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湖南省永州市祁阳市浯溪第二中学2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知a=255，b=344，c=533，d=622 ，那么a，b，c，d大小顺序为（　　）
A．a5．若，则下列叙述正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．计算的结果（　　）
A． B． C． D．
7．根据下列表格，估计的大小（　　）
x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65
2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225
A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间
C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间
8．观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（　　）
A． B．
C． D．
9．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：99第1次第2次第3次，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似的，使数2025变为1需要进行操作的次数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中横线上）
11． 64的算术平方根是　 　.
12．比较大小：2　 　（填入“”或“”号）
13．若，则的值为　 　．
14．若是一个完全平方式，那么　 　．
15．已知，则的值为　 　.
16．若 ，且 是两个连续的整数，则 的值为　 　.
17．在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是　 　．
18．用一些棋子摆成如图所示的长方形点阵和等边三角形点阵，长方形点阵的长所用棋子的颗数是宽所用棋子颗数的2倍，等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多．如果等边三角形点阵比长方形点阵多用20颗棋子，则等边三角形点阵所用棋子的颗数为　 　．
三、解答题（本大题共8大题，19、20题每小题6分，21、22题每小题8分；23、24题每小题9分，25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．解下列一元一次不等式（组）：
（1）；
（2）．
21．先化简，再求值：，其中，．
22．已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围．
23．阅读下列材料：
小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小
请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题
（1）
由此可归纳出结论： _________．
（2）根据上面的结论计算：
类似的：
__________；
（3）类比应用：__________；
（4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小．
24．为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元．
（1）求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？
25．有一张边长为厘米的正方形木板，现需要将边长增加厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案，都可以利用图形面积关系来验证完全平方公式．
例如方案一：
大正方形面积可看成，也可看成，故
（1）根据方案三，大正方形面积可看成①______，也可看成②________③________，故；
（2）若边长，之间的关系为，，求的值；
（3）两块大小相等，形状相同的和（其中）按图的方式放置，、在同一直线上，连接、，若，，求阴影部分面积．
26．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“浯溪水亦香方程”．例如的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组，的“浯溪水亦香方程”．
（1）方程是下列哪些不等式组的______“浯溪水亦香方程”：（填序号）
①；②；③．
（2）若关于的方程是不等式组的“浯溪水亦香方程”，求的取值范围；
（3）若方程，都是关于的不等式组的“浯溪水亦香方程”，其中，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，，，属于有理数；
是无理数．
故选：A．
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
2．【答案】D
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】根据幂的乘方法则直接计算即可．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．（am）n=amn，故此选项错误；
B.2a+a=3a，故此选项错误；
C．（a2b）3=a6b3，正确；
D．a2 a3=a5，故此选项错误．
故选C．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则、合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则求出答案．
4．【答案】D
【知识点】幂的乘方运算；幂的大小比较
【解析】【解答】∵a=255=（25）11，
b=344=（34）11，
c=533=（53）11，
d=622=(62)11，
53＞34＞62＞25，
∴（53）11＞（34）11＞（62）11＞（25）11，
即a＜d＜b＜c，
故正确选项为：D.
【分析】
根据幂的乘方法则：将各个式子化为指数相同，比较底数的大小.
5．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故A不符合题意；
当时，，
故B不符合题意；
∵，
∴，
∴，，
故C符合题意；D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时加或者减去一个数不等号符号不改变；不等式两边同时乘以或除以一个非零数，不等号符号不改变；不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号符号改变，据此判断选择即可．
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】根据完全平方公式直接进行计算即可．
7．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
由表格数据可知：在之间
故选：B
【分析】根据，则据此即可求解.
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：左图中大正方形的边长为，面积为，小正方形的边长为，面积为，
右图中的面积即为左图中阴影部分的面积，即，
∴，
故选：A ．
【分析】根据图示可知左边阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即，右边的图可知阴影部分面积为，进而即可求解.
9．【答案】B
【知识点】无理数的估值；探索数与式的规律；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【解答】解：．
∴对只需进行4次操作后变为1．
故选：B．
【分析】根据表示不大于x的最大整数，并且结合定义的新运算和无理数的估算进行求解．
10．【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
得：
解得，
把代入得：，
解得：，
∵关于，的二元一次方程组的解为整数，
，，，，，，
解关于的不等式组，得；
∵关于的不等式组有且仅有个整数解，
；
解得：，
整数为，，，，其和为；
故选：D
【分析】先利用加减消元法解得，进而即可求出，然后根据题意可知，，，，，， 然后解关于的不等式组得到，结合题意可知道，进而计算即可.
11．【答案】8
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：64的算术平方根是8。
故答案为：8。
【分析】根据算术平方根的定义，由于82=64，所以64的算术平方根是8。
12．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，
∵，
∴
故答案为：．
【分析】根据，则，进而即可求解.
13．【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：1．
【分析】根据题意得到，据此即可求出m和n的值，然后代入计算即可求解.
14．【答案】9
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
；
故答案为：
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
15．【答案】18
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
当时，
原式==18，
故答案为：18.
【分析】利用幂的运算性质，将代数式转化为（ax）2·ay，然后代入求值.
16．【答案】56
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ∵49＜50＜64
，
又 ，其中a、b为两个连续的整数，
∴a=7，b=8，
∴ab=56.
故答案为：56.
【分析】直接利用 的取值范围得出a，b的值，进而得出答案
17．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：根据图示知，已知不等式的解集是．
∵，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】根据新运算法则得到不等式，据此得到x的取值范围，即，据此即可求出k的值.
18．【答案】820
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的棋子为n个，共用的棋子数为n2个．
∵等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多，
∴等边三角形的边长所用的棋子数为n个．
∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为1+2+3+ +n=．
由题意得：．
解得：n=40．
∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为=820．
故答案为：820．
【分析】设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的棋子为n个，共用的棋子数为n2个，根据等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多，即可得到等边三角形点阵所用棋子的颗数为1+2+3+ +n=，进而根据题意得到，据此求出n的值，然后代入计算即可.
19．【答案】解：
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】先计算乘方，开方，去绝对值运算，然后按照实数运算法则计算即可求解；
20．【答案】（1）解：去括号的，，
移项得，，
合并同类项得，．
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式的解集是．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据去括号法则得到，然后根据移项，合并同类项法则即可求解；
（2）分别解两个不等式，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求解即可．
（1）解：，
去括号的，，
移项得，，
合并同类项得，．
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式的解集是．
21．【答案】解：原式
将，代入，得；
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】把原式利用完全平方公式、平方差公式，去括号合并得到最简结果为，最后把，代入计算即可求出值．
22．【答案】解：，
②×2－①得，
将代入②，得，
解得，
∴
∵，
∴
解得，
即k的取值范围为．

【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】利用加减消元法②×2－①得，然后将其代入②中得到，进而得到，然后结合题意得到，进而即可求出k的取值范围.
23．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：解：∵，，
∴，
，
∵，
∴．
【知识点】实数的大小比较；平方差公式及应用；分母有理化；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）
以此类推可得，，
故答案为：．
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：∵，∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据具体的例子，可归纳得出规律；
（2）利用平方差公式，进行分母有理化，即可得出答案；
（3）利用平方差公式，进行分母有理化，即可得出答案；
（4）首先把两个式子进行分母有理化得出，，进而通过求它们的差，即可得出。
24．【答案】（1）解：设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据题意，得：
，
解方程组得，
答：每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元；
（2）解：设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，
根据题意得：，
解得： ，
取正整数为，，．
所以有种购买方案．
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据购买费用相等列出方程组，求出解即可；
（2）设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，根据总费用不超过6500，购买乙种品牌足球的个数不少于28个列出不等式组，求出解集，并确定正整数解即可.
（1）解：设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据题意，得：
，
解得，
答：每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元；
（2）解：设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，依题意得：
解得：，
取正整数为20，21，22．
故有3种购买方案，分别为：
购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个；
购买甲种品牌的足球21个，则购买乙种品牌的足球29个；
购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个．
25．【答案】（1），，
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
即，
（负值已舍去）．

（3）解：根据题意设，
则，，
故，，
则
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积
【解析】【解答】（1）解：方案三：∵大正方形面积可以看成①，
又可以看成②，
故答案为：，，．
【分析】（1）方案三：大正方形面积可以看成一个边长为的正方形面积加上两个上底为，下底为，高为的梯形面积，据此仿照方案一求解即可；
（2）根据题意得到，则，结合题意即可求出，进而即可求解；
（3）根据题意设，则，，所以，，然后根据阴影部分面积等于，计算可知阴影部分面积为ab，进而计算即可.
（1）解：方案三：∵大正方形面积可以看成①，
又可以看成②，
故答案为：，，．
（2）解：∵，
，
，
，
，
，即，
（负值已舍去）．
（3）解：根据题意设，
则，，
故，，
则
．
26．【答案】（1）③
（2）解：解不等式组
得：．
解方程
得：，
∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”，
∴，
解得：，
即的取值范围是；
（3）解：解方程，得，
解方程
得，
∵方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，，
所以分为两种情况：①当时，不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
②当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：，
解得：；
，
解得：，
，不符合题意；
，
该不等式无解，不符合题意；
，
解得：；
，
方程是的“浯溪水亦香方程”；
故答案为：.
【分析】（1）先计算方程的解为，然后分别计算不等式的解，比较即可求解；
（2）解不等式组得，求解方程，然后根据相伴方程的定义可得到，进而求解；
（3）分别解方程，解方程，然后结合相伴方程的定义分情况讨论，①当时，不等式组为，②当时，不等式组的解集是，进而即可求解.
（1）解：，
解得：；
，
解得：，
，不符合题意；
，
该不等式无解，不符合题意；
，
解得：；
，
方程是的“浯溪水亦香方程”；
故答案为：
（2）解：解不等式组
得：．
解方程
得：，
∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”，
∴，
解得：，
即的取值范围是；
（3）解：解方程，
得，
解方程
得，
∵方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，，
所以分为两种情况：①当时，不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
②当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以的取值范围是．
1 / 1湖南省永州市祁阳市浯溪第二中学2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，，，属于有理数；
是无理数．
故选：A．
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
2．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】根据幂的乘方法则直接计算即可．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．（am）n=amn，故此选项错误；
B.2a+a=3a，故此选项错误；
C．（a2b）3=a6b3，正确；
D．a2 a3=a5，故此选项错误．
故选C．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则、合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则求出答案．
4．已知a=255，b=344，c=533，d=622 ，那么a，b，c，d大小顺序为（　　）
A．a【答案】D
【知识点】幂的乘方运算；幂的大小比较
【解析】【解答】∵a=255=（25）11，
b=344=（34）11，
c=533=（53）11，
d=622=(62)11，
53＞34＞62＞25，
∴（53）11＞（34）11＞（62）11＞（25）11，
即a＜d＜b＜c，
故正确选项为：D.
【分析】
根据幂的乘方法则：将各个式子化为指数相同，比较底数的大小.
5．若，则下列叙述正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故A不符合题意；
当时，，
故B不符合题意；
∵，
∴，
∴，，
故C符合题意；D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时加或者减去一个数不等号符号不改变；不等式两边同时乘以或除以一个非零数，不等号符号不改变；不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号符号改变，据此判断选择即可．
6．计算的结果（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】根据完全平方公式直接进行计算即可．
7．根据下列表格，估计的大小（　　）
x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65
2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225
A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间
C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
由表格数据可知：在之间
故选：B
【分析】根据，则据此即可求解.
8．观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：左图中大正方形的边长为，面积为，小正方形的边长为，面积为，
右图中的面积即为左图中阴影部分的面积，即，
∴，
故选：A ．
【分析】根据图示可知左边阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即，右边的图可知阴影部分面积为，进而即可求解.
9．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：99第1次第2次第3次，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似的，使数2025变为1需要进行操作的次数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】无理数的估值；探索数与式的规律；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【解答】解：．
∴对只需进行4次操作后变为1．
故选：B．
【分析】根据表示不大于x的最大整数，并且结合定义的新运算和无理数的估算进行求解．
10．关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
得：
解得，
把代入得：，
解得：，
∵关于，的二元一次方程组的解为整数，
，，，，，，
解关于的不等式组，得；
∵关于的不等式组有且仅有个整数解，
；
解得：，
整数为，，，，其和为；
故选：D
【分析】先利用加减消元法解得，进而即可求出，然后根据题意可知，，，，，， 然后解关于的不等式组得到，结合题意可知道，进而计算即可.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中横线上）
11． 64的算术平方根是　 　.
【答案】8
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：64的算术平方根是8。
故答案为：8。
【分析】根据算术平方根的定义，由于82=64，所以64的算术平方根是8。
12．比较大小：2　 　（填入“”或“”号）
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，
∵，
∴
故答案为：．
【分析】根据，则，进而即可求解.
13．若，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：1．
【分析】根据题意得到，据此即可求出m和n的值，然后代入计算即可求解.
14．若是一个完全平方式，那么　 　．
【答案】9
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
；
故答案为：
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
15．已知，则的值为　 　.
【答案】18
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
当时，
原式==18，
故答案为：18.
【分析】利用幂的运算性质，将代数式转化为（ax）2·ay，然后代入求值.
16．若 ，且 是两个连续的整数，则 的值为　 　.
【答案】56
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ∵49＜50＜64
，
又 ，其中a、b为两个连续的整数，
∴a=7，b=8，
∴ab=56.
故答案为：56.
【分析】直接利用 的取值范围得出a，b的值，进而得出答案
17．在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：根据图示知，已知不等式的解集是．
∵，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】根据新运算法则得到不等式，据此得到x的取值范围，即，据此即可求出k的值.
18．用一些棋子摆成如图所示的长方形点阵和等边三角形点阵，长方形点阵的长所用棋子的颗数是宽所用棋子颗数的2倍，等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多．如果等边三角形点阵比长方形点阵多用20颗棋子，则等边三角形点阵所用棋子的颗数为　 　．
【答案】820
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的棋子为n个，共用的棋子数为n2个．
∵等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多，
∴等边三角形的边长所用的棋子数为n个．
∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为1+2+3+ +n=．
由题意得：．
解得：n=40．
∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为=820．
故答案为：820．
【分析】设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的棋子为n个，共用的棋子数为n2个，根据等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多，即可得到等边三角形点阵所用棋子的颗数为1+2+3+ +n=，进而根据题意得到，据此求出n的值，然后代入计算即可.
三、解答题（本大题共8大题，19、20题每小题6分，21、22题每小题8分；23、24题每小题9分，25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【答案】解：
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】先计算乘方，开方，去绝对值运算，然后按照实数运算法则计算即可求解；
20．解下列一元一次不等式（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：去括号的，，
移项得，，
合并同类项得，．
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式的解集是．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据去括号法则得到，然后根据移项，合并同类项法则即可求解；
（2）分别解两个不等式，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求解即可．
（1）解：，
去括号的，，
移项得，，
合并同类项得，．
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式的解集是．
21．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
将，代入，得；
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】把原式利用完全平方公式、平方差公式，去括号合并得到最简结果为，最后把，代入计算即可求出值．
22．已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围．
【答案】解：，
②×2－①得，
将代入②，得，
解得，
∴
∵，
∴
解得，
即k的取值范围为．

【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】利用加减消元法②×2－①得，然后将其代入②中得到，进而得到，然后结合题意得到，进而即可求出k的取值范围.
23．阅读下列材料：
小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小
请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题
（1）
由此可归纳出结论： _________．
（2）根据上面的结论计算：
类似的：
__________；
（3）类比应用：__________；
（4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：解：∵，，
∴，
，
∵，
∴．
【知识点】实数的大小比较；平方差公式及应用；分母有理化；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）
以此类推可得，，
故答案为：．
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：∵，∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据具体的例子，可归纳得出规律；
（2）利用平方差公式，进行分母有理化，即可得出答案；
（3）利用平方差公式，进行分母有理化，即可得出答案；
（4）首先把两个式子进行分母有理化得出，，进而通过求它们的差，即可得出。
24．为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元．
（1）求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？
【答案】（1）解：设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据题意，得：
，
解方程组得，
答：每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元；
（2）解：设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，
根据题意得：，
解得： ，
取正整数为，，．
所以有种购买方案．
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据购买费用相等列出方程组，求出解即可；
（2）设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，根据总费用不超过6500，购买乙种品牌足球的个数不少于28个列出不等式组，求出解集，并确定正整数解即可.
（1）解：设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据题意，得：
，
解得，
答：每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元；
（2）解：设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，依题意得：
解得：，
取正整数为20，21，22．
故有3种购买方案，分别为：
购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个；
购买甲种品牌的足球21个，则购买乙种品牌的足球29个；
购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个．
25．有一张边长为厘米的正方形木板，现需要将边长增加厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案，都可以利用图形面积关系来验证完全平方公式．
例如方案一：
大正方形面积可看成，也可看成，故
（1）根据方案三，大正方形面积可看成①______，也可看成②________③________，故；
（2）若边长，之间的关系为，，求的值；
（3）两块大小相等，形状相同的和（其中）按图的方式放置，、在同一直线上，连接、，若，，求阴影部分面积．
【答案】（1），，
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
即，
（负值已舍去）．

（3）解：根据题意设，
则，，
故，，
则
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积
【解析】【解答】（1）解：方案三：∵大正方形面积可以看成①，
又可以看成②，
故答案为：，，．
【分析】（1）方案三：大正方形面积可以看成一个边长为的正方形面积加上两个上底为，下底为，高为的梯形面积，据此仿照方案一求解即可；
（2）根据题意得到，则，结合题意即可求出，进而即可求解；
（3）根据题意设，则，，所以，，然后根据阴影部分面积等于，计算可知阴影部分面积为ab，进而计算即可.
（1）解：方案三：∵大正方形面积可以看成①，
又可以看成②，
故答案为：，，．
（2）解：∵，
，
，
，
，
，即，
（负值已舍去）．
（3）解：根据题意设，
则，，
故，，
则
．
26．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“浯溪水亦香方程”．例如的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组，的“浯溪水亦香方程”．
（1）方程是下列哪些不等式组的______“浯溪水亦香方程”：（填序号）
①；②；③．
（2）若关于的方程是不等式组的“浯溪水亦香方程”，求的取值范围；
（3）若方程，都是关于的不等式组的“浯溪水亦香方程”，其中，求的取值范围．
【答案】（1）③
（2）解：解不等式组
得：．
解方程
得：，
∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”，
∴，
解得：，
即的取值范围是；
（3）解：解方程，得，
解方程
得，
∵方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，，
所以分为两种情况：①当时，不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
②当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：，
解得：；
，
解得：，
，不符合题意；
，
该不等式无解，不符合题意；
，
解得：；
，
方程是的“浯溪水亦香方程”；
故答案为：.
【分析】（1）先计算方程的解为，然后分别计算不等式的解，比较即可求解；
（2）解不等式组得，求解方程，然后根据相伴方程的定义可得到，进而求解；
（3）分别解方程，解方程，然后结合相伴方程的定义分情况讨论，①当时，不等式组为，②当时，不等式组的解集是，进而即可求解.
（1）解：，
解得：；
，
解得：，
，不符合题意；
，
该不等式无解，不符合题意；
，
解得：；
，
方程是的“浯溪水亦香方程”；
故答案为：
（2）解：解不等式组
得：．
解方程
得：，
∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”，
∴，
解得：，
即的取值范围是；
（3）解：解方程，
得，
解方程
得，
∵方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，，
所以分为两种情况：①当时，不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
②当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以的取值范围是．
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