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河北衡水市第二中学等校2026届高三下学期一模数学试题
1．已知两个单位向量，互相垂直，则（　　）
A． B．2 C． D．3
2．设集合，，则（　　）
A． B． C． D．
3．若，则的虚部与实部的比值为（　　）
A． B．3 C． D．2
4．在正四面体中，为棱的中点，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取1000户居民，统计其月用水量（单位：吨），并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用这1000户居民的月用水量的80%分位数作为月用水量的临界值（精确到0.1），使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的临界值为（　　）
A．26.8吨 B．27.7吨 C．28.3吨 D．29.2吨
6．若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．函数的极值点的个数为（　　）
A． B． C． D．
8．若非负数，满足，则的最大值为（　　）
A． B．42 C． D．40
9．若函数（）在内存在唯一的，使得，则的取值可能为（　　）
A． B．1 C． D．3
10．已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（　　）
A． B．的最小值为
C． D．的图象关于点对称
11．已知正方形的边长为2，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则（　　）
A．点在四棱锥外接球的球面上
B．四棱锥内切球的表面积为
C．四棱锥与四棱锥公共部分的体积为
D．四棱锥的四个侧面所在平面将空间分成14个部分
12．设表示不超过的最大整数，则不等式的解集为　 　.
13．已知是椭圆：上一点，点，，若，过点作的垂线，垂足为，则　 　，点到轴的距离为　 　.
14．来自某校高二年级的4名男生和3名女生组成的7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：①每个环节至少安排1名选手，每人只参加1个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现环节至少安排2人，且至少有1名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有　 　种.
15．如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点.
（1）证明：平面.
（2）若为线段的中点，且，，求与平面所成角的正弦值.
16．某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立.
（1）求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.
（2）若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率.
（3）使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由.
17．已知集合中元素的个数为.
（1）若，，求.
（2）若，均为等差数列且，，，证明：也为等差数列.
（3）若，，且，求数列的前项和.
18．已知函数.
（1）证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.
（2）当时，讨论零点的个数.
（3）当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3.
19．设抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，且线段的中点为（）.
（1）当时，求的准线方程.
（2）点为上一动点，过作的准线的垂线，垂足为，设过，，三点可作双曲线，且的两个焦点均在轴上.
（ⅰ）若过点，求的方程；
（ⅱ）求的离心率的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：易知，，且，
，则.
故答案为：A.
【分析】将平方，结合向量数量积求解即可.
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算；函数的值域
【解析】【解答】解：易知，
因为，当且仅当时，即当时等号成立，
即，
故.
故答案为：A.
【分析】根据对数函数的值域即可得集合A，利用基本不等式求得集合，再根据集合的交集运算求即可.
3．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：设复数，，则，
由题意可得，解得或，则的虚部与实部的比值为.
故答案为：D.
【分析】设复数，，根据复数代数形式的乘法运算，结合复数相等求解即可.
4．【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
设正四面体的棱长为4，则，，
，则为正三角形，，
由余弦定理得，
，
故.
故答案为：B.
【分析】连接，设正四面体的棱长为4，易知为正三角形，，利用余弦定理求解即可.
5．【答案】C
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知前五组的频率之和为，前六组的频率之和为，
设该市月用水量的临界值为吨，则，由，得，
则该市月用水量的临界值为28.3吨.
故答案为：C.
【分析】先计算频率分布直方图前五组和前六组的频率之和，设该市月用水量的临界值为吨，再根据频率分布直方图百分位数计算方法计算求解即可.
6．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：，，，
则，
；
故的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质求得，再利用诱导公式，余弦的二倍角公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，解得或或，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递增，
则在处取得极大值，在处取得极小值，故的极值点的个数为.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值点个数即可.
8．【答案】C
【知识点】轨迹方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：令，，则，即，
由，可得，则（，），
即点的轨迹为圆不在第二、四象限的部分，
则表示点到坐标原点的距离，
由图可知，该距离的最大值为，
此时，，即，，所以的最大值为.
故答案为：C.
【分析】令，，原式，转化为，即点的轨迹为圆不在第二、四象限的部分，利用点与圆的位置关系求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由，可得在内存在唯一的解，
当时，，则，即，
因仅有选项B，C中的值在此范围.
故答案为：BC.
【分析】由题意可得在内存在唯一的解，根据正弦函数性质求解即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：令，得，
以替代，得，
消去，得，再令，得，即，
所以，即，则，，故A正确，C错误；
，当时，取得最小值，且最小值为，故B正确；
因为，所以的图象关于点对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用赋值法求解即可判断AC；由利用二次函数的性质求解即可判断B；由即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、将四棱锥补成一个正方体，如图所示：
则四棱锥的外接球为该正方体的外接球，因为点是该正方体的一个顶点，
所以点在四棱锥外接球的球面上，故A正确；
B、四棱锥的体积，
侧面积，
表面积，
则四棱锥内切球的半径，
则该内切球的表面积为，故B错误；
C、连接，易证，，
则四边形和四边形均为平行四边形，
设，，则，分别为，的中点，
设，的中点分别为，，连接，，，，
则四棱锥和四棱锥的公共部分为几何体，
其体积为四棱锥和三棱柱的体积之和，
即，故C正确；
D、平面、平面、平面将空间分成8个，最后平面将其中6个空间各分成2部分，
则四个侧面所在平面将空间分成个部分，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将四棱锥补成一个正方体，根据四棱锥与正方体的关系即可判断A；先求四棱锥内切球的半径，再求内切球的表面积即可判断B；找出四棱锥与四棱锥公共部分，转化为求四棱锥和三棱柱的体积问题，再求和即可判断C；结合直观想象及空间想象即可判断D.
12．【答案】
【知识点】指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，可得，则，解得.
故答案为：.
【分析】根据指数函数的单调性可得，再根据的定义求解即可.
13．【答案】；
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：易知点，分别为的左、右焦点，
由椭圆定义可得，
因为，所以，，
又因为，所以是等边三角形，
过点作的垂线，垂足为，如图所示：
则为的中点，，
设点在轴上的射影为，为坐标原点，
因为，
所以，
则点到轴的距离为.
故答案为：；.
【分析】易知点，分别为的左、右焦点，根据椭圆的定义，结合可得是等边三角形，过点作的垂线，垂足为，则为的中点，利用余弦定理求解即可.
14．【答案】1122
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：为方便叙述，将“方案设计”、“模型构建”、“编程实现”、“成果展示”四个环节依次记为环节一、环节二、环节三、环节四，由规则②④可知，环节一至少有2个人，环节一、环节二和环节四至少共有4个人，因此环节三最多有3个人；
当环节三有3个人时，则有可能是3个女生，或者2个女生和1个男生，或者1个女生和2个男生，
则安排好环节三有种方案，
剩余4个人，环节一必然有2个人，环节二和环节四各有1个人，
则安排好环节一、环节二和环节四有种方案.
所以安排好四个环节共有种方案，
当环节三有2个人时，则有可能是2个女生，或者1个女生和1个男生，
则安排好环节三有种方案，剩余5个人，
当环节一有2个人时，环节四有2个人，环节二有1个人，此时有种方案；
当环节一有3个人时，环节四有1个人，环节二有1个人，此时有种方案，
所以安排好四个环节共有种方案，
综上，满足条件的安排方案共有种.
故答案为：1122.
【分析】根据规则②④可知：环节三最多有3个人，再分环节三有3个人、环节三有2个人两种情况，结合分类加法计数原理以及组合知识求解即可.
15．【答案】（1）证明：连接，，
因为，，分别为棱，，的中点，为正三棱柱，
所以，，所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为，所以平面平面，
又平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，，则
在正三棱柱中，则，，.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，，令，得.
由，
所以与平面所成角的正弦值，
故与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，，利用中位线性质，结合线面平行的判定定理以及面面平行的性质证明即可；
（2）取的中点，连接，，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：连接，.
因为，，分别为棱，，的中点，为正三棱柱
所以，，所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面.
同理可得平面.
因为，所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）解：取的中点，连接，，则
在正三棱柱中，则，，.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，，
令，得.
由，
所以与平面所成角的正弦值.
得与平面所成角的正弦值为.
16．【答案】（1）解：设某日检测结果与设备实际状态不符为事件，
由全概率公式可得，
则某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1；
（2）解：由（1）可知：某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1，
设恰有2天检测结果与实际不符为事件，
则，
故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486；
（3）解：应该引进该自动化检测系统，理由如下：
设使用自动化检测系统时每日总支出（即总损失）为元，
设备故障且被判为故障的概率为，
设备正常却被判为故障的概率为，
设备故障却被判为正常的概率为，
则，
因为，所以应该引进该系统.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，根根据全概率公式运算求解即可；
（2）由（1）可知：某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1，再根据独立重复性实验的概率公式运算求解即可；
（3）根据题意求使用自动化检测系统时每日总支出的期望，并与每日故障损失的期望对比分析即可.
（1）设某日检测结果与设备实际状态不符为事件，
由全概率公式可得，
故某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1.
（2）由（1）可知：某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1，
设恰有2天检测结果与实际不符为事件，
则，
故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486.
（3）应该引进该自动化检测系统，理由如下：
设使用自动化检测系统时每日总支出（即总损失）为元.
设备故障且被判为故障的概率为，
设备正常却被判为故障的概率为，
设备故障却被判为正常的概率为，
则.
因为，所以应该引进该系统.
17．【答案】（1）解：若，，则，，
则满足的整数为，0，1，…，8，共有10个，故；
（2）证明：因为，，所以，
所以，
因为，均为等差数列，所以设，，
则为常数，
故是以为首项，为公差的等差数列；
（3）解：由，得，即，
则数列是为首项，公比为2的等比数列，
则，则，
当时，，，，
当时，，，，
当时，，因，所以，故大于的最小整数为，
又为整数，则，
当时，符合上式；当时，，
则，
当时，，
又因为，所以.
【知识点】元素与集合的关系；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）根据集合，求，利用列举法求解即可；
（2）根据数列的新定义，结合等差数列的定义证明即可；
（3）由，可得，构造等比数列，利用等比数列的定义求出，再由数列的新定义推出的通项公式，再借助于等比数列的求和公式分组求和即可.
（1）若，，则，，
则满足的整数为，0，1，…，8，共有10个，故；
（2）因为，，所以，
所以.
因为，均为等差数列，所以可设，，
则为常数，
故是以为首项，为公差的等差数列.
（3）由，得，即，
则数列是为首项，公比为2的等比数列，
则，则.
当时，，，.
当时，，，.
当时，，因，所以，故大于的最小整数为，
又为整数，则.
当时，符合上式；当时，，
故
当时，
，
又，所以.
18．【答案】（1）证明：函数定义域为，，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值；
（2）解：当时，由，得或，
构造函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增，
当时，，
若，则，若，则，
当时，，若，则，若，则，
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点；
（3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多，
且0为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得，，
设函数，则，
，则在上单调递增，
因为在上单调递增，且，所以，
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故，
故当的零点个数最多时，的零点之和大于3.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）当时，令，解得或，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最值，作出函数的图象，数形结合，分析函数的零点情况即可；
（3）由（2）确定零点的分布和零点满足的条件，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求最值证明结论.
（1）证明：，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.
（2）当时，由，得或.
设函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增.
当时，，
若，则，若，则.
当时，，
若，则，若，则.
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点.
（3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多，
且0为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得
，.
设函数，则，
，则在上单调递增.
因为在上单调递增，且，所以.
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故.
故当的零点个数最多时，的零点之和大于3.
19．【答案】（1）解：当时，点的坐标为，则的准线方程为；
（2）解：（ⅰ）因为的两个焦点均在轴上，且经过，，，，
由对称性可知，的中心为线段的中点，即，实半轴长为，设的方程为（），
的横坐标为，，均在上，则的横坐标为，
设，因为点在上，所以，代入的方程得，解得，
故的方程为；
（ⅱ）由题知，，设，则，，
当时，过，，三点不能作双曲线，
当时，线段中点的横坐标与的横坐标相等，
过，，三点不能作双曲线，则且，
因为的两个焦点均在轴上，所以设的方程为（，），
将，，的坐标代入的方程，得①，②，③，
②－③得，因为，所以，
由①得，，
由③得，，而，
则，代入，
得，，
由且，得且，
故的离心率的取值范围为.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将代入，求得焦点坐标，再根据抛物线的定义求准线方程即可；
（2）（ⅰ）根据对称性求得，实半轴长为，设双曲线方程为（），结合抛物线性质求出点坐标，代入双曲线方程求解即可；
（ⅱ）由题知，，设点，根据题意判断出点横坐标范围，结合图象平移设出双曲线方程，将，，代入双曲线方程，联立求出，表达式，代入离心率公式求范围即可.
（1）当时，依题意得的坐标为，
所以的准线方程为.
（2）（ⅰ）因为的两个焦点均在轴上，且经过，，，，
所以由对称性可知，的中心为线段的中点，即，
实半轴长为，设的方程为（）.
的横坐标为，，均在上，则的横坐标为，
设，又在上，所以，
代入的方程，得，解得.
的方程为.
（ⅱ）由题知，，设，则，.
当时，过，，三点不能作双曲线.
当时，线段中点的横坐标与的横坐标相等，
过，，三点不能作双曲线，则且.
因为的两个焦点均在轴上，
所以可设的方程为（，），
将，，的坐标代入的方程，得
①，②，③，
②－③得，因为，所以，
由①得，，
由③得，，而，
则，代入，
得，，
由且，得且.
故的离心率的取值范围为.
1 / 1河北衡水市第二中学等校2026届高三下学期一模数学试题
1．已知两个单位向量，互相垂直，则（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：易知，，且，
，则.
故答案为：A.
【分析】将平方，结合向量数量积求解即可.
2．设集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；函数的值域
【解析】【解答】解：易知，
因为，当且仅当时，即当时等号成立，
即，
故.
故答案为：A.
【分析】根据对数函数的值域即可得集合A，利用基本不等式求得集合，再根据集合的交集运算求即可.
3．若，则的虚部与实部的比值为（　　）
A． B．3 C． D．2
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：设复数，，则，
由题意可得，解得或，则的虚部与实部的比值为.
故答案为：D.
【分析】设复数，，根据复数代数形式的乘法运算，结合复数相等求解即可.
4．在正四面体中，为棱的中点，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
设正四面体的棱长为4，则，，
，则为正三角形，，
由余弦定理得，
，
故.
故答案为：B.
【分析】连接，设正四面体的棱长为4，易知为正三角形，，利用余弦定理求解即可.
5．某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取1000户居民，统计其月用水量（单位：吨），并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用这1000户居民的月用水量的80%分位数作为月用水量的临界值（精确到0.1），使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的临界值为（　　）
A．26.8吨 B．27.7吨 C．28.3吨 D．29.2吨
【答案】C
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知前五组的频率之和为，前六组的频率之和为，
设该市月用水量的临界值为吨，则，由，得，
则该市月用水量的临界值为28.3吨.
故答案为：C.
【分析】先计算频率分布直方图前五组和前六组的频率之和，设该市月用水量的临界值为吨，再根据频率分布直方图百分位数计算方法计算求解即可.
6．若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：，，，
则，
；
故的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质求得，再利用诱导公式，余弦的二倍角公式求解即可.
7．函数的极值点的个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，解得或或，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递增，
则在处取得极大值，在处取得极小值，故的极值点的个数为.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值点个数即可.
8．若非负数，满足，则的最大值为（　　）
A． B．42 C． D．40
【答案】C
【知识点】轨迹方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：令，，则，即，
由，可得，则（，），
即点的轨迹为圆不在第二、四象限的部分，
则表示点到坐标原点的距离，
由图可知，该距离的最大值为，
此时，，即，，所以的最大值为.
故答案为：C.
【分析】令，，原式，转化为，即点的轨迹为圆不在第二、四象限的部分，利用点与圆的位置关系求解即可.
9．若函数（）在内存在唯一的，使得，则的取值可能为（　　）
A． B．1 C． D．3
【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由，可得在内存在唯一的解，
当时，，则，即，
因仅有选项B，C中的值在此范围.
故答案为：BC.
【分析】由题意可得在内存在唯一的解，根据正弦函数性质求解即可.
10．已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（　　）
A． B．的最小值为
C． D．的图象关于点对称
【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：令，得，
以替代，得，
消去，得，再令，得，即，
所以，即，则，，故A正确，C错误；
，当时，取得最小值，且最小值为，故B正确；
因为，所以的图象关于点对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用赋值法求解即可判断AC；由利用二次函数的性质求解即可判断B；由即可判断D.
11．已知正方形的边长为2，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则（　　）
A．点在四棱锥外接球的球面上
B．四棱锥内切球的表面积为
C．四棱锥与四棱锥公共部分的体积为
D．四棱锥的四个侧面所在平面将空间分成14个部分
【答案】A,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、将四棱锥补成一个正方体，如图所示：
则四棱锥的外接球为该正方体的外接球，因为点是该正方体的一个顶点，
所以点在四棱锥外接球的球面上，故A正确；
B、四棱锥的体积，
侧面积，
表面积，
则四棱锥内切球的半径，
则该内切球的表面积为，故B错误；
C、连接，易证，，
则四边形和四边形均为平行四边形，
设，，则，分别为，的中点，
设，的中点分别为，，连接，，，，
则四棱锥和四棱锥的公共部分为几何体，
其体积为四棱锥和三棱柱的体积之和，
即，故C正确；
D、平面、平面、平面将空间分成8个，最后平面将其中6个空间各分成2部分，
则四个侧面所在平面将空间分成个部分，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将四棱锥补成一个正方体，根据四棱锥与正方体的关系即可判断A；先求四棱锥内切球的半径，再求内切球的表面积即可判断B；找出四棱锥与四棱锥公共部分，转化为求四棱锥和三棱柱的体积问题，再求和即可判断C；结合直观想象及空间想象即可判断D.
12．设表示不超过的最大整数，则不等式的解集为　 　.
【答案】
【知识点】指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，可得，则，解得.
故答案为：.
【分析】根据指数函数的单调性可得，再根据的定义求解即可.
13．已知是椭圆：上一点，点，，若，过点作的垂线，垂足为，则　 　，点到轴的距离为　 　.
【答案】；
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：易知点，分别为的左、右焦点，
由椭圆定义可得，
因为，所以，，
又因为，所以是等边三角形，
过点作的垂线，垂足为，如图所示：
则为的中点，，
设点在轴上的射影为，为坐标原点，
因为，
所以，
则点到轴的距离为.
故答案为：；.
【分析】易知点，分别为的左、右焦点，根据椭圆的定义，结合可得是等边三角形，过点作的垂线，垂足为，则为的中点，利用余弦定理求解即可.
14．来自某校高二年级的4名男生和3名女生组成的7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：①每个环节至少安排1名选手，每人只参加1个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现环节至少安排2人，且至少有1名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有　 　种.
【答案】1122
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：为方便叙述，将“方案设计”、“模型构建”、“编程实现”、“成果展示”四个环节依次记为环节一、环节二、环节三、环节四，由规则②④可知，环节一至少有2个人，环节一、环节二和环节四至少共有4个人，因此环节三最多有3个人；
当环节三有3个人时，则有可能是3个女生，或者2个女生和1个男生，或者1个女生和2个男生，
则安排好环节三有种方案，
剩余4个人，环节一必然有2个人，环节二和环节四各有1个人，
则安排好环节一、环节二和环节四有种方案.
所以安排好四个环节共有种方案，
当环节三有2个人时，则有可能是2个女生，或者1个女生和1个男生，
则安排好环节三有种方案，剩余5个人，
当环节一有2个人时，环节四有2个人，环节二有1个人，此时有种方案；
当环节一有3个人时，环节四有1个人，环节二有1个人，此时有种方案，
所以安排好四个环节共有种方案，
综上，满足条件的安排方案共有种.
故答案为：1122.
【分析】根据规则②④可知：环节三最多有3个人，再分环节三有3个人、环节三有2个人两种情况，结合分类加法计数原理以及组合知识求解即可.
15．如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点.
（1）证明：平面.
（2）若为线段的中点，且，，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接，，
因为，，分别为棱，，的中点，为正三棱柱，
所以，，所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为，所以平面平面，
又平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，，则
在正三棱柱中，则，，.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，，令，得.
由，
所以与平面所成角的正弦值，
故与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，，利用中位线性质，结合线面平行的判定定理以及面面平行的性质证明即可；
（2）取的中点，连接，，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：连接，.
因为，，分别为棱，，的中点，为正三棱柱
所以，，所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面.
同理可得平面.
因为，所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）解：取的中点，连接，，则
在正三棱柱中，则，，.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，，
令，得.
由，
所以与平面所成角的正弦值.
得与平面所成角的正弦值为.
16．某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立.
（1）求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.
（2）若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率.
（3）使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由.
【答案】（1）解：设某日检测结果与设备实际状态不符为事件，
由全概率公式可得，
则某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1；
（2）解：由（1）可知：某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1，
设恰有2天检测结果与实际不符为事件，
则，
故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486；
（3）解：应该引进该自动化检测系统，理由如下：
设使用自动化检测系统时每日总支出（即总损失）为元，
设备故障且被判为故障的概率为，
设备正常却被判为故障的概率为，
设备故障却被判为正常的概率为，
则，
因为，所以应该引进该系统.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，根根据全概率公式运算求解即可；
（2）由（1）可知：某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1，再根据独立重复性实验的概率公式运算求解即可；
（3）根据题意求使用自动化检测系统时每日总支出的期望，并与每日故障损失的期望对比分析即可.
（1）设某日检测结果与设备实际状态不符为事件，
由全概率公式可得，
故某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1.
（2）由（1）可知：某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1，
设恰有2天检测结果与实际不符为事件，
则，
故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486.
（3）应该引进该自动化检测系统，理由如下：
设使用自动化检测系统时每日总支出（即总损失）为元.
设备故障且被判为故障的概率为，
设备正常却被判为故障的概率为，
设备故障却被判为正常的概率为，
则.
因为，所以应该引进该系统.
17．已知集合中元素的个数为.
（1）若，，求.
（2）若，均为等差数列且，，，证明：也为等差数列.
（3）若，，且，求数列的前项和.
【答案】（1）解：若，，则，，
则满足的整数为，0，1，…，8，共有10个，故；
（2）证明：因为，，所以，
所以，
因为，均为等差数列，所以设，，
则为常数，
故是以为首项，为公差的等差数列；
（3）解：由，得，即，
则数列是为首项，公比为2的等比数列，
则，则，
当时，，，，
当时，，，，
当时，，因，所以，故大于的最小整数为，
又为整数，则，
当时，符合上式；当时，，
则，
当时，，
又因为，所以.
【知识点】元素与集合的关系；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）根据集合，求，利用列举法求解即可；
（2）根据数列的新定义，结合等差数列的定义证明即可；
（3）由，可得，构造等比数列，利用等比数列的定义求出，再由数列的新定义推出的通项公式，再借助于等比数列的求和公式分组求和即可.
（1）若，，则，，
则满足的整数为，0，1，…，8，共有10个，故；
（2）因为，，所以，
所以.
因为，均为等差数列，所以可设，，
则为常数，
故是以为首项，为公差的等差数列.
（3）由，得，即，
则数列是为首项，公比为2的等比数列，
则，则.
当时，，，.
当时，，，.
当时，，因，所以，故大于的最小整数为，
又为整数，则.
当时，符合上式；当时，，
故
当时，
，
又，所以.
18．已知函数.
（1）证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.
（2）当时，讨论零点的个数.
（3）当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3.
【答案】（1）证明：函数定义域为，，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值；
（2）解：当时，由，得或，
构造函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增，
当时，，
若，则，若，则，
当时，，若，则，若，则，
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点；
（3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多，
且0为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得，，
设函数，则，
，则在上单调递增，
因为在上单调递增，且，所以，
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故，
故当的零点个数最多时，的零点之和大于3.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）当时，令，解得或，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最值，作出函数的图象，数形结合，分析函数的零点情况即可；
（3）由（2）确定零点的分布和零点满足的条件，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求最值证明结论.
（1）证明：，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.
（2）当时，由，得或.
设函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增.
当时，，
若，则，若，则.
当时，，
若，则，若，则.
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点.
（3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多，
且0为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得
，.
设函数，则，
，则在上单调递增.
因为在上单调递增，且，所以.
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故.
故当的零点个数最多时，的零点之和大于3.
19．设抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，且线段的中点为（）.
（1）当时，求的准线方程.
（2）点为上一动点，过作的准线的垂线，垂足为，设过，，三点可作双曲线，且的两个焦点均在轴上.
（ⅰ）若过点，求的方程；
（ⅱ）求的离心率的取值范围.
【答案】（1）解：当时，点的坐标为，则的准线方程为；
（2）解：（ⅰ）因为的两个焦点均在轴上，且经过，，，，
由对称性可知，的中心为线段的中点，即，实半轴长为，设的方程为（），
的横坐标为，，均在上，则的横坐标为，
设，因为点在上，所以，代入的方程得，解得，
故的方程为；
（ⅱ）由题知，，设，则，，
当时，过，，三点不能作双曲线，
当时，线段中点的横坐标与的横坐标相等，
过，，三点不能作双曲线，则且，
因为的两个焦点均在轴上，所以设的方程为（，），
将，，的坐标代入的方程，得①，②，③，
②－③得，因为，所以，
由①得，，
由③得，，而，
则，代入，
得，，
由且，得且，
故的离心率的取值范围为.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将代入，求得焦点坐标，再根据抛物线的定义求准线方程即可；
（2）（ⅰ）根据对称性求得，实半轴长为，设双曲线方程为（），结合抛物线性质求出点坐标，代入双曲线方程求解即可；
（ⅱ）由题知，，设点，根据题意判断出点横坐标范围，结合图象平移设出双曲线方程，将，，代入双曲线方程，联立求出，表达式，代入离心率公式求范围即可.
（1）当时，依题意得的坐标为，
所以的准线方程为.
（2）（ⅰ）因为的两个焦点均在轴上，且经过，，，，
所以由对称性可知，的中心为线段的中点，即，
实半轴长为，设的方程为（）.
的横坐标为，，均在上，则的横坐标为，
设，又在上，所以，
代入的方程，得，解得.
的方程为.
（ⅱ）由题知，，设，则，.
当时，过，，三点不能作双曲线.
当时，线段中点的横坐标与的横坐标相等，
过，，三点不能作双曲线，则且.
因为的两个焦点均在轴上，
所以可设的方程为（，），
将，，的坐标代入的方程，得
①，②，③，
②－③得，因为，所以，
由①得，，
由③得，，而，
则，代入，
得，，
由且，得且.
故的离心率的取值范围为.
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