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广东省佛山市禅城区华英学校2024-2025学年八年级下学期期中考数学卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则下列各式中一定成立的是（　　）．
A． B． C． D．
3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
5．用反证法证明命题“在同一平面内，如果，，那么”，证明的第一步是（　　）
A．假设不平行于 B．假设
C．假设 D．假设不垂直
6．多项式能用完全平方因式分解，则m的值是（ ）
A．3 B．6 C． D．
7．小虎准备用20元买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2元，他买了5支笔．那么他最多能买（　　）个笔记本．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（　　）
A． B．
C． D．
9．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）．
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
10．某同学设计了一个计算机程序（如图所示），规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥13”为一次运行过程．如果程序运行三次就停止，那么x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分．共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的相应位置上．
11．如图，三角形绕点O逆时针旋转到三角形的位置，已知，则　 　．
12．如图，在中，，，点D在BC上，，，则　 　．
13．如图，直线交坐标轴于两点，，则不等式的解集是　 　．
14．已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为　 　．
15．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t秒，若为等腰三角形，　 　．
三、解答题（一）（本大题2小题，每小题8分，共16分）
16．因式分解，请在答题卡的相应位置上直接写出结果：
（1）　 　；
（2）　 　；
（3）　 　；
（4）　 　；
17．解不等式（组）：
（1）
（2）
四、解答题（二）（本大题3小题，18、19每题8分，20题9分，共25分）
18．如图，在中，．
（1）求作边的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，求的度数，请根据以下的思路完成下列填空．
解：，
① （等边对等角）
又是的垂直平分线，
② （垂直平分线的性质），
，
，
③ （等量代换）．
．
，
，
（三角形的内角和为）．
④ ．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
（1）是__________三角形；
（2）平移，使得点A的对应点的坐标为，则点C的对应点的坐标为__________，在平移过程中扫过的面积为__________；
（3）将绕原点旋转得到，在图中画出；
（4）M、N为x轴上的两个动点，点M在点N的左侧，连接，若，点为y轴上的一点，连接，则的最小值为__________．
20．华英学生项目小组为解决饭堂汤碗从厨房到就餐区的转运问题，进行调研，得到了以下信息：
信息1 如图1所示，单个汤碗平放高度为8厘米．为节省空间，一般将汤碗如图2叠放，每增加一个汤碗，总高度增加1.5厘米．如图2所示，叠放4个汤碗时，总高度为12.5厘米．
信息2 可用托盘或推车这两种工具转运汤碗．安全起见，托盘一次最多运30个汤碗；推车一次最多运4叠，每叠高度要求不高于24厘米．
请根据以上信息，解决下列问题：
任务1 当叠放n个汤碗时，总高度H厘米，则H与n的关系式是__________；
任务2 求饭堂推车一次最多能搬运汤碗的数量；
任务3 若饭堂需搬运m个汤碗，单独使用托盘或单独推车的次数都要2次，问：若用托盘和推车各1次是否能够搬完这m个汤碗，请说明你的理由．
21．【问题提出】
如图1，通过拼摆两个含角的全等的三角尺，发现两个三角尺恰好可以拼成一个等边三角形，从而得出猜想：在直角三角形中，若一个锐角为，则它所对的直角边等于斜边的一半．
通过实验提出猜想后，如何通过几何推理严格证明该性质？
【思路启迪】
从逻辑推理的角度思考：如何通过添加辅助线将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，从而将边角关系转化为已知定理？
已知：如图，中，，，求证：．
请在图中添加辅助线，将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，要求：用两种不同的方法（后续论证方法不同）在图2、图3添加辅助线，并用简短、专业的数学语言描述如何添加辅助线的．
分类 方法一（图2） 方法二（图3）
画图及描述
【逻辑论证】在上述图形中，选择其中一种方法，完成证明．
【触类旁通】
以上完成了命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．反过来思考：它的逆命题是否成立呢？
（1）请补充完整它的逆命题：“在直角三角形中，如果__________，那么__________．”
（2）请判断该逆命题是否成立，并说明你的理由．
22．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．
（1）图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为__________、__________；从而得到的因式分解的等式是：______________________________；
（2）观察图2，可以发现代数式可以因式分解为__________；
（3）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式，
这个因式分解的等式是：____________________；
②已知，，利用上面的规律求的值．
③根据题（3）①得到的等式，请直接写出因式分解的结果：
______________________________．
23．在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．
【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，间的数量关系，并求出此时的值．
经过仔细思考，小明和小丽分别得到如下两种解题思路：
思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
故，，之间的数量关系是__________；此时__________（直接写出结果）．
【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时，
①猜想，，之间的数量关系并加以证明；
②此时__________（直接写出结果）．
【拓展延伸】（3）当M，N分别在边，的延长线上时，
①请在图3中画出满足题意的图形；
②直接写出，，之间的数量关系____________________；
③若此时，则__________（用x，L表示，直接写出结果）．
（1）【操作发现】
如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，间的数量关系，并求出此时的值．
经过仔细思考，小明和小丽分别得到如下两种解题思路：
思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
故，，之间的数量关系是 ▲ ；此时 ▲ （直接写出结果）．
（2）【类比探究】
如图2，点M，N边分别在，上，且当时，
①猜想，，之间的数量关系并加以证明；
②此时 ▲ （直接写出结果）．
（3）【拓展延伸】
当M，N分别在边，的延长线上时，
①请在图3中画出满足题意的图形；
②直接写出，，之间的数量关系 ▲ ；
③若此时，则 ▲ （用x，L表示，直接写出结果）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】将一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形；将一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转后图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，原写法错误，不符合题意；
B、∵，∴，原写法错误，不符合题意；
C、∵，∴，原写法正确，符合题意；
D、∵，∴，原写法错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，则此项不符题意；
B、是整式的乘法运算，不是因式分解，则此项不符题意；
C、等式右边等于，与等式左边不相等，不是因式分解，则此项不符题意；
D、等式右边等于，即等式的两边相等，且等式右边是整式积的形式，是因式分解，则此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴知，这个不等式组的解集为，
故选：D．
【分析】
根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可．
5．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在同一平面内，如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，
证明的第一步是假设CD不平行于EF，
故选：A．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
6．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2 mxy+9y2能用完全平方因式分解，
∴m=±6，
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式的结构特征“两个数的平方和，加上或减去这两数乘积的2倍”解答即可．
7．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小虎买个笔记本，
由题意得，，
解得：，
∵取最大整数解为2，
∴他最多能买2个笔记本
故选：C．
【分析】设小虎买个笔记本，根据题意列一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、不是由一个基本图形平移而成，故A选项不符合题意；
B、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故B选项不符合题意；
C、是由一个基本图形平移而成，故C选项符合题意；
D、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故D选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据平移的性质逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点．
故选：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意得：
，解得：，
故答案为：D．
【分析】根据题目情景列出不等式组进行求解即可得答案.
11．【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
根据旋转的性质得：，
∵，
∴．
故答案为：
【分析】根据旋转的性质得为，根据为，进一步根据角的和差关系即可计算的度数.
12．【答案】6
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
，
∴，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：6．
【分析】根据等边对等角可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据角之间的关系可得∠CAD=30°，再根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：
，即函数的函数值小于0，图象在x轴下方，对应的自变量的取值范围为，
不等式的解集是，
故答案为：．
【分析】当函数图象在x轴下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
14．【答案】28和26
【知识点】因式分解﹣公式法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
可以被28和26两个数整除，
故答案为：28和26．
【分析】将由幂的乘方的逆运算和平方差公式进行因式分解得到，结合题意即可求解．
15．【答案】或或
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
是直角三角形，．
情况一：当时，
，
在中，，，
，
当点在线段上时，（不合题意，舍去），
当点在的延长线上时，，
此时秒；
情况二：当时，
，此时秒；
情况三：当时，
设，则，
在中，
，
即：，
解得：，
，此时秒．
故答案为：或或．
【分析】根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，，分情况讨论：当时，，根据勾股定理可得CP，当点在线段上时，当点在的延长线上时，结合边之间的关系即可求出答案；当时，，此时秒；当时，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：，
故答案为：．
【分析】（1）提公因式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（3）根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
（4）提公因数，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：，
故答案为：．
17．【答案】（1）解：
，
解得：，
∴原不等式的解集为：

（2）解：
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
（2）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
（1）解：
，
解得：，
∴原不等式的解集为：
（2）解：
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：．
18．【答案】（1）解：作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接，如图所示：
（2）解：，
∴（等边对等角），
又是的垂直平分线，
∴（垂直平分线的性质），
，
，
∴（等量代换）．
．
，
．
（三角形的内角和为）．
∴．
故答案为：，，，．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交于点，交于点，连接即可.
（2）根据等边对等角可得，根据垂直平分线性质可得，则，根据先之间的关系可得，则，根据三角形外角性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（1）解：作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接，如图所示：
（2）解：，
∴（等边对等角），
又是的垂直平分线，
∴（垂直平分线的性质），
，
，
∴（等量代换）．
．
，
．
（三角形的内角和为）．
∴．
故答案为：，，，．
19．【答案】（1）等腰直角
（2），
（3）解：即为所作：
（4）
【知识点】勾股定理的逆定理；坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；等腰三角形的概念；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（2）解：∵，平移，使得点A的对应点的坐标为，
∴点向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点，
∴点经过平移后为，
如图：
平行四边形的面积为：，
，
则扫过的面积为：，
故答案为：，；
（4）解：如图，取点，连接交x轴于点，
将向左平移1个单位，点落在点
∴，
∴，
根据两点间线段最短得的最小值，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）根据两点间距离可得AB，AC，BC，再根据勾股定理逆定理可得，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据点的平移可得，再根据平行四边形，三角形面积即可求出答案.
（3）根据旋转性质作图即可.
（4）取点，连接交x轴于点，将向左平移1个单位，点落在点，则，根据边之间的关系可得，根据两点间线段最短得的最小值，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（2）解：∵，平移，使得点A的对应点的坐标为，
∴点向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点，
∴点经过平移后为，
如图：
平行四边形的面积为：，
，
则扫过的面积为：，
故答案为：，；
（3）解：即为所作：
（4）解：如图，取点，连接交x轴于点，
将向左平移1个单位，点落在点
∴，
∴，
根据两点间线段最短得的最小值，
∴的最小值为，
故答案为：．
20．【答案】任务一：；
任务二：解：设每叠有个汤碗，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴每叠最多11个，
∴一次最多能搬运汤碗个；
任务三：解：用托盘和推车各1次能够搬完这m个汤碗，理由如下：
由题意得单独用托盘两次最多运个，
∴，
单独用推车两次最多运个，
∴，
∴，
而用推车各1次最多运个，，
故能搬完．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】任务一：解：由题意得，，
故答案为：；
【分析】任务一：第一个碗高度为8厘米，根据后面个碗每个增加1.5厘米即可建立H与n的关系式即可求出答案.
任务二：设每叠有个汤碗，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
任务三：先根据用托盘和推车2次最多搬运数量求出的取值范围，再计算用托盘和推车各1次最多搬运数量对比即可．
21．【答案】逻辑论证：证明：方法一：延长至点，使得，连接，
中，，，，
，
在中与中，
有，
，
，，
，
是等边三角形，，
，
，即在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
方法二：如图所示，分别过点，作，，交点为，连接，交于点，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，
，是等腰三角形，则，
且，
是等边三角形，即，
，
，即在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
触类旁通：（1）在直角三角形中，如果锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角等于．
（2）该命题成立．理由如下：
设直角三角形，，．
延长至点，使得，连接，
垂直平分，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在直角三角形中，如果锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角等于．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；逆命题
【解析】【分析】【 逻辑论证 】方法一：延长至点，使得，连接，根据三角形内角和定理可得∠B，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得∠BAD，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
方法二：分别过点，作，，交点为，连接，交于点，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，根据等腰三角形判定定理可得，是等腰三角形，则，根据角之间的关系可得∠BCD，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）根据【 逻辑论证 】中结论即可求出答案.
（2）设直角三角形，，，延长至点，使得，连接，根据垂直平分线性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
22．【答案】（1）、；
（2）
（3）①；
②由①知，移项可得：，
进一步变形为：，
已知，，代入可得：
；
③
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：图1中大正方形的面积可以看成：①边长为的大正方形，则其面积可以表示为：；
②边长为的正方形、边长为的正方形和2个长为，宽为的长方形，则其面积可以表示为：；
①②表示的是同一图形的面积，则有，从而得到的因式分解的等式是：．
（2）解：图2还可以看作一个长为，宽为的长方形，则其面积为，所以可以发现代数式可以因式分解为．
（3）解：①对于图3棱长为的正方体，从整体看，体积为：，
从分割后的小几何体看，有两个棱长分别为、的小正方体和三个长为、宽为、高为的长方体以及三个长为、宽为、高为的长方体组成，则其体积可以表示为：，因为这两种表示都为图3 正方体体积，所以；
③对因式分解，观察发现．
【分析】（1）根据正方形面积，矩形面积建立关系式即可求出答案.
（2）根据矩形面积建立关系式即可求出答案.
（3）①根据立方体的体积即可秋促答案.
②移项，将等号右边化简变形，再整体代入即可求出答案.
③根据题意即可求出答案.
（1）解：图1中大正方形的面积可以看成：①边长为的大正方形，则其面积可以表示为：；
②边长为的正方形、边长为的正方形和2个长为，宽为的长方形，则其面积可以表示为：；
①②表示的是同一图形的面积，则有，从而得到的因式分解的等式是：．
（2）解：图2还可以看作一个长为，宽为的长方形，则其面积为，所以可以发现代数式可以因式分解为．
（3）解：①对于图3棱长为的正方体，从整体看，体积为：，
从分割后的小几何体看，有两个棱长分别为、的小正方体和三个长为、宽为、高为的长方体以及三个长为、宽为、高为的长方体组成，则其体积可以表示为：，因为这两种表示都为图3 正方体体积，所以；
②由①知，移项可得：，
进一步变形为：，
已知，，代入可得：
；
③对因式分解，观察发现．
23．【答案】解：（1），理由如下：思路一：，，是等边三角形，．，，．是等边三角形，，在与中，，，，，（直角三角形中，角所对直角边是斜边一半），．，，，，是等边三角形，其周长（前面提到），等边三角形的周长，又且，，，，则，．思路二：延长到，使，连接，是等边三角形，，，，是等腰三角形，，，．在与中，，，，，，，，，即．在与中，，，，又，，．，而，，又，．（2）①延长到，使，连接，是等边三角形，，，，是等腰三角形，，，．在与中，，，，，，，，，即．在与中，，，，又，，．（3）①当，分别在，的延长线上时，画图如下：②③
（1）解：，
理由如下：
思路一：，，
是等边三角形，
．
，，
．
是等边三角形，
，
在与中，
，
，
，，
（直角三角形中，角所对直角边是斜边一半），
．
，，
，
，
是等边三角形，
其周长（前面提到），
等边三角形的周长，
又且，，，
，
则，
．
思路二：延长到，使，连接，
是等边三角形，
，
，，
是等腰三角形，
，
，
．
在与中，
，
，
，，
，，
，
，即．
在与中，
，
，
，
又，，
．
，而，
，
又，
．
故，，之间的数量关系是；此时.
（2）解：①延长到，使，连接，
是等边三角形，
，
，，
是等腰三角形，
，
，
．
在与中，
，
，
，，
，，
，
，即．
在与中，
，
，
，
又，，
．
②
（3）解：①当，分别在，的延长线上时，画图如下：
②
③
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（2）②，而，
，
又，
．
（3）②，理由如下：
连接，，，
是等边三角形，周长为，
，，
在上截取，连接，
，，
是等腰三角形，
，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
又，
在与中，
，
，
．
．
③的周长：，
，且，，
．
【分析】（1）思路一：根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据等边对等角即三角形内角和定理可得，根据等边三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则其周长，再根据边之间的关系即可求出答案.
思路二：延长到，使，连接，根据等边三角形性质可得，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，则，根据角之间的关系可得∠DCE，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）①延长到，使，连接，根据等边三角形性质可得，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，则，根据角之间的关系可得∠DCE，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
②根据边之间的关系即可求出答案.
（3）①根据题意作图即可.
②连接，，，根据等边三角形性质可得，，在上截取，连接，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
③根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省佛山市禅城区华英学校2024-2025学年八年级下学期期中考数学卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】将一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形；将一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转后图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．若，则下列各式中一定成立的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，原写法错误，不符合题意；
B、∵，∴，原写法错误，不符合题意；
C、∵，∴，原写法正确，符合题意；
D、∵，∴，原写法错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，则此项不符题意；
B、是整式的乘法运算，不是因式分解，则此项不符题意；
C、等式右边等于，与等式左边不相等，不是因式分解，则此项不符题意；
D、等式右边等于，即等式的两边相等，且等式右边是整式积的形式，是因式分解，则此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可。
4．一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴知，这个不等式组的解集为，
故选：D．
【分析】
根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可．
5．用反证法证明命题“在同一平面内，如果，，那么”，证明的第一步是（　　）
A．假设不平行于 B．假设
C．假设 D．假设不垂直
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在同一平面内，如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，
证明的第一步是假设CD不平行于EF，
故选：A．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
6．多项式能用完全平方因式分解，则m的值是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2 mxy+9y2能用完全平方因式分解，
∴m=±6，
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式的结构特征“两个数的平方和，加上或减去这两数乘积的2倍”解答即可．
7．小虎准备用20元买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2元，他买了5支笔．那么他最多能买（　　）个笔记本．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小虎买个笔记本，
由题意得，，
解得：，
∵取最大整数解为2，
∴他最多能买2个笔记本
故选：C．
【分析】设小虎买个笔记本，根据题意列一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
8．下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、不是由一个基本图形平移而成，故A选项不符合题意；
B、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故B选项不符合题意；
C、是由一个基本图形平移而成，故C选项符合题意；
D、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故D选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据平移的性质逐项进行判断即可求出答案.
9．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）．
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点．
故选：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
10．某同学设计了一个计算机程序（如图所示），规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥13”为一次运行过程．如果程序运行三次就停止，那么x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意得：
，解得：，
故答案为：D．
【分析】根据题目情景列出不等式组进行求解即可得答案.
二、填空题（本大题5小题，每小题3分．共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的相应位置上．
11．如图，三角形绕点O逆时针旋转到三角形的位置，已知，则　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
根据旋转的性质得：，
∵，
∴．
故答案为：
【分析】根据旋转的性质得为，根据为，进一步根据角的和差关系即可计算的度数.
12．如图，在中，，，点D在BC上，，，则　 　．
【答案】6
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
，
∴，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：6．
【分析】根据等边对等角可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据角之间的关系可得∠CAD=30°，再根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．如图，直线交坐标轴于两点，，则不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：
，即函数的函数值小于0，图象在x轴下方，对应的自变量的取值范围为，
不等式的解集是，
故答案为：．
【分析】当函数图象在x轴下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
14．已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为　 　．
【答案】28和26
【知识点】因式分解﹣公式法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
可以被28和26两个数整除，
故答案为：28和26．
【分析】将由幂的乘方的逆运算和平方差公式进行因式分解得到，结合题意即可求解．
15．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t秒，若为等腰三角形，　 　．
【答案】或或
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
是直角三角形，．
情况一：当时，
，
在中，，，
，
当点在线段上时，（不合题意，舍去），
当点在的延长线上时，，
此时秒；
情况二：当时，
，此时秒；
情况三：当时，
设，则，
在中，
，
即：，
解得：，
，此时秒．
故答案为：或或．
【分析】根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，，分情况讨论：当时，，根据勾股定理可得CP，当点在线段上时，当点在的延长线上时，结合边之间的关系即可求出答案；当时，，此时秒；当时，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
三、解答题（一）（本大题2小题，每小题8分，共16分）
16．因式分解，请在答题卡的相应位置上直接写出结果：
（1）　 　；
（2）　 　；
（3）　 　；
（4）　 　；
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：，
故答案为：．
【分析】（1）提公因式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（3）根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
（4）提公因数，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：，
故答案为：．
17．解不等式（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
，
解得：，
∴原不等式的解集为：

（2）解：
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
（2）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
（1）解：
，
解得：，
∴原不等式的解集为：
（2）解：
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：．
四、解答题（二）（本大题3小题，18、19每题8分，20题9分，共25分）
18．如图，在中，．
（1）求作边的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，求的度数，请根据以下的思路完成下列填空．
解：，
① （等边对等角）
又是的垂直平分线，
② （垂直平分线的性质），
，
，
③ （等量代换）．
．
，
，
（三角形的内角和为）．
④ ．
【答案】（1）解：作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接，如图所示：
（2）解：，
∴（等边对等角），
又是的垂直平分线，
∴（垂直平分线的性质），
，
，
∴（等量代换）．
．
，
．
（三角形的内角和为）．
∴．
故答案为：，，，．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交于点，交于点，连接即可.
（2）根据等边对等角可得，根据垂直平分线性质可得，则，根据先之间的关系可得，则，根据三角形外角性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（1）解：作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接，如图所示：
（2）解：，
∴（等边对等角），
又是的垂直平分线，
∴（垂直平分线的性质），
，
，
∴（等量代换）．
．
，
．
（三角形的内角和为）．
∴．
故答案为：，，，．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
（1）是__________三角形；
（2）平移，使得点A的对应点的坐标为，则点C的对应点的坐标为__________，在平移过程中扫过的面积为__________；
（3）将绕原点旋转得到，在图中画出；
（4）M、N为x轴上的两个动点，点M在点N的左侧，连接，若，点为y轴上的一点，连接，则的最小值为__________．
【答案】（1）等腰直角
（2），
（3）解：即为所作：
（4）
【知识点】勾股定理的逆定理；坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；等腰三角形的概念；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（2）解：∵，平移，使得点A的对应点的坐标为，
∴点向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点，
∴点经过平移后为，
如图：
平行四边形的面积为：，
，
则扫过的面积为：，
故答案为：，；
（4）解：如图，取点，连接交x轴于点，
将向左平移1个单位，点落在点
∴，
∴，
根据两点间线段最短得的最小值，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）根据两点间距离可得AB，AC，BC，再根据勾股定理逆定理可得，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据点的平移可得，再根据平行四边形，三角形面积即可求出答案.
（3）根据旋转性质作图即可.
（4）取点，连接交x轴于点，将向左平移1个单位，点落在点，则，根据边之间的关系可得，根据两点间线段最短得的最小值，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（2）解：∵，平移，使得点A的对应点的坐标为，
∴点向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点，
∴点经过平移后为，
如图：
平行四边形的面积为：，
，
则扫过的面积为：，
故答案为：，；
（3）解：即为所作：
（4）解：如图，取点，连接交x轴于点，
将向左平移1个单位，点落在点
∴，
∴，
根据两点间线段最短得的最小值，
∴的最小值为，
故答案为：．
20．华英学生项目小组为解决饭堂汤碗从厨房到就餐区的转运问题，进行调研，得到了以下信息：
信息1 如图1所示，单个汤碗平放高度为8厘米．为节省空间，一般将汤碗如图2叠放，每增加一个汤碗，总高度增加1.5厘米．如图2所示，叠放4个汤碗时，总高度为12.5厘米．
信息2 可用托盘或推车这两种工具转运汤碗．安全起见，托盘一次最多运30个汤碗；推车一次最多运4叠，每叠高度要求不高于24厘米．
请根据以上信息，解决下列问题：
任务1 当叠放n个汤碗时，总高度H厘米，则H与n的关系式是__________；
任务2 求饭堂推车一次最多能搬运汤碗的数量；
任务3 若饭堂需搬运m个汤碗，单独使用托盘或单独推车的次数都要2次，问：若用托盘和推车各1次是否能够搬完这m个汤碗，请说明你的理由．
【答案】任务一：；
任务二：解：设每叠有个汤碗，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴每叠最多11个，
∴一次最多能搬运汤碗个；
任务三：解：用托盘和推车各1次能够搬完这m个汤碗，理由如下：
由题意得单独用托盘两次最多运个，
∴，
单独用推车两次最多运个，
∴，
∴，
而用推车各1次最多运个，，
故能搬完．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】任务一：解：由题意得，，
故答案为：；
【分析】任务一：第一个碗高度为8厘米，根据后面个碗每个增加1.5厘米即可建立H与n的关系式即可求出答案.
任务二：设每叠有个汤碗，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
任务三：先根据用托盘和推车2次最多搬运数量求出的取值范围，再计算用托盘和推车各1次最多搬运数量对比即可．
21．【问题提出】
如图1，通过拼摆两个含角的全等的三角尺，发现两个三角尺恰好可以拼成一个等边三角形，从而得出猜想：在直角三角形中，若一个锐角为，则它所对的直角边等于斜边的一半．
通过实验提出猜想后，如何通过几何推理严格证明该性质？
【思路启迪】
从逻辑推理的角度思考：如何通过添加辅助线将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，从而将边角关系转化为已知定理？
已知：如图，中，，，求证：．
请在图中添加辅助线，将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，要求：用两种不同的方法（后续论证方法不同）在图2、图3添加辅助线，并用简短、专业的数学语言描述如何添加辅助线的．
分类 方法一（图2） 方法二（图3）
画图及描述
【逻辑论证】在上述图形中，选择其中一种方法，完成证明．
【触类旁通】
以上完成了命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．反过来思考：它的逆命题是否成立呢？
（1）请补充完整它的逆命题：“在直角三角形中，如果__________，那么__________．”
（2）请判断该逆命题是否成立，并说明你的理由．
【答案】逻辑论证：证明：方法一：延长至点，使得，连接，
中，，，，
，
在中与中，
有，
，
，，
，
是等边三角形，，
，
，即在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
方法二：如图所示，分别过点，作，，交点为，连接，交于点，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，
，是等腰三角形，则，
且，
是等边三角形，即，
，
，即在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
触类旁通：（1）在直角三角形中，如果锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角等于．
（2）该命题成立．理由如下：
设直角三角形，，．
延长至点，使得，连接，
垂直平分，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在直角三角形中，如果锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角等于．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；逆命题
【解析】【分析】【 逻辑论证 】方法一：延长至点，使得，连接，根据三角形内角和定理可得∠B，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得∠BAD，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
方法二：分别过点，作，，交点为，连接，交于点，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，根据等腰三角形判定定理可得，是等腰三角形，则，根据角之间的关系可得∠BCD，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）根据【 逻辑论证 】中结论即可求出答案.
（2）设直角三角形，，，延长至点，使得，连接，根据垂直平分线性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
22．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．
（1）图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为__________、__________；从而得到的因式分解的等式是：______________________________；
（2）观察图2，可以发现代数式可以因式分解为__________；
（3）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式，
这个因式分解的等式是：____________________；
②已知，，利用上面的规律求的值．
③根据题（3）①得到的等式，请直接写出因式分解的结果：
______________________________．
【答案】（1）、；
（2）
（3）①；
②由①知，移项可得：，
进一步变形为：，
已知，，代入可得：
；
③
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：图1中大正方形的面积可以看成：①边长为的大正方形，则其面积可以表示为：；
②边长为的正方形、边长为的正方形和2个长为，宽为的长方形，则其面积可以表示为：；
①②表示的是同一图形的面积，则有，从而得到的因式分解的等式是：．
（2）解：图2还可以看作一个长为，宽为的长方形，则其面积为，所以可以发现代数式可以因式分解为．
（3）解：①对于图3棱长为的正方体，从整体看，体积为：，
从分割后的小几何体看，有两个棱长分别为、的小正方体和三个长为、宽为、高为的长方体以及三个长为、宽为、高为的长方体组成，则其体积可以表示为：，因为这两种表示都为图3 正方体体积，所以；
③对因式分解，观察发现．
【分析】（1）根据正方形面积，矩形面积建立关系式即可求出答案.
（2）根据矩形面积建立关系式即可求出答案.
（3）①根据立方体的体积即可秋促答案.
②移项，将等号右边化简变形，再整体代入即可求出答案.
③根据题意即可求出答案.
（1）解：图1中大正方形的面积可以看成：①边长为的大正方形，则其面积可以表示为：；
②边长为的正方形、边长为的正方形和2个长为，宽为的长方形，则其面积可以表示为：；
①②表示的是同一图形的面积，则有，从而得到的因式分解的等式是：．
（2）解：图2还可以看作一个长为，宽为的长方形，则其面积为，所以可以发现代数式可以因式分解为．
（3）解：①对于图3棱长为的正方体，从整体看，体积为：，
从分割后的小几何体看，有两个棱长分别为、的小正方体和三个长为、宽为、高为的长方体以及三个长为、宽为、高为的长方体组成，则其体积可以表示为：，因为这两种表示都为图3 正方体体积，所以；
②由①知，移项可得：，
进一步变形为：，
已知，，代入可得：
；
③对因式分解，观察发现．
23．在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．
【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，间的数量关系，并求出此时的值．
经过仔细思考，小明和小丽分别得到如下两种解题思路：
思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
故，，之间的数量关系是__________；此时__________（直接写出结果）．
【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时，
①猜想，，之间的数量关系并加以证明；
②此时__________（直接写出结果）．
【拓展延伸】（3）当M，N分别在边，的延长线上时，
①请在图3中画出满足题意的图形；
②直接写出，，之间的数量关系____________________；
③若此时，则__________（用x，L表示，直接写出结果）．
（1）【操作发现】
如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，间的数量关系，并求出此时的值．
经过仔细思考，小明和小丽分别得到如下两种解题思路：
思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
故，，之间的数量关系是 ▲ ；此时 ▲ （直接写出结果）．
（2）【类比探究】
如图2，点M，N边分别在，上，且当时，
①猜想，，之间的数量关系并加以证明；
②此时 ▲ （直接写出结果）．
（3）【拓展延伸】
当M，N分别在边，的延长线上时，
①请在图3中画出满足题意的图形；
②直接写出，，之间的数量关系 ▲ ；
③若此时，则 ▲ （用x，L表示，直接写出结果）．
【答案】解：（1），理由如下：思路一：，，是等边三角形，．，，．是等边三角形，，在与中，，，，，（直角三角形中，角所对直角边是斜边一半），．，，，，是等边三角形，其周长（前面提到），等边三角形的周长，又且，，，，则，．思路二：延长到，使，连接，是等边三角形，，，，是等腰三角形，，，．在与中，，，，，，，，，即．在与中，，，，又，，．，而，，又，．（2）①延长到，使，连接，是等边三角形，，，，是等腰三角形，，，．在与中，，，，，，，，，即．在与中，，，，又，，．（3）①当，分别在，的延长线上时，画图如下：②③
（1）解：，
理由如下：
思路一：，，
是等边三角形，
．
，，
．
是等边三角形，
，
在与中，
，
，
，，
（直角三角形中，角所对直角边是斜边一半），
．
，，
，
，
是等边三角形，
其周长（前面提到），
等边三角形的周长，
又且，，，
，
则，
．
思路二：延长到，使，连接，
是等边三角形，
，
，，
是等腰三角形，
，
，
．
在与中，
，
，
，，
，，
，
，即．
在与中，
，
，
，
又，，
．
，而，
，
又，
．
故，，之间的数量关系是；此时.
（2）解：①延长到，使，连接，
是等边三角形，
，
，，
是等腰三角形，
，
，
．
在与中，
，
，
，，
，，
，
，即．
在与中，
，
，
，
又，，
．
②
（3）解：①当，分别在，的延长线上时，画图如下：
②
③
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（2）②，而，
，
又，
．
（3）②，理由如下：
连接，，，
是等边三角形，周长为，
，，
在上截取，连接，
，，
是等腰三角形，
，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
又，
在与中，
，
，
．
．
③的周长：，
，且，，
．
【分析】（1）思路一：根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据等边对等角即三角形内角和定理可得，根据等边三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则其周长，再根据边之间的关系即可求出答案.
思路二：延长到，使，连接，根据等边三角形性质可得，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，则，根据角之间的关系可得∠DCE，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）①延长到，使，连接，根据等边三角形性质可得，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，则，根据角之间的关系可得∠DCE，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
②根据边之间的关系即可求出答案.
（3）①根据题意作图即可.
②连接，，，根据等边三角形性质可得，，在上截取，连接，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
③根据边之间的关系即可求出答案.
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