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2026届湖南省武冈市第一中学初中学业水平考试数学模拟冲刺练习卷1
班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）如图所示的是陕西宝鸡北坡公园标志性的建筑“西府大老碗”，若把它近似地看成一个几何体，则其俯视图为（ ）

A． B． C． D．
2．（本题3分）在，，，，（每两个之间依次增加一个）中，有理数有（ ）个．
A． B． C． D．
3．（本题3分）如图所示，在中，，，，相交于点，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）2022年2月19日晚间，北京冬奥会金牌得主谷爱凌在某短视频平台开启了直播，从平台统计来看，观看人次最高峰竟然高达1400多万，这样的直播表现已经可以一线明星媲美了．数据1400万用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）下图是一谷仓的示意图，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在中，于点，若，则的半径为（　　）

A． B．3 C． D．
8．（本题3分）对于几何作图“过直线外一点作这条直线的平行线”，给出以下两种方案：
方案Ⅰ：①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点；
③作直线．所以直线就是所求作的直线．
方案Ⅱ：①在直线上取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，交直线于，两点；
②连接，以为圆心，长为半径画弧，交半圆于点；
③作直线，所以直线就是所求作的直线．
对于以上两个方案，判断正确的是（ ）
A．方案Ⅰ正确 B．方案Ⅱ正确
C．方案Ⅰ、Ⅱ均正确 D．方案Ⅰ、Ⅱ均不正确
9．（本题3分）小明同学在平行四边形中用尺规作图作等腰，下列作图不正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（本题3分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．四棱柱
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．（本题3分）如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有 ___________根小木棒．（用含的代数式表示）

12．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点，点，将矩形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点C对应的坐标是______．

13．（本题3分）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋中白球的个数为___________．
14．（本题3分）已知方程的两根分别为，则的值为_____．
15．（本题3分）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”：
则从上往下数第行，左边第二个数是_____．
16．（本题3分）如图，在中，．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于，再分别以为圆心，大于的长为半径作圆弧交于点，作直线，交于，则的长度为________．

三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）解方程：．
18．（本题6分）先化简，再求值：，其中
19．（本题8分）年北京冬奥会开幕式在中华人民共和国国家体育馆举行，小李和小张参与志愿者服务工作他们两人被组委会随机分配到A，B，，中的某一个项目组，每个项目组的志愿者人数不限．
(1)小李被分配到项目组的概率为______；
(2)请利用列表或画树状图的方法求出他们两人被分配到不同项目组的概率为多少？
20．（本题8分）小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．小明家到体育公园的路程是1200米，小刚家到体育公园的路程是300米，已知小刚的速度是小明速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
21．（本题10分）已知：如图，在中，为延长线上一点，连接交的外接圆于点，连接．

(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
22．（本题10分）中国书法是中华文化独有的传统艺术形式．小昆和小云都是书法爱好者，小昆准备从a．楷书，b．行书，c．隶书3种书体中随机选择一种书体练习写“加油”两字，且每种书体被选到的可能性相等；小云准备从a．楷书，b．行书，d．草书3种书体中随机选择一种书体练习写“加油”两字，且每种书体被选到的可能性相等．记小昆的选择为x，小云的选择为y．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
(2)求小昆和小云选择的书体互不相同的概率P．
23．（本题12分）某中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校名学生，看他们喜爱哪一种活动每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种，现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
(1)______，______；
(2)请补全图中的条形图；
(3)根据抽样调查的结果，请估算全校名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
(4)在抽查的名学生中，喜爱打乒乓球的有名同学其中有名女生，包括小红、小梅，现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．
24．（本题12分）如图，在中，，O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交，边于点E，F．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
2026届湖南省武冈市第一中学初中学业水平考试数学模拟冲刺练习卷1参考答案
1．A
2．B
3．C
4．C
5．D
6．A
7．A
8．C
9．D
10．A
11．
12．
13．3
14．
15．
16．
17．
18．，
19．
（1）解：小李被分配到项目组的概率为，
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：

共有种等情况数，其中两人被分配到不同项目组的有种，
所以两人被分配到不同项目组的概率为．
20．小明的速度是275米/分钟，则小刚的速度是825米/分钟
解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚的速度是米/分钟，根据题意可得：
，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
故
答：小明的速度是275米/分钟，则小刚的速度是825米/分钟．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
，
∴．
22．(1)9
(2)
【分析】根据列表法和概率公式求解即可．
【详解】（1）解：
小昆 小云 a b c
a
b
d
根据表格可知所有可能出现的结果总数为9种．
（2）解：由（1）可知所有可能出现的结果总数为9种，其中小昆和小云选择的书体互不相同的有7种，
故小昆和小云选择的书体互不相同的概率．
23．(1)100；15
(2)见解析
(3)840人
(4)
（1）由题意可得，
，，
故答案为：，；
（2）喜爱篮球的有：人，
补全的条形统计图，如右图所示；
（3）由题意可得，
全校名学生中，喜爱踢足球的有：人，
答：全校名学生中，大约有人喜爱踢足球；
（4）设四名女生分别为：小红、小梅、、，
则出现的所有可能性是：
A B C D
A
B
C
D
小红、小梅能分在同一组的概率是：．
24．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：连接，
是的切线，是半径，D是切点，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：如图，连接，
在中，，
，
，
是直径，
，
，由（1）知．
，，
即：，
．2026届湖南省武冈市第一中学初中学业水平考试数学
模拟冲刺练习卷2
班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]﹣3的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．[3分]“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是(　　)
A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24
3．[3分]定义，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4．[3分]二次函数，若，，点，在该二次函数的图象上，其中，，则（ ）
A． B． C． D．、的大小无法确定
5．[3分]如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ）
A． B． C． D．
6．[3分]下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．[3分]下列四个图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．[3分]下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．[3分]已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，.则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10．[3分]如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，若，则ME的长为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]因式分解： ．
12．[3分]若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这 个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这 个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移______米（请用关于a的代数式表示），才能使得这 个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．
13．[3分]已知，则____．
14．[3分]若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
15．[3分]高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则 ．
16．[3分]如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为 ．
三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]计算：
18．[6分]先化简，再求值：，其中．
19．[8分]如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，．
（1）如图1，求证：是的切线；
（2）如图2，若，，求的长．
20．[8分]如图，中，是上一点，于点，是的中点，于点，与交于点，若，平分，连接，.
（1）求证：；
（2）小亮同学经过探究发现：.请你帮助小亮同学证明这一结论.
（3）若，判定四边形是否为菱形，并说明理由.
21．[10分]某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？
22．[10分]某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：
A：；B：；C：；D： ；E：
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？
（3）已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
23．[12分]某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克） 55 60 65 70
销售量y（千克） 70 60 50 40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．[12分]【问题背景】
已知点是半径为的上的定点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，过点作的切线，在直线上取点，使得为锐角．
图（1） 图（2） 图（3）
【初步感知】
（1） 如图（1），当 时，____ ．
【问题探究】
（2） 以线段为对角线作矩形，使得边过点，连接，对角线，相交于点．
① 如图（2），当时，求证：无论 在给定的范围内如何变化，总成立;
② 如图（3），当，时，请补全图形，并求 及的值．
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】C　
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】B
10．【答案】D
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】1
14．【答案】8
15．【答案】15．
16．【答案】①②④
17．【答案】7．
18．【答案】，7
19．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，
由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴长为：．
20．【答案】
（1）∵AF=FG，∴∠FAG=∠FGA．
∵AG平分∠CAB，∴∠CAG=∠FGA，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG．
∵DE⊥AC，∴FG⊥DE．
∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED．
∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD；
（2）过点G作GP⊥AB于P，∴GC=GP，而AG=AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC=AP，由（1）可得EG=DG，∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC=PD，∴AD=AP+PD=AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形．证明如下：
∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD，∴AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．
设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：浇水方式改进后平均每天用水1吨．
22．【答案】（1）60，频数分布直方图见详解
（2）1200人
（3）
（1）解：本次调查的样本容量是：，
则组的人数，
将频数分布直方图补充完整如下：
（2）解：（人），
该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人．
（3）解：画树状图如图：
共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为.
23．【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元
【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得，
，
解得，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）由题意得，
整理得，
解得，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）设当天的销售利润为w元，则：
，
∵，
∴当时，．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
24．【答案】（1） 30
（2） ① 【证明】， ， 过点作的切线, ， 四边形是矩形，， ，，,．又，， 四边形是矩形，，．
② 【解】补全图形如图（1）．
如图（2）,过点作于点，于点．在中，,， 由勾股定理得，，， 点在线段上， 在中，．，， ．， ， ．在中，， 设,，则，， 在中，．由（2）①可得 四边形是矩形，， ， 在中，．
图（1） 图（2）
【详解】
（1） 【解】由题意得 ，，是等边三角形， 直线是的切线， ， ，故答案为30．
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模拟冲刺练习卷3
班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．[3分]如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
3．[3分]某积木配件如图所示,它的左视图是 (　　)
A． B． C． D．
4．[3分]2022年6月5日,中华民族再探苍穹,神舟十四号载人飞船搭载长征二号F遥十四运载火箭成功升空．据报道,长征二号F运载火箭的质量大约是500 000 kg．将数据500 000用科学记数法表示,结果是 (　　)
A．5×105 B．5×106 C．0.5×105 D．0.5×106
5．[3分]观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
6．[3分]如图，是的切线，是切点，是上一点，连接并延长交切线于点，已知，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．[3分]某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是(　　)
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．[3分]科学家通过高倍显微镜发现，荷叶表面布满了小乳突，每个乳突由许许多多直径约为200纳米的细小突起组成，这种细微的纳米结构，使水珠粒子不易与荷叶表面接触，导致荷叶具有独特的自洁、防水、防污的功能．1纳米米，200纳米用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．[3分]已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10．[3分]如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点；抛物线与轴交于点，与轴交于另一点.点在线段上，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接，，，.当点在线段上移动时（不与，重合），下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．四边形的面积最大为13
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]化简 ．
12．[3分]在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为______．
13．[3分]已知二次函数的与的部分对应值如下表：
下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______．
14．[3分]如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为____________________.（结果保留 与根号）
（第4题图）
15．[3分]某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量（个）与销售价格（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为____元（利润总销售额-总成本）.
16．[3分]已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则 ；
（2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论），
①若，，则为直角三角形，
②若，，，则，
③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7.
三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]先化简，再求值：，其中．
18．[6分]计算：
19．[8分]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

20．[8分]如图，在中，点在上，边交于点,于点，是的平分线.
（1） 求证：为的切线；
（2） 若的半径为2, ,求的长.
21．[10分]为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查，设每名学生平均每天的睡眠时间为小人数时，其中的分组情况是：
A组：；
B组：；
C组：；
D组：；
E组：．
下面是根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了多少名学生？
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？
22．[10分]焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下.
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑 位于有台阶的平台 上，太阳光下，其顶端 的影子落在点 处，同一时刻，竖直放置的标杆 顶端 的影子落在点 处，位于点 处的观测者眼睛所在位置为点 ,点 , , 在一条直线上，纪念碑底部点 在观测者的水平视线上
测量数据 , , ,
备注 点 , , , 在同一水平线上
根据以上信息，解决下列问题.
（1） 由标杆的影子 的长和标杆 的长相等，可得 ,请说明理由.
（2） 求纪念碑 的高度.
（3） 小红通过间接测量得到 的长，进而求出纪念碑 的高度约为 .查阅资料得知，纪念碑的实际高度为 .请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大，并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）.
23．[12分]【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点．
【发现】所在圆的半径为______．
【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式．
淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可．
嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求．
淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动．
嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是______．
【拓展】（1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长；
（2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值．
24．[12分]如图，在平面直角坐标系中，放置一个含角的三角板．其中点为原点，在轴上，已知，，．
(1)点在反比例函数的图象上，求该反比例函数的表达式；
(2)将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点落在轴上，求点在旋转过程中到点经过的最短路径长；
(3)将旋转后的沿轴方向向下平移个单位得到，若平移后的线段与直线重合，直接写出和的值．
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A　
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】121
16．【答案】2；①②
17．【答案】，1．
18．【答案】
19．【答案】
解：（1）证明:∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
（2）∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
20．【答案】
（1） 【证明】， .
是的平分线，.
,，
，即.
为的半径，为的切线.
（2） 【解】由（1）得 ，，
，.
,.
（1）解：（名）
答：本次调查了100名学生；
（2）解：睡觉时间少于8.5小时的学生有：（名），
补全条形统计图如图所示：
；
（3）解：（名），
答：估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．
22．【答案】
（1） 【解】 太阳光线是平行光线，
.
又 ， , . ， .
（2） 设 与 的交点为 ，如图.
由题意得 ， ， ， .
设 ，则 ，
在 中， .
在 中， ， ， ，解得 .
答：纪念碑 的高度为 .
（3） 小红的结果误差较大，原因可能是平台底部点 不可直接到达，间接测量时产生了较大的误差（原因合理即可）.
23．【答案】发现：；
探究：平行；
拓展：（1）；
（2）最大值为，最小值为
发现：解：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变，
∴所在圆的半径为的半径，即.
探究：解：∵切点在直径上运动，与相切于点，
∴即点到直径的距离为半径，即为定值，，
∴点的运动路线与直径平行．
拓展：（1）解：如图1，连接，
∵点在上，对应的弦为的直径，
∴．
又∵点是的切点，
∴．
在和中，，，
∴，
∴．
∵点为的中点，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
（2）最大值为，最小值为．
解法1：如图2，设，与交于点，连接．
∴．
∵点是的中点，
∴．
由垂径定理易得点为的中点，
∴，
∴．
∵点在线段上，
∴的取值范围为，
∴．
∴弦的最大值为，最小值为．
解法2：如图3，当点落在点时，弦取得最大值．
由折叠的性质可得．
∴，
∴．
如图4，当点落在点时，弦取得最小值，此时点，，集于一点．
易得，且弦所在的直线是的平分线，
∴．
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
综上所述，弦的最大值为，最小值为．
24．【答案】(1)；
(2)；
(3)，.
（1）解：根据题意，在中，，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：在中，，
∴，
将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点落在轴上，如图所示，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴点在旋转过程中到点经过的最短路径长为；
（3）解：由（2）可得是等边三角形，
∴，且，
∴，，
∴，
如图所示，过点作轴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵将旋转后的沿轴方向向下平移个单位得到，若平移后的线段与直线重合，
∴与直线重合，
∴．
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