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江苏省苏北七市（宿迁、连云港、淮安、扬州、泰州、盐城、徐州）2025届高三第三次调研测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，则.
故答案为：C.
【分析】直接求集合的交集即可.
2．复数满足，则在复平面内，对应的点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故z对应的点为，z对应的点所在的象限是第一象限.
故选：A
【分析】利用复数的除法法则计算出复数z，进而可求得z对应的点即可判断在第几象限.
3．第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（　　）
A．134.75 B．144.75 C．154.75 D．159.50
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将六位选手的得分从小到大进行排列：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，
因为，所以该组数据的第40百分位数为第3个数154.75.
故选：C
【分析】根据百分位数的定义将数据排序，进而计算即可得知该组数据的第40百分位数.
4．已知函数，曲线在点处的切线与轴平行，则（　　）
A．－3 B．－1 C．0 D．1
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，解得，
故选：D
【分析】先对函数进行求导，进而结合题意利用导数的几何意义列式即可求得a的值.
5．在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【知识点】充要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：令，则；令，则，以此类推，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
若数列是等比数列，设其公比为(q>0)，则，
所以，，所以，
当时，；当时，不成立.
综上所述，甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合充分条件、必要条件的定义即可判断，充分性利用递推证明的正项数列是等比数列，必要性利用等比数列的通项公式说明只有当时，成立，必要性不成立 .
6．已知函数的图象关于直线对称，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为
，
因为函数的图象关于直线对称，
所以，，所以，，
所以，.
故选：D
【分析】根据三角恒等变换公式和辅助角公式可得，再根据三角函数的对称性得到，，代入中利用诱导公式计算可求解.
7．设函数的定义域为是的极大值点，则（　　）
A．是的极小值点 B．是的极大值点
C．是的极小值点 D．是的极大值点
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A、的图象和的图象关于轴对称，因为是的极大值点，所以是的极大值点，故A错误；
取，则是的极大值点，，
故不是的极大值点，故B错误；
，其为偶函数，在上单调递减，不是的极大值点，故D错误.
的图象和的图象关于原点对称，因为是的极大值点，
所以是的极小值点，故C正确.
故答案为：C.
【分析】根据的图象和的图象关于轴对称，可得是的极大值点即可判断A；取，不是的极大值点即可判断B；的图象和的图象关于原点对称，故是的极小值点即可判断C；取，根据函数的奇偶性、单调性可知不是的极大值点，即可判断D.
8．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，，由椭圆的离心率，可得，
若，则，即，解得，
则，，
又因为，所以，
即，解得，故.
故答案为：B.
【分析】设，根据椭圆的离心率为，化简可得，再由，利用勾股定理求出，最后根据求出，再求比值即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：易知，则，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据对数函数的单调性易知的正负，即可判断A；利用对数函数的运算化简求解即可判断B；根据换底公式及对数的运算求解即可判断CD.
10．已知双曲线的左，右焦点分别为，直线交于，两点，则（　　）
A． B．
C．的最小值为 D．到的距离的最大值为
【答案】A,C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、易知双曲线的渐近线方程为，
要使直线与双曲线交于点，则，故A正确；
B、由双曲线的定义可知，
因为点关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，故B错误；
C、设，则（或），得，
又，所以，
则，
即的最小值为-3，故C正确；
D、易知点，当时，，则到直线的距离为0；
当时，到直线即的距离为，
又且，所以，则，
即到直线的距离小于，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】易知双曲线的渐近线方程，根据渐近线和双曲线的特点即可判断A；根据双曲线的定义，结合直线过原点，以及双曲线的对称性即可判断B；设，由点在双曲线上化简可得，再根据平面向量数量积的坐标表示求得，即可判断C；易知点，当时，，则到直线的距离为0；当时，利用点到直线的距离公式计算即可判断D.
11．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，则（　　）
A． B．面积的最大值为
C．当时， D．的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设角所对的边长为，
由三角形的面积公式，可得，
由余弦定理可得，则，故A正确；
，因为，所以，
所以，所以，
且仅当时取等，故B正确；
设边上的中点分别为，在上取一点M，在上取一点，
由两点间线段最短可得，当且仅当四点共线时取等，
所以，又因为，所以，解得，
所以，，所以，故C错误；
，当且仅当时取等，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设角所对的边长为，根据三角形等面积法，结合余弦定理求解即可判断A；利用三角形面积，结合基本不等式求出范围得面积的最大值即可判断B；设边上的中点分别为，在上取一点M，在上取一点，再由由两点间线段最短，得出三角形为等腰直角三角形，求出最大值即可判断C；由C中结论及基本不等式求解即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若随机变量，则　 　．
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，，得；
则，，
因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据正态分布的曲线特点求解即可.
13．已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为　 　．
【答案】
【知识点】函数的周期性；余弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由函数满足，则，即的周期为，
由，可得，
函数的图象，如图所示：
方程的解，即为与的交点横坐标，且当时，，
由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为.
故答案为：
【分析】由求得函数的周期为，根据函数的解析式可得，问题转化为与的交点个数，画出与的图象，数形结合求解即可.
14．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为　 　．
【答案】
【知识点】简单组合体的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解： 圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6 ，则圆锥的母线长与底面圆的直径均为，
小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，
扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为，
扇环其面积为；
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为．
综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为．
故答案为：.
【分析】由题意可得圆锥的母线长与底面圆的直径均为，再分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成．
（1）先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率；
（2）在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望．
【答案】（1）解：设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生”，
则；
（2）解：从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，X的可能取值为1、3、5，
，，
则的分布列为：
X 1 3 5
P
数学期望为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，再根据全概率公式求解即可；
（2）由题意可知随机变量的取值为1，3，5，根据超几何分布求出对应的概率，列分布列，再求数列期望即可．
（1）设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生”
则
（2），从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，X的可能取值为1、3、5，
则，，
故的分布列为：
X 1 3 5
P
数学期望为
16．已知数列是等差数列，记其前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列．
①求的前20项和；
②证明：．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由题意可知，解得，，
所以数列的通项公式为.

（2）解：①由（1）知，，所以，
因为，
所以，所以的前20项和为；
②证明：因为，所以，
所以当时，；
当时，
，
综上可得.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的前n项和公式和通项公式列方程组，进而求出、，从而求出通项公式即可；
（2）①利用等差数列的前n项和公式先求出，即可得到，从而求出其前20项和；
②由可知，分及两种情况讨论，当时利用裂项相消法计算即可证得结论.
（1）设等差数列的公差为，
由，得，即，
由，取，得，即，
解得，，所以；
（2）①由（1）知，，所以，
因为，
所以，所以的前20项和为；
②证明：因为，所以，
所以当时，；
当时，
，
综上可得.
17．如图，在直三棱柱中，点在上，．
（1）证明：平面；
（2）若，二面角的大小为．
①求与平面所成角的正弦值；
②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度．
【答案】（1）证明：在直三棱柱中，平面ABC，
因为平面，所以，
又因为，，平面，所以平面；
（2）解：①、在直三棱柱中，平面，，
以为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，设，
设平面的法向量，
由，取，得，即平面的一个法向量，
又平面的法向量，所以，解得，
所以，
所以，
设与平面所成角为，则；
②、因为，所以，
因为三棱锥的体积为，所以到平面的距离为，
因为在侧面上，可设，
到平面的距离为，
即轨迹方程为，而，
所以在侧面上的运动轨迹是线段，所以的轨迹长度为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）①在直三棱柱中，平面，，以为正交基底，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
②、根据三棱锥体积求出点到平面的距离，再利用空间向量法求距离，化简可得轨迹方程，利用轨迹方程确定轨迹为线段求解即可.
（1）在直三棱柱中，平面ABC，
因为平面，所以
又因为，，平面，
所以平面
（2）①在直三棱柱中，平面，，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，
设平面的法向量，
由，取，得，
所以平面的一个法向量，
又平面的法向量，
所以，解得
所以，
所以
设与平面所成角为，则
②因为，
所以
因为三棱锥的体积为，
所以到平面的距离为
因为在侧面上，可设，
到平面的距离为，
即轨迹方程为，而，
所以在侧面上的运动轨迹是线段，
所以的轨迹长度为.
18．设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线的方程为，求直线的斜率；
（3）若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值．
【答案】（1）解：易知抛物线的焦点为，
由为线段的中点，可得，则曲线的方程为；
（2）解：设，，，，
联立，消去x整理得，解得，，
则，，
因为，则，
因为，，则，所以，
所以，，即，直线的斜率为；
（3）解：因为，，，，
所以，，
因为，所以，
因为，，，，所以①，
由代入①得，
由，得，
因为，，所以，所以，同理，
所以且，
所以，因为，所以，
所以，得，即，
设，联立，消去x得，
所以，所以，则，所以过定点，
则，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以四边形面积的最小值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知抛物线的焦点的坐标，利用中点坐标公式求点的坐标，即可得抛物线的方程；
（2）设，，，，联立直线与抛物线方程，求点，的坐标，根据求出的坐标，最后利用斜率公式求解即可；
（3）根据向量的坐标运算，结合推导出，同理，即可得到，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出过定点坐标，再求出的最小值.
（1）抛物线的焦点为，
由为线段的中点，可得，
所以曲线的方程为；
（2）设，，，，
联立，消去x整理得，解得，，
则，，
因为，则，
因为，，则，所以，
所以，，即，直线的斜率为；
（3）因为，，，，
所以，，
因为，所以
因为，，，，
所以，①
由代入①得，
由得，
因为，，所以，所以，同理，
所以且，
所以，因为，所以，
所以，得，即，
设，联立消去x，得，
所以，所以，则，所以过定点，
则，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以四边形面积的最小值为
19．记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”.
（1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由；
（2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围；
（3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”.
【答案】（1）解：函数和＂2次缠绕＂，
理由如下：，当和时，，
则对任意，当且仅当和时等号成立，
即由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂；
（2）解：设，
因为和在上＂3次缠绕＂，所以存在互异的三个正数，使得，
当且仅当时等号成立，所以是的三个零点，
注意到，则1是的一个零点，
，
①、当时，在上单调递增，1是的唯一零点，不合题意，
②、当时，在上单调递减，1是的唯一零点，不合题意，
③、当时，令，存在两根，
当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，，
设，因为，
所以在上单调递减，所以，即，所以存在，
又，
所以存在，
所以恒成立，
即时，和在上＂3次缠绕＂，
综上，的取值范围是；
（3）解：方法一：取，设，
令，
显然，且，
当且仅当时，等号成立，
所以对任意，
存在，
其中，
使得，且和在上＂次缠绕＂．
方法二：记，取，
设，其中，则，
且当时，，
因为，所以与同号（＊），
为奇数时，设，
显然，且，
当时，与同号，
由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号；
所以，
为偶数时，设，
同理可知，，且和“次缠绕”，
综上，存在，使得，且和在上“次缠绕”.
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当和时，，对任意，结合“次缠绕”的定义判断即可；
（2）设，问题转化为存在互异的三个正数，使得，注意到，则1是的一个零点，求导得，再分、和讨论求解即可；
（3）方法一：取，设，令，则，且，根据“次缠绕”定义即可证明存在；
方法二：记，取，设，再对分奇数和偶数讨论即可.
（1）函数和＂2次缠绕＂，
理由如下：，当和时，，
则对任意，
当且仅当和时，等号成立，
所以由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂．
（2）设，
因为和在上＂3次缠绕＂，
所以存在互异的三个正数，使得，
当且仅当时等号成立，
所以是的三个零点．
注意到，所以1是的一个零点．
，
①当时，在上单调递增，
1是的唯一零点，不合题意．
②当时，在上单调递减，
1是的唯一零点，不合题意．
③当时，令，存在两根，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，因为，
设，因为，
所以在上单调递减，所以，即，
所以存在．
又，
所以存在．
所以恒成立，
即时，和在上＂3次缠绕＂，
综上，的取值范围是．
（3）方法一：取，
设，
令，
显然，且，
当且仅当时，等号成立．
所以对任意，
存在，
其中，
使得，且和在上＂次缠绕＂．
方法二：记，取，
设，其中，则，
且当时，，
因为，
所以与同号，（＊）
为奇数时，设，
显然，且，
当时，与同号，
由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号；
所以．
为偶数时，设，
同理可知，，且和“次缠绕”．
综上，存在，使得，
且和在上“次缠绕”
1 / 1江苏省苏北七市（宿迁、连云港、淮安、扬州、泰州、盐城、徐州）2025届高三第三次调研测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．复数满足，则在复平面内，对应的点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（　　）
A．134.75 B．144.75 C．154.75 D．159.50
4．已知函数，曲线在点处的切线与轴平行，则（　　）
A．－3 B．－1 C．0 D．1
5．在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．已知函数的图象关于直线对称，则（　　）
A． B． C． D．
7．设函数的定义域为是的极大值点，则（　　）
A．是的极小值点 B．是的极大值点
C．是的极小值点 D．是的极大值点
8．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，则（　　）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线的左，右焦点分别为，直线交于，两点，则（　　）
A． B．
C．的最小值为 D．到的距离的最大值为
11．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，则（　　）
A． B．面积的最大值为
C．当时， D．的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若随机变量，则　 　．
13．已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为　 　．
14．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成．
（1）先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率；
（2）在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望．
16．已知数列是等差数列，记其前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列．
①求的前20项和；
②证明：．
17．如图，在直三棱柱中，点在上，．
（1）证明：平面；
（2）若，二面角的大小为．
①求与平面所成角的正弦值；
②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度．
18．设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线的方程为，求直线的斜率；
（3）若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值．
19．记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”.
（1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由；
（2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围；
（3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，则.
故答案为：C.
【分析】直接求集合的交集即可.
2．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故z对应的点为，z对应的点所在的象限是第一象限.
故选：A
【分析】利用复数的除法法则计算出复数z，进而可求得z对应的点即可判断在第几象限.
3．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将六位选手的得分从小到大进行排列：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，
因为，所以该组数据的第40百分位数为第3个数154.75.
故选：C
【分析】根据百分位数的定义将数据排序，进而计算即可得知该组数据的第40百分位数.
4．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，解得，
故选：D
【分析】先对函数进行求导，进而结合题意利用导数的几何意义列式即可求得a的值.
5．【答案】A
【知识点】充要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：令，则；令，则，以此类推，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
若数列是等比数列，设其公比为(q>0)，则，
所以，，所以，
当时，；当时，不成立.
综上所述，甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合充分条件、必要条件的定义即可判断，充分性利用递推证明的正项数列是等比数列，必要性利用等比数列的通项公式说明只有当时，成立，必要性不成立 .
6．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为
，
因为函数的图象关于直线对称，
所以，，所以，，
所以，.
故选：D
【分析】根据三角恒等变换公式和辅助角公式可得，再根据三角函数的对称性得到，，代入中利用诱导公式计算可求解.
7．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A、的图象和的图象关于轴对称，因为是的极大值点，所以是的极大值点，故A错误；
取，则是的极大值点，，
故不是的极大值点，故B错误；
，其为偶函数，在上单调递减，不是的极大值点，故D错误.
的图象和的图象关于原点对称，因为是的极大值点，
所以是的极小值点，故C正确.
故答案为：C.
【分析】根据的图象和的图象关于轴对称，可得是的极大值点即可判断A；取，不是的极大值点即可判断B；的图象和的图象关于原点对称，故是的极小值点即可判断C；取，根据函数的奇偶性、单调性可知不是的极大值点，即可判断D.
8．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，，由椭圆的离心率，可得，
若，则，即，解得，
则，，
又因为，所以，
即，解得，故.
故答案为：B.
【分析】设，根据椭圆的离心率为，化简可得，再由，利用勾股定理求出，最后根据求出，再求比值即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：易知，则，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据对数函数的单调性易知的正负，即可判断A；利用对数函数的运算化简求解即可判断B；根据换底公式及对数的运算求解即可判断CD.
10．【答案】A,C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、易知双曲线的渐近线方程为，
要使直线与双曲线交于点，则，故A正确；
B、由双曲线的定义可知，
因为点关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，故B错误；
C、设，则（或），得，
又，所以，
则，
即的最小值为-3，故C正确；
D、易知点，当时，，则到直线的距离为0；
当时，到直线即的距离为，
又且，所以，则，
即到直线的距离小于，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】易知双曲线的渐近线方程，根据渐近线和双曲线的特点即可判断A；根据双曲线的定义，结合直线过原点，以及双曲线的对称性即可判断B；设，由点在双曲线上化简可得，再根据平面向量数量积的坐标表示求得，即可判断C；易知点，当时，，则到直线的距离为0；当时，利用点到直线的距离公式计算即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设角所对的边长为，
由三角形的面积公式，可得，
由余弦定理可得，则，故A正确；
，因为，所以，
所以，所以，
且仅当时取等，故B正确；
设边上的中点分别为，在上取一点M，在上取一点，
由两点间线段最短可得，当且仅当四点共线时取等，
所以，又因为，所以，解得，
所以，，所以，故C错误；
，当且仅当时取等，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设角所对的边长为，根据三角形等面积法，结合余弦定理求解即可判断A；利用三角形面积，结合基本不等式求出范围得面积的最大值即可判断B；设边上的中点分别为，在上取一点M，在上取一点，再由由两点间线段最短，得出三角形为等腰直角三角形，求出最大值即可判断C；由C中结论及基本不等式求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，，得；
则，，
因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据正态分布的曲线特点求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数的周期性；余弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由函数满足，则，即的周期为，
由，可得，
函数的图象，如图所示：
方程的解，即为与的交点横坐标，且当时，，
由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为.
故答案为：
【分析】由求得函数的周期为，根据函数的解析式可得，问题转化为与的交点个数，画出与的图象，数形结合求解即可.
14．【答案】
【知识点】简单组合体的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解： 圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6 ，则圆锥的母线长与底面圆的直径均为，
小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，
扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为，
扇环其面积为；
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为．
综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为．
故答案为：.
【分析】由题意可得圆锥的母线长与底面圆的直径均为，再分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解．
15．【答案】（1）解：设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生”，
则；
（2）解：从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，X的可能取值为1、3、5，
，，
则的分布列为：
X 1 3 5
P
数学期望为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，再根据全概率公式求解即可；
（2）由题意可知随机变量的取值为1，3，5，根据超几何分布求出对应的概率，列分布列，再求数列期望即可．
（1）设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生”
则
（2），从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，X的可能取值为1、3、5，
则，，
故的分布列为：
X 1 3 5
P
数学期望为
16．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由题意可知，解得，，
所以数列的通项公式为.

（2）解：①由（1）知，，所以，
因为，
所以，所以的前20项和为；
②证明：因为，所以，
所以当时，；
当时，
，
综上可得.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的前n项和公式和通项公式列方程组，进而求出、，从而求出通项公式即可；
（2）①利用等差数列的前n项和公式先求出，即可得到，从而求出其前20项和；
②由可知，分及两种情况讨论，当时利用裂项相消法计算即可证得结论.
（1）设等差数列的公差为，
由，得，即，
由，取，得，即，
解得，，所以；
（2）①由（1）知，，所以，
因为，
所以，所以的前20项和为；
②证明：因为，所以，
所以当时，；
当时，
，
综上可得.
17．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，平面ABC，
因为平面，所以，
又因为，，平面，所以平面；
（2）解：①、在直三棱柱中，平面，，
以为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，设，
设平面的法向量，
由，取，得，即平面的一个法向量，
又平面的法向量，所以，解得，
所以，
所以，
设与平面所成角为，则；
②、因为，所以，
因为三棱锥的体积为，所以到平面的距离为，
因为在侧面上，可设，
到平面的距离为，
即轨迹方程为，而，
所以在侧面上的运动轨迹是线段，所以的轨迹长度为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）①在直三棱柱中，平面，，以为正交基底，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
②、根据三棱锥体积求出点到平面的距离，再利用空间向量法求距离，化简可得轨迹方程，利用轨迹方程确定轨迹为线段求解即可.
（1）在直三棱柱中，平面ABC，
因为平面，所以
又因为，，平面，
所以平面
（2）①在直三棱柱中，平面，，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，
设平面的法向量，
由，取，得，
所以平面的一个法向量，
又平面的法向量，
所以，解得
所以，
所以
设与平面所成角为，则
②因为，
所以
因为三棱锥的体积为，
所以到平面的距离为
因为在侧面上，可设，
到平面的距离为，
即轨迹方程为，而，
所以在侧面上的运动轨迹是线段，
所以的轨迹长度为.
18．【答案】（1）解：易知抛物线的焦点为，
由为线段的中点，可得，则曲线的方程为；
（2）解：设，，，，
联立，消去x整理得，解得，，
则，，
因为，则，
因为，，则，所以，
所以，，即，直线的斜率为；
（3）解：因为，，，，
所以，，
因为，所以，
因为，，，，所以①，
由代入①得，
由，得，
因为，，所以，所以，同理，
所以且，
所以，因为，所以，
所以，得，即，
设，联立，消去x得，
所以，所以，则，所以过定点，
则，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以四边形面积的最小值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知抛物线的焦点的坐标，利用中点坐标公式求点的坐标，即可得抛物线的方程；
（2）设，，，，联立直线与抛物线方程，求点，的坐标，根据求出的坐标，最后利用斜率公式求解即可；
（3）根据向量的坐标运算，结合推导出，同理，即可得到，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出过定点坐标，再求出的最小值.
（1）抛物线的焦点为，
由为线段的中点，可得，
所以曲线的方程为；
（2）设，，，，
联立，消去x整理得，解得，，
则，，
因为，则，
因为，，则，所以，
所以，，即，直线的斜率为；
（3）因为，，，，
所以，，
因为，所以
因为，，，，
所以，①
由代入①得，
由得，
因为，，所以，所以，同理，
所以且，
所以，因为，所以，
所以，得，即，
设，联立消去x，得，
所以，所以，则，所以过定点，
则，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以四边形面积的最小值为
19．【答案】（1）解：函数和＂2次缠绕＂，
理由如下：，当和时，，
则对任意，当且仅当和时等号成立，
即由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂；
（2）解：设，
因为和在上＂3次缠绕＂，所以存在互异的三个正数，使得，
当且仅当时等号成立，所以是的三个零点，
注意到，则1是的一个零点，
，
①、当时，在上单调递增，1是的唯一零点，不合题意，
②、当时，在上单调递减，1是的唯一零点，不合题意，
③、当时，令，存在两根，
当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，，
设，因为，
所以在上单调递减，所以，即，所以存在，
又，
所以存在，
所以恒成立，
即时，和在上＂3次缠绕＂，
综上，的取值范围是；
（3）解：方法一：取，设，
令，
显然，且，
当且仅当时，等号成立，
所以对任意，
存在，
其中，
使得，且和在上＂次缠绕＂．
方法二：记，取，
设，其中，则，
且当时，，
因为，所以与同号（＊），
为奇数时，设，
显然，且，
当时，与同号，
由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号；
所以，
为偶数时，设，
同理可知，，且和“次缠绕”，
综上，存在，使得，且和在上“次缠绕”.
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当和时，，对任意，结合“次缠绕”的定义判断即可；
（2）设，问题转化为存在互异的三个正数，使得，注意到，则1是的一个零点，求导得，再分、和讨论求解即可；
（3）方法一：取，设，令，则，且，根据“次缠绕”定义即可证明存在；
方法二：记，取，设，再对分奇数和偶数讨论即可.
（1）函数和＂2次缠绕＂，
理由如下：，当和时，，
则对任意，
当且仅当和时，等号成立，
所以由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂．
（2）设，
因为和在上＂3次缠绕＂，
所以存在互异的三个正数，使得，
当且仅当时等号成立，
所以是的三个零点．
注意到，所以1是的一个零点．
，
①当时，在上单调递增，
1是的唯一零点，不合题意．
②当时，在上单调递减，
1是的唯一零点，不合题意．
③当时，令，存在两根，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，因为，
设，因为，
所以在上单调递减，所以，即，
所以存在．
又，
所以存在．
所以恒成立，
即时，和在上＂3次缠绕＂，
综上，的取值范围是．
（3）方法一：取，
设，
令，
显然，且，
当且仅当时，等号成立．
所以对任意，
存在，
其中，
使得，且和在上＂次缠绕＂．
方法二：记，取，
设，其中，则，
且当时，，
因为，
所以与同号，（＊）
为奇数时，设，
显然，且，
当时，与同号，
由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号；
所以．
为偶数时，设，
同理可知，，且和“次缠绕”．
综上，存在，使得，
且和在上“次缠绕”
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