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2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟冲刺练习卷4
班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]在下列四个数中，其中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2026
2．[3分]过一点作已知直线的平行线,则这样的平行线（ ）
A．有且只有一条 B．不存在
C．有两条 D．不存在或有且只有一条
3．[3分]下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．[3分]下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[3分]用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则说明，两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．[3分]下列各组中，数值相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
7．[3分]如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．[3分]已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论：①满足条件的整式M中至少有2个单项式；②若，则方程一定有实数解；③若，则满足条件的整式M共有5个；④若，则方程至少有一个正实数解，其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．[3分]如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．[3分]有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列五个结论中一定正确的有（　　）
①；②；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]某家超市正在开展促销活动，促销方案如下：
商品原价 优惠方案
不超过500元 不打折
超过500元但不超过1000元 全部打八折
超过1000元 全部打七五折
若王老师在此次促销活动中付款780元，问他购买的商品原价是 元．
12．[3分]若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
13．[3分]如图①，边长为4的等边和等边互相重合，现将沿直线向左平移个单位，将沿直线向右平移个单位如图②所示，当 是线段的三等分点时，平移距离的值为 ．
14．[3分]若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、两点关于轴对称，则称函数和具有“对立关系”，此时点或点的纵坐标称为“对立值”．
（1）满足题设条件的、两点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标 ；
（2）下列结论中，正确的是： ．（写出所有正确结论）
①函数与函数不具有“对立关系”；
②函数与函数的“对立值”为；
③若是函数与函数的“对立值”，则．
15．[3分]如图，在中，，点P是边上的一个动点，于点M，于点N，则的最小值为 ．
16．[3分]如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ．
三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]先化简，再求值．
，其中x，y满足 + ＝0．
18．[6分]解方程：
（1）；
（2）．
19．[8分]把下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
如图，，，是的平分线．试说明：．
解：是的平分线，
（___________），
又（已知），
（___________），
___________（__________），
（___________），
又（已知），
（同角的补角相等），
（__________）．
20．[8分]实践与探究
【问题情境】
数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是教材中我研究过的图形，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正万形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等．那么正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下：
证明：如图②，分别作，于点E、F，
，
又，，
又，且，
【初步感知】
（1）请你补全以上证明过程；
（2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心O，直线m分别与、交于点E、F，直线n分别与、交于点G、H，且若正方形的面积是36，求四边形的面积（请写出详细过程）．
【深入探究】
（3）受图③的启发，探究组思考把图④中的四边形转化为图③正方形中的一部分，从而求出图④中四边形的面积．现若，，，求四边形的面积．
21．[10分]为了更好地开展劳动实践活动，某校在校园内开辟了一片小菜园，用来种植A，B两种菜苗．
情境1：小红所在班级的任务是种植的，两种菜苗，小红发现种种菜苗和种菜苗共需，种种菜苗和种菜苗共需．
（1）分别求种植，两种菜苗每平方米所需的时间；
（2）任务要求所种的种菜苗不少于种菜苗，应如何设计种植方案才能使完成班级任务花费的时间最少，最少时间为多少？
（3）情境2：下表为小红记录的，两种菜苗的成长情况,
已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 10 …
种菜苗高度 6 9 12 15 18 21 …
种菜苗高度 15 16 17 18 19 20 …
①请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据所对应的点，并连线画出，两种菜苗高度y（单位：）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象；
②观察函数图象，能否用你学过的函数模型来刻画这两个变量之间的关系？若能，试求出y关于x的函数表达式；
③小红听种菜经验丰富的父亲说这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由．
22．[10分]截至2025年3月15日，《哪吒2》全球累计票房（含预售及海外）超亿元，超越《星球大战：原力觉醒》，位列全球影史票房榜第五．随着《哪吒2》的大火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办，已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵5元，按售价购买，600元购买的“哪吒”手办的数量是用250元购买“敖丙”手办的数量的2倍．
(1)求每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？
(2)某班级3月准备爱心义卖，筹集资金帮扶“自闭症儿童”，于是准备从该玩具公司购进一批手办进行售卖，且将每个“哪吒”手办售价定为45元，每个“敖丙”手办的售价定为36元，若本次购进“敖丙”手办的数量比购进“哪吒”手办的数量的2倍还少10个，两种手办全部售出后总获利不少于1000元，求该班级本次购进“哪吒”手办至少是多少个？
23．[12分]如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，与关于原点成中心对称，是由绕着原点顺时针旋转后得到的．
(1)画出，并写出点的对应点的坐标；
(2)画出，并写出点的对应点的坐标；
(3)求旋转过程中点到达点经过的路径长度．
24．[12分]如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点 在 的左侧 ，与 轴交于点 ，连接 ， ．
求抛物线的表达式；
点 是直线 上方抛物线上一动点，过点 作 轴平行线交 于点 ，点 是线段 上一点，当 最大时，求 的最小值．
将抛物沿射线 方向平移 个单位长度，得到新抛物线 ，点 坐标为 ，点 是新抛物线 对称轴上一动点，当 时，直接写出所有符合条件的点 的坐标．
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】D
9.【答案】B
10．【答案】C
11．【答案】975或1040
12．【答案】且
13．【答案】1或4
14．【答案】相等；②③
15．【答案】
16．【答案】1.2
17．
解：∵ +| |＝0，
∴ ，
解得： ，
原式 ﹣（2xy﹣xy﹣6+4x ）
﹣2xy+xy+6﹣4x
﹣4x ﹣2xy+xy+6
﹣xy+6，
当 时，
原式
＝4+1+6
＝11．
18．
（1）解：去括号可得：，
移项并合并同类项可得：，
系数化为1可得：；
（2）解：去分母可得：，
去括号可得：，
移项并合并同类项可得：，
系数化为1可得：．
解：是的平分线，
（角平分线的定义），
又（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
又（已知），
（同角的补角相等），
（同位角相等，两直线平行）．
20（1）证明：如图②，分别作，于点E、F，
，
又，
，
又，
且，
∴，
∴，
∴，
即正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一；
（2）解：由（1）的结论可得，，
故答案为：9；
（3）解：如图④，构造正方形，点B为正方形对角线的交点，
则，
，
∵，
∴，
由（1）可得，．
21．【答案】（1）种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟；
（2）种菜苗面积为平方米，则种菜苗的面积为平方米，完成班级任务花费的时间最少，为分钟；
（3）①见详解；
②；；
③A种菜苗先开花，理由见详解.
解：（1）设种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，由题意得，
解得
所以，种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟；
（2）设种菜苗面积为平方米，则种菜苗的面积为平方米，完成班级任务花费的时间为分钟，由题意得
，
∵任务要求所种的种菜苗不少于种菜苗，
∴，
∴，
当时，完成班级任务花费的时间最少，最少为（分钟），
所以，种菜苗面积为平方米，则种菜苗的面积为平方米，完成班级任务花费的时间最少，为分钟；
（3）①根据表中数据可知，当x增大时，都逐渐增加，此时可选择函数，图象如图所示;

②对于，图象过，代入解析式可得
解得
∴；
对于，图象过，代入解析式可得
解得
∴；
③当时，；当时，，
∴用的天数短，即A种菜苗先开花．
22．【答案】(1)30元，25元；
(2)30个
（1）解；设每个“哪吒”的售价是x元，则每个“敖丙”的售价是元，由题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程得解，且符合实际意义．
∴，，
答：每个“哪吒”的售价是30元，每个“敖丙”的售价是25元．
（2）解：设该班级本次购进“哪吒”手办是y个，
由题意得，，
解得，
答：该班级本次购进“哪吒”手办至少是30个．
(1)见解析，
(2)见解析，
(3)
（1）解：所作如下图所示：
由图知，点的对应点的坐标为；
（2）解：所作如下图所示：
由图知，点的对应点的坐标为；
（3）解： ，
旋转过程中点到达点经过的路径长度为．
24．【答案】 ；
；
或 ；理由见解答过程．
时和当点 在 轴下方时，分别构造一线三垂直全等，再利用全等性质和一次函数求解即可．
抛物线 与 轴交于 ， 两点 在 的左侧 ，将点 ，点 的坐标分别代入得：
，
解得： ，
抛物线的表达式为 ；
抛物线 与 轴交于点 ，
当 时，得： ，
点 ，
设直线 的解析式为 ，将点 ，点 的坐标分别代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
，
，
当 时， 取得最大值，
此时点 的坐标为 ，
如图 ，过点 作 ，过点 作 于点 ，则 ，
，
，
，
，
根据题意得： ， ，
，
，
，
，
，
当点 ， ， 三点依次共线，且 时， 取得最小值，最小值为 的长，
设直线 的解析式为 ，把点 ，点 的坐标分别代入，得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
可设直线 的解析式为 ，把点 的坐标代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时，得： ，
解得： ，
点 的坐标为 ，
， ，
，
；
符合条件的点 的坐标为 或 理由如下：
， ， ，
抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度，即水平向右平移 个单位长度，竖直向上平移 个单位长度，
抛物线 的对称轴为直线 ，
新抛物线 的对称轴为直线 ，
在 轴负半轴上取点 ，使得 ，
，
，
，
，
过点 作 于点 ，
， ，
，
，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
，
，
，
，
设 ，
当点 在 轴上方时，如图 ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 轴的垂线 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
， ，
， ， ，
，
≌ ，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，
得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
将 代入，
得 ，
解得： 负值舍 ，
；
当点 在 轴下方时，如图 ，过点 作 ，交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
同理可得 ≌ ，
， ，
，
同理可得直线 的解析式为 ，
将 代入，
得 ，
解得： 或 舍 ，
；
综上所述，符合条件的点 的坐标为 或 ．
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2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟冲刺练习卷5
班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]下列说法不正确的是（ ）
A．明天下雨是随机事件
B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式
C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定
2．[3分]已知关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A. 或 B.
C. 或 D.
3．[3分]某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示：
尺码/ 24 24.5 25 25.5 26
销售量/双 1 3 10 4 2
这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. ，25 B. 25，25 C. 25， D. ，26
4．[3分]如果点在平面直角坐标系中的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．[3分]如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．[3分]如图，在射线 ， 上，分别截取 ， ，使 ；再分别以点 和点 为圆心、大于线段 一半的长为半径作圆弧，在 内，两弧交于点 ，作射线 ；过点 作 交 于点 .若 ，则 的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．[3分]已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．[3分]一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ）
A. 7 B. 8 C. 6 D. 5
9．[3分]下列计算正确的是
A． B． C． D．
10．[3分]在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． 随 的增大而增大
B．
C．当 时，
D．关于 ， 的方程组 的解为
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为______．
12．[3分]如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．
13．[3分]如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若，，则的度数为 ．
14．[3分]对于正整数，根据除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数若余数为0，则；若余数为1，则；若余数为2，则.这种得到的过程称为对进行一次“变换”.对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推.例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8;根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3.
（1） 对正整数15进行三次变换，得到的数为____；
（2） 若对正整数进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的的值之和为____.
15．[3分]如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1）________°；
（2）若，，则________．
16．[3分]如图，在矩形中，，，是边上一动点（不含端点），将沿直线翻折，得到.射线交线段于点，连接，则的面积为____,的最大值为______.
三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]解不等式组并写出它的所有负整数解.
18．[6分]计算：
（1） ；
（2） .
19．[8分]已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为M，的半径为10，求的长．
20．[8分]如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求扇形的面积．
21．[10分]某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用.该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为86，86，89，90，91，93，95.现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：
物品完好度 服务态度 物流时长
平台A 92 90
平台B 95 88
（1） 七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是____；
（2） 求表格中，的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；
（3） 如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？
22．[10分]近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？
23．[12分]如图，内接于，的平分线交于点，交于点，过作分别交，的延长线于点，.
（1） 求证：是的切线；
（2） 已知，，点为的内心，求的长.
24．[12分]如图，在等边三角形中，为上的一点，过点作的平行线交于点，点是线段上的动点（点不与，重合）．将绕点逆时针方向旋转 ，得到，连接，，交于．
（1） 证明：在点的运动过程中，总有 ．
（2） 当为何值时，是直角三角形？
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】B
10．【答案】C
11．【答案】
12．【答案】；8165
13．【答案】
14．【答案】（1） 2
（2） 11
15．【答案】45；
16．【答案】10；
17．【答案】【解】解不等式①得，解不等式②得，所以不等式组的解集为，所以它的所有负整数解为,．
18．【答案】（1） 【解】.
（2） .
（2）
19.（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）∵是的直径，，
∴，，
由（1）可知，
∴，
∵的半径为10，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．
（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线；
（2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积．
21．【答案】（1） 10分
（2） 【解】，
.
， 平台A的服务态度更好.
（3） 平台A的最终得分为（分），
平台B的最终得分为（分）.
， 该公司会选择平台B.
22．
（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元；
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，
根据题意得：，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，
则，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）．
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
（1） 【证明】如图，连结的平分线交于点，，，，.又是的半径，为的切线.
（2） 【解】如图，连结， 点为的内心，平分，平分，
，，，，，，，，.，，，，，，，（负值已舍去），的长为.
（1） 【证明】 将绕点逆时针方向旋转 ，得到,
， ，
是等边三角形， .
， ，
，，，，四点共圆，
， .
（2） 【解】如图.根据题意，只有当 时，是直角三角形.
由（1）得是等边三角形，
.
又 ，
.
是等边三角形，
， .
， ，
，
．
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第 page number 页，共 number of pages 页2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟冲刺练习卷3
班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]若，则下列不等式不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．[3分]下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．[3分]如图，内接于，为直径，半径，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[3分]如图，在中，是外角的平分线，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．[3分]若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A. , B. , C. , D. ,
6．[3分]若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．[3分]的相反数是（ ）
A． B． C． D．
8．[3分]光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．[3分]如图，四边形内接于平分，若，则（　　）
A．5 B． C．6 D．4
10．[3分]如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上,将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示）
12．[3分]如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ．
13．[3分]希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，是两侧山脚的入口，从出发任作线段，过作，然后依次作垂线段，直到接近点，作于点．每条线段可测量，长度如图所示．分别在，上任选点，作，，使得，此时点共线．挖隧道时始终能看见处的标志即可．
（1） km．
（2）= ．
14．[3分]如图，在边长为2的正方形中，，分别是，上的动点，，分别是，的中点，则的最大值为______.
（第12题图）
15．[3分]抛物线，，是常数，经过，两点，且.下列四个结论：
；
②若，则；
③若，则关于的一元二次方程无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则.
其中正确的是____（填写序号）.
16．[3分]如图，在四边形中， ，平分.若，，则________.
三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]（1）计算：；
（2）化简：．
18．[6分]先化简，再求值：，其中．
19．[8分]如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
20．[8分]如图，在△ABC中，AC＝2BC，D是AC的中点，E是AB的中点，过点A作∠DAF＝∠B，且与DE的延长线交于点F．
（1）求证：△ABC≌△FAD；
（2）若DE＝2，求FE的长．
21．[10分]某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用.该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为86，86，89，90，91，93，95.现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：
物品完好度 服务态度 物流时长
平台A 92 90
平台B 95 88
（1） 七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是____；
（2） 求表格中，的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；
（3） 如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？
22．[10分]2025年5月24日至31日是第二十五个全国科技活动周，5月30日是第九个全国科技工作者日．各地围绕公众关注的人工智能、航空航天、深海深地探测等领域，广泛开展各类科普宣传活动．为提高学生对科创的热情，某校举行了“缤纷科技节”活动，参加活动的每一位学生至少要提交1件科创作品，现从七、八年级参加活动的学生中各随机抽取50名学生，调查其提交作品的件数．得到如下统计图表：
七年级50名学生提交作品的件数分布表
提交作品件数（件） 1 2 3 4 5
人数（人） 7 10 15 12 6
八年级50名学生提交作品的件数条形统计图
【数据的分析】根据整理出的数据得到如下有关统计量：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
七年级 3 n 3 1.48
八年级 m 4 x 1.01
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：表中 ， ， ；
【数据的应用与评价】
（2）若八年级共有400人参加活动，请估计八年级提交作品的总件数；
（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级参加活动的学生提交作品件数情况进行比较，并做出评价．
23．[12分]如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线,相交于点,反比例函数的图象经过点.
（1） 求这个反比例函数的解析式.
（2） 请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象.
（3） 将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________.
24．[12分]如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，．求的值．
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】A
10．【答案】B
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】1.8；
14．【答案】
15．【答案】②③④
16．【答案】
17．【答案】（1）；（2）
18．【答案】，.
（1）证明：连接并延长，交于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵为的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，∴四边形为矩形，
∴；
（2）由（1）知四边形为矩形，，，
∴，
∴，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理，得，解得.
即：的半径为．
（1）证明：∵AC＝2BC，∴BCAC，
∵D是AC的中点，∴AD＝CDAC，∴BC＝AD，
∵E是AB的中点，D是AC的中点，∴ED∥BC，∴∠C＝∠ADF，
在△ABC和△FAD中，，∴△ABC≌△FAD（ASA）．
（2）解：∵D是AC的中点，E是AB的中点，DE＝2，
∴BC＝2DE＝4，∴AC＝2BC＝8，由（1）得△ABC≌△FAD，∴AC＝FD＝8，
∴FE＝FD﹣DE＝8﹣2＝6，∴FE的长为6．
21．【答案】（1） 10分
（2） 【解】，
.
， 平台A的服务态度更好.
（3） 平台A的最终得分为（分），
平台B的最终得分为（分）.
， 该公司会选择平台B.
解：（1）八年级50名学生中位数是第25个数和第26个数的平均数，
∵，
∴第25个数和第26个数是3和4，
∴，
根据统计图可知：，
根据统计表可知：，
故答案为：，3，．
（2）（件），
所以估计八年级提交作品的总件数为1320件．
（3）从平均数看：八年级平均数高于七年级平均数，所以八年级提交作品件数情况多于七年级．
从众数看：八年级众数高于七年级众数，所以八年级提交作品件数最多的多于七年级．
从中位数看：八年级中位数高于七年级中位数，所以八年级一半人数提交的作品件数大于，七年级一半人数提交的作品件数大于3．
从方差看：八年级方差低于七年级方差，所以八年级提交作品件数情况比七年级更稳定．
答案不唯一，合理即可．
23．【答案】
（1） 【解】 反比例函数的图象经过点，，，
这个反比例函数的解析式为.
（2） 对于，当时，，当时，，当时，， 反比例函数的图象经过点，，，画出图象如下：
（3）
【解析】
（3） 四边形是矩形，,, 点向左平移后，落在反比例函数的图象上， 平移后点对应点的纵坐标为4，当时，，解得， 平移的距离为.故答案为.
24．【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到，
∴，
∵为的直径，是切线，
∴，
∴；
（2）解：∵是切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
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第 page number 页，共 number of pages 页2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟预测押题练习卷9
班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ）
A． B．-1 C．0 D．
2．[3分]下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．[3分]函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．[3分]下列命题中的真命题是（　　）
A．邻补角互补 B．两点之间，直线最短
C．同位角相等 D．同旁内角互补
5．[3分]若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．[3分]著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．[3分]如图两直线m、n与的边相交，且m、n分别与平行．根据图中所示角度，可知的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．[3分]若关于x的一元二次方程有实数根，则m为（ ）
A． B． C． D．
9．[3分]若是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．[3分]如图1，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ）
A．点与的距离为，点与的距离为
B．点与的距离为，点与的距离为
C．点与的距离为，点与的距离为
D．点与的距离为，点与的距离为
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]当___________时，分式与的值互为相反数．
12．[3分]如图所示，在方格纸上（设小方格边长为单位1）的三个顶点均位于格点上，则的值是___．
13．[3分]如果是完全平方式，则的值是 ．
14．[3分]若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
15．[3分]如图所示的扇形中，，过点作，交于点，若，则阴影部分的面积为 _____．
16．[3分]用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为______．
三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]计算：．
18．[6分]（1）计算：；
（2）解不等式组：．
19．[8分]如图，在四边形中，平分．
(1)证明：；
(2)已知，求的长．
20．[8分]【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
21．[10分]某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A、B两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，其营养成分表如图所示.考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共6包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低.请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案.
22．[10分]某网店对“老干妈”品牌的甲、乙两种辣椒产品进行网络直播销售．根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种辣椒产品．
“老干妈”产品信息
①2箱甲种产品和2箱乙种产品共需240元；
②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多40元；
③3箱甲种产品和4箱乙种产品共需400元．
（1）从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格；
（2）在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以100元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润．
23．[12分]如图，点是边上的一点，，（），交于点．
（1）求证：；
（2）若，是否可以为直角，如果可以，求出此时的值；如果不能请说明理由；
（3）已知且，点在线段上运动时，为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
24．[12分]如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为轴和轴上一点，且，满足，过点作于点，延长至点，使得，连接，．

(1)点的坐标为______，的度数为______；
(2)如图1，若点在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)如图2，若点的坐标为，连接，平分，与交于点．
①求点的坐标；
②试判断与的数量关系，并说明理由．
2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟预测押题练习卷参考答案
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】B
10．【答案】D
11．【答案】0
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】
18．【答案】（1）2；（2）．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）∵
∴，，
∴，
∵，即，
解得：．
解：（1）在和中，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：选择②为条件，①为结论
如图，在取点N，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
选择①为条件，②为结论
如图，在取点N，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
∵的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解】设选用A种食品包，则选用B种食品包.由题意得，解得.设每份午餐的总脂肪含量为.由题意得，即，随的增大而减小， 当时，取得最小值，此时.
答：符合要求且脂肪含量最低的配餐方案为选用A种食品4包，B种食品2包.
22．【答案】（1）甲种产品每箱的价格是80元，乙种产品每箱的价格是40元；
（2）当甲种产品数量为400时，该店所获总利润最大，最大利润为16000元．
（1）解：设甲种产品每箱的价格是元，乙种产品每箱的价格是元，
当选择①②时，，
解得：；
当选择②③时，，
解得：；
当选择①③时，，
解得：．
答：甲种产品每箱的价格是80元，乙种产品每箱的价格是40元；
（2）设该店购进箱甲种产品，则购进箱乙种产品，
根据题意得：，
解得：．
设该店购进的这批产品全部售完后获得的总利润为元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为（元．
答：当甲种产品数量为400时，该店所获总利润最大，最大利润为16000元．
23．【答案】（1）见详解
（2）可以，
（3）存在，
（1）证明：过点作，
则，，
又，
，
，
．
（2）解：在的延长线上截取，连接．
∴，
由（1）知，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
（3）解：延长到J，使得，延长到K，使得．
由（2）中方法可得，
∴，
∴，
所以点E在上运动时，点F在与所在直线成角的线上运动．
即点M在与平行的线上运动（L为的中点，把绕点C旋转度得到，点N为的中点．点M在上运动），
过点L作，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴与D重合，即，
∴，
过D作于点O，
∴点D到线段的最小值等于点D到线段垂线段的长，
∵，
∴，
∴，即的最小值为．
24．【答案】(1)，；
(2)，；理由见解析；
(3)①；②，理由见解析
（1）解：∵，
∴，，
∴点的坐标为，点，
∴．
∵，
∴．
（2）解：；
理由如下：
设与轴交于点，与交于点，

∵，
∴．
在和中，，，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
即，；
（3）解：①作轴交轴于点，轴交轴于点，
∵点的坐标为，
∴，，由（2）知，．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴；
②延长交于点，
∵，，，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴，
即．
第 page number 页，共 number of pages 页
2026届湖南中考数学押题卷 第 page number 页，共 number of pages 页2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟冲刺练习卷2
班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]如图，在直径为的圆内有一个圆心角为 的扇形.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．[3分]函数 的自变量x的取值范围是 （ ）
A．x≠ 3且x≠1 B．x＞ 3且x≠1
C．x＞ 3 D．x 3且x≠1
3．[3分]上马石是古人上下马的工具，形状如图（1）.它可以看作图（2）所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ）
图（1） 图（2）
A. B.
C. D.
4．[3分]有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．[3分]下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．[3分]如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．[3分]如图，小虎在篮球场上从点O出发，沿着O→A→B→C→O的路径匀速跑动． 下列选项能刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t的关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
8．[3分]如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（ ）
A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数
B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数
C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数
D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数
9．[3分]如图，在四边形中，，，，动点以的速度从点出发，沿向终点运动，过点作，垂足为点．设点的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．[3分]如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．则最小的的“双倍快乐数”为________；若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，则所有满足条件的有________个．
12．[3分]定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转 角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______________．
13．[3分]如图在 中， 为直径， 为弦，点为弧 的中点，以点 为切点的切线与 的延长线交于点．若 则 _____ ．
14．[3分]如果，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若，则的值为______．
15．[3分]如图，在中，，连接，点E、F分别为的中点，点M为边上的动点，点N为射线上的动点，且，连接，当将四边形的面积分为的两部分时，的长为________．

16．[3分]如图，在矩形中，，，为线段上一个动点，过作，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为______．
三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]解不等式（组）
（1）解不等式，并在给出的数轴上表示其解集；
（2）解不等式，并在给出的数轴上表示其解集；
（3）求不等式组的解集．
18．[6分]计算：
19．[8分]如图，在等边中，为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转至线段的位置，连接，，已知．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，求证：．
20．[8分]如图，是的外接圆，是的直径，点是上的点，点为的中点.连接，延长到点，且有．
（1）求证：是的切线；
（2）若点为的中点，，求的长．
21．[10分]某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
军车离开营地的时间/
军车离营地的距离/ 80
②填空：军车行驶的速度为______；
③填空：a的值为______；
④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式；
（2）学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可）
22．[10分]每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了m名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理、描述、分析，部分信息如下．分为5组：①组：；②组：；③组：；④组：；⑤组：．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）填空：_______，这m名学生视力的中位数落在第_______组；
（2）补全频数统计图；
（3）该校八年级共有600名学生．
①该校八年级学生的视力在范围内的人数约为_______名；
②从去年同期这600名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数320人．请说明这600名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并提一条保护学生视力的合理化建议．
23．[12分]【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即.下面是运用“截长法”证明的部分证明过程.
证明：如图（2），在上截取，连接,,和是的中点，.又，，.
又，，，即.
图（1） 图（2） 图（3） 图（4）
（1） 【理解运用】如图（1），,是的两条弦，,，点是的中点，于点，求的长.
（2） 【变式探究】如图（3），若点是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，,,之间存在怎样的数量关系？并加以证明.
（3） 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图（4），是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足 ，若，的半径为10，求的长.
24．[12分]如图（1），抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
图（1） 图（2） 备用图
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 点是抛物线上的一个动点．
① 如图（1），若点在第一象限内，连接交直线于点，连接,,设的面积为，面积为，若，求点的坐标.
② 如图（2），抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】A
10．【答案】C
11．【答案】111；3
12．【答案】，
13．【答案】/
14．【答案】
15．【答案】5
16．【答案】
17．【答案】（1），画见详解
（2），画见详解
（3），画见详解
18．【答案】
19．
（1）解：是等边三角形．理由如下：
是等边三角形，
．
，
，
即．
根据旋转的性质可得，
是等边三角形．
（2）证明：由（1）可知和都是等边三角形，
，，．
在和中，
，
，，
．
又，
，
．
在中，，
，
．
20．【答案】（1）见详解
（2）的长为
（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴的长为．
21．【答案】（1）①表格见详解；②60；③2；④
（2）或
（1）解：①∵在这一时间段，军车是匀速行驶的，且行驶的距离为，
∴行驶的距离为，
由图象可补充表格如下：
军车离开营地的时间/
军车离营地的距离/ 80 80
②由图象得：军车行驶的速度为.
③由②得：.
④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有，
，解得：，
∴y与x的关系式为，
当时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为，
当时，设y与x的关系式为，则有，
，解得：，
∴y与x的关系式为，
综上所述：y与x的关系式为；
（2）解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为．
由题意得：学校离基地的距离为，
∴学校师生乘坐大巴车的速度为，
当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则，
解得；
∵，
∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车，
∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇，
∴，
解得；
综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为或．
22．【答案】（1）40；③
（2）见详解
（3）①240；②今年学生视力在范围内的人数相比去年减少较多，建议见详解
（1）解：由题意得，，
∴第②组的人数为名，
把这40名学生的视力按照从低到高的顺序排列，中位数为第20个数据和第21个数据的平均数，
∵，
∴第20个数据和第21个数据都在第③组，
∴这m名学生视力的中位数落在第③组；
（2）解：由（1）得第②组的人数为8名，
∴第④组的人数为（名），
补全统计图如下：
（3）解：①（名），
∴该校八年级学生的视力在范围内的人数约为240名；
②∵，
∴今年视力在范围内的人数相比去年减少较多，
建议：读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；保证充足的睡眠，饮食均衡；减少电子产品的使用（合理即可）．
23．【答案】
（1） 【解】由阿基米德折弦定理可知，,，
，，
.
（2） .证明如下：
如图（1），在上取，连接,,,.
图（1）
点是中点，
，,
.
在和中，
，
，.
，，
，即.
（3） 是的直径，
的半径为10，
， 由勾股定理得，
.
①当点在上方时，如图（2），过点作于点，连接,.
图（2）
，
， ，
， ，
，即点是的中点，
,，
，.
②当点在下方时，如图（3），过点作于点.
图（3）
， ，
，
，即点是的中点.
同（2）可得，，
，
.
综上可知，的长为或.
24．【答案】（1） 【解】把，，代入得解得 抛物线的表达式为.
（2） ① 设直线的表达式为，把，代入得解得 直线的表达式为．如图（1）.过作轴交于，过作轴交于，，，.设，则，，将代入，得，，，，或2， 点的坐标为或
图（1）
② 存在，点的坐标为或或．过点作于，如图（2）.对于，， 抛物线对称轴为直线，，，.又 ，是等腰直角三角形，, ，是等腰直角三角形.,， 点的坐标为.当为平行四边形的边时，由题易得，轴， 点的横坐标与点的横坐标相同，为2，当时，， 点的坐标为，， 点的坐标为.根据对称性可知，当，时，四边形也是平行四边形．
当为平行四边形的对角线时，如图（3）.
图（2） 图（3）
四边形为平行四边形，，轴，同理求得点的坐标为，，点的坐标为.
综上，点的坐标为或或．
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2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟冲刺练习卷7
班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2．[3分]下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．[3分]在桌面上，把一副三角板摆成如图的位置．若比大，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[3分]如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．[3分]下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．[3分]有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．[3分]青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积是 2500000 平方千米．将 2500000 用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
8．[3分]若，则下列不等式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．[3分]下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．[3分]下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．[3分]如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ．
13．[3分]若分式有意义，则的取值范围是___________．
14．[3分]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是_______．
15．[3分]如图，在菱形中，对角线相交于点O，，点E是的中点，连接，则的长度为 ．

16．[3分]已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则______；
（2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论）
①若，，则为直角三角形
②若，，，则
③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7
三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]解方程和不等式
（1）；
（2），并把它的解集在数轴上表示出来．
18．[6分]计算：．
19．[8分]如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．
（1）求证：△ADE≌△BDF．
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形．
20．[8分]如图， ，点是线段的中点，且，已知
（1）求证：
（2）若，求的长．
21．[10分]证明：不是有理数．
22．[10分]我市某中学组织七年级师生秋游，由王老师和王林、李宏两同学到客车租赁公司洽谈租车事宜，下面两图是洽谈时的场景，
请根据图中场景解答下列问题：
（1）你知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元
（2）求七年级师生的总人数；
（3）从经济角度考虑，该如何设计租车方案，并说明理由．
23．[12分]某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件．
(1)求甲、乙两种水果每件的进货单价；
(2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由．
24．[12分]在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程．
问题呈现：过点的直线（k，c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B，探究并说明是定值．
（1）特例探究，如图1，过点的直线（k，c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B，则点A的坐标为______，点B的坐标为______，的值为______；
（2）一般证明：
①时，直接写出______；
②求出的值；
（3）如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过点M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由．
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】D
11．【答案】且
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】5
16．【答案】2；①②/②①
17．【答案】（1）；（2）．
18．【答案】
19．证明：（1）∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝BD，DE＝DF．
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
（2）∵AD＝BD，DF＝DE，
∴四边形AFBE是平行四边形．
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE．
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE．
∴DB＝DE．
∴AB＝EF．
∴平行四边形AFBE是矩形．
20．
（1）证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，点是线段的中点，
∴，
∵，
∴
在中，
∵，
∴，
即，
∴．
21．
证明：假设是有理数，
故可以表示为（均为整数且互质），
则，
因为是偶数，
所以是偶数，
所以是偶数，
设（为整数），
则，即，
所以也是偶数，这和互质矛盾．
所以假设不成立，是无理数．
22．
（1）解：设座的客车每辆每天的租金为元，则座的客车每辆每天的租金为元，根据题意得
解得：
∴座的客车每辆每天的租金为元；
（2）解：设租座的客车辆，则租座的客车辆，根据题意得，
解得：
∴七年级师生的总人数为人；
（3）解：方案一：租45座需要辆租车费用为元
方案二：租座4辆租车费为元
方案三：租60座1辆，租45座4辆租车费用最少
租金为元．
23．（1）解：设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
∴乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元；
（2）解：设购进甲种水果件，则购进乙种水果件，
由题意可得：，
解得：，
设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，
由题意可得：，
则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时，
∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元．
24．
（1）解：当，则；当，则，解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点，的坐标分别为、，
∴，
则；
（2）解：①当，则；当，则，解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点，的坐标分别为、，
∴，，
将点的坐标代入一次函数表达式得，
∴当，时，，
∴.
②由①知，，，，
则；
（3）解：设直线的表达式为，
则，解得，
∴，
设直线的表达式为，
联立上述两式得，
解得，则点，
由点，的坐标得，，则，
同（2）可求点，则，
，即，
解得，则，
当时，，即直线过定点．
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班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]一组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，则这组数据的中位数是（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
2．[3分]在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，下列说法错误的是（ ）
A．函数图象上的“和谐点”在第二象限 B．函数图象上有两个“和谐点”
C．函数图象上只有一个“和谐点” D．函数图象上的“和谐点”的横坐标为
3．[3分]生物学家发现了某花粉直径约为0．000 003 7毫米，该数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．[3分]在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．[3分]学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（　　）
A．﹣=100 B．﹣=100
C．﹣=100 D．﹣=100
6．[3分]下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．[3分]中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．[3分]的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
9．[3分]定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．[3分]如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A,P,D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( )
A．B．C． D．
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则 ．
12．[3分]圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型：母线长为，底面半径长为，则此圆锥的侧面积为 （结果保留）．
13．[3分]一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
14．[3分]若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________．
15．[3分]如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
16．[3分]如图，在中，，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，则的长是____.
三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]计算：
18．[6分]先化简，再求值：，其中，．
19．[8分]阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
一次有意义的动手实践活动——在格点图中巧作角平分线
实践背景
在一次动手实践课上，老师提出如下问题：在如图1所示由边长为1的小正方形组成的格点图中，点，，都在小正方形的顶点处，仅用无刻度的直尺作出的角平分线．
成果展示
小明、小亮展示了如下作法：
小明：如图2，在格点图中取格点，．连接，交于点．作出射线．
∵四边形是矩形，∴（依据1）．
∵，∴平分．
小亮：如图3，在格点图中取格点．连接，与小正方形的边交于点．则．
∵，．
∴（依据2）．
∴，即平分．
学习任务：
(1)实践反思：
①请填写出上述材料中的依据1和依据2．
依据1： ；依据2： ．
②请根据小亮的作法，证明．
(2)创新再探
请你根据实践背景问题要求，采用不同于小明和小亮的作法，描出作图过程中的所取得的点，作出的角平分线（不写作法，不需要说明理由）．
20．[8分]如图，为的直径，为延长线上一点，为上一点，连结，作于点，交于点，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
21．[10分]近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选) A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
（1）本次抽样调查的样本容量是________；
（2）扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
（3）若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
（4）文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
22．[10分]某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒．
（1）求甲组每天生产多少个套盒？
（2）实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同）
23．[12分]先化简，再求值： ，其中x满足 ．
24．[12分]如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于、，与轴交于点，抛物线顶点为，直线交轴于点．
（1）求抛物线函数表达式；
（2）若点是位于直线下方抛物线上的一动点，以、为相邻的两边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，求此时平行四边形的面积及点的坐标；
（3）在线段上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A
10．【答案】B
11．【答案】8
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】且
15．【答案】144°．
16．【答案】3
17．【答案】
18．【答案】，
19．
(1)解：实践反思：①（1）矩形的对角线互相平分；HL．
②如图，在格点图中取点，．
∵，，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
(2)创新再探：作法不唯一．如下：
取格点，使得，
作菱形，则是的角平分线
（1）证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）∵为的直径，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
解：（1）.
（2）喜爱玩偶的人数为，
.
（3）(人)
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人．
（4）根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即．
所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)．
（1）解：∵甲组每天比乙组少生产200个套盒，
∴设乙组每天生产个套盒，则甲组每天生产个，
∴，
解得，，
∴，
∴甲组每天生产个套盒；
（2）解：甲组生产4天，则剩下的任务数量为（个），
∴甲、乙两组各分得（个），
∵甲、乙两小组每天生产的数量比为，
∴设甲组每天生产数量为个，乙组每天生产数量为个，
∵甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，
∴，
解得，，
经检验：是方程的解，
∴增加2名工人后，甲组每天生产数量为个/天，乙组每天生产数量为个/天，
∴甲组每人每天可生产个，
∴甲组原有人数为（人），即增加人员前，甲组有名工人．
解：
,
∵ ，
∴ ，其中 ，
∴原式 .
解：（1）设抛物线为
把A（1，0），C（0，3）代入得
得：，
，
即；
（2）设直线BD为y＝kx+b，如图，过点P作PF⊥x轴交直线BD于F，
将点（1，4）、（3，0）代入y＝kx+b中，
解得，k＝2，b＝6，
∴BD解析式为y＝2x-6，
设点P（a，a2-2a-3），则F（a，2a-6），
则PF＝2a-6-（a2-2a-3）
＝-a2+4a-3
当a＝2时，PF有最大长度1，
∴S△PBD最大＝S△PBF+S△PDF
＝PF 2=1
∴以PB、PD为相邻的两边作平行四边形PBFD，当平行四边形MANB的面积最大时，
S最大＝2S△PBD最大＝2×1＝2，
∴P（2，-3）；
（3）存在．如图2，
由B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）可知，
BC=，CD=，BD=，
∵，即，
∴，
∴，
∵点G在线段BD上，所以设点G的坐标为，
过点G作GH⊥y轴于点H，当tan∠GCH=3时，∠BDC=∠GCE，
解得：
∴，
∴点G的坐标为：．
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2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟冲刺练习卷6
班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．[3分]已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
3．[3分]如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米．
A． B． C． D．
4．[3分]某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件个，依题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．[3分]下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
6．[3分]如图，在中，，点是高和的交点，，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．[3分]如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．[3分]如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H，给出下列结论：
①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．②③
9．[3分]已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．[3分]如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的大小为_______．
12．[3分]如图，平分，，如果，那么点到的距离等于
13．[3分]已知|x|=5、|y|=2，且 x+y＜0，则 x-y 的值是
14．[3分]若分式的值为0，则______.
15．[3分]函数中，自变量x的取值范围是________．
16．[3分]定义：若关于x的一元二次方程的两个解，满足，，且，则称这个方程为“量子m阶方程”．已知关于x的方程是一个“量子6阶方程”，则
①用含k的代数式表示n为_________，的值是_________．
三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]解不等式组：
18．[6分]计算：．
19．[8分]如图，点F在线段上，点E，G在线段上，．
（1）求证：；
（2）若于点H，平分，，求∠1的度数．
20．[8分]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

21．[10分]某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“春节年货节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件．
（1）该商场分别购进甲、乙两种产品多少件？
（2）若每件甲种产品按标价出售可获得利润20元，每件乙种产品按标价出售可盈利．“春节年货节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品打9折出售，乙种产品每件降价15元．将这200件产品卖完后，商场最终获利多少元？
22．[10分]在一条笔直的城市绿道上有A、B两地,甲、乙二人同时出发，甲从A地出发匀速前往B地，到达B地后立刻以原速度原路返回A地，乙从B地出发匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动）.甲、乙二人之间的距离（米）与出发时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1） A、B两地相距____米，甲的速度为____米/分，乙的速度为____米/分；
（2） 求线段的函数表达式；
（3） ［难］在运动过程中，当两人相距80米时，请直接写出的值.
23．[12分]如图，直线，点E，F分别在直线上，射线从出发绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点F以每秒的速度顺时针旋转，射线先旋转6秒后射线才开始旋转，在旋转过程中射线与射线不在同一条直线上，且射线旋转的度数为时，两条射线的旋转运动同时停止，设射线的旋转时间为t秒．
（1）填空：射线旋转的度数为______度，射线旋转的度数为______度；（用含t的代数式表示）；
（2）若，求此时t的值．
24．[12分]如图（1），非直径的弦，的端点在上运动，连接，，，.
图（1）
（1） 如图（2），当点，重合时，若 ， ，则______.
图（2）
（2） 如图（3），当弦的端点在弦所对的优弧上时，延长，交于点，，， .
图（3）
① 是否为定值？若是，求出该值;若不是,请说明理由.
② 求的半径.
（3） 如图（4），在（2）的条件下，连接，求出的最大值.
图（4）
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】/130度
12．【答案】6
13．【答案】-3或-7
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】；或
17．【答案】
18．【答案】
19．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度数为60°．
解：（1）证明:∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
（2）∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
（1）解：设该商场购进x件甲种产品，则购进件乙种产品，
根据题意得，，
解得，
（件）．
答：该商场购进120件甲种产品，80件乙种产品．
（2）解：根据题意得，甲产品总利润：（元），
乙产品总利润：（元），
总利润：（元），
答：商场最终获利2280元．
22．【答案】（1） 1200；80；60
（2） 【解】表示甲到达B地，所以，此时乙所走路程是（米），所以,所以表示乙到达A地，此时甲从B地返回后所走路程为（米），所以两人相距（米），即，所以.设所在直线的函数表达式为，所以解得所以线段的函数表达式为.
（3） 8或或29.两人相遇前，，解得；两人相遇后，且乙到A地前,，解得；乙到A地后，甲从B地返回距A地80米时，，解得.综上所述，当两人相距80米时，的值为8或或29.
【详解】
（1） 由知，、两地相距1 200米.由图象可得，甲用30分钟回到地，所以甲的速度为（米/分）;乙用20分钟到达地，所以乙的速度为（米/分）.故答案为，80，60.
23．
（1）解：根据题意可得，射线旋转的度数为度，射线旋转的度数为度.
（2）如图1，当时，延长交于点M，
∵，
∴
∵
∴，
∴
解得
如图2，当时，设交于点N，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
解得，
综上可知，若，此时t的值为1或4．
24．【答案】（1）
（2） ① 是定值.
如图（1），连接.
，，.又 ， .
图（1）
② 如图（2），取上一点，连接,使得，连接，.
， ， ， .又，为等边三角形，.作于点 ，，，，，，,的半径为.
图（2）
（3） 为定值，的度数是定值，的度数是定值. ，在运动过程中形状不变， 当为直径时，最大,如图（3）所示,此时 ，，，即的最大值为.
图（3）
（1） 【解】 ， ， ， .故答案为 .
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班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．[3分]如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．[3分]下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．[3分]一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．[3分]已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）

A． B． C． D．
6．[3分]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
7．[3分]如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
8．[3分]如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．[3分]若，都是正数， 满足则分式的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
10．[3分]若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（　　）
A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______．
12．[3分]分解因式：__________．
13．[3分]如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中正确的有 ．（填写序号）
①；②；③；④．
14．[3分]若，则 ．
15．[3分]如图，五边形是正五边形，若，则 ．
16．[3分]如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若，，则的度数为 ．
三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]计算：
18．[6分]先化简，再求值：，其中，．
19．[8分]如图，在中，，以为直径的交于点E，点D为的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的度数．
20．[8分]如图，在中，，，平分，D是的中点，E是上一点，连接交于点O．

(1)若的周长与四边形的周长相等，求线段的长；
(2)若，，，连接．
①求证：O点在线段的垂直平分线上；
②求的度数（用含的式子表示）．
21．[10分]为加强体育锻炼,增强学生体质,某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试,每人投篮4次,投中一次计1分.随机抽取m名学生的成绩作为样本,将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表.
测试成绩频数分布表
成绩/分 频数
4 12
3 a
2 15
1 b
0 6
　　　　　
根据以上信息,解答下列问题:
(1)直接写出m,n的值和样本的众数;
(2)若该校九年级有900名学生参加测试,估计得分超过2分的学生人数.
22．[10分]2025年株洲市承办湘超期间对部分路段进行限行，免费提供中型、大型客车接送观众．已知1辆大型客车和1辆中型客车共可坐54人，1辆大型客车和3辆中型客车共可坐92人，每辆中型客车每天运营成本约800元，每辆大型客车每天运营成本约1000元．
（1）求每辆中型客车和大型客车分别可以乘坐多少人？
（2）某日的湘超计划用两种型号的客车共200辆，且当天的运营成本不超过178000元，请问计划每天至少可以用中型客车多少辆？
23．[12分]已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边．
（1）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；
（2）在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围．
24．[12分]【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即.下面是运用“截长法”证明的部分证明过程.
证明：如图（2），在上截取，连接,,和是的中点，.又，，.
又，，，即.
图（1） 图（2） 图（3） 图（4）
（1） 【理解运用】如图（1），,是的两条弦，,，点是的中点，于点，求的长.
（2） 【变式探究】如图（3），若点是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，,,之间存在怎样的数量关系？并加以证明.
（3） 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图（4），是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足 ，若，的半径为10，求的长.
2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟预测押题练习卷参考答案
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A
10．【答案】A
11．【答案】丙
12．【答案】
13．【答案】①②④
14．【答案】1
15．【答案】72
16．【答案】
17．【答案】原式=
18．【答案】原式=，当，时，原式=-4．
19．
（1）证明：如图，连接，
，
，
点D是的中点，O是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
，
．
答：的度数为
（1）解：∵D是的中点，
∴，
∵的周长与四边形的周长相等，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，

∵，D是的中点，
∴，
∵平分，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴O点在线段的垂直平分线上；
②∵，即，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
(1)m=60,n=15,样本的众数为3分.
由题意得m=15÷25%=60,
∴a=60×30%=18,
∴b=60-12-18-15-6=9,
∴n%=×100%=15%,
∴n=15.
∵成绩为3分的学生人数最多,
∴样本的众数为3分.
(2)900×=450(人).
答:估计得分超过2分的学生人数为450.
（1）解：设每辆中型客车可以乘坐x人，每辆大型客车可以乘坐y人，
由题意得，，
解得，
答：每辆中型客车可以乘坐19人，每辆大型客车可以乘坐35人；
（2）解：设计划每天用中型客车m辆，则计划每天用大型客车辆，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为110，
答：计划每天至少可以用中型客车110辆．
（1）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为，
由题意可得：，解得：，
∵一个三角形的三边长都是整数，
∴该三角形最短边的最小值4；
（2）解：设，
由题意可得：，
解得：．
24．【答案】
（1） 【解】由阿基米德折弦定理可知，,，
，，
.
（2） .证明如下：
如图（1），在上取，连接,,,.
图（1）
点是中点，
，,
.
在和中，
，
，.
，，
，即.
（3） 是的直径，
的半径为10，
， 由勾股定理得，
.
①当点在上方时，如图（2），过点作于点，连接,.
图（2）
，
， ，
， ，
，即点是的中点，
,，
，.
②当点在下方时，如图（3），过点作于点.
图（3）
， ，
，
，即点是的中点.
同（2）可得，，
，
.
综上可知，的长为或.
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2026届湖南中考数学押题卷 第 page number 页，共 number of pages 页2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟冲刺练习卷8
班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[3分]64的算术平方根是（ ）
A．4 B． C．8 D．
3．[3分]如图，四边形中，连接，已知，则添加下列条件，还不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
4．[3分]一组数7、9、，若将每个数都加，下列不会改变的量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
5．[3分]如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）

A． B． C． D．
6．[3分]若关于，的方程组的解满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．[3分]如果把分式中的和都扩大倍，即分式的值（ ）
A．扩大倍 B．扩大倍 C．不变 D．缩小倍
8．[3分]下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．[3分]如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．[3分]如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，C；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线，过点E分别作交于点G，于点F．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]若圆锥的母线长为3，底面半径是1．则这个圆锥侧面展开图的圆心角是______度．
12．[3分]如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ．
13．[3分]在中，于点D，若，则的周长是 ．
14．[3分]武义唐风温泉、永康香樟公园、磐安百丈潭近似地在一条直线上，香樟公园大致位于唐风温泉和百丈潭的黄金分割点上，并且距离唐风温泉更近．已知唐风温泉到百丈潭的直线距离为54千米，则香樟公园到百丈潭的直线距离为_______千米（结果保留根号）．
15．[3分]已知函数的图象如图所示，若直线与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为______．

16．[3分]如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论：①∠DOE＝90°；②∠COE与∠AOE互补；③若OC平分∠BOD，则∠AOE＝150°；④∠BOE的余角可表示为．其中正确的是 ．（只填序号）
三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]计算： ．
18．[6分]已知与 是同类项，先化简，再求值．
19．[8分]如图所示，已知，，，求证：．
∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）.
∵（已知），
∴______180°（ ），
∴（ ），
∴（ ）.
∵（已知），
∴，
∴（ ）.
20．[8分]如图，为的角平分线，点E、F、G分别在的边，，上，连接，，，．
（1）求证∶；
（2）若，， 求的度数．
21．[10分]汗水挥洒赛场，激情点燃初冬．“和平杯”2025年长郡教育集团教职工篮球赛如期举行．某校为比赛做准备，在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球共花费了480元，购买B品牌篮球共花费了1120元，且购买B品牌篮球数量是购买A品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元．
（1）购买一个A品牌篮球、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）为将这一运动拼搏精神传递给学生，该校继续组织学生篮球赛，学校决定再次购进A，B两种品牌篮球共40个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过5076元，那么该校此次最多可购买多少个A品牌篮球？
22．[10分]某居民小区有块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米.
（1） 求长方形的周长.（结果化为最简二次根式）
（2） 除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
23．[12分]小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接．
（1）求的解析式；
（2）求扇形的半径及圆心角的度数；
（3）图中阴影部分面积之和：______________
24．[12分]如图（1），平面直角坐标系中， , ，直线 轴交 轴于点 ，点 在直线 , 之间（不在直线 , 上）.
图（1） 图（2）
（1） 连接 , ， , ，求 的度数.
（2） 若 ，在 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图（2），点 在射线 上运动， 为 轴上点 右侧的一点，连接 , , , ，若 始终平分 ，且 , ，则 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.
参考答案
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】B
11．【答案】120
12．【答案】40°/40度
13．【答案】20
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】①②③④
17．【答案】
18．【答案】，
19．如图所示，已知，，，求证：．
∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）.
∵（已知），
∴，
∴（垂直的定义）.
20．（1）证明：∵，
，
又，
，
∴；
（2）解：是的一个外角，
，
又，，
，
，
∵，
，
平分，
，
，
．
21．（1）解：设购买一个A品牌篮球需x元，则购买一个B品牌篮球需元．
根据题意可列方程：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
则（元），
答：购买一个A品牌篮球需120元，购买一个B品牌篮球需140元．
（2）解：设该校此次可购买m个A品牌篮球，则购买B品牌篮球个．
调整后A品牌篮球的单价为（元），
B品牌篮球的单价为（元），
根据题意可列不等式：，
解得：，
22．
（1） 【解】（米）.
答：长方形的周长为米.
（2） （平方米），（元）.
答：购买地砖需要花费336元.
23．（1）解：将代入中，
得，
解得：，
∴；
（2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图：
，
，
，
扇形的半径为2；
，
，
，
由菱形的性质知：，
，
扇形的圆心角的度数为；
（3）解：，
，
，
如下图：令、的交点为，
由菱形知，，
，
，
．
24．
（1） 【解】如图（1），过点 作 ，
.
， ，
，
，
，
.
图（1）
（2） 存在 , ， .
，
.设 .
过点 作 轴，过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交 于点 .
当点 在 轴正半轴上时，如图（2）.
图（2）
，
，
解得 .
当点 在 轴负半轴上时，如图（3）.
，
，
解得 .
点坐标为 或 .
图（3）
（3） 的值不会变化.
设 ， ， ，则 ， , .
始终平分 ，
.
，
，
，即 .
由（1）可知， ，
，即 ，
.
，
，
，
的值不会变化，其值为 .
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