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湖南省株洲市外国语学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，则的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．下列变形属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．李明同学对七年级的120名同学关于节约用水的方法选择的问题进行了问卷调查（每人选择一项），其中各项人数统计如水滴图，如果将这个水滴图绘制成扇形统计图，那么表示“巧妙用水”的扇形的圆心角的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，直线、相交于点O，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排的，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
10．如图①，已知长方形纸带，，，，点E、F分别在边、上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．白天的平均温度是零上，记作，那么夜间的平均温度为零下，记为　 　．
12．代数式的值为0时，的值为　 　．
13．分解因式： =　 　．
14．如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为　 　cm．
15．若单项式与的差仍是单项式，则　 　．
16．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，光线从液体中射向空气时发生折射，光线偏折了，则的度数为　 　．
17．如图，将面积为6的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则　 　．
18．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，记：
，
．
同学们，通过以上材料的阅读，请回答下列问题：
若对于任意x都存在，则代数式的值为　 　．
三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．某中学为丰富校园体育活动，成立了跑步、跳绳、篮球、乒乓球、羽毛球共五个社团．为了解全校学生对五个社团的喜爱情况，现随机抽取部分学生进行问卷调查，并形成如下调查报告（不完整）：
调查主题 某中学学生对五个社团的喜爱情况
调查方式 抽样调查
调查对象 该中学的学生
调查方案 方案一：抽取七年级的部分学生进行调查； 方案二：抽取每个班的体育委员进行调查； 方案三：按各年级人数比例，分别抽取合适人数的学生进行调查．
调查问卷 您最喜爱的社团是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．跑步社团（　　）；B．跳绳社团（　　）；C．篮球社团（　　）； D．乒乓球社团（　　）；E．羽毛球社团（　　）．
调查结果 将所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下两幅统计图（不完整）：
请根据调查报告，解答下列问题：
（1）上述调查方案中，最合理的是方案　 　（填“一”，“二”或“三”）；
（2）本次抽样调查的总人数共有多少人？
（3）根据调查结果直接补全条形统计图；
（4）若该校共有1000名学生，所有学生都只选择了一项社团，请通过计算估计该校参加篮球社团的学生有多少名？
22．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）连接，恰好满足平分，若，，求的度数．
23．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买1根A种跳绳和3根B种跳绳共需105元；购买3根A种跳绳和5根B种跳绳共需215元．
（1）求A，B两种跳绳的单价；
（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，总费用不超过1322元，最多可购买A种跳绳多少根？
24．甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面面积分别为，．
（1）比较与的大小．
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探圥：与的差是否为为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．
25．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
（1）已知多项式，则此多项式的零点为______．
（2）已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
（3）小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3—系多项式”．若多项式是“3—系多项式”，求a与c的值．
26．如图，，的平分线交于点G．
（1）试说明：；
（2）如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H．
①若，试判断与的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是．
故选：B．
【分析】
根据倒数的定义：两个数相乘积是1即可求解．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐项分析，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故选：B
【分析】先利用积的乘方计算得到原式为，再合并同类项即可．
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：、，不属于因式分解，不符合题意；
、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意；
、，不属于因式分解，不符合题意；
、，属于因式分解，符合题意；
故选：．
【分析】
根据因式分解定义：将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式逐个判断即可，
5．【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】用360度乘以巧妙用水的人数占总人数的比值即可得到答案．
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由，得，
由，得，
不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
故选：C．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到"，求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
7．【答案】C
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】先根据对顶角相等得，再根据求解即可．
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意得：图2所示的算筹图我们可以表述为：，
故选：A．
【解析】
先根据图1的算筹图与方程组的对应关系，推断算筹表示数字的规则，再依据该规则解读图2的算筹图，列出对应的二元一次方程组.
9．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：、为定点，
则为定值，
随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的；
故①错误；
由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变，
即的面积不变；
故②正确；
随着点的运动，的度数是变化的；
故③错误；
两平行线间的距离相等，
即点到直线的距离不变；
故④正确；
综上，正确的有②④；
故选：C．
【分析】根据三角形的周长的概念计算即可判断①；根据两平行线间的距离相等，则点到底边的距离不变即可判断④，结合三角形面积计算公式即可判断②；根据角的定义即可判断③，进而即可求解.
10．【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠可得：，
，
．
，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据折叠和平行线的性质得到，即可得到，解题即可．
11．【答案】
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：零上温度记为正，则零下温度就记为负，
∴夜间平均温度为零下，应记作，
故答案为：．
【分析】根据零上温度记为正，则零下温度就记为负，进而即可求解.
12．【答案】3
【知识点】二次根式的概念；求二次根式中的参数
【解析】【解答】解：∵代数式的值为0，
∴，
解得：．
∴的值为3．
故答案为：3．
【分析】根据二次根式的值为0的条件列方程得到，进而即可求出x的值.
13．【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
14．【答案】1
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，
∴BC＝AB＝×8＝4（cm），
∵BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），
则CD的长为1cm；
故答案为：1．
【分析】先利用线段中点的性质求出BC的长，再结合BD的长利用线段的和差求出CD的长即可.
15．【答案】-4
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】∵单项式与的差仍是单项式
∴单项式与是同类项
∴m=2，n+1=4，
∴m=2，n=3，
∴
故答案为：-4．
【分析】根据题意可得单项式与是同类项，再利用同类项的定义可得m=2，n+1=4，求出m、n的值，最后将m、n的值代入计算即可。
16．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为．
【分析】
利用平行线的性质求出的度数，再根据“光线偏折”的定义确定的度数，最后利用教的和差关系求解即可.
17．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴表示的数分别为，
∴；
故答案为：．
【分析】
根据题意求出两个正方形的边长，利用两点间的距离，进行求解即可．
18．【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：∵=，
根据二次项系数可得，
∴，
整理得：，
∴，，
∴ ，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意得到，再根据多项式相等得出的值，进而代入代数式即可求解．
19．【答案】解：原式

【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据化简绝对值，立方根与算术平方根进行计算即可求解．
20．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据乘法公式去括号得到，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
21．【答案】（1）三
（2）解：本次抽样调查的总人数为（人），
（3）解：最喜爱篮球社团的人数为（人），
则补全条形统计图如下：
．
（4）解：（名），
答：估计该校参加篮球社团的学生有400名．
【知识点】抽样调查的可靠性；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：因为方案三抽查的对象最具有代表性和广泛性，
所以上述调查方案中，最合理的是方案三，
故答案为：三．
【分析】（1）依据抽样调查的合理性与代表性进行选择，进而得出答案；
（2）用最喜欢乒乓球社团的人数除以其对应的百分比，即可算出本次抽样调查的总人数；
（3）用调查总人数乘最喜欢篮球社团人数的百分比，得到喜爱篮球社团的具体人数，再根据该数据补全条形统计图；
（4）利用本次抽样调查的总人数乘以最喜爱篮球社团的人数所占的百分比可求出最喜爱篮球社团的人数，据此补全条形统计图即可得；
（1）解：因为方案三抽查的对象最具有代表性和广泛性，
所以上述调查方案中，最合理的是方案三，
故答案为：三．
（2）解：本次抽样调查的总人数为（人），
（3）解：最喜爱篮球社团的人数为（人），
则补全条形统计图如下：
．
（4）解：（名），
答：估计该校参加篮球社团的学生有400名．
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
由（1）可得，，
∴，
又∵，即，
∴，
∴．

【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得，利用等量代换可得，再根据内错角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，最后根据角之间的数量关系计算即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
由（1）可得，，
∴，
又∵，即，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，
根据题意得：，
解得，
答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为25元；
（2）解：设购买A种跳绳a根，则购买B种跳绳根，
根据题意得：，
解得，
∵a为正整数，
∴a得最大值为24，
答：最多可购买A种跳绳24根．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设种跳绳的单价为x元，种跳绳的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购买型跳绳a根，则购买B种跳绳根，根据“总费用不超过1322元”，列出不等式，解不等式即可得到答案．
24．【答案】（1）解：根据长方形的面积公式可得：，，
∴
，
∴
（2）解：正方形的周长为：，
正方形的边长为：，
，
，
∴与的差是定值，定值为10
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式求出、，再作差即可得解；
（2）先求出正方形的周长，再得出正方形的边长，从而表示出，再求出即可得解．
（1）解：根据长方形的面积公式可得：，，
∴
，
故；
（2）解：正方形的周长为：，
正方形的边长为：，
，
，
故与的差是定值，定值为10．
25．【答案】（1）或
（2）解：根据题意，把代入，得，
解得：，
把代入，得，
令，
解得：，
多项式的另一个零点是；
（3）姐：，
的两个零点分别是或，
根据“系多项式”的定义，有，
∴
把代入，
得
，
，
故答案为：，．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：根据题意，令，
或，
解得：或，
故答案为：或；
【分析】（1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案；
（2）根据题意，把代入多项式，求出，然后将代入B中得到，进而即可求解；
（3）根据题意得到的两个零点分别是或，然后根据“系多项式”的定义，有，据此求出b的值，然后把b的值代入M中计算即可.
（1）解：根据题意，令，
或，
解得：或，
故答案为：或；
（2）根据题意，把代入，得，
解得：，
把代入，得，
令，
解得：，
多项式的另一个零点是；
（3），
的两个零点分别是或，
根据“系多项式”的定义，有，
∴
把代入，
得
，
，
故答案为：，．
26．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：如图1，设，
∵，，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
由①得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
过点M作，则
当点M在线段上时，如图2，
由①得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点M在线段的延长线上时，如图3，
同理可得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的值为或．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，然后结合角平分线的定义即可求证；
（2）①设，则，，，由平行线的性质推出，然后再根据角平分线的定义得到，由①得，根据，推出，即可得到；
②由①得，求出，过点M作，则，分两种情况讨论，①点M在线段上，②点M在线段的延长线上，
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
如图1，设，
∵，，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
由①得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
过点M作，则
当点M在线段上时，如图2，
由①得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点M在线段的延长线上时，如图3，
同理可得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的值为或．
1 / 1湖南省株洲市外国语学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，则的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是．
故选：B．
【分析】
根据倒数的定义：两个数相乘积是1即可求解．
2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐项分析，即可得出答案.
3．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故选：B
【分析】先利用积的乘方计算得到原式为，再合并同类项即可．
4．下列变形属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：、，不属于因式分解，不符合题意；
、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意；
、，不属于因式分解，不符合题意；
、，属于因式分解，符合题意；
故选：．
【分析】
根据因式分解定义：将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式逐个判断即可，
5．李明同学对七年级的120名同学关于节约用水的方法选择的问题进行了问卷调查（每人选择一项），其中各项人数统计如水滴图，如果将这个水滴图绘制成扇形统计图，那么表示“巧妙用水”的扇形的圆心角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】用360度乘以巧妙用水的人数占总人数的比值即可得到答案．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由，得，
由，得，
不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
故选：C．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到"，求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
7．如图，直线、相交于点O，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】先根据对顶角相等得，再根据求解即可．
8．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排的，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意得：图2所示的算筹图我们可以表述为：，
故选：A．
【解析】
先根据图1的算筹图与方程组的对应关系，推断算筹表示数字的规则，再依据该规则解读图2的算筹图，列出对应的二元一次方程组.
9．如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：、为定点，
则为定值，
随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的；
故①错误；
由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变，
即的面积不变；
故②正确；
随着点的运动，的度数是变化的；
故③错误；
两平行线间的距离相等，
即点到直线的距离不变；
故④正确；
综上，正确的有②④；
故选：C．
【分析】根据三角形的周长的概念计算即可判断①；根据两平行线间的距离相等，则点到底边的距离不变即可判断④，结合三角形面积计算公式即可判断②；根据角的定义即可判断③，进而即可求解.
10．如图①，已知长方形纸带，，，，点E、F分别在边、上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠可得：，
，
．
，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据折叠和平行线的性质得到，即可得到，解题即可．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．白天的平均温度是零上，记作，那么夜间的平均温度为零下，记为　 　．
【答案】
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：零上温度记为正，则零下温度就记为负，
∴夜间平均温度为零下，应记作，
故答案为：．
【分析】根据零上温度记为正，则零下温度就记为负，进而即可求解.
12．代数式的值为0时，的值为　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式的概念；求二次根式中的参数
【解析】【解答】解：∵代数式的值为0，
∴，
解得：．
∴的值为3．
故答案为：3．
【分析】根据二次根式的值为0的条件列方程得到，进而即可求出x的值.
13．分解因式： =　 　．
【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
14．如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为　 　cm．
【答案】1
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，
∴BC＝AB＝×8＝4（cm），
∵BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），
则CD的长为1cm；
故答案为：1．
【分析】先利用线段中点的性质求出BC的长，再结合BD的长利用线段的和差求出CD的长即可.
15．若单项式与的差仍是单项式，则　 　．
【答案】-4
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】∵单项式与的差仍是单项式
∴单项式与是同类项
∴m=2，n+1=4，
∴m=2，n=3，
∴
故答案为：-4．
【分析】根据题意可得单项式与是同类项，再利用同类项的定义可得m=2，n+1=4，求出m、n的值，最后将m、n的值代入计算即可。
16．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，光线从液体中射向空气时发生折射，光线偏折了，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为．
【分析】
利用平行线的性质求出的度数，再根据“光线偏折”的定义确定的度数，最后利用教的和差关系求解即可.
17．如图，将面积为6的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴表示的数分别为，
∴；
故答案为：．
【分析】
根据题意求出两个正方形的边长，利用两点间的距离，进行求解即可．
18．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，记：
，
．
同学们，通过以上材料的阅读，请回答下列问题：
若对于任意x都存在，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：∵=，
根据二次项系数可得，
∴，
整理得：，
∴，，
∴ ，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意得到，再根据多项式相等得出的值，进而代入代数式即可求解．
三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．计算：．
【答案】解：原式

【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据化简绝对值，立方根与算术平方根进行计算即可求解．
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据乘法公式去括号得到，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
21．某中学为丰富校园体育活动，成立了跑步、跳绳、篮球、乒乓球、羽毛球共五个社团．为了解全校学生对五个社团的喜爱情况，现随机抽取部分学生进行问卷调查，并形成如下调查报告（不完整）：
调查主题 某中学学生对五个社团的喜爱情况
调查方式 抽样调查
调查对象 该中学的学生
调查方案 方案一：抽取七年级的部分学生进行调查； 方案二：抽取每个班的体育委员进行调查； 方案三：按各年级人数比例，分别抽取合适人数的学生进行调查．
调查问卷 您最喜爱的社团是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．跑步社团（　　）；B．跳绳社团（　　）；C．篮球社团（　　）； D．乒乓球社团（　　）；E．羽毛球社团（　　）．
调查结果 将所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下两幅统计图（不完整）：
请根据调查报告，解答下列问题：
（1）上述调查方案中，最合理的是方案　 　（填“一”，“二”或“三”）；
（2）本次抽样调查的总人数共有多少人？
（3）根据调查结果直接补全条形统计图；
（4）若该校共有1000名学生，所有学生都只选择了一项社团，请通过计算估计该校参加篮球社团的学生有多少名？
【答案】（1）三
（2）解：本次抽样调查的总人数为（人），
（3）解：最喜爱篮球社团的人数为（人），
则补全条形统计图如下：
．
（4）解：（名），
答：估计该校参加篮球社团的学生有400名．
【知识点】抽样调查的可靠性；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：因为方案三抽查的对象最具有代表性和广泛性，
所以上述调查方案中，最合理的是方案三，
故答案为：三．
【分析】（1）依据抽样调查的合理性与代表性进行选择，进而得出答案；
（2）用最喜欢乒乓球社团的人数除以其对应的百分比，即可算出本次抽样调查的总人数；
（3）用调查总人数乘最喜欢篮球社团人数的百分比，得到喜爱篮球社团的具体人数，再根据该数据补全条形统计图；
（4）利用本次抽样调查的总人数乘以最喜爱篮球社团的人数所占的百分比可求出最喜爱篮球社团的人数，据此补全条形统计图即可得；
（1）解：因为方案三抽查的对象最具有代表性和广泛性，
所以上述调查方案中，最合理的是方案三，
故答案为：三．
（2）解：本次抽样调查的总人数为（人），
（3）解：最喜爱篮球社团的人数为（人），
则补全条形统计图如下：
．
（4）解：（名），
答：估计该校参加篮球社团的学生有400名．
22．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）连接，恰好满足平分，若，，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
由（1）可得，，
∴，
又∵，即，
∴，
∴．

【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得，利用等量代换可得，再根据内错角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，最后根据角之间的数量关系计算即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
由（1）可得，，
∴，
又∵，即，
∴，
∴．
23．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买1根A种跳绳和3根B种跳绳共需105元；购买3根A种跳绳和5根B种跳绳共需215元．
（1）求A，B两种跳绳的单价；
（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，总费用不超过1322元，最多可购买A种跳绳多少根？
【答案】（1）解：设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，
根据题意得：，
解得，
答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为25元；
（2）解：设购买A种跳绳a根，则购买B种跳绳根，
根据题意得：，
解得，
∵a为正整数，
∴a得最大值为24，
答：最多可购买A种跳绳24根．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设种跳绳的单价为x元，种跳绳的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购买型跳绳a根，则购买B种跳绳根，根据“总费用不超过1322元”，列出不等式，解不等式即可得到答案．
24．甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面面积分别为，．
（1）比较与的大小．
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探圥：与的差是否为为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）解：根据长方形的面积公式可得：，，
∴
，
∴
（2）解：正方形的周长为：，
正方形的边长为：，
，
，
∴与的差是定值，定值为10
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式求出、，再作差即可得解；
（2）先求出正方形的周长，再得出正方形的边长，从而表示出，再求出即可得解．
（1）解：根据长方形的面积公式可得：，，
∴
，
故；
（2）解：正方形的周长为：，
正方形的边长为：，
，
，
故与的差是定值，定值为10．
25．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
（1）已知多项式，则此多项式的零点为______．
（2）已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
（3）小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3—系多项式”．若多项式是“3—系多项式”，求a与c的值．
【答案】（1）或
（2）解：根据题意，把代入，得，
解得：，
把代入，得，
令，
解得：，
多项式的另一个零点是；
（3）姐：，
的两个零点分别是或，
根据“系多项式”的定义，有，
∴
把代入，
得
，
，
故答案为：，．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：根据题意，令，
或，
解得：或，
故答案为：或；
【分析】（1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案；
（2）根据题意，把代入多项式，求出，然后将代入B中得到，进而即可求解；
（3）根据题意得到的两个零点分别是或，然后根据“系多项式”的定义，有，据此求出b的值，然后把b的值代入M中计算即可.
（1）解：根据题意，令，
或，
解得：或，
故答案为：或；
（2）根据题意，把代入，得，
解得：，
把代入，得，
令，
解得：，
多项式的另一个零点是；
（3），
的两个零点分别是或，
根据“系多项式”的定义，有，
∴
把代入，
得
，
，
故答案为：，．
26．如图，，的平分线交于点G．
（1）试说明：；
（2）如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H．
①若，试判断与的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：如图1，设，
∵，，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
由①得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
过点M作，则
当点M在线段上时，如图2，
由①得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点M在线段的延长线上时，如图3，
同理可得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的值为或．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，然后结合角平分线的定义即可求证；
（2）①设，则，，，由平行线的性质推出，然后再根据角平分线的定义得到，由①得，根据，推出，即可得到；
②由①得，求出，过点M作，则，分两种情况讨论，①点M在线段上，②点M在线段的延长线上，
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
如图1，设，
∵，，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
由①得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
过点M作，则
当点M在线段上时，如图2，
由①得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点M在线段的延长线上时，如图3，
同理可得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的值为或．
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