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42.数列与解析几何综合问题五种应用
1.数列与直线综合
2.数列与圆综合
3.数列与函数图像（抛物线）综合
4.数列与椭圆综合
5.数列与双曲线综合
★1.数列与直线综合
例 1．如图，直线 l1 : y kx 1 k

k 0,k
1
l : y 1 x 1 与 2 相交于点 P．直线 l1与 x 轴 2 2 2
交于点 P1，过点 P1作 x 轴的垂线交直线 l2于点Q1，过点Q1作 y 轴的垂线交直线 l1于点 P2，
过点 P2作 x 轴的垂线交直线 l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点
P1,Q1, P2 ,Q2 , ．点 Pn (n 1,2, ) 的横坐标构成数列 xn ．
1
（1）证明： xn 1 1 xn 1 ,n N ； 2k
（2）求数列 xn 的通项公式；
（3）比较2 PP 2 4k 2 PP 2n 与 1 5的大小．
解析：（1）由题意，可知 Pn与Qn的横坐标相同，Qn与 Pn 1的纵坐标相同，则点 Pn的横坐标
x x l : y 1 x 1 y 1 x 1 Q P 1 x 1为 n，将 n代入 2 ，解得 n ，则 n与 n 1的纵坐标为 n ，将其代2 2 2 2 2 2
入 l1 : y kx 1 k
1
，可得 x
1
n kx 1
1 1 1 1
n 1 k ， xn 1 k x2 2 2 2 n 1 1 ， xn k x2 2 n 1 1 ，
x 1 1故 n 1 x2k n 1 .
（2）由（1）中 xn 1 1
1
xn 1
1
，则数列 xn 1 是以 为公比的等比数列，对于直线2k 2k
l1 : y kx 1 k y 0 0 kx 1 k x
k 1 k 1
，令 ，可得 ，解得 k ，则点
P1的横坐标 x1 ， k
n 1
x 1 k 1 1
n 1

故数列 n 1 的通项公式为 xn 1 x1 1 ， xn 1 2k k 2k 1，故
n
x 2 1n

2k
1.

y kx 1 k
P k 1
x 1
（3）由（2）可得 1 ,0

，联立可得 1 1 ，解得 ，则 P 1,1 ，
k y x y 1 2 2
k 1 2 k 1 24k 2 PP 2 5 4k 2 1 1 2
2
即 1 k
5 4k 2 9， 2 PP1 2 1 1 1 k 2 ；
k
2
k
4k 2 PP 2 2 2 21 5 2 PP
2
1 4k
2 9 2 2 2
k 2 1 k 4k 2 7 ，令 f x 4x 2 7 ，易知函数k x
f x 为偶函数且在 0, 单调递增，令 f x 0，可得 4x2 2 2 7 0，则x
4 2 4x2 1 x2 2 0 1 x 1 ,0 0, 1 4x 7x 2 0 ， ，解得 x ，则当 2 2 时， f x 0 ， 2
x , 1 1 1 1当 ,

时， f x 0 2 2，即当 k ,0 0, 时， 4k 2 PP 5 2 PP ，
2 2 2 2 1 1
k 1 1
n
当 ,

, 时， 4k 2 PP
2 2 1
2 2 1
5 2 PP1 ，由（2）中得到的 xn 2 1，令
2k
1 n nyn k 2 1 1 k y
1
，解得
2k n
2k 1，则当 n 2时，
2k
n n
Pn 2
1
1, 2k
1
1 ，则
2k 2k
2n 2n 2n
2 PP 2n 2 4
1 2 1 1 2
2k
4k 2k
8 1 k , n 2 ，令
2k
1 2n 2 *
1
g n 8 1 k , n N ，当 k ,0 0,
1
2k
时，易知函数 g n 在 n N*是单调
2 2
2
递增的，则 n 2， g n g 1 ， g 1 1 2 8 2 2 2k 1 k 2 1 k ，即 k
2 1 12 PPn 2 PP
2
1 4k
2 PP 21 5；当 k , , 时，易知函数 g n 在 *是单调 2 2 n N
递减的，则 n 2， g n g 1 2，即 2 PPn 2 PP
2
1 4k
2 PP 21 5；综上，当
k 1 ,0 0,
1 2 PP 2 2 2
1 1
时，
2 2 n
4k PP1 5；当 k , 2
, 时，
2
2 PP 2 4k 2n PP
2
1 5 .
★2.数列与圆综合
例 2．设C1、C2、 、Cn、 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 x 轴的正半轴上，且都
3
与直线 y x 相切，对每一个正整数 n，圆Cn 都与圆Cn 1相互外切，以 rn 表示圆Cn 的半
3
径，已知 rn 为递增数列，若 r1 1，则数列 n rn 的前 n 项和为___________．
3 π
解析： y x 的倾斜角 ，设圆Cn 、Cn 1与直线6 y
3
x 的切点分别为 E、F ，连接
3 3
CnE,Cn 1F ，过Cn 作CnD Cn 1F ，垂足为D，则CnCn 1 rn 1 rn ,Cn 1D rn 1 rn
Cn 1D r∵ n 1
rn 1 r n 1，整理得 3，数列 rn 是以首项 r1 1，公比 q 3C C 的等比数列，n n 1 rn 1 rn 2 rn
r 1 3n 1 3n 1 ∴ n r n 3n 1即 n ， n ，设数列 n rn 的前 n 项和为 Sn ，则有：
S 1 30n 2 3
1 3 32 ... n 3n 1 3S 1 31 2 32 3 33 n， n ... n 3 ，两式相减得：
2S 30 31 32 ... 3n 1 n 3n 1 3
n 2n 1 3n 1 2n 1 3n 1
n n 3
n ，即 Sn 1 3 2 4
2n 1 3n 1
故答案为： ．
4
★3.数列与函数图像（抛物线）综合
例 3．如图，已知抛物线C：y2 4x的焦点为 F ，斜率为1的直线 l经过 F 且交C 于 A1、B1两
点（ A1在第一象限）.
（1）求 A1、B1的坐标与 A1B1 的长；
n n 3
（2）设 Pn , 2 ，如下构造 An、Bn ：直线 Pn 1Bn 1、Pn 1An 1分别与C 交于 Bn、An，
2
证明：
（ⅰ） Bn 的纵坐标 yn 是等差数列 yn ；
（ⅱ） n N*, AnBn 1 / / An 1Bn 2 .
x y 1, 2
解析：（1） 2 y
2 4y 4 0 y
y 4x ，即： y
4 32
且 x ，故
2 4
A1 3 2 2,2 2 2 ，
B1 3 2 2, 2 2 2 2， A1B1 1 1 3 2 2 3 2 2 2 4 2 8.
（2）（ⅰ）设 Pn an , 2
n n 3
，其中： a n ， Bn xn , yn ， B2 n 1
xn 1, yn 1 ，
l y y 2 n x a 2 y yn 2 y
2
P B ： a 2n n xn a
n ，联立可得， n ，化简得：
n xn an 4
yn 2 y2 2x y a y n n n 0 y y 2y
2
n 4ynan 2yn 4an
4 x a x a ，于是： n n 1 ，故
y
y 2 n 1

n n n n n yn 2
，
y 2yn 1 4an 1 y 2yn 4an 1 y 2yn 4a nn y ，所以 n 1
①， n 1 ②，①+②得：
n 1 2 yn 2 yn 2
4yn 4 ay n an 1 n 1 yn 1 ，要证： Bn 的纵坐标 yn 是等差数列 yn ，即证： yn 1 yn 1 2yn ， yn 2
4yn 4 an an 1 2y y2即证： n，即证： n 4yn 2n2 4n 2 0，即证：yn 2
4 16 4 2n2 4n 2
yn 2 2 n 1 ， 2
①当 n 1时： y1 2 2 2 成立；②假设 n k 时， yk 2 2 k 1 成立；
y 2yk 4ak 4 2 2k 2 2 2k
2 6k
③则当 n k 1时： k 1 2 2 k 2 y 成立， k 2 2 k 1
故： yn 2 2 n 1 为等差数列.
' ' ' '
（ⅱ）设： An xn , yn ， An 1 xn 1, yn 1 ， Bn 1 xn 1, yn 1 ， Bn 2 xn 2 , yn 2 ，于是：
k yn 1 y
'
n 4 4
AnB
k
n 1 x x '

y y '
， An 1Bn 2 ' ，同理可证 An 的纵坐标满足：
n 1 n n 1 n yn 1 yn 2
y 'n 2 2 n 1 ， y y ' ' ' 'n 2 n 1 2 ， yn 1 yn 2 ，下面证明： yn 1 yn yn 1 yn 2 ，即证：
y 'n 1 yn y
'
n 2 y
*
n 1 2 ，这显然成立，故 n N , AnBn 1 / / An 1Bn 2
★4.数列与椭圆综合
2
4 C : x2
y
例 ．已知一列椭圆 n b2
1,0 bn 1,n 1,2, ．若椭圆Cn 上有一点 Pn，使 Pn到右准
n
线 ln 的距离 dn 是 PnFn 与 PnGn 的等差中项，其中 Fn、Gn 分别是Cn 的左、右焦点．
1 b 3（ ）试证： n (n 1)． 2
2 b 2n 3（ ）取 n ，并用 Sn 表示△PnFnGn 的面积，试证： S1 S2 且 Sn Sn 1(n 3) ． n 2
2
解析：（1）由题意， a 1,c a2 b2 1 b2 ，准线 l
a 1
n n n n 的方程为 x ， c cn
根据椭圆的定义，有 PnF P G 2a 2
PnFn P， d n
Gn
n n n n 1， 2
1
设点 Pn xn , yn ，则有 xn 1，椭圆Cn 左顶点的坐标为 1,0 ，右顶点的坐标为 1,0c ， Pnn
1
在Cn 上， 1 xn 1 1 1 1 b
3
，即 1 b2 ，解得 n ；n 2
1 n 1 2
（2）由题意， FnG 2c x 1 b
2n 3 n 1
n n ， n c ， n ，
c 2n 1 b
2
n 2 ,c ，
n n 2 n n 2 n 2
1 1 2n 3 1 2 2 1 y 2n 3 n 2nc n 1， n bn 1 x
2
n 1
1 ，
n n 2 c n 1 n 2
1
1 2n2 3n 2 2 2n2 3n 2x2 3xSn FnGn y Sn 3 ，考察 n 3 ，构造函数 f x ， 2 n x 2
3
2 n 2 2
4x 3 x 2 3 3 2x2 3x x 2 2 2 x2 x 3
则有 f x ，当1 x 2 '时， f x 0，
x 2 6 x 2 4
S 2 S 2所以 1 2 , S1 S2 ；当 x 3
'
时， f x 0 ，所以S2n 在 n 3时单调递减，即 Sn Sn 1 .
★5.数列与双曲线综合
例 5．（2024 2 2年新高考 2 卷）已知双曲线C : x y m m 0 ，点 P1 5,4 在C 上， k 为常
数，0 k 1．按照如下方式依次构造点 Pn n 2,3,... ，过 Pn 1作斜率为 k 的直线与C 的左
支交于点Qn 1，令 Pn为Qn 1关于 y 轴的对称点，记 Pn的坐标为 xn , yn .
（1
1
）若k ，求 x2 , y2 ；
2
1 k
（2）证明：数列 xn yn 是公比为 的等比数列； 1 k
（3）设 Sn 为 PnPn 1Pn 2 的面积，证明：对任意的正整数 n， Sn Sn 1 .
解析：（1）
2 1 1由已知有m 5 42 9，故C 的方程为 x2 y2 9 .当k 时，过 P1 5,4 且斜率为2 2 的直
y x 3
2
线为 ，与 x2 y2 9 x2 x 3 联立得到
2 2
9 .解得 x 3或 x 5，所以该直线与C

的不同于 P1的交点为Q1 3,0 ，该点显然在C 的左支上.故P2 3,0 ，从而 x2 3， y2 0 .
（2）由于过 P x 2 2n n , yn 且斜率为 k 的直线为 y k x xn yn ，与 x y 9联立，得到方程
2
x2 k x xn yn 9 .展开即得 1 k 2 x2 2k yn kxn x yn kx 2n 9 0，由于
Pn xn , yn 已经是直线 y k x x 2 2n yn 和 x y 9的公共点，故方程必有一根 x xn .
2k y 2
从而根据韦达定理，另一根 x n
kxn x 2kyn xn k x2 n ，相应的1 k n 1 k 2
2
y k x x y y k y 2kx n n n n n2 .所以该直线与C 的不同于 Pn的交点为1 k

Q 2kyn x
2 2
n
k xn yn k yn 2kxn
n 2 , 2 ，而注意到Qn的横坐标亦可通过韦达定理表示为
1 k 1 k
yn kxn
2 9 2 2
，故Q P
xn k xn 2kyn , yn k yC . n
2kxn
一定在 的左支上 所以 .
1 k 2 x n n 1 n 1 k 2 1 k 2
x x k
2
n xn 2kyn y yn k
2 yn 2kx这就得到 ， nn 1 . 1 k 2 n 1 1 k 2
x k 2x 2ky y k 2 y 2kx
所以 xn 1 y n n n n n nn 1 1 k 2 1 k 2
x k 2n xn 2kxn yn k
2 yn 2kyn 1 k
2 2k
2 2 2 x y
1 k
n x1 k 1 k 1 k n 1 k n yn .
2 2 1 k
再由 x1 y1 9，就知道 x1 y1 0 ，所以数列 xn yn 是公比为 的等比数列. 1 k
x k 2x 2ky y k 2
（3 y 2kx）由于上一小问已经得到 x n n n n n nn 1 2 ， y1 k n 1
，
1 k 2
2
x y xn k xn 2kyn yn k
2 yn 2kx
2
故 n
1 k 2k 1 k
n 1 n 1 2 2 2 xn yn xn yn . 1 k 1 k 1 k 1 k
2
再由 x1 y
2
1 9，就知道 x1 y1 0，所以数列 xn y 1 kn 是公比为 k 的等比数列. 1
所以对任意的正整数m ，都有 xn yn m yn xn m
1
xn xn m yn yn m xn yn m yn xn m 1 xn xn m yn yn m xn yn m y x 2 2 n n m
1 1
xn yn xn m yn m xn yn xn m yn m 2 2
m m m1 1 k 1 1 k m 1 1 k 1 k
x y x y
x y x y x2 y2
2 1 k n n n n 2 n n n n
n n
1 k 2 1 k 1 k
9 1 k m m 1 k 9 1 k 1 k
2
.这就得到 xn 2 yn 3 yn 2xn 3 xn yn 1 y x1 k 1 k 2 1 k 1 k n n 1
，

2 2
以及 xn 1 y y x
9

1 k 1 k
n 3 n 1 n 3 xn yn 2 y x .两式相减，即得2 1 k 1 k
n n 2

xn 2 yn 3 yn 2xn 3 xn 1 yn 3 yn 1xn 3 xn yn 1 yn xn 1 xn yn 2 yn xn 2 .
移项得到 xn 2 yn 3 yn xn 2 xn 1 yn 3 yn xn 1 yn 2xn 3 xn yn 2 yn 1xn 3 xn yn 1 .

故 yn 3 yn xn 2 xn 1 yn 2 yn 1 xn 3 xn .而 PnPn 3 xn 3 xn , yn 3 yn ，

Pn 1Pn 2 xn 2 xn 1, yn 2 yn 1 .所以 PnPn S S 3 和 Pn 1Pn 2 平行，这就得到 PnPn 1Pn 2 Pn 1Pn 2Pn 3 ，
即 Sn Sn 1 .
例 6.（江苏省南通市 2026 届高三上期第二次质量检测）
x2 y2
已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0), F1( 2,0), F2 (2,0) 分别为左、右右点，点 A(2, 2)a b
在双曲线C 上．
（1）求双曲线的方程；
（2）如图，在双曲线的右支上任取一点 P0 x0 , y0 ，以 P0 为切点作双曲线右支的切线，交
两渐近线于 M 0 , N0 两点，过 M 0 , N0 两点分别作两渐近线的平行线交于点 P1，过 P1作直线
M 0N0 的平行线分别交两渐近线于M1, N1 两点，再过M1, N1 两点分别作两渐近线的平行线
交于点 P2 ，一直反复操作，可得 P1, P2 , P3 Pn ．
①证明：点O, P0 , P1, P2 , P3 , , Pn 在同一条直线上，并求该直线方程；
n
②记 Pi 1M N (i 1,2, ,n)
1 1 1 1
i i 的面积为 S1 ，记bn Si ，证明： ．
i 1 b1 b2 bn 3
x2 y2
解析：（1）双曲线的方程为： 1.
2 2
（2）①.切线 M 0N0 方程为 x0x y0 y 2, x
2
0 y
2
0 2 ，两条渐近线方程分别为 y x 和
x0x y0 y 2y x ，联立 x
2
, y 2 ，
y x
M0 x M00 y0 x0 y0
x0x y0 y 2 x 2 , y 2

M 2 2
2 2
, , N ,
y x
N0 x y N00 0 x0 y
0
0 x0 y x y

0 0 0 x0 y0 x0 y0

故M 0P
2 2 4
1方程： y x x ，
x0 y0 x0 y0 x0 y0
N P y x 40 1方程： ，两式联立可得： P 2x , 2y . x 1 0 00 y0

M N x x y y 4 M 4 , 4 , N 4 4

直线 1 1 方程为 0 0 1 , x y x y 1 x y x y
以此类
0 0 0 0 0 0 0 0
P 2n x , 2n y推可得 n 0 y0 ,n N, kOP 0 ,O, P0 , P y0i x 1, P2 , , Pn 在定直线 y x 上． 0 x0
2i 1 2i 1 i 1 i 1
②.由①知 M i , , N
2 , 2 , i N * ，∴直线 M N 方程为：
x0 y0 x0 y
i x y i i0 0 0 x0 y0
x0x y
i 1 i 1 i 1
0 y 2 , Pi 1 2 x0 , 2 y0 到直线M i Ni 的距离
2i 1 x2 i 1 2 i 1
d 0
2 y0 2 2i ，于是可得：
x2 y2 x2 20 0 0 y0
2
x 2i 1 2i 10 x
2
0 y
2 2i 2 y
M i Ni 1
0 0 2i 1 x2 y2
y 0 0 0 x0 y0 x0 y0 y0 2
S S 1 2i 1 x2 y2 2
i
ii Pi 1M N 0 4 ,i i 2 0 x20 y
2
0
4 1 4n
bn 4 4
2 4n 4 4n 11 4 3
1 3 1 3 1 ,n 2 1 3 1 1 1 n 15 bn 4 4 1 4 4n 1 1 b 4 n 5 4
n 1
4n
n 4
16
1 1 n 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 1 1 1
2

n 1

1 .b1 b2 bn 4 5 4 4 4 4 5 1 4 15 3
4

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