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12.9
1．如图，已知矩形，，E为延长线上一点，连接交于点F．
(1)尺规作图：过点B作的垂线交于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，连接，若，求证：平分，为证明平分，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质和角平分线的定义使问题得到解决．（请根据小明的思路补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是矩形，
∴①______，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵②_______，
∴，
∵在矩形中，，
∴③_______，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③．
2．如图，在四边形中，，，．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点E；（保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图中，证明四边形是平行四边形，完成下列填空．
证明：∵．
∴① ．
∵．
∴．
∵平分．
∴② ．
∵．
∴③ ．
∵
∴．
∴④ ．
∵．
∴四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④
3．如图，D、E是的边上的点，连接，．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
(2)在（1）的条件下，若，求证：．请完善下面的证明过程：
证明：∵在中，180°，
在中，180°，
且，
∴______，
∵
∴______，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
，
______，
∴（______），
∴．
【答案】(1)见解析；
(2)；；；．
4．如图，在中，，于点．
(1)用尺规完成以下基本作图：在线段上截取，作线段交射线于点，作，交于点；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵，
∴___________
∵在和中，
∵，
∴（___________）
∴___________
∴在和中，
∵，
∴（___________）
∴．
【答案】(1)见详解
(2)，EF，HL，，，ASA
5．小量想利用平行四边形构造出一个菱形．他的思路如下：如图，在平行四边形中，，在上取一点，使得，再作的角平分线交于点，然后证明四边形是有一组邻边相等的平行四边形来得到菱形．按以上思路完成作图与填空：
证明：用直尺和圆规，在截取一点，使得，连接，再作的角平分线交于点，交于点，连接．（保留作图痕迹）
，平分，
是上的中线，
①，
在平行四边形中，
在和中有，
，
③，
，
四边形是平行四边形；
④，
平行四边形是菱形．
【答案】图见解析，，， ，
6．小明在学习的过程中，遇到了一个问题：在四边形中，，点是上一点，且平分，平分．求证：．
他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）．
，
．
又，
_____①_____．
平分，
_____②_____．
又_____③_____．
_____④_____．
．
同理可得_____⑤_____．
．
【答案】①；②；③；④；⑤
7．如图所示，菱形，连接．
(1)请用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，垂足为点，交于点，连接．（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)推理填空：在（1）的条件下，若，求的度数．
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴________，（ ）
，
∵垂直平分，
∴________，
∴________，（ ）
∴．
【答案】(1)图见解析
(2)；两直线平行，同旁内角互补；；；等边对等角
8．如图，在平行四边形ABCD中AD＞AB．
(1)尺规作图：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分线交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵DF平分∠ADC，
∴　 　
∵在平行四边形ABCD中，BCAD，
∴　 　
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵AE＝AB，
∴AE＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即 　 　
又∵　 　
∴四边形BEDF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
9．在学习矩形时，小南思考怎么在矩形里面剪出一个平行四边形，小南的思路是：连接，作的平分线，交于点F，作的平分线，交于点E，连接，，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明四边形是平行四边形．

(1)尺规作图：作的平分线，交于点E，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：四边形是平行四边形．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴ ，
∵，分别平分，，
∴，，
∴ ，
∴，
∴，
∵
∴ ．
∴，
∴四边形是平行四边形（ ）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
10．如图，在平行四边形中，．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程．
证明：∵四边形为平行四边形，∴且，
∵，∴，
∴________．
∴四边形是平行四边形，
∵，∴________．
∵平分，∴_______，
∴．
∴_______，∴四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)；；；
11．如图，对∠AOB进行以下操作：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，点D．
②分别以C，D两点为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P．
③作射线OP．
请解答下列问题：
(1)作线段OP的垂直平分线，分别交OA，OB于点E，点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，求证：OE＝OF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
12．如图，四边形ABCD是平行四边形，请用尺规完成基本作图：作∠BAD的角平分线，交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF，猜想BE与FE的数量关系，并证明你的猜想
【答案】作图见详解，BE=EF，理由见详解
13．如图，在菱形中，对角线、相交于点O．

(1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形为矩形．
证明：∵
∴ ①
∵四边形是菱形
∴，，
∴
∵
∴ ②
又∵
∴四边形为平行四边形
∴ ③
∴
∴ ④
∴
∴四边形为矩形．
【答案】(1)见解析
(2)①，②，③，④
14．如图，四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线；
(1)用尺规完成以下基本作图：作BD的垂直平分线与CD交于点E，与AB交于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）中所作的图形中，连接BE，求证：BD平分∠ABE．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴　 　
∴∠ABD＝∠CDB
∵EF垂直平分BD
∴　 　
∴∠BDE＝∠DBE
∴　 　
∴BD平分∠ABE
【答案】(1)见解析
(2)见解析
15．如图，在平行四边形中，平分交于．
(1)用尺规作图完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论，）
(2)根据（1）中作图，证明四边形是菱形，请你补全证明过程．
证明：四边形是平行四边形，
又平分
①
②
点在直线上
在和中
（ ）③
又
四边形是平行四边形
又
④
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④四边形是菱形
16．如图，四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线（∠ADC＞∠BCD＞∠BDC）；
(1)用尺规完成以下基本作图：在AB上取一点F，使∠FCD＝∠BDC，CF交BD于点E；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）中所作的图形中，求证：BD＝CF．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴①
∴∠ABD=∠CDB，②∠ =∠
∵∠FCD=∠BDC
∴③∠ =∠ ，CE=DE
∴EB=EF
∴④ + = +
∴BD=CF
【答案】(1)见解析
(2)见解析
17．如图，在中，．
(1)用尺规完成以下基本作图：在上截取，使，连接；作的平分线交于点F，交于点G．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：．（请补全下面证明过程）
证明：∵四边形在是平行四边形，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【答案】(1)见解析
(2)，，，
18．如图，直线，线段分别与直线、交于点、点，满足．
(1)使用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交线段于点，连接、、、保留作图痕迹，不写作法，不下结论)；
(2)求证：四边形为菱形(请补全下面的证明过程)，
证明： ，＿＿＿＿＿＿①，
垂直平分，
，，
＿＿＿＿＿＿②，＿＿＿＿＿＿③，，
，，四边形是 ＿＿＿＿＿＿④，
，四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)；；；平行四边形
19．已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CDON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；
③画射线OQ；
④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；
⑤画射线CD．
射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD=________．
∵OC=CD，
∴∠MOD=________．
∴∠NOD=∠CDO．
∴CDON（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）∠NOD；∠CDO；内错角相等，两直线平行
20．如图，在ABC中，，D为BC的中点，连接AD．
(1)请用尺规完成基本作图：作AD的垂直平分线EF交AD于点O，交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：四边形AEDF为菱形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证明：∵，D为BC中点
∴∠1=________①
∵EF为AD的垂直平分线
∴，
∴
∴ ②
∴
在△AEO和△DFO中
∴ ④
∴四边形AEDF为平行四边形
∵ ⑤
∴平行四边形AEDF为菱形．
【答案】(1)过程见解析
(2)过程见解析
21．如图，在中，已知．

(1)作的平分线交于点E，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)证明：四边形是菱形，根据已有证明过程完成填空．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴ ，
∵平分，
∴ ，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴ ，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵ ，
∴四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
22．如图，在平行四边形中，．

(1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程．
证明：∵四边形为平行四边形，∴且，
∵，∴，
∴________．
∴四边形是________，
∵，∴________．
∵平分，∴_______，
∴．
∴_______，∴四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
23．如图，中，．
(1)尺规作图：在斜边上找一点D，使，作的平分线，交于点E，连接；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：是直角三角形．
证明：∵平分，
∴ = ，
在和中，
，
∴，
∵，
∴_______，
∴，是直角三角形
【答案】(1)见解析
(2)；；；，；，
24．如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE．
(1)用尺规完成以下基本作图：作，使，CF与对角线BD交于点F，连接AF，CE．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)根据（1）中作图，求证：四边形AECF为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴，___________①___________
∴___________②___________
在与中
∵
∴
∴，___________③___________
∴
即
∴___________④___________
∴四边形AECF为平行四边形
【答案】(1)见详解
(2)，，，
25．如图，，平分．
(1)用尺规作图完成以下基本作图：作平分，分别交，于点E，O．连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论．）
(2)根据（1）中作图，证明四边形是菱形，请你补全证明过程．
证明：∵，
∴．
又∵平分，
∴①________，
∴，
∴②________，
同理：
∴③________，
又∵即，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是菱形．（④________）．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④邻边相等的平行四边形是菱形
26．如图，在中，于点．
(1)尺规作图：作的平分线交于点(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在（1）所作的图形中，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)11°
27．如图，已知，平分．

(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点G．连接，（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)若，求证：四边形是正方形．（请补全下面证明过程）
证明：垂直平分，
∴，①________．
∴，②________．
∵是的平分线，
∴③________．
∴（等量代换）
又∵，
∴④________（ASA）．
∴
∴四边形是⑤________．
又∵（已知）
∴四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)，，，，菱形.
28．图，在中，，O是的中点，点M在的延长线上．

(1)作的平分线，连接，并延长交于点D，连接；（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，完成四边形是平行四边形的证明过程．
证明：是的平分线
______①
，
______②
，
，
∥______③
是的中点，
______④
在和中，
______⑤
，
四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析；
(2)，，，，．
29．如图，已知正方形，点E为边上一点，连接．
(1)用尺规完成以下基本作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹）
①在边上截取线段，使，连接，与交于点G；
②过点A作的垂线，垂足为H；
(2)在（1）所作图形中，求证：，请补全下面的证明过程．
证明：
∵　 　，
，．
由（1）知，与中，
．
∴　 　．
∵，
．
是的一个外角，
∴　 　．
由（1）知，
．
∴　 　．
∴．
【答案】(1)见解析
(2)正方形为正方形，，，
30．已知四边形是平行四边形，．

(1)利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴ ① ，
∵平分，
∴
∴ ② ，
∴
又∵，
∴ ③ ，
又∵ ④ ，
∴四边形为平行四边形，
又∵ ⑤ ，
∴四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)；；；；
31．如图，在平行四边形中，连接对角线，过点B作于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AC的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问所作的图形中，连接，求证：四边形是平行四边形．
证明：
四边形是平行四边形，
__________．
．
．
_______________．
在和中：
_______________．
．
∴四边形是平行四边形．
【答案】(1)作图见解析
(2)
32．如图，菱形中，对角线、交于点，平分交于点．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线，交于．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接、．证明：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是菱形
∴，，，，．
∴， ① ，
∵平分， ② ，
∴，，
∴ ③
在与中，
∴，∴ ④
∴，∴
又∵ ⑤ ，∴四边形是平行四边形
又∵，∴四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)；平分；；；
33．已知：如图，线段、相交于点，，点是线段上一点．

(1)用直尺和圆规，以点为顶点，为一边，在线段下方作，使，边与的延长线相交于点．（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）
(2)在（1）的情况下，求证：（请完成以下证明过程）．
证明：
，
∴____________，
∴，
∵，
∴____________，
∴____________，
∴．
【答案】(1)作图见解析；
(2)，，．
34．如图，点C在线段上，，，．
(1)尺规作图：过点C作射线平分交于点F（保留作图痕迹，不写做法）
(2)在第（1）问的条件下，试探索与的位置关系，并说明理由：
证明：∵，
∴__ ____
在和中，，
∴
∴，
∵平分
∴_____④_____
【答案】(1)见解析
(2)；；；
35．尺规作图并完成证明．如图，点、点在外，连接、、，且，，．
(1)用尺规完成以下基本作图：
作的平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程．
证明：平分，
__________．
．
__________．
．
__________．
在和中，
．
__________．
【答案】(1)见解析
(2)；；；；
36．如图，在中，，，垂足为，点在的延长线上．
(1)尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)填空：在（1）的条件下，若，试说明．
，，
　 　，_______，
，
　 　，
又平分，
∴2_________=，
∴_________，
（并完成剩下证明过程）
【答案】(1)见解析
(2)，，，，，剩下证明过程见解析
37．如图，已知中，．
(1)请用基本的尺规作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使得，连接（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）：
(2)在（1）所作的图形中，探究线段与之间的数量关系．小明遇到这个问题时，给出了如下的解决思路，请根据小明的思路完成下面的填空．
解：，理由如下：
∵平分，
∴ ，
在与中，
，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴ ，
∵，
∴．
【答案】(1)图形见解答
(2)∠EAD，DB，∠C，BD
38．如图，点在线段上，，，，交于点.

(1)尺规作图：过点作线段的垂线交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：（请补全证明过程）.
证明：∵，
∴ ① .
在和中，
∴
∴， ② ，
∴，
∴，
∴，
∴ ③ ．
∵ ④ ，
∴．
【答案】(1)见解析
(2)；；；
39．如图，在中，是的角平分线，E为边上一点，连接．

(1)尺规作图：作线段使，交延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法及结论）
(2)在（1）问的条件下，若，，，求的度数．请补全下面解答过程．
解：∵（已知）
∴___①___（内错角相等，两直线平行）
∴（___②___）
∵（已知）
∴（等量代换）
∵是的角平分线（已知）
∴___③___（角平分线的定义）
∵（已知）
∴（_④_）
∴（两直线平行，同位角相等）
在中，∵（已知），（已证）
（___⑤___）．
∴（等式的性质）
【答案】(1)见解析
(2)；两直线平行，内错角相等；；同旁内角互补，两直线平行；三角形的内角和为
40．如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点E．
(1)请用尺规作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据图形证明四边形为平行四边形，请完成下面的填空．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴ ① （两直线平行，内错角相等），
又∵平分 ，平分，
∴ ② ， ③ ，
∴ ④ ，
∴∥ ⑤ ，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形（ ⑥ ）（填推理的依据）．
【答案】(1)见解析
(2)①②③④⑤⑥两组对边分别平行的四边形是平行四边形
41．如图，在四边形中，，连接，，且．
(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作的角平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)在（1）所作图形中，若，求证：四边形为矩形．
（补全证明过程）
证明：∵ ① ，
∴，
在和中，
∴
∴ ② ，
∵，平分，
∴ ③ ，且
∴，，
又∵
∴ ④ ．
∵，
∴平行四边形为矩形．
【答案】(1)见解析
(2)；；；四边形为平行四边形
42．如图，在中，点，点分别在，上，连接，，且，，

(1)尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点，交延长线于点（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
(2)在（1）问的条件下，连接，求证：．
请将下列证明过程补充完整．
证明：∵平分，
∴（①________）.
∵，，
∴②________，（等腰三角形三线合一），
∴直线是的垂直平分线，
∴③________（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等），
∴（等边对等角）．
∵，
∴④________（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
43．如图，已知矩形，为对角线，．
(1)用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线分别交线段，，于点Q，E，F，连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)若，求证：．（补全证明过程）
证明：∵四边形为矩形，
∴①__________度．
∵直线是线段的垂直平分线，
∴②_________，，．
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴③__________，
∴．
在利中，
∴．
【答案】(1)见解析；
(2)①90；②CE；③AB；④AB=CQ
44．在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究．她发现，平行四边形中，在边上截，连接，作的角平分线交于点，则．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规，在边上截，连接，作的角平分线，交于点（只保留作图痕迹）．
已知：如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点．求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴______，①
∵平分，
∴______，②
∴，
∴
∵，
∴______，③
∴______，④
∴
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴．
【答案】作图见解析；
45．如图，已知，平分．
(1)使用尺规完成基本作图：作的角平分线，交于，交于，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵平分
∴___________________________①
又∵
∴___________________________②
∴
∴
同理可得：___________________③
∴
又∵_________________________④
∴四边形为____________⑤
∵
∴四边形是菱形
【答案】(1)见详解
(2)①∠BAC=∠FAC，②∠BCA=∠FAC，③AB=AF，④，⑤平行四边形
46．如图，在中，的角平分线交于点D．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程．
证明：∵的角平分线交于点D，
∴______．
∵垂直平分，
∴，______，______，
∴，
∴，
∴______．
∴．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
47．如图，点在线段上，//，，．
(1)求作的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若的平分线交于点，试证明：.请将以下推导过程补充完整．
证明：∵AB//CE
在和中
（ ）
平分
__________
在和中
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
48．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：过点作的垂线，交于点，连接．
(2)猜想（1）中与的数量关系，完成下列证明：
∵是的垂直平分线，
∴ ① ．
∴ ② ．
∵，
∴．
∴ ③ ．
又∵在中，，
∴．
∴．
∴ ④ ．
又∵，
∴ ⑤ ．
【答案】(1)见解析
(2)BF=EF，理由见解析
49．如图，平行四边形中，平分交于点E．
(1)用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形，请完成下面的证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴①_________，
∴．
∵平分，
∴②_________，
∴，
∴．
同理可证，
∴③_________．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵④_________，
∴四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
50．如图，在四边形ABCD中，ADBC，连接AC，
(1)用尺规作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点F、E，交AC于点O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接AE、FC，证明：四边形AECF是菱形．（答案填写在答题对应标号位置）
证明：∵ADBC
∴①______．
又∵FE垂直平分AC，∴②______，
又∵∠AOF＝∠EOC，∴△AOF≌△EOC（ASA），
∴③______，
又∵④______．
∴四边形AECF是菱形．
【答案】(1)作图见解析
(2)；；；．
51．在学习三角形的过程中，亮亮遇到这样一个问题：如图，在中，，，把分成三个全等三角形，并说明理由．聪明的亮亮经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，得到两条相等线段，从而构造出全等三角形，使问题得到了解决．请根据亮亮的思路完成下面的作图并填空
解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）

∵垂直平分线段，
∴，．
在和中，∵，
∴．∴．
∵在中，，，
∴．
∴．
∴．
在和中，∵，
∴．
∴．
【答案】作图见解析，①；②；③；④60；⑤30；⑥
52．已知四边形为菱形，对角线相交于点O，射线；
(1)尺规作图：以为一边，在菱形外部作，射线交射线于点E，连接．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵，
∴ ① ，
又∵，即
∴四边形为 ② ，
又∵四边形为菱形，
∴ ③ ，
∴
∴ ④ ，
∴
【答案】(1)见解析
(2)①；②平行四边形；③；④四边形是矩形
53．如图，在中，，，垂足为点，点在的延长线上.
(1)尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)填空：在（1）的条件下，若，试说明.
证明：∵，，
∴ ① ， ② ，
∵，
∴ ③ ，
又∵平分，
∴2 ④ ，
∴ ⑤ ，
在和中，，
∴，
∴.
【答案】(1)作图见解析
(2)，，，，
54．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点．
(1)用直尺和圆规完成下面的作图，过点C作AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD：（只保留作图痕迹）
(2)求证：四边形OCFD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是菱形．
∴，
∴，
又∵，
∴
∴
∴
∴___________①___________，
∵E是CD中点，
∴___________②___________，
在△ODE和△FCE中，
∴，
∴___________③___________，
∵
∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵___________④___________，
∴四边形OCFD是矩形．
【答案】(1)图见详解
(2)，，，
55．如图，在直角中，．
(1)尺规作图：作的平分线，交AC于点，在AB上截取，连接DE（只保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，，求AC的长．请将以下推导过程补充完整．
解：∵BD平分，
∴______
在和中，
∴
∴，______．
∴．
在中，．
∴______．
∴．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
56．如图，已知中，．
(1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程：
证明：∵平分，∴___________．
在与中，，∴
∴___________，．
∵___________，且，
∴，∴，∴___________．
∵，∴．
【答案】(1)见解析
(2)，，，．
57．如图，在ABCD在中，AB(1)使用尺规完成基本作图：作∠BAD的角平分线交BC于点F，连接EF（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）：
(2)根据（1）中作图，求证：四边形ABFE为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAF＝∠DAF
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴∠AEB＝ ①
∴ ② ，
∴AB＝AE．
∵，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∴ ③
∵，
∴四边形ABFE是 ④
∵AB＝BE，
∴四边形ABFC是菱形．
【答案】(1)作图见解析
(2)①∠CBE；②∠ABE＝∠AEB；③AE＝BF；④平行四边形
58．如图，已知，平分交于点E．

(1)使用尺规完成基本作图：作的角平分线，交于点F，交于点G；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，连接，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵平分，∴①______，
又∵，∴②______，
∴，∴③______．
同理可得：④______，∴．
又∵⑤______，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)①，②，③，④，⑤
59．小明在学习八年级上册第七章《平行线的证明》的过程中，遇到如下图的一个图形，其中，，现要求自己添加一些线条，并探究其产生的几何结论．下列是小明的操作和猜想，请按照他的思路作图，并填空．
(1)用尺规作交的延长线与点，使得；
(2)求证：．
_____________①
．
，
_____________②．
又_____________③，
．
而，
，
_____________④，
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
60．尺规作图并完成证明．如图，点、点在外，连接、、，且，，．
(1)用尺规完成以下基本作图：
作的平分线交于点，连接
（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程．
证明： 平分，
______，
，
______
，
，
在和中，
，
．
（______）
【答案】(1)见解析
(2)，，，全等三角形对应边相等
61．学习了等腰三角形定义后，小明在探究等腰三角形两底角相等时，他的思路是：添加顶角的平分线AD，然后证明，从而得到两底角相等．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点A作∠BAC的平分线交BC于点D（只保留作图痕迹）．
在和中，
∵是等腰三角形，∴____________________．①
∵AD平分∠BAC，∴____________________．②
又____________________．③∴．∴____________________．④
【答案】图见解析，AB＝AC；∠BAD＝∠CAD；AD＝AD；∠B＝∠C
62．由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，珈跏的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．
证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹）

∵四边形是平行四边形，
∴①______
∴，
∵平分，
∴，
∴②______
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴③______，
∵，，
∴垂直平分，
∴④______，
，
∴四边形是菱形．
【答案】作图见解析；①；②；③；④
63．在学行四边形的相关知识后，小明对它的面积进行了研究，他发现，平行四边形的面积底高，可以通过三角形全等转换成矩形计算．请根据他的思路完成以下作图和填空：如图，四边形是平行四边形，垂直，垂足为．用直尺和圆规作图，过点作垂直，交的延长线于点．（只保留作图痕迹）
证明：四边形是平行四边形，
，______．
______．
垂直垂直，
．
四边形是平行四边形，，
．
四边形是平行四边形．
．四边形是______．
四边形是平行四边形，
______．
．
即平行四边形的面积底高．
【答案】见解析
64．如图，四边形是平行四边形，是对角线．
(1)尺规作图：过点B作于点E，再在上截取．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，猜想四边形的形状，将下面的推理过程补充完整．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，①
∴．
在和中，
∴（② ），
∴．
∴③
∴四边形是④ ．（⑤ ）（⑤填推理依据）
【答案】(1)见详解
(2)①②③④平行四边形⑤一组对边相等且平行的四边形是平行四边形
65．如图，在中，，D为上一点，E为外一点，，连接，连接交于，且平分．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点A作的垂线，垂足为M；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)求证：．请根据下列证明思路完成填空：
证明：∵，
∴．
∵平分，，，
∴ ．
∵，
∴．
在和中，
，
∴（ ）．
∴ ．
∵，
，
∴ ．
∴．
【答案】(1)见解析
(2)，，，
66．如图，在四边形中， 是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线分别交于点，．连接．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：垂直平分
①　　　　　，
②　　　　　
④　　　　　
四边形为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形）
在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤　　　　　．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④；⑤得到的四边形是菱形
67．在三角形中，，为边上的中线，小明想以为对角线，构造一个平行四边形，做了如下思考：过点B作的垂线，交的延长线于点E，连接，则四边形即为平行四边形．请你按小明的思路进行作图并证明：四边形即为平行四边形（用基本尺规作图，保留作图痕迹，不下结论）．
证明：为边上的中线
∴①
又
∴②
∴③
在与中
∴④
∴四边形ABEC为平行四边形
【答案】图见解析，；；；
68．如图，四边形是矩形，延长至点，点是边上一点，．

(1)尺规作图：在射线上截取，过点作的垂线交于点．（只保留作图痕迹）
(2)证明．将下面的过程补充完整．
证明：四边形是矩形
①______
于点
②______
又③______
（④______）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
69．如图，在中，平分交于点．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点作于点，交于点，连接；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)求证：，请根据下列证明思路完成填空：
证明：____________，
．
于点，
（____________）
在和中，
（____________）．
____________
是线段的垂直平分线
（____________）
【答案】(1)作图见解析
(2)平分；垂线的定义；；；垂直平分线的性质定理
70．如图，在中，的角平分线交于点D．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别与交于点E、点F、点H，连接；（保留清晰作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)在（1）所作的图形中，完成下面证明的过程．
证明：∵的角平分线交于点D，
∴ ．
∵垂直平分，
∴ ．
∴∠ ．
∴ ．
又∵，
∴ （）．
∴．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
71．如图，点C在线段上，交于点G．
(1)尺规作图：过点A作线段的垂线交于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：．
证明：∵，
∴
在和中，
∴
∴①　 　，
∵②　 　
∴
∴
∴③　 　
∵
∴．
【答案】(1)见解析
(2)．
72．如图，在四边形中，，．连接．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空．
证明：垂直平分，
______．
，
，
，，
（______），
，
______，
即，
，
，
，
四边形是______．
______．
四边形为菱形．
【答案】(1)图见详解
(2)，等角的余角相等，，平行四边形，
73．学习过程中，小胡发现：四边形是平行四边形，平分交于点，若过点作的垂线，交于点，交于点，连接，则必有四边形为菱形．为验证此规律的正确性，小胡思路是：在下图中，过点作的垂线，再通过证明全等得出结论．请完成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规在下图的基础上过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（只保留作图痕迹）
(2)求证：四边形为菱形请补全下列过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴ ① ，
∴ ② ，
∴．
∵，
∴
∴在和中，
∴（），
∴ ③ ．
∴．
又∵ ，
∴ ④
又∵，
∴四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)①∠；②；③；④四边形为平行四边形．
74．如图，在中，．

(1)尺规作图：作的平分线，交于点E；作线段的垂直平分线交于点F，交于点G；连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)在（1）的条件下，证明：．请完成下列证明的推理过程：
证明：∵是的垂直平分线，
∴，．
∵是的平分线，
∴①____________．
∵②____________，
∴．
在和中，
∴，
∴④____________，
∴．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④
75．如图，四边形为矩形．

（1）用尺规完成以下基本作图：在边上取点E，使得，连接，过点D作的垂线，垂足为点F；（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
（2）小林判断．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明平行线和角相等，从而可证全等，再等量代换，得到．请根据小林的思路完成下面的填空：
已知：如图，四边形为矩形，，于点F．求证：．
证明：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴ ①
又∵，
∴，
∴ ②
而 ③
由①、②、③，
∴．
∴．
而 ④ ，
∴．
【答案】（1）作图见解析；（2）填空见解析
76．如图，点C在线段上，，，，交于点G．
(1)尺规作图：过点A作线段的垂线交于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
(2)求证.
证明：∵
∴ ①
在和中，
∴
∴ ② ， ③
∵ ④
∴
∴
∴ ⑤
∵
∴．
【答案】(1)见解析
(2)；；；；
77．如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，且满足．

(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，垂足为点F（只保留作图痕迹）．
(2)在（1）所作的图形中，求证：．小育想到的思路是：由，可得到一组直角三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等使问题得到解决．请根据小育的思路完成下面的填空：
证明：∵四边形是矩形，
∴①________，，
∴，
∵，
∴②________，
∴．
在和中：
，
∴，
∴④________，
∵，，
∴⑤________．
∴，
即．
【答案】(1)见解析
(2)①，②，③，④，⑤
78．如图，在四边形中，于点．

(1)尺规作图：在边上截取，过点作对角线的垂线，交于点G．（要求：保留作图痕迹，不写做法）
(2)连接，证明．将下面的过程补充完整．
证明：（1）_______________，
四边形是平行四边形
，（2）_______________
（3）_______________
在和中
【答案】(1)见解析
(2)；；，
79．在中，，为边上一点．

(1)用尺规完成作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接；（注意：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)推理填空：若，求证：．
解：
　 　
又
　 　
，且　 　
　 　
垂直平分
　 　
．
【答案】(1)见解析
(2)，，，，
80．如图，在矩形中，平分交于点，连接．

(1)用尺规作图：过点F作的垂线，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)小明同学准备在（1）问所作的图形中，求证．他的证明思路是：利用矩形和角平分线的性质，证明三角形全等解决问题．请根据小明的思路完成下列填空．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵在中，
∴
∴
在和中
∴
∴
【答案】(1)见解析；
(2)①，②，③，④
81．如图，在中，；于点D，，且．

(1)用尺规完成以下基本作图：作，使，交于点H（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵
∴
∵在和中
∴
∴__________②
∵和中．
∴___________④
∴．
【答案】(1)见解析
(2)①EF；②；③；④
82．如图，在中，，平分交于点D．

(1)作的垂直平分线，分别交，，于点E，F，G．连接，．（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）
(2)求证：．（完成以下证明过程）
证明：∵，，
∴ ① ，，
∵平分，
∴．
在和中，
② ，
③ ，
，
∴．
∴ ④ ，
∴．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④
83．如图，在中，连接．

(1)用直尺和圆规过点B作的垂线，交线段的延长线于点E，连接，要求尺规作图（用基本工具作图，要保留作图痕迹，不写作法，不写结论）．
(2)若，求证：四边形为菱形．
证明：∵，
∴_________________，
∵在中，，
∴，
∴_________________，
∴，
∵，
∴_________________，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为 _________________，
∵，
∴四边形为菱形（__________________________________）．
【答案】(1)见解析
(2)，，，平行四边形，邻边相等的平行四边形为菱形
84．如图，在中，．

(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不用下结论）；
(2)在（1）的条件下，若平分，求证：．
证明：∵为的垂直平分线，∴，
又∵，∴，
又∵平分，∴________，
在与中：
∴（________）
∴________．
又∵为的垂直平分线，
∴________．
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
85．如图，在平行四边形中，连接对角线，过点作于点．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，连接，求证：四边形是平行四边形．
证明：
∵四边形是平行四边形，
∴ ，．
∴ ．
．
．

∴ ．
在和中：
．
∴ ．
，．
∴四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
86．在学习几何的过程中，小明遇到了一个问题：在梯形中，，点E是边的中点，且平分，探究线段之间的关系．他的思路是：首先过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的线段相等使得问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为F（只保留作图痕迹）．
∵，
∴．
又∵平分，
∴ ，
∵在和中，，
∴．
∴．
∵点E是边的中点，
∴，
∴ ．
∵在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴ ．
【答案】作图见解析，；；；
87．在学习正方形的过程中，小明发现一个规律：在正方形中，E为上任意一点，连接，若过点A的直线，交于点G，则必有．为了验证此规律的正确性，小明的思路是：先利用下图，过点A作出的垂线，再通过证全等得出结论．请根据小明的思路完成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规在下图的基础上过点A作BE的垂线，交于点F，交于点G．（只保留作图痕迹）
(2)证明：∵四边形是正方形
∴ ① ，
∴
∴ ②
∵
∴，
∴ ③
在和中
∴（ ⑥ ）
∴
【答案】(1)见解析
(2)①②③④⑤⑥
88．已知：如图，矩形中，点E是边上一点，且．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)求证：，请将下面证明过程补充完整：
证明：∵，
，
又∵在矩形中，，
∴　 ① 　；
∵在矩形中，，
∴　 ② 　；
又∵，
∴（　 ③ 　）．
∴　 ④ 　．
∵，
∴．
【答案】(1)见解析
(2)；；；.
89．如图，四边形为平行四边形，为对角线；

(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，与交于点O，与交于点E，与交于点F，连接（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴①，，
∴，
∵垂直平分，
∴②，，
在与中，
，
∴，
∴⑤，
∴，
∴．
【答案】(1)见解析
(2)①，②，③，④，⑤
90．如图，在中，，点在斜边上．

(1)尺规作图：过点作边的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）；
(2)若，连接，求证：（请补全下面的证明过程）．
证明：∵
∴________①
∴
∴________②
∴________③
∵
∴________④
∴．
【答案】(1)见解析
(2)①，②，③，④
91．最近，小明同学学习了定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形．”请验证小明同学的猜想．
已知：如图，在中，是边上的中线，且．
求证：为直角三角形．
证明：用直尺和圆规，作线段的垂直平分线交于点（保留作图痕迹），连接，则点是线段的中点，是的中线
∴ ①
又∵
∴
∵
∴ ②
∵
∴ ③
又∵
∴ ④
∵
∴ ⑤
∴为直角三角形
【答案】图见解析，①；②；③；④；⑤
92．如图，在中，平分交于点．

(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹）
(2)求证：，请根据下列证明思路完成填空：
证明：__________，
．
是线段的垂直平分线，
，
在和中，，
（___________），
_________________．
是线段的垂直平分线，
__________，
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
93．在学习了角平分线的性质后，小明想要去探究直角梯形的两底边与两非直角顶点所连腰的数量关系，于是他对其中一种特殊情况进行了探究：在直角梯形中，，平分交于点E，连接，当平分时，探究、与之间的数量关系．他的思路是：首先过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为点F．（只保留作图痕迹）
∵，
∴，
∵平分，，
∴　 　（角平分线的性质），
在和中，
∵，
∴．
∴　 　，
同理可得：，
∴　 　，
即．
【答案】作图见解析；，，，
94．如图，在中，，．

(1)尺规作图：作的垂直平分线，交于E，交于D，交BC于点O（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接、，求证：四边形是平行四边形．
证明：∵
∴___________①___________
∵垂直平分
∴___________②___________
在和中：
∴
∴___________④___________
又∵___________⑤___________
∴四边形是平行四边形
【答案】(1)见解析
(2)
95．在学习矩形的过程中，小靓遇到一个问题：在矩形中，F是边上一点，E是边的一点，平分，．求证：．她的思路是：连接，过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等使问题得到解决．请根据小舰的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为点G，连接（只保留作图痕迹）．
∵在矩形中，
∴．
∵，
∴，
∵平分．
∴．
∵______，
∴（HL），
∴______
∵，
∴．
∵，
∴______（HL）
∴______．
∵，
∴．
【答案】见详解
96．在学习正方形的过程中，小明遇到了一个问题：在正方形中，E是边上的一点，过点D作的垂线，分别交，于点G和点F．求证：．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，分别与、交于点G、F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴ ①
∴ ② ．
又∵，
∴ ③
在和中，
∴．
∴．
【答案】①②③④
97．在学习平行四边形的过程中，小明想利用如下条件构造出一个菱形：如图，在平行四边形中，为对角线，E为边上一点，连接，且，过点E作的垂线交于点F，垂足为O，连接，然后再利用三角形全等得到的结论去说明四边形是菱形，按以上思路完成下面的作图与填空．
(1)用直尺和圆规，过点E作AC的垂线（不写作法，只保留作图痕迹）；
(2)若过点E作AC的垂线分别交BC于点F，垂足为O，连接AF．
证明：四边形AECF是菱形．
∵四边形ABCD是平行是边形，
∴①______，
∴，，
∵，且EF是AC的垂线，
∴②______，
在与中，
∴，
∴③______且，
∴④______，
又∵，
∴四边形AECF是菱形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
98．学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴ ① ．
∵垂直平分，
∴ ② ．
又___________③ ．
∴．
∴．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．
【答案】作图：见解析；；；；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分
99．如图，矩形的对角线、交于点，于．

(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为，连接、保留作图痕迹，不写作法，不写结论．
(2)补全推理过程：
在矩形中
，，
______ ，
，
，，
即：______ ，
______ ；
在和中，
，
______ ，
四边形为平行四边形______
【答案】(1)见解析
(2)见解析
100．如图，四边形是平行四边形，是对角线．
(1)用尺规作图完成以下基本作图：作的垂直平分线．分别交，，于点，，．（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)解：四边形为菱形，证明如下：
四形边是平行四边形，
，
．
，
，，．
在与中，．
．
_________，
，
四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)；为的垂直平分线；；1．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图，已知矩形，，E为延长线上一点，连接交于点F．
(1)尺规作图：过点B作的垂线交于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，连接，若，求证：平分，为证明平分，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质和角平分线的定义使问题得到解决．（请根据小明的思路补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是矩形，
∴①______，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵②_______，
∴，
∵在矩形中，，
∴③_______，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
2．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在四边形中，，，．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点E；（保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图中，证明四边形是平行四边形，完成下列填空．
证明：∵．
∴① ．
∵．
∴．
∵平分．
∴② ．
∵．
∴③ ．
∵
∴．
∴④ ．
∵．
∴四边形是平行四边形．
3．（2022上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，D、E是的边上的点，连接，．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
(2)在（1）的条件下，若，求证：．请完善下面的证明过程：
证明：∵在中，180°，
在中，180°，
且，
∴______，
∵
∴______，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
，
______，
∴（______），
∴．
4．（2022上·重庆巴南·八年级校考期中）如图，在中，，于点．
(1)用尺规完成以下基本作图：在线段上截取，作线段交射线于点，作，交于点；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵，
∴___________
∵在和中，
∵，
∴（___________）
∴___________
∴在和中，
∵，
∴（___________）
∴．
5．（2023上·重庆江津·九年级校联考阶段练习）小量想利用平行四边形构造出一个菱形．他的思路如下：如图，在平行四边形中，，在上取一点，使得，再作的角平分线交于点，然后证明四边形是有一组邻边相等的平行四边形来得到菱形．按以上思路完成作图与填空：
证明：用直尺和圆规，在截取一点，使得，连接，再作的角平分线交于点，交于点，连接．（保留作图痕迹）
，平分，
是上的中线，
①，
在平行四边形中，
在和中有，
，
③，
，
四边形是平行四边形；
④，
平行四边形是菱形．
6．（2023·重庆沙坪坝·统考一模）小明在学习的过程中，遇到了一个问题：在四边形中，，点是上一点，且平分，平分．求证：．
他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）．
，
．
又，
_____①_____．
平分，
_____②_____．
又_____③_____．
_____④_____．
．
同理可得_____⑤_____．
．
7．（2022上·重庆大渡口·九年级校考期中）如图所示，菱形，连接．
(1)请用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，垂足为点，交于点，连接．（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)推理填空：在（1）的条件下，若，求的度数．
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴________，（ ）
，
∵垂直平分，
∴________，
∴________，（ ）
∴．
8．（2022·重庆·重庆八中校考一模）如图，在平行四边形ABCD中AD＞AB．
(1)尺规作图：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分线交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵DF平分∠ADC，
∴　 　
∵在平行四边形ABCD中，BCAD，
∴　 　
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵AE＝AB，
∴AE＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即 　 　
又∵　 　
∴四边形BEDF是平行四边形．
9．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）在学习矩形时，小南思考怎么在矩形里面剪出一个平行四边形，小南的思路是：连接，作的平分线，交于点F，作的平分线，交于点E，连接，，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明四边形是平行四边形．

(1)尺规作图：作的平分线，交于点E，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：四边形是平行四边形．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴ ，
∵，分别平分，，
∴，，
∴ ，
∴，
∴，
∵
∴ ．
∴，
∴四边形是平行四边形（ ）．
10．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平行四边形中，．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程．
证明：∵四边形为平行四边形，∴且，
∵，∴，
∴________．
∴四边形是平行四边形，
∵，∴________．
∵平分，∴_______，
∴．
∴_______，∴四边形是菱形．
11．（2022·重庆长寿·统考模拟预测）如图，对∠AOB进行以下操作：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，点D．
②分别以C，D两点为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P．
③作射线OP．
请解答下列问题：
(1)作线段OP的垂直平分线，分别交OA，OB于点E，点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，求证：OE＝OF．
12．（2021上·重庆垫江·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，请用尺规完成基本作图：作∠BAD的角平分线，交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF，猜想BE与FE的数量关系，并证明你的猜想
13．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，在菱形中，对角线、相交于点O．

(1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形为矩形．
证明：∵
∴ ①
∵四边形是菱形
∴，，
∴
∵
∴ ②
又∵
∴四边形为平行四边形
∴ ③
∴
∴ ④
∴
∴四边形为矩形．
14．（2022·重庆·重庆市育才中学校考一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线；
(1)用尺规完成以下基本作图：作BD的垂直平分线与CD交于点E，与AB交于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）中所作的图形中，连接BE，求证：BD平分∠ABE．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴　 　
∴∠ABD＝∠CDB
∵EF垂直平分BD
∴　 　
∴∠BDE＝∠DBE
∴　 　
∴BD平分∠ABE
15．（2023上·重庆南川·九年级校联考期中）如图，在平行四边形中，平分交于．
(1)用尺规作图完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论，）
(2)根据（1）中作图，证明四边形是菱形，请你补全证明过程．
证明：四边形是平行四边形，
又平分
①
②
点在直线上
在和中
（ ）③
又
四边形是平行四边形
又
④
16．（2022·重庆·校联考三模）如图，四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线（∠ADC＞∠BCD＞∠BDC）；
(1)用尺规完成以下基本作图：在AB上取一点F，使∠FCD＝∠BDC，CF交BD于点E；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）中所作的图形中，求证：BD＝CF．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴①
∴∠ABD=∠CDB，②∠ =∠
∵∠FCD=∠BDC
∴③∠ =∠ ，CE=DE
∴EB=EF
∴④ + = +
∴BD=CF
17．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在中，．
(1)用尺规完成以下基本作图：在上截取，使，连接；作的平分线交于点F，交于点G．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：．（请补全下面证明过程）
证明：∵四边形在是平行四边形，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
18．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）如图，直线，线段分别与直线、交于点、点，满足．
(1)使用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交线段于点，连接、、、保留作图痕迹，不写作法，不下结论)；
(2)求证：四边形为菱形(请补全下面的证明过程)，
证明： ，＿＿＿＿＿＿①，
垂直平分，
，，
＿＿＿＿＿＿②，＿＿＿＿＿＿③，，
，，四边形是 ＿＿＿＿＿＿④，
，四边形是菱形．
19．（2021·北京东城·统考二模）已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CDON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；
③画射线OQ；
④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；
⑤画射线CD．
射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD=________．
∵OC=CD，
∴∠MOD=________．
∴∠NOD=∠CDO．
∴CDON（ ）（填推理的依据）．
20．（2022下·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在ABC中，，D为BC的中点，连接AD．
(1)请用尺规完成基本作图：作AD的垂直平分线EF交AD于点O，交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：四边形AEDF为菱形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证明：∵，D为BC中点
∴∠1=________①
∵EF为AD的垂直平分线
∴，
∴
∴ ②
∴
在△AEO和△DFO中
∴ ④
∴四边形AEDF为平行四边形
∵ ⑤
∴平行四边形AEDF为菱形．
21．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在中，已知．

(1)作的平分线交于点E，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)证明：四边形是菱形，根据已有证明过程完成填空．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴ ，
∵平分，
∴ ，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴ ，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵ ，
∴四边形是菱形．
22．（2023下·重庆开州·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，．

(1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程．
证明：∵四边形为平行四边形，∴且，
∵，∴，
∴________．
∴四边形是________，
∵，∴________．
∵平分，∴_______，
∴．
∴_______，∴四边形是菱形．
23．（2023上·重庆巴南·八年级巴南中学校校联考阶段练习）如图，中，．
(1)尺规作图：在斜边上找一点D，使，作的平分线，交于点E，连接；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：是直角三角形．
证明：∵平分，
∴ = ，
在和中，
，
∴，
∵，
∴_______，
∴，是直角三角形
24．（2022上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE．
(1)用尺规完成以下基本作图：作，使，CF与对角线BD交于点F，连接AF，CE．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)根据（1）中作图，求证：四边形AECF为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴，___________①___________
∴___________②___________
在与中
∵
∴
∴，___________③___________
∴
即
∴___________④___________
∴四边形AECF为平行四边形
25．（2023上·重庆潼南·九年级校联考期中）如图，，平分．
(1)用尺规作图完成以下基本作图：作平分，分别交，于点E，O．连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论．）
(2)根据（1）中作图，证明四边形是菱形，请你补全证明过程．
证明：∵，
∴．
又∵平分，
∴①________，
∴，
∴②________，
同理：
∴③________，
又∵即，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是菱形．（④________）．
26．（2021上·重庆渝北·八年级校考期中）如图，在中，于点．
(1)尺规作图：作的平分线交于点(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在（1）所作的图形中，求的度数．
27．（2023上·重庆江津·九年级重庆市江津中学校校考阶段练习）如图，已知，平分．

(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点G．连接，（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)若，求证：四边形是正方形．（请补全下面证明过程）
证明：垂直平分，
∴，①________．
∴，②________．
∵是的平分线，
∴③________．
∴（等量代换）
又∵，
∴④________（ASA）．
∴
∴四边形是⑤________．
又∵（已知）
∴四边形是正方形．
28．（2023上·重庆·九年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）图，在中，，O是的中点，点M在的延长线上．

(1)作的平分线，连接，并延长交于点D，连接；（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，完成四边形是平行四边形的证明过程．
证明：是的平分线
______①
，
______②
，
，
∥______③
是的中点，
______④
在和中，
______⑤
，
四边形是平行四边形．
29．（2022上·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，已知正方形，点E为边上一点，连接．
(1)用尺规完成以下基本作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹）
①在边上截取线段，使，连接，与交于点G；
②过点A作的垂线，垂足为H；
(2)在（1）所作图形中，求证：，请补全下面的证明过程．
证明：
∵　 　，
，．
由（1）知，与中，
．
∴　 　．
∵，
．
是的一个外角，
∴　 　．
由（1）知，
．
∴　 　．
∴．
30．（2023下·重庆开州·八年级统考期末）已知四边形是平行四边形，．

(1)利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴ ① ，
∵平分，
∴
∴ ② ，
∴
又∵，
∴ ③ ，
又∵ ④ ，
∴四边形为平行四边形，
又∵ ⑤ ，
∴四边形是菱形．
31．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，连接对角线，过点B作于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AC的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问所作的图形中，连接，求证：四边形是平行四边形．
证明：
四边形是平行四边形，
__________．
．
．
_______________．
在和中：
_______________．
．
∴四边形是平行四边形．
32．（2023下·重庆·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）如图，菱形中，对角线、交于点，平分交于点．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线，交于．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接、．证明：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是菱形
∴，，，，．
∴， ① ，
∵平分， ② ，
∴，，
∴ ③
在与中，
∴，∴ ④
∴，∴
又∵ ⑤ ，∴四边形是平行四边形
又∵，∴四边形是菱形．
33．（2023上·重庆·八年级校联考期中）已知：如图，线段、相交于点，，点是线段上一点．

(1)用直尺和圆规，以点为顶点，为一边，在线段下方作，使，边与的延长线相交于点．（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）
(2)在（1）的情况下，求证：（请完成以下证明过程）．
证明：
，
∴____________，
∴，
∵，
∴____________，
∴____________，
∴．
34．（2023上·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图，点C在线段上，，，．
(1)尺规作图：过点C作射线平分交于点F（保留作图痕迹，不写做法）
(2)在第（1）问的条件下，试探索与的位置关系，并说明理由：
证明：∵，
∴__ ____
在和中，，
∴
∴，
∵平分
∴_____④_____
35．（2022上·重庆·八年级校考期中）尺规作图并完成证明．如图，点、点在外，连接、、，且，，．
(1)用尺规完成以下基本作图：
作的平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程．
证明：平分，
__________．
．
__________．
．
__________．
在和中，
．
__________．
36．（2022下·重庆大渡口·八年级校考期中）如图，在中，，，垂足为，点在的延长线上．
(1)尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)填空：在（1）的条件下，若，试说明．
，，
　 　，_______，
，
　 　，
又平分，
∴2_________=，
∴_________，
（并完成剩下证明过程）
37．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，已知中，．
(1)请用基本的尺规作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使得，连接（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）：
(2)在（1）所作的图形中，探究线段与之间的数量关系．小明遇到这个问题时，给出了如下的解决思路，请根据小明的思路完成下面的填空．
解：，理由如下：
∵平分，
∴ ，
在与中，
，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴ ，
∵，
∴．
38．（2023下·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，点在线段上，，，，交于点.

(1)尺规作图：过点作线段的垂线交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：（请补全证明过程）.
证明：∵，
∴ ① .
在和中，
∴
∴， ② ，
∴，
∴，
∴，
∴ ③ ．
∵ ④ ，
∴．
39．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）如图，在中，是的角平分线，E为边上一点，连接．

(1)尺规作图：作线段使，交延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法及结论）
(2)在（1）问的条件下，若，，，求的度数．请补全下面解答过程．
解：∵（已知）
∴___①___（内错角相等，两直线平行）
∴（___②___）
∵（已知）
∴（等量代换）
∵是的角平分线（已知）
∴___③___（角平分线的定义）
∵（已知）
∴（_④_）
∴（两直线平行，同位角相等）
在中，∵（已知），（已证）
（___⑤___）．
∴（等式的性质）
40．（2023·重庆九龙坡·统考二模）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点E．
(1)请用尺规作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据图形证明四边形为平行四边形，请完成下面的填空．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴ ① （两直线平行，内错角相等），
又∵平分 ，平分，
∴ ② ， ③ ，
∴ ④ ，
∴∥ ⑤ ，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形（ ⑥ ）（填推理的依据）．
41．（2022上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图，在四边形中，，连接，，且．
(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作的角平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)在（1）所作图形中，若，求证：四边形为矩形．
（补全证明过程）
证明：∵ ① ，
∴，
在和中，
∴
∴ ② ，
∵，平分，
∴ ③ ，且
∴，，
又∵
∴ ④ ．
∵，
∴平行四边形为矩形．
42．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在中，点，点分别在，上，连接，，且，，

(1)尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点，交延长线于点（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
(2)在（1）问的条件下，连接，求证：．
请将下列证明过程补充完整．
证明：∵平分，
∴（①________）.
∵，，
∴②________，（等腰三角形三线合一），
∴直线是的垂直平分线，
∴③________（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等），
∴（等边对等角）．
∵，
∴④________（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
43．（2022下·重庆·九年级重庆南开中学校考期中）如图，已知矩形，为对角线，．
(1)用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线分别交线段，，于点Q，E，F，连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)若，求证：．（补全证明过程）
证明：∵四边形为矩形，
∴①__________度．
∵直线是线段的垂直平分线，
∴②_________，，．
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴③__________，
∴．
在利中，
∴．
44．（2023上·重庆·九年级重庆一中校考期中）在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究．她发现，平行四边形中，在边上截，连接，作的角平分线交于点，则．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规，在边上截，连接，作的角平分线，交于点（只保留作图痕迹）．
已知：如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点．求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴______，①
∵平分，
∴______，②
∴，
∴
∵，
∴______，③
∴______，④
∴
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴．
45．（2022下·重庆合川·八年级校考期中）如图，已知，平分．
(1)使用尺规完成基本作图：作的角平分线，交于，交于，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵平分
∴___________________________①
又∵
∴___________________________②
∴
∴
同理可得：___________________③
∴
又∵_________________________④
∴四边形为____________⑤
∵
∴四边形是菱形
46．（2023上·重庆·八年级校考期中）如图，在中，的角平分线交于点D．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程．
证明：∵的角平分线交于点D，
∴______．
∵垂直平分，
∴，______，______，
∴，
∴，
∴______．
∴．
47．（2022下·重庆·七年级四川外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，点在线段上，//，，．
(1)求作的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若的平分线交于点，试证明：.请将以下推导过程补充完整．
证明：∵AB//CE
在和中
（ ）
平分
__________
在和中
．
48．（2022下·重庆·八年级重庆第二外国语学校校考期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：过点作的垂线，交于点，连接．
(2)猜想（1）中与的数量关系，完成下列证明：
∵是的垂直平分线，
∴ ① ．
∴ ② ．
∵，
∴．
∴ ③ ．
又∵在中，，
∴．
∴．
∴ ④ ．
又∵，
∴ ⑤ ．
49．（2023下·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，平行四边形中，平分交于点E．
(1)用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形，请完成下面的证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴①_________，
∴．
∵平分，
∴②_________，
∴，
∴．
同理可证，
∴③_________．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵④_________，
∴四边形是菱形．
50．（2022·重庆·重庆实验外国语学校校考一模）如图，在四边形ABCD中，ADBC，连接AC，
(1)用尺规作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点F、E，交AC于点O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接AE、FC，证明：四边形AECF是菱形．（答案填写在答题对应标号位置）
证明：∵ADBC
∴①______．
又∵FE垂直平分AC，∴②______，
又∵∠AOF＝∠EOC，∴△AOF≌△EOC（ASA），
∴③______，
又∵④______．
∴四边形AECF是菱形．
51．（2023下·重庆南岸·八年级统考期末）在学习三角形的过程中，亮亮遇到这样一个问题：如图，在中，，，把分成三个全等三角形，并说明理由．聪明的亮亮经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，得到两条相等线段，从而构造出全等三角形，使问题得到了解决．请根据亮亮的思路完成下面的作图并填空
解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）

∵垂直平分线段，
∴，．
在和中，∵，
∴．∴．
∵在中，，，
∴．
∴．
∴．
在和中，∵，
∴．
∴．
52．（2023下·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）已知四边形为菱形，对角线相交于点O，射线；
(1)尺规作图：以为一边，在菱形外部作，射线交射线于点E，连接．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵，
∴ ① ，
又∵，即
∴四边形为 ② ，
又∵四边形为菱形，
∴ ③ ，
∴
∴ ④ ，
∴
53．（2022上·重庆·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）如图，在中，，，垂足为点，点在的延长线上.
(1)尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)填空：在（1）的条件下，若，试说明.
证明：∵，，
∴ ① ， ② ，
∵，
∴ ③ ，
又∵平分，
∴2 ④ ，
∴ ⑤ ，
在和中，，
∴，
∴.
54．（2022上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点．
(1)用直尺和圆规完成下面的作图，过点C作AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD：（只保留作图痕迹）
(2)求证：四边形OCFD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是菱形．
∴，
∴，
又∵，
∴
∴
∴
∴___________①___________，
∵E是CD中点，
∴___________②___________，
在△ODE和△FCE中，
∴，
∴___________③___________，
∵
∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵___________④___________，
∴四边形OCFD是矩形．
55．（2022上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在直角中，．
(1)尺规作图：作的平分线，交AC于点，在AB上截取，连接DE（只保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，，求AC的长．请将以下推导过程补充完整．
解：∵BD平分，
∴______
在和中，
∴
∴，______．
∴．
在中，．
∴______．
∴．
56．（2022上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考开学考试）如图，已知中，．
(1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程：
证明：∵平分，∴___________．
在与中，，∴
∴___________，．
∵___________，且，
∴，∴，∴___________．
∵，∴．
57．（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考三模）如图，在ABCD在中，AB(1)使用尺规完成基本作图：作∠BAD的角平分线交BC于点F，连接EF（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）：
(2)根据（1）中作图，求证：四边形ABFE为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAF＝∠DAF
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴∠AEB＝ ①
∴ ② ，
∴AB＝AE．
∵，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∴ ③
∵，
∴四边形ABFE是 ④
∵AB＝BE，
∴四边形ABFC是菱形．
58．（2023下·重庆秀山·八年级统考期末）如图，已知，平分交于点E．

(1)使用尺规完成基本作图：作的角平分线，交于点F，交于点G；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，连接，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵平分，∴①______，
又∵，∴②______，
∴，∴③______．
同理可得：④______，∴．
又∵⑤______，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
59．（2022上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）小明在学习八年级上册第七章《平行线的证明》的过程中，遇到如下图的一个图形，其中，，现要求自己添加一些线条，并探究其产生的几何结论．下列是小明的操作和猜想，请按照他的思路作图，并填空．
(1)用尺规作交的延长线与点，使得；
(2)求证：．
_____________①
．
，
_____________②．
又_____________③，
．
而，
，
_____________④，
．
60．（2023上·重庆江津·八年级校联考期中）尺规作图并完成证明．如图，点、点在外，连接、、，且，，．
(1)用尺规完成以下基本作图：
作的平分线交于点，连接
（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程．
证明： 平分，
______，
，
______
，
，
在和中，
，
．
（______）
61．（2022下·重庆大渡口·七年级统考期末）学习了等腰三角形定义后，小明在探究等腰三角形两底角相等时，他的思路是：添加顶角的平分线AD，然后证明，从而得到两底角相等．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点A作∠BAC的平分线交BC于点D（只保留作图痕迹）．
在和中，
∵是等腰三角形，∴____________________．①
∵AD平分∠BAC，∴____________________．②
又____________________．③∴．∴____________________．④
62．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，珈跏的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．
证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹）

∵四边形是平行四边形，
∴①______
∴，
∵平分，
∴，
∴②______
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴③______，
∵，，
∴垂直平分，
∴④______，
，
∴四边形是菱形．
63．（2023上·重庆·九年级校联考期中）在学行四边形的相关知识后，小明对它的面积进行了研究，他发现，平行四边形的面积底高，可以通过三角形全等转换成矩形计算．请根据他的思路完成以下作图和填空：如图，四边形是平行四边形，垂直，垂足为．用直尺和圆规作图，过点作垂直，交的延长线于点．（只保留作图痕迹）
证明：四边形是平行四边形，
，______．
______．
垂直垂直，
．
四边形是平行四边形，，
．
四边形是平行四边形．
．四边形是______．
四边形是平行四边形，
______．
．
即平行四边形的面积底高．
64．（2023上·重庆江北·九年级重庆十八中校考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，是对角线．
(1)尺规作图：过点B作于点E，再在上截取．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，猜想四边形的形状，将下面的推理过程补充完整．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，①
∴．
在和中，
∴（② ），
∴．
∴③
∴四边形是④ ．（⑤ ）（⑤填推理依据）
65．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在中，，D为上一点，E为外一点，，连接，连接交于，且平分．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点A作的垂线，垂足为M；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)求证：．请根据下列证明思路完成填空：
证明：∵，
∴．
∵平分，，，
∴ ．
∵，
∴．
在和中，
，
∴（ ）．
∴ ．
∵，
，
∴ ．
∴．
66．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在四边形中， 是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线分别交于点，．连接．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：垂直平分
①　　　　　，
②　　　　　
④　　　　　
四边形为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形）
在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤　　　　　．
67．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）在三角形中，，为边上的中线，小明想以为对角线，构造一个平行四边形，做了如下思考：过点B作的垂线，交的延长线于点E，连接，则四边形即为平行四边形．请你按小明的思路进行作图并证明：四边形即为平行四边形（用基本尺规作图，保留作图痕迹，不下结论）．
证明：为边上的中线
∴①
又
∴②
∴③
在与中
∴④
∴四边形ABEC为平行四边形
68．（2023上·重庆九龙坡·九年级四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）如图，四边形是矩形，延长至点，点是边上一点，．

(1)尺规作图：在射线上截取，过点作的垂线交于点．（只保留作图痕迹）
(2)证明．将下面的过程补充完整．
证明：四边形是矩形
①______
于点
②______
又③______
（④______）
69．（2023上·重庆开州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，平分交于点．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点作于点，交于点，连接；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)求证：，请根据下列证明思路完成填空：
证明：____________，
．
于点，
（____________）
在和中，
（____________）．
____________
是线段的垂直平分线
（____________）
70．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，在中，的角平分线交于点D．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别与交于点E、点F、点H，连接；（保留清晰作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)在（1）所作的图形中，完成下面证明的过程．
证明：∵的角平分线交于点D，
∴ ．
∵垂直平分，
∴ ．
∴∠ ．
∴ ．
又∵，
∴ （）．
∴．
71．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，点C在线段上，交于点G．
(1)尺规作图：过点A作线段的垂线交于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：．
证明：∵，
∴
在和中，
∴
∴①　 　，
∵②　 　
∴
∴
∴③　 　
∵
∴．
72．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在四边形中，，．连接．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空．
证明：垂直平分，
______．
，
，
，，
（______），
，
______，
即，
，
，
，
四边形是______．
______．
四边形为菱形．
73．（2023上·重庆沙坪坝·九年级统考期中）学习过程中，小胡发现：四边形是平行四边形，平分交于点，若过点作的垂线，交于点，交于点，连接，则必有四边形为菱形．为验证此规律的正确性，小胡思路是：在下图中，过点作的垂线，再通过证明全等得出结论．请完成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规在下图的基础上过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（只保留作图痕迹）
(2)求证：四边形为菱形请补全下列过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴ ① ，
∴ ② ，
∴．
∵，
∴
∴在和中，
∴（），
∴ ③ ．
∴．
又∵ ，
∴ ④
又∵，
∴四边形是菱形．
74．（2023上·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考阶段练习）如图，在中，．

(1)尺规作图：作的平分线，交于点E；作线段的垂直平分线交于点F，交于点G；连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)在（1）的条件下，证明：．请完成下列证明的推理过程：
证明：∵是的垂直平分线，
∴，．
∵是的平分线，
∴①____________．
∵②____________，
∴．
在和中，
∴，
∴④____________，
∴．
75．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考阶段练习）如图，四边形为矩形．

（1）用尺规完成以下基本作图：在边上取点E，使得，连接，过点D作的垂线，垂足为点F；（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
（2）小林判断．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明平行线和角相等，从而可证全等，再等量代换，得到．请根据小林的思路完成下面的填空：
已知：如图，四边形为矩形，，于点F．求证：．
证明：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴ ①
又∵，
∴，
∴ ②
而 ③
由①、②、③，
∴．
∴．
而 ④ ，
∴．
76．（2023上·重庆江北·八年级重庆十八中校考阶段练习）如图，点C在线段上，，，，交于点G．
(1)尺规作图：过点A作线段的垂线交于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
(2)求证.
证明：∵
∴ ①
在和中，
∴
∴ ② ， ③
∵ ④
∴
∴
∴ ⑤
∵
∴．
77．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，且满足．

(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，垂足为点F（只保留作图痕迹）．
(2)在（1）所作的图形中，求证：．小育想到的思路是：由，可得到一组直角三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等使问题得到解决．请根据小育的思路完成下面的填空：
证明：∵四边形是矩形，
∴①________，，
∴，
∵，
∴②________，
∴．
在和中：
，
∴，
∴④________，
∵，，
∴⑤________．
∴，
即．
78．（2023上·重庆九龙坡·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，于点．

(1)尺规作图：在边上截取，过点作对角线的垂线，交于点G．（要求：保留作图痕迹，不写做法）
(2)连接，证明．将下面的过程补充完整．
证明：（1）_______________，
四边形是平行四边形
，（2）_______________
（3）_______________
在和中
79．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考开学考试）在中，，为边上一点．

(1)用尺规完成作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接；（注意：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)推理填空：若，求证：．
解：
　 　
又
　 　
，且　 　
　 　
垂直平分
　 　
．
80．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）如图，在矩形中，平分交于点，连接．

(1)用尺规作图：过点F作的垂线，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)小明同学准备在（1）问所作的图形中，求证．他的证明思路是：利用矩形和角平分线的性质，证明三角形全等解决问题．请根据小明的思路完成下列填空．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵在中，
∴
∴
在和中
∴
∴
81．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在中，；于点D，，且．

(1)用尺规完成以下基本作图：作，使，交于点H（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵
∴
∵在和中
∴
∴__________②
∵和中．
∴___________④
∴．
82．（2023上·重庆万州·九年级统考期末）如图，在中，，平分交于点D．

(1)作的垂直平分线，分别交，，于点E，F，G．连接，．（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）
(2)求证：．（完成以下证明过程）
证明：∵，，
∴ ① ，，
∵平分，
∴．
在和中，
② ，
③ ，
，
∴．
∴ ④ ，
∴．
83．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在中，连接．

(1)用直尺和圆规过点B作的垂线，交线段的延长线于点E，连接，要求尺规作图（用基本工具作图，要保留作图痕迹，不写作法，不写结论）．
(2)若，求证：四边形为菱形．
证明：∵，
∴_________________，
∵在中，，
∴，
∴_________________，
∴，
∵，
∴_________________，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为 _________________，
∵，
∴四边形为菱形（__________________________________）．
84．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在中，．

(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不用下结论）；
(2)在（1）的条件下，若平分，求证：．
证明：∵为的垂直平分线，∴，
又∵，∴，
又∵平分，∴________，
在与中：
∴（________）
∴________．
又∵为的垂直平分线，
∴________．
．
85．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）如图，在平行四边形中，连接对角线，过点作于点．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，连接，求证：四边形是平行四边形．
证明：
∵四边形是平行四边形，
∴ ，．
∴ ．
．
．

∴ ．
在和中：
．
∴ ．
，．
∴四边形是平行四边形．
86．（2023下·重庆江北·九年级校考阶段练习）在学习几何的过程中，小明遇到了一个问题：在梯形中，，点E是边的中点，且平分，探究线段之间的关系．他的思路是：首先过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的线段相等使得问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为F（只保留作图痕迹）．
∵，
∴．
又∵平分，
∴ ，
∵在和中，，
∴．
∴．
∵点E是边的中点，
∴，
∴ ．
∵在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴ ．
87．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）在学习正方形的过程中，小明发现一个规律：在正方形中，E为上任意一点，连接，若过点A的直线，交于点G，则必有．为了验证此规律的正确性，小明的思路是：先利用下图，过点A作出的垂线，再通过证全等得出结论．请根据小明的思路完成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规在下图的基础上过点A作BE的垂线，交于点F，交于点G．（只保留作图痕迹）
(2)证明：∵四边形是正方形
∴ ① ，
∴
∴ ②
∵
∴，
∴ ③
在和中
∴（ ⑥ ）
∴
88．（2023·重庆巴南·统考一模）已知：如图，矩形中，点E是边上一点，且．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)求证：，请将下面证明过程补充完整：
证明：∵，
，
又∵在矩形中，，
∴　 ① 　；
∵在矩形中，，
∴　 ② 　；
又∵，
∴（　 ③ 　）．
∴　 ④ 　．
∵，
∴．
89．（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期中）如图，四边形为平行四边形，为对角线；

(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，与交于点O，与交于点E，与交于点F，连接（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴①，，
∴，
∵垂直平分，
∴②，，
在与中，
，
∴，
∴⑤，
∴，
∴．
90．（2023上·重庆开州·九年级统考期末）如图，在中，，点在斜边上．

(1)尺规作图：过点作边的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）；
(2)若，连接，求证：（请补全下面的证明过程）．
证明：∵
∴________①
∴
∴________②
∴________③
∵
∴________④
∴．
91．（2023下·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）最近，小明同学学习了定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形．”请验证小明同学的猜想．
已知：如图，在中，是边上的中线，且．
求证：为直角三角形．
证明：用直尺和圆规，作线段的垂直平分线交于点（保留作图痕迹），连接，则点是线段的中点，是的中线
∴ ①
又∵
∴
∵
∴ ②
∵
∴ ③
又∵
∴ ④
∵
∴ ⑤
∴为直角三角形
92．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，在中，平分交于点．

(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹）
(2)求证：，请根据下列证明思路完成填空：
证明：__________，
．
是线段的垂直平分线，
，
在和中，，
（___________），
_________________．
是线段的垂直平分线，
__________，
．
93．（2023下·重庆江津·八年级统考期末）在学习了角平分线的性质后，小明想要去探究直角梯形的两底边与两非直角顶点所连腰的数量关系，于是他对其中一种特殊情况进行了探究：在直角梯形中，，平分交于点E，连接，当平分时，探究、与之间的数量关系．他的思路是：首先过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为点F．（只保留作图痕迹）
∵，
∴，
∵平分，，
∴　 　（角平分线的性质），
在和中，
∵，
∴．
∴　 　，
同理可得：，
∴　 　，
即．
94．（2023下·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，在中，，．

(1)尺规作图：作的垂直平分线，交于E，交于D，交BC于点O（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接、，求证：四边形是平行四边形．
证明：∵
∴___________①___________
∵垂直平分
∴___________②___________
在和中：
∴
∴___________④___________
又∵___________⑤___________
∴四边形是平行四边形
95．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）在学习矩形的过程中，小靓遇到一个问题：在矩形中，F是边上一点，E是边的一点，平分，．求证：．她的思路是：连接，过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等使问题得到解决．请根据小舰的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为点G，连接（只保留作图痕迹）．
∵在矩形中，
∴．
∵，
∴，
∵平分．
∴．
∵______，
∴（HL），
∴______
∵，
∴．
∵，
∴______（HL）
∴______．
∵，
∴．
96．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考三模）在学习正方形的过程中，小明遇到了一个问题：在正方形中，E是边上的一点，过点D作的垂线，分别交，于点G和点F．求证：．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，分别与、交于点G、F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴ ①
∴ ② ．
又∵，
∴ ③
在和中，
∴．
∴．
97．（2023·重庆·西南大学附中校考三模）在学习平行四边形的过程中，小明想利用如下条件构造出一个菱形：如图，在平行四边形中，为对角线，E为边上一点，连接，且，过点E作的垂线交于点F，垂足为O，连接，然后再利用三角形全等得到的结论去说明四边形是菱形，按以上思路完成下面的作图与填空．
(1)用直尺和圆规，过点E作AC的垂线（不写作法，只保留作图痕迹）；
(2)若过点E作AC的垂线分别交BC于点F，垂足为O，连接AF．
证明：四边形AECF是菱形．
∵四边形ABCD是平行是边形，
∴①______，
∴，，
∵，且EF是AC的垂线，
∴②______，
在与中，
∴，
∴③______且，
∴④______，
又∵，
∴四边形AECF是菱形．
98．（2023·重庆·统考中考真题）学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴ ① ．
∵垂直平分，
∴ ② ．
又___________③ ．
∴．
∴．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．
99．（2023下·重庆江津·八年级校联考期中）如图，矩形的对角线、交于点，于．

(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为，连接、保留作图痕迹，不写作法，不写结论．
(2)补全推理过程：
在矩形中
，，
______ ，
，
，，
即：______ ，
______ ；
在和中，
，
______ ，
四边形为平行四边形______
100．（2023下·重庆丰都·八年级校考期中）如图，四边形是平行四边形，是对角线．
(1)用尺规作图完成以下基本作图：作的垂直平分线．分别交，，于点，，．（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)解：四边形为菱形，证明如下：
四形边是平行四边形，
，
．
，
，，．
在与中，．
．
_________，
，
四边形是菱形．

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