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2025 年 12 月临湘六中国栋班选拔考试
数学试题卷
（本试卷由选择题、填空题和解答题三部分组成，满分 120 分，考试时间 120 分钟）
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合要求的，请将正确选项用 2B 铅笔涂在答题卡相应的位置上）
1．已知非零实数 a，b满足 2a 4 b 2 a 3 b 2 4 2a ，则a b等于（ ）．
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．平价商场某商品按进货价提高25%销售，在迎“三八”促销活动中，降为原进
货价销售，则降低的百分数是（ ）
A．20% B．25% C．18% D．30%
3．李明参加的社区抗疫志愿服务团队共有 A、B、C、D四个服务项目，其中每个服
务项目又分为第一小组和第二小组，则李明分到 A项目的第一小组的概率是（ ）
1 1 1 3
A． 8 B． 2 C． 4 D． 8
2
4．已知等腰三角形的周长为 20，某一内角的余弦值为 ，那么设等腰三解形的腰
3
长等于（ ）
A．6或 3 6 B．6 或 12－2 6 C．12－2 6 D．3 6 或 12－2 6
5．如图，在平面直角坐标系中， AB 3 5 ，连结 AB并延长至 C，连结OC，若满
足OC 2 BC AC ， tan 2，则点 C的坐标为（ ）

A． 3,6 B． 2,4 5 10 26 38C． ,

3 3 D．
,
3 3
第 5题图 第 7题图 第 8题图
6．已知m、 n是方程 x 2 2 x 1 0 的两根，且 (7m2 14m a)(3n2 6n 7) 8，则 a的
值等于
A． 5 B．5 C． 9 D．9
7．函数 y ax2 bx a 0 的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．5a 3b 1 B．4a 3b 2 C．2a b 0 D．a 2b 0
1 k
8．如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y x2 与双曲线
y 交于 A，B两点，且
x
试卷第 1页，共 4页
点 A的坐标为 4,a 1 k，将直线 y x2 向上平移 m个单位，交双曲线 y x 0 x 于点 C，
32
交y轴于点F，且 ABC的面积是 ．给出以下结论：① k 83 ；②点B的坐标是
4, 2 ；
S 8③ ABC S ABF ；④m 3．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4分，共 24 分，请用 0.5 毫米黑色签字笔
将答案填在答题卡相应的位置上）
9．在平面直角坐标系内，一束光线从点 P 4,4 射向 x轴上的点 M，经 x轴反射后
反射光线经过点 Q 0,2 ，则点 M的坐标为 ．
10．已知关于 x的一元二次方程ax2 2x 2 c 0有两个相等的实数根，则 2a ac的
值为 ．
11．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC 分别与⊙O相切于 E，F，
G三点，过点 D作⊙O的切线交 BC 于点 M，切点为 N，则 DM 的长为
第 11 题图 第 14 题图
12．对于抛物线 y ax2 bx c，若它的各项系数 a，b，c满足b2 a2 c2，则称抛物
线为“勾股抛物线”，现有“勾股抛物线 y ax2 bx c过点 1，0 ，则该抛物线的对称
轴是 ．
13．在 ABC中， C 90 ，a、b、c分别为 A、 B、 C 的对边，若b2 ac，则 sin A
的值为 ．
14．如图，在 ABC中，AB 4，BC 5， ABC 120 ，点 E为线段 AB的中点，点 P
是线段 AC上的定点，且 AC BP，将 ABC绕点 B按逆时针方向旋转，得到
A1BC1．在 ABC绕点 B按逆时针方向旋转的过程中，点 P的对应点是点 P1，则线
段EP1长度的最小值为
三、解答题（本大题共 6小题，共 64 分，请用 0.5 毫米黑色签字笔将答案填在答
题卡相应的位置上）
0 2 3 2013 2014 2
15．（本题满分 10分）计算：( 3.14) 2 64 (tan 60 2) (4sin 30 3) 1 3
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x2 2x 2x 4
16．（本题满分 10分）先化简，再求值： 2 x 2 x 4 x 2
，其中 x 3．

2 2
17．（本题满分 10 分）设实数 a，b满足 a b 1 b b 2a 40，a b 1 b 8，求
1 1

a2 b2 的值．
18．（本题满分 10 分）如图，设四边形 ABCD内接于 O，BC为 O的直径，E为DC
上一点，若 AE∥BC， AE EC 5, AB 4，
(1)求 AD的长；
(2)求 ABE的面积．
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19．2020 年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加
大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按 30 天
计）的第 x天（x为正整数）的销售价格 p（元/千克）关于 x的函数关系式为
2
x 4 (0 x 20)
p 5 1 ，销售量 y（千克）与 x之间的关系如图所示． x 12 (20 x 30)
5
（1）求 y与 x之间的函数关系式，并写出 x的取值范围；
（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额
是多少？（销售额=销售量×销售价格）
3
20．如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+ 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），C（3，0），点 B为抛
2
物线顶点，连接 AB，BC，AB 与 y 轴交于点 D，连接 CD．
（1）①求这条抛物线的函数表达式；
②直接写出顶点 B的坐标 ；
（2）直接写出△ABC 的形状为 ；
（3）点 P 为抛物线上第一象限内的一个动点，设△PDC 的面积为 S，点 P的横坐标
为 m，当 S有最大值时，求 m的值；
（4）如图 2，连接 OB，抛物线上是否存在点 Q，使∠BCA+∠QCA＝∠α，当 tanα
＝2时，请直接写出点 Q的横坐标；若不存在，说明理由．
试卷第 4页，共 4页

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