资源简介

2026届高三第三次月考数学质量监测试题
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．已知 tanα＝﹣3， ，则 sinα＝（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 z 为纯虚数，则|2a i|＝（ ）
A． B． C．2 D．3
3．已知集合 A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若 B为 A的真子集，则 m的取值范围是（ ）
A．{m|m＜2} B．{m|2≤m＜3} C．{m|m≤3} D．{m|2＜m≤3}
4．已知实数 x，y满足方程 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[2，4]
5．设函数 ，则 （ ）
A．8 B．9 C．5 D．4
6．设 ，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
7．如图在直角梯形 ABCD中，已知 ， ， AB＝ 5， AD＝ 3， CD＝ 2，则
（ ）
1
A．22 B．24 C．20 D．18
8．已知正四面体 ABCD的顶点 B，C，D均在球 O的表面上，球心 O在平面 BCD内，棱 AB与球面交于
点 P．若 A∈平面α1，B∈平面α2，C∈平面α3，D∈平面α4，ai∥ai+1（i＝1，2，3）且α1与αi+1（i＝1，2，
3）之间的距离为同一定值，棱 AC，AD分别与α2交于点 Q，R，若△PQR的周长为 ，则球
O的半径为（ ）
A．2 B．1 C． D．
二．多选题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．对于一元线性回归模型，下列说法错误的是（ ）
A．对于随机误差 e，在刻画成对变量的相关关系时，需假定 E（e）＝0
B．解释变量的取值距离样本数据范围越远，预报的效果越差
C．在经验回归方程 中，样本点（1，1.2）的残差为﹣0.2
D．在经验回归方程 中，当解释变量 x每增加 1个单位时，响应变量 y平均减少 3个单位
10．已知曲线 C：x2+y2﹣2|x|﹣2|y|+1＝0，曲线 L：y＝k|x|﹣3，则（ ）
A．C的周长为 8π
B．当 时，L与 C有且只有 2个公共点
C．当 L与 C有且只有 6个公共点时，则 k的取值集合为{2，3}
D．当 L与 C有 8个公共点时，k的取值范围为
11．设正整数 ，其中 ai∈{0，1}，i＝0，1，2， ，9，定义ω（n
）＝a0+a1+ +a9．设集合 A＝{n|ω（n）＝2}，从 A中随机选取一个元素，记为 X，则（ ）
A．10∈A B．A中的元素个数为 36
C． D．
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12．一个正方体内接于一个高为 ，底面半径为 1的圆锥，则正方体的棱长为 ．
13．某晚会由 4个歌舞节目和 2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前 3个节
目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有 种．
2
14．设 a∈R，函数 ，若 f（ x）恰有两个零点，则 a的取值范围
为 ．
四．解答题：共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（13分）已知数列{an}满足 2an+1﹣2an＝a1，且 a2＝3，其前 n项和记 Sn．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记数列 的前 n项和为 Tn，求证： ．
16．（15分）已知函数 f（x）＝x﹣1﹣alnx．
（1）若 f（x）≥0恒成立，求 a的取值集合；
（2）当 时，证明：当 x＞1时， 恒成立．
17．（15分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为菱形，平面 PDC⊥平面 ABCD，PD⊥DC，E，
F分别为 AB，PD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面 PBC；
（Ⅱ）若 AD＝2 ，PD＝4，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知：
（i）求二面角 E﹣FC﹣P的大小；
（ⅱ）线段 PB上是否存在一点M，使得 DM⊥平面 EFC？若存在，说明点M的位置，若不存在，说明
理由．
条件①：DE⊥PC；
条件②：PB＝PC．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
3
18．（17分）椭圆 的离心率为 ，点 在 C上．
（1）求 C的方程．
（2）圆 在椭圆 C内，过 C的右顶点 P作圆 Q的两条切线 l1，l2，斜率分别为 k1，
k2，且分别与 C交于 A，B两点（均不与点 P重合）．
①求 k1 k2的值．
②当 t变化时，证明：直线 AB与 x轴交于定点．
19．（17分）某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下：
①将 n（n＜N*，n≥2）个学生依次编号为 1，2，…，n，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张；
②老师先给 1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡；
③2号从 1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从 2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重
复上述操作，直至 n号从 n﹣1号手中的三张卡片中随机抽取一张；
④老师从 n号手中的三张卡片中随机取出一张弃置．则一轮游戏结束．
（1）求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率；
（2）求在一轮游戏结束后，n号学生手中红卡张数的期望；
（3）在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重
新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止，求比赛进行两
轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率．
4
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C A B B A A
二．多选题
题号 9 10 11
答案 CD ABD ACD
三．填空题
12． ．
13．432．
14． ．
四．解答题
15．解：（1）因为 2an+1﹣2an＝a1，所以 ，
所以{an}是公差为 的等差数列．
又 ，所以 a1＝2，从而公差为 1，
所以 an＝2+n﹣1＝n+1．
（2） ，
，
所以
，
因为 n∈N*，所以 ，不等式得证．
5
16．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
①若 a≤0，因为 ，所以不满足题意；
②若 a＞0，由 知，当 x∈（0，a）时，f′（x）＜0；
当 x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，所以 f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，
故 f（x）在 x＝a时取得最小值，所以 f（a）＝a﹣1﹣alna≥0，
令 g（a）＝a﹣1﹣alna，则 g′（a）＝1﹣lna﹣1＝﹣lna
当 a＞1时，g′（a）＜0，g（a）单调递减；当 0＜a＜1时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；
又 g（1）＝0，故 g（a）≤0，当且仅当 a＝1时取到等号，
所以 f（a）＝a﹣1﹣alna≥0的解为 a＝1，故 a＝1．
（2）证明： ，且 x＞1时，则 ，故 ．
要证明 即证 ，
而 ，
令 g（x）＝ex﹣1﹣2x+1+lnx（x＞1），下证 g（x）＞0即可．
，再令 h（x）＝g′（x），则 ，
由于函数 在（1，+∞）上递增，故 h′（x）在（1，+∞）上递增，则 h′（x）＞
h′（1）＝e0﹣1＝0，
即 g′（x）＝h（x）在（1，+∞）上递增，
故 g′（x）＞g′（1）＝e0﹣2+1＝0，即 g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故 g（x）＞g（1）＝e0﹣2+1+ln1＝0，得证．
17．（Ⅰ）证明：取 PC中点 G，连接 BG、FG，
因为 F，G分别为 PD，PC的中点，所以 FG∥DC且 ，
又 E为 AB的中点，底面 ABCD为菱形，所以 EB∥DC且 ，
则 FG∥EB且 FG＝EB，所以四边形 EFBG为平行四边形，则 EF∥BG，
又 BG 平面 PBC，EF 平面 PBC，故 EF∥平面 PBC；
（Ⅱ）选条件①：DE⊥PC，连接 DE，
因为平面 PDC⊥平面 ABCD，平面 PDC∩平面 ABCD＝DC，又 PD⊥DC，DC 平面 ABCD，
6
所以 PD⊥平面 ABCD，因为 DE 平面 ABCD，所以 PD⊥DE，
因为 DE⊥PC，PD∩PC＝P，PD，PC 平面 PDC，
所以 DE⊥平面 PDC，则 DE⊥DC，
以 D为原点，以 DE，DC，DP所在的直线分别为 x，y，z轴建空间直角立坐标系，
D（0，0，0）， ， ，P（0，0，4），E（3，0，0），F（0，0，2），
（i）设平面 EFC的法向量为 （x，y，z），由 ， ，
得 ，令 ，则 ，
由于 DE⊥平面 PDC，所以 （3，0，0）为平面 FCP的一个法向量，
可得 3×2+0 0×3＝6，| |＝3，| | 4，
所以 ，
由图可知二面角 E﹣FC﹣P为钝角，故二面角 E﹣FC﹣P的大小为 120°；
（ii）设 且λ∈[0，1]，则 ，
所以 ，
因为 DM⊥平面 EFC， ∥ ，则 ，无解，故不存在 M，使得 DM⊥平面 EFC；
选条件②：PB＝PC，连接 DE，DB，
因为平面 PDC⊥平面 ABCD，平面 PDC∩平面 ABCD＝DC，又 PD⊥DC，DC 平面 ABCD，
所以 PD⊥平面 ABCD，因为 DE，DB 平面 ABCD，
所以 PD⊥DE，PD⊥DB，
因为 PB＝PC，则△PDB≌△PDC，所以 DB＝DC，则 DB＝DC＝AD＝AB，
因为 E为 AB中点，所以 DE⊥AB，由菱形 ABCD得 AB∥DC，所以 DE⊥DC，
以 D为原点，DE，DC，DP为 x，y，z轴建立空间直角立坐标系，D（0，0，0）， ，
，P（0，0，4），E（3，0，0），F（0，0，2），
7
（i）设平面 EFC的法向量为 ，由 ，
（0，﹣2 ，2），
可得 ，即 ，令 x＝2，
则 （2， ，3），
由于 DE⊥平面 PDC，所以 （3，0，0）为平面 FCP的一个法向量，
可得 3×2+0 6，| |＝3，| | 4，
所以 cos ， ，
由图可知二面角 E﹣FC﹣P为钝角，故二面角 E﹣FC﹣P的大小为 120°；
（ii）设 且λ∈[0，1]，则 ，
所以 ，
因为 DM⊥平面 EFC， ∥ ，则 ，无解．
故不存在 M，使得 DM⊥平面 EFC．
18．解：（1）由题意可得 ，且 ，
又 a2＝b2+c2，解得 a＝2， ，c＝1，故 C的方程为 ；
（2）①由题可得 ，设直线 PA，PB的斜率分别为 k1，k2，
则直线 PA的方程为 ，
由直线 PA与圆 Q相切可知，圆心 Q到直线 PA的距离 ，
整理得 ，
同理 ，
则 k1，k 2 22为方程（3﹣t ）k +6k+3﹣t2＝0的两个根，所以 ；
②证明：设 A（x1，y1），B（x2，y2），
由 得 12＝0，
8
则 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
同理得 ，
直线 AB的斜率
，
所以直线 AB的方程为 ，
令 y＝0，得 ，
所以直线 AB与 x轴交于定点 ．
19．解：（1）解：记 D＝“一轮游戏结束后 1号手中有两张红卡”，
若要 1号手中是两张红卡，则应从在 1号手中放入红卡，取出黑卡，
所以 ，
所以一轮游戏结束后，1号学生恰有两张红卡的概率为 ；
（2）记 Ai＝“抽取卡片后 i号学生手中有两张红卡和一张黑卡”，Bi＝“从 i号手中取出的卡为红卡”，
所以 ， ， ， ，
则由全概率公式可得：P（A）＝P（Ai﹣1）P（Bi﹣1|Ai﹣1）+P（ ）P（Bi﹣1| ） P（Ai﹣1）
P（ ），
则 ，故 ，
又 ，所以 ，1≤i≤n，
假设一轮游戏结束后，n号手中红卡个数为 X，X的可能取值为 0，1，2，
，
，
9
，
所以 ；
（3）由题可知，一轮游戏后至少还有两位学生未被淘汰，
记 Mk＝“一轮游戏后剩 k个学生未被淘汰”，其中 k＝2，3，…，n，
记 N＝“两轮游戏后恰好剩一个学生未被淘汰”，
则 N＝M2N+M3N+ +MnN，
由（2）知，每个学生 i一轮后最终卡片的状态概率为：
两红的概率 ，
两黑的概率 ，
所以单个学生被淘汰的概率均为 ，不淘汰的概率为 ，
故一轮结束后，未被淘汰的人数 k服从二项分布 ，
所以 ，k＝2，3，…，n，
第二轮结束后，k人中剩 1人未被淘汰的概率为： ，
所以 ，
由全概率公式得：
，
因为 ，
因 为
，
所以 ，
所以比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率为
10

展开更多......

收起↑