH⊥AF于点H，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．连接BF．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，∠BAC＝30°，
∴BCAC＝1，ABBC，
∴△ABC的面积1，
在Rt△DEF中，∠DEF＝90°，DE＝DF＝2，
∴AF＝2，△DEF的面积2×2＝2，
∵∠ACB＝90°﹣30°＝60°，∠ACG＝90°，
∴∠FCG＝30°，
∴FGCF＝1，
∵四边形ABCF的面积＝S△ABF+S△BCF，
∴2 AF BH BC FG，
∴22BH1×1，
∴BH，
∴AH，
∵∠BAC＝30°，∠CAF＝45°，
∴∠BAH＝75°，∠ABH＝15°，
∴sin15°，tan75°2．
【点评】本题考查解直角三角形，含30度角的直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
11．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．
（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：1.7）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；
（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ＝PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．
【解答】解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP＝39m．在直角△APH中，PH36（米）；
（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．
在Rt△ADH中，DH＝AH cot30°＝15（米）．
在Rt△CDQ中，DQ78（米）．
则PQ＝PH+HQ＝PH+DQ﹣DH＝36+78﹣15114﹣15×1.7＝88.5≈89（米）．
答：高架道路旁安装的隔音板至少约需要89米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
三．应用题及一次函数（共7小题）
12．“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．
（1）他实际花了多少钱购买加油卡？
（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）．
（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
【答案】（1）900；
（2）y＝0.9x﹣0.27；
（3）1.00．
【分析】（1）根据打九折列出算式，计算即可；
（2）根据每一升油，油的单价降低0.30元知：y＝0.9（x﹣0.30）；
（3）当x＝7.30，可得y＝6.30，根据优惠后油的单价比原价便宜（x﹣y）元，计算求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，1000×0.9＝900（元），
答：实际花了900元购买会员卡；
（2）由题意知，y＝0.9（x﹣0.30），
整理得y＝0.9x﹣0.27，
∴y关于x的函数解析式为 y＝0.9x﹣0.27；
（3）当x＝7.30时，y＝0.9×7.30﹣0.27＝6.30，
∵7.30﹣6.30＝1.00，
∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元．
【点评】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用，解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析 式．
13．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，此题得解．
【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b，
将（150，45）、（0，60）代入y＝kx+b中，
，解得：，
∴该一次函数解析式为yx+60．
（2）当yx+60＝8时，
解得x＝520．
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530﹣520＝10千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
15．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；
（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断；
【解答】解：（1）设y＝kx+b，则有，
解得，
∴y＝5x+400．
（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200＝6300元，
∵6300＜6400
∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
【点评】本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的关键．
16．某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：t．
（1）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度．
【答案】（1）y＝40x+80（0≤x≤3）；
（2）32摄氏度．
【分析】（1）求出每分钟加水量，从而写出y与x的函数关系式，当y＝200时，求出对应x的值，从而写出定义域即可；
（2）将y＝200对应的x的值代入t与x的关系式，求出对应t的值即可．
【解答】解：（1）每分钟加水量为（160﹣80）÷2＝40（升），
则y＝40x+80，
当40x+80＝200时，解得x＝3，
∴y与x的函数关系式及定义域为y＝40x+80（0≤x≤3）．
（2）当x＝3时，t32，
∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度．
【点评】本题考查一次函数的应用，求出y与x的函数关系式是解题的关键．
17．某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时．
①求该时刻高架路上每百米车的数量；
②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？
【答案】（1）y＝﹣2x+80，0≤x≤40；
（2）①25辆；②20分钟．
【分析】（1）利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，当y＝0时求出对应x的值，即x的最大值，从而写出x的取值范围即可；
（2）①当y＝20代入y关于x的函数解析式，求出对应x的值即可；②求出y＝20时对应的x的值，再根据①和②求出的x的差值计算即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（10，60）和（20，40）分别代入y关于x的函数解析式，
得，
解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+80，
当﹣2x+80＝0时，解得x＝40，
∴x的取值范围为0≤x≤40．
（2）①当y＝30时，得﹣2x+80＝30，
解得x＝25，
答：该时刻高架路上每百米车的数量为25辆．
②当y＝20时，得﹣2x+80＝20，
解得x＝30，
（30﹣25）÷1×4＝20（分钟）．
答：最晚20分钟需启动限流措施．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
18．一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究：
类型Ⅰ：一条直线y＝kx+b（k、b都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小；
类型Ⅱ：两条直线l1：y1＝k1x+b1和l2：y2＝k2x+b2（k1≠k2、b1≠b2且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系．
小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数k和b符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论．
（1）如图1，请你帮助小组求出△ABO的面积S（用含k和b的式子表示）．
（2）将直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S1，直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S2，直线l1、l2和x轴所围成的三角形面积记为Sx，它们和y轴所围成的三角形面积记为Sy．
i）在图2中已经画出了直线l1和l2大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的k和b符号选项正确的是D ．
（A）k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＞0；
（B）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＜0；
（C）k1＞0，b1＜0，k2＜0，b2＞0；
（D）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＞0．
此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是S1+S2＝Sx+Sy ．
ii）如图3，保持直线l1不变，改变直线l2中k2和b2的符号（不考虑|k2|和|b2|的大小），请在图中画出直线l2的大致图象，此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是S1﹣S2＝Sx﹣Sy ．
【答案】（1）；
（2）D，S1+S2＝Sx+Sy，
（3）S1﹣S2＝Sx﹣Sy．
【分析】（1）根据三角形的面积公式求解；
（2）根据一次函数的性质求解；
（3）根据三角形的面积的和差求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝k1x+b1＝b1，
当y＝0时，0＝k1x+b1，解得：x，
∴A（0，b1），B（，0），
∴Sb1 （）；
（2）l1、呈上升趋势，与y轴的交点在y的正半轴，l2呈下降趋势，与y轴的交点在y的正半轴，
∴k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＞0，
∴S1+S2＝Sx+Sy，
故选：D；S1+S2＝Sx+Sy，
（3）∵k2＞0，b2＜0，
∴图象如下：
由图象得：S1﹣S2＝Sx﹣Sy．
【点评】本题考查了函数与不等式的关系，掌握函数的性质和三角形的面积公式是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
复习建议：强化无刻度直尺作图的原理训练，熟练掌握解直角三角形的实际模型，灵活运用一次函数解决最值、图象分析问题，并注重新定义几何题的类比迁移。
1．我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80kW h，行驶了240km后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（kW h）与行驶路程x（km）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）已知这辆车的“满电量”为100kW h，且该车型电量降至10%则会出现电亏警报，若王师傅从B市高速公路出口驶出后还要继续在高速公路上行驶，请你通过计算提醒王师傅，还能行驶多少km汽车会出现电亏警报．
【答案】（1）；
（2）该车还能行驶110km汽车会出现电亏警报．
【分析】（1）通过图象确定函数类型为一次函数，利用已知点坐标待定系数法求解析式；
（2）先求当前剩余电量，再根据电亏警报电量计算还能行驶的路程．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（0≤x≤240），代入（0，80），（150，50），
得，，
解得：，b＝80，
∴；
（2）令x＝240，则y＝32，
100×10%＝10，令y＝10，则有，解得x＝350，
350﹣240＝110，
答：该车还能行驶110km汽车会出现电亏警报．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求一次函数解析式，以及根据电量变化计算行驶路程．
2．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，M、D、E在一条直线上，ME⊥EC，其相关数据为AM＝10cm，ME＝28cm，求EC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.73）
【答案】见试题解答内容
【分析】过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N，根据正弦的定义求出AN，根据余弦的定义求出MN，再根据正切的定义求出CG，计算即可．
【解答】解：过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N，如图所示，
则四边形MEGN为矩形，
∴EG＝MN，NG＝ME＝MD+DE＝6+22＝28（cm），
在Rt△AMN中，sin∠AMN，cos∠AMN，
∴AN＝AM×sin37°≈10×＝6（cm），MN＝AM×cos37°≈108（cm），
∴EG＝8cm，AG＝AN+NG＝6+28＝34（cm），
∵∠ACG＝60°，
∴CG19.61（cm），
∴EC＝EG+CG＝8+19.61≈27.6（cm），
答：EC的长约为27.6cm．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过点P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且，求此时∠A的大小．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，根据平行线的性质得出∠PEC＝∠BCE，∠PFC＝∠DCF，则∠ACE＝∠PEC，∠ACF＝∠PFC，根据等角对等边即可求证；
（2）根据正方形的性质得出AC⊥MN，AC＝2AP，进而推出△ABC是直角三角形，则，得出∠ABC＝30°，即可解答．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠BCA，CF平分∠BCA的外角，
∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，
∵MN∥BC，
∴∠PEC＝∠BCE，∠PFC＝∠DCF，
∴∠ACE＝∠PEC，∠ACF＝∠PFC，
∴PE＝PC，PF＝PC，
∴PE＝PF；
（2）解：∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥MN，AC＝2AP，
∵MN∥BC，
∴AC⊥BC，即△ABC是直角三角形，
∵，
∴，
∴∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝60°．
【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，角平分线的性定义，等腰三角形的判定，解直角三角形，解题的关键是掌握正方形对角线互相垂直平分；两直线平行，内错角相等；等角对等边．
4．昆明市周边蔬菜基地种植了白菜和菠菜两种蔬菜共30亩，设种植白菜x亩，总收益为y万元，有关数据见表：
成本 （单位：万元/亩） 销售额（单位：万元/亩）
白菜 2.4 3　
菠菜 2 2.5
（1）求y关于x的函数关系式（收益＝销售额﹣成本）；
（2）若计划投入的总成本不超过70万元，要使获得的总收益最大，基地应种植白菜和菠菜各多少亩？
（3）已知白菜每亩地需要化肥400kg，菠菜每亩地需要化肥600kg，根据（2）中的种植亩数，基地计划运送所需全部化肥，为了提高效率，实际每次运送化肥的总量是原计划的1.25倍，结果运送完全部化肥的次数比原计划少1次，求基地原计划每次运送多少化肥？
【答案】（1）y＝0.1x+15；
（2）种植白菜25亩，种植菠菜5亩；
（3）2600kg．
【分析】（1）根据种植白菜和菠菜共30亩，可得出种植菠菜（30﹣x）亩，再根据“总收益＝白菜每亩收益×种植亩数+菠菜每亩收益×种植亩数”即可得出y关于x的函数关系式；
（2）根据“投入成本＝白菜每亩成本×种植亩数+菠菜每亩成本×种植亩数”以及总成本不超过70万元，可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设原计划每次运送化肥mkg，实际每次运送1.25mkg，根据原计划运送次数比实际次数多1，可得出关于m的分式方程，解分式方程即可得出结论．
【解答】解：（1）设种植白菜x亩，种植菠菜（30﹣x）亩，
由题意得：y＝（3﹣2.4）x+（2.5﹣2）（30﹣x）＝0.1x+15，
答：y与x的关系式为y＝0.1x+15；
（2）由题意知：2.4x+2（30﹣x）≤70，
解得：x≤25．
∵y＝0.1x+15中k＝0.1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝25时，所获总收益最大，此时种植白菜25亩，种植菠菜5亩；
（3）设原计划每次运送化肥mkg，实际每次运送1.25mkg，
需要运送的化肥总量是400×25+600×5＝13000（kg），
由题意可得：1，
解得：m＝2600，
经检验m＝2600是原方程得解．
答：基地原计划每次运送化肥2600kg．
【点评】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（2）根据一次函数的性质解决最值问题；（3）根据数量关系得出分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．
5．综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是xcm，单层部分的长度是ycm，得到如下数据： 双层部分长度x（cm）261014a单层部分长度y（cm）1161081009270
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3
素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为53.5cm；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围．
任务2 设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式．
任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
【答案】任务1：描点并作图见解答；是，y＝﹣2x+120（0≤x≤60），25；
任务2：hx+180（0≤x≤60）；
任务3：cm．
【分析】任务1：直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出x的最大值和最小值；当y＝70时求出a的值即可．
任务2：根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和x与y之间的函数关系式，用含x的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将h表示为x的函数的形式即可；
任务3：当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时x的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应x的值即可．
【解答】解：任务1：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量x、y满足一次函数关系．
设y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将x＝2，y＝116和x＝10，y＝100代入y＝kx+b，
得，解得，
∴y＝﹣2x+120．
将x＝a和y＝70代入y＝﹣2x+120，
得﹣2a+120＝70，解得a＝25；
当背带都为单层部分时，x＝0；
当背带都为双层部分时，y＝0，即﹣2x+120＝0，解得x＝60，
∴x的取值范围是0≤x≤60．
任务2：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
∴总长度为﹣2x+120+x＝﹣x+120，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
∴hx+180（0≤x≤60）．
任务3：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即x＝60，y＝0．
∵背包提在手上，且背包的悬挂点距地面高度为53.5cm，
∴手到地面的距离为（53.5）cm，即83.5cm．
设小明爸爸的身高为hcm．
∵臂展和身高一样，且肩宽为38cm，
∴小明爸爸一条胳膊的长度为cm，
∴h83.5＝h，解得h＝172，
根据任务2，得172x+180，解得x，
∴此时双层部分的长度为cm．
【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键．
6．某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征．
时间x 8时 11时 14时 17时 20时
y1自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34
y2自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13
（1）请用一次函数分别表示y1与x、y2与x之间的函数关系．（不写定义域）
（2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为v总＝y1+y2，车流量大的方向交通量为vm，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据v总＝y1+y2，求出v总关于x的函数关系式，分y1v总，y2v总两种情况讨论，求出对应x的取值范围即可．
【解答】解：（1）设y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将x＝8，y1＝10和x＝11，y1＝16代入y1＝k1x+b1，
得，
解得，
∴y1＝2x﹣6．
设y2＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）．
将x＝8，y2＝25和x＝11，y2＝22代入y2＝k2x+b2，
得，
解得，
∴y2＝﹣x+33．
（2）v总＝y1+y2＝2x﹣6﹣x+33＝x+27．
当y1v总时，即2x﹣6（x+27），解得x≥18；
当y2v总时，即﹣x+33（x+27），解得x≤9．
∴8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键．
7．寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6：00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象．
根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）图中的a＝　3　 ，b＝　320　 ；
（2）求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；
（3）她们能否在中午12：30之前到达目的地？请说明理由．
【答案】（1）3，320；
（2）y＝﹣100x+620；
（3）能，理由见解答．
【分析】（1）根据图象求出a的值，根据“离目的地的路程＝家与目的地之间的距离﹣行驶的路程”可计算b的数值；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）当y＝0时求出对应x的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可．
【解答】解：（1）a＝2+1＝3，b＝480﹣80×2＝320，
故答案为：3，320．
（2）设提速后y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标（3，320）和（5，120）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴提速后y关于x的函数解析式为y＝﹣100x+620．
（3）能．理由如下：
当她们到达目的地时，y＝0，
得﹣100x+620＝0，
解得x＝6.2，
6.2小时＝6时12分，
∴她们于12：12分到达目的地．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数的解析式是本题的关键．
8．网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零．
（1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？
（2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x元的消费与实际总支付y元间存在着依赖关系，当320＜x＜375时，写出y关于x的函数关系式；
（3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由．
【答案】（1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了355元；
（2）y＝x﹣20（320＜x＜375）；
（3）如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”，理由见解答过程．
【分析】（1）根据题意列式4×75+（375﹣4×80），即可算得答案；
（2）当320＜x＜375时，可使用4张代金券，故y＝4×75+（x﹣4×80）＝x﹣20；
（3）当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元；同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算；故如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”．
【解答】解：（1）∵4×75+（375﹣4×80）＝300+55＝355（元），
∴在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了355元；
（2）当320＜x＜375时，可使用4张代金券，
∴y＝4×75+（x﹣4×80）＝x﹣20；
∴y关于x的函数关系式为y＝x﹣20（320＜x＜375）；
（3）如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”，理由如下：
当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元；
同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算；
∴如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
9．如图，点A、B、C都在6×6的小正方形网格的格点上．如果设A的坐标为（1，2），点C的坐标为（4，0）．请只使用无刻度的直尺画图（不写画法，保留画图痕迹，写出结论）．
（1）画出△ABC的中线BE；
（2）找到△ABC的重心G，直接写出重心G的坐标．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据网格的特点找处BC边的中点E的位置，连接BE即可；
（2）根据网格的特点作出边AB边上的中线CF交AE于点G，则点G是△ABC的中心，根据点A（1，2），点C（4，0）得点B（5，4），再分别求出点E（4.5，2），点F（3，3）得AE∥x轴，则点G的纵坐标为2，再利用待定系数法求出直线CF的表达式为y＝﹣3x+12，将y＝2代入得x，由此即可得出点G的坐标．
【解答】解：（1）根据网格的特点得：AC边与格线的交点即为AC边的中点，连接BE，如图1所示：
（2）根据网格的特点作出边AB边上的中线CF交AE于点G，则点G是△ABC的中心，如图2所示：
∵点A的坐标为（1，2），点C的坐标为（4，0），
∴点B的坐标为（5，4），
∵点E是BC边的中点，点F是AB边的中点，
∴点E的坐标为（4.5，2），点F的坐标为（3，3），
∴AE∥x轴，
∴点G的纵坐标为2，
设直线CF的表达式为：y＝kx+b，
将点A（4，0），点E（3，3）代入y＝kx+b，
得：，
解得：k＝﹣3，b＝12，
∴直线CF的表达式为：y＝﹣3x+12，
∵点G的纵坐标为2，
∴对于y＝﹣3x+12，当y＝2时，﹣3x+12＝2，
解得：x，
∴点G的坐标为．
【点评】此题主要考查了点的坐标，三角形的重心，理解三角形重心的定义，熟练掌握网格的特点，待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键．
10．A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入DIN（编号是DIN476），ISO216定义了A、B、C三组纸张尺寸．
（1）观察发现：如图1，将A4纸2次折叠，发现第1次的折痕与A4纸较长的边重合，由此可求出A4纸较短边与较长边的比为　1：　 ；
（2）探究迁移：如图2，将一张A4纸沿对角线折叠，展开后得折痕AC，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．则　　 ；
（3）拓展应用：如图3，利用一张A4纸经过裁剪获得一张边长为21cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．则　　 ．
【答案】（1）1：；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据折叠的特征可得A4纸的长边与BC重合，即长边为正方形ABDC的对角线，结论可得；
（2）证明△ABE∽△DAC，得出，则可得出答案；
（3）延长DA、CG相交于点P．由勾股定理求出CE的长，证明△APG∽△BCG，得出，则可得出答案．
【解答】解：（1）如图，
由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BCAB；
第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以较长边AB．
∴A4纸较长边与较短边的比为：：1．
故答案为：1：：；
（2）如图2：∵，
∴设AB＝t，ADt，
∵折叠，使点A落在OC上，
∴AC⊥BE，
∴∠AOE＝90°＝∠AEO+∠OAE，
∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠ACD+∠OAE＝90°，
∴∠AEO＝∠ACD，
∴△ABE∽△DAC，
∴，
∴，
∴AEtAD，
∴，
故答案为：；
（3）延长DA、CG相交于点P．
根据折叠的性质得∠BCG＝∠ECG，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠P＝∠BCG＝∠ECG，
∴EP＝EC，
∵ED，CD＝21，
∴CE，
∴EP，
∴AP，
∵AD∥BC，
∴△APG∽△BCG，
∴．
．
【点评】本题是相似形综合题，考查了掌握正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作判断
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 　②④　 （填序号）．
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）．
（3）拓展应用
如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长．
【答案】解：（1）②④；
（2）①∠ACD＝∠ACB，
理由：延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE，
∵四边形ABCD是邻等对补四边形，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠D，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠E＝∠ACD，AE＝AC，
∴∠E＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB；
②；
（3）或．
【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可；
（2）①延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出∠ABE＝∠D，证明△ABE≌△ADC（SAS），得出∠E＝∠ACD，AE＝AC，根据等边对等角得出∠E＝∠ACB，即可得出结论；
②过A作AF⊥EC于F，根据三线合一性质可求出CF，由①可得∠ACD＝∠ACB＝θ，在Rt△AFC中，根据余弦的定义求解即可；
（3）分AB＝BM，AN＝AB，MN＝AN，BM＝MN四种情况讨论即可．
【解答】解：（1）观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等，
故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：②④；
（2）①∠ACD＝∠ACB，
理由：延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE，
∵四边形ABCD是邻等对补四边形，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠D，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠E＝∠ACD，AE＝AC，
∴∠E＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB；
②过A点作AF⊥BC交于F点，
∵AE＝AC，
∴CF＝EFEC（m+n），
∵∠BCD＝2θ，
∴∠ACD＝∠ACB＝θ，
在Rt△AFC中，AC，
∴AC的长为；
（3）∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC5，
∵四边形ABMN是邻等对补四边形，
∴∠ANM+∠B＝180°，
∴∠ANM＝90°，
当AB＝BM时，
方法一：如图，连接AM，过N作NH⊥BC于H，
∴AM2＝AB2+BM2＝18，
在Rt△AMN中，MN2＝AM2﹣AN2＝18﹣AN2，
在Rt△CMN中，MN2＝CM2﹣CN2＝（4﹣3）2﹣（5﹣AN）2，
18﹣AN2＝（4﹣3）2﹣（5﹣AN）2，
解得AN＝4.2，
∴CN＝0.8，
∵∠NHC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△NHC∽△ABC，
∴，
即，
∴NH，CH，
∴BH，
∴BN，
方法二：∵∠ANM＝90°，
∠C＝∠C，
∴△CNM∽△CBA，
∴，
即，
∴NM，CN，
∴AN＝5，
根据（2）的结论，
则BN；
当AN＝AB时，如图，连接AM，
∵AM＝AM，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），
∴BM＝NM，故不符合题意，舍去；
当AN＝MN时，
方法一：过N作NH⊥BC于H，
∵∠MNC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CMN∽△CAB，
即，
即，
解得CN，
∵∠NHC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△NHC∽△ABC，
∴，
即，
∴NH，CH，
∴BH，
∴BN，
方法二：设AN＝MN＝x，
则CN＝5﹣x，
∴，
∴x，
∴CM，
∴BM＝4，
根据（2）的结论，
则BN；
当BM＝MN时，如图，连接AM，
∵AM＝AM，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），
∴AN＝AB，故不符合题意，舍去；
综上，BN的长为或．
【点评】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形．
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