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四川省广元市苍溪县2024—2025学年下学期七年级期中数学试卷
一、单项选择题（10小题，每题3分，共30分）
1．下列工具中，有对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，A，B，C，D中的图形，可以通过平移下边图形得到的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中， 点 位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在，0.333 ，2.12112111211112 （相邻的两个2之间依次多一个1）中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　）
A． B． C．1+ D．+2
6．如图，直解三角板的直角顶点落在直尺边上，若∠1=56°，则∠2的度数为（　　）
A．56° B．44° C．34° D．28°
7．已知点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（　　）
A．4 B． C．8或4 D．或
8．如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点(1，0)，然后按照图中箭头所示方向移动，即(0，0)→(1，0)→(1，1)→)(0，1)→(0，2)→……，且每秒移动一个单位，那么第2018秒时，点所在位置的坐标是(　　).
A．(6，44) B．(38，44) C．(44，38) D．(44，6)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．的平方根是　 　
12．若，则　 　．
13．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠B＝50°，则∠BDF＝　 　°．
14． 若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的平方根为　 　．
15．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图．其中都与地面平行，，，当为　 　度时，与平行．
16．如图，，交于点P，平分，平分，交的反向延长线于Q，，则：①若，则；②；③；④，其中正确的是　 　 ．
三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算．
（1）；
（2）．
18．已知的平方根是，立方根是，，求的平方根．
19．如图，在四边形中，过A作的垂线，垂足为E，过D作的平行线，交于点F．
（1）按要求完成画图；
（2）若，试说明．
20．与在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A 、B 、C ；
（2）是由经过怎样的平移得到的？
（3）若点是内部一点，求内部的对应点的坐标；
（4）求的面积．
21．根据下列证明过程填空：
如图，，，且．求证：．
证明：∵，，
∴ （ ），
∴ （ ），
∴ （ ），
∵，
∴ ，（ ）
∴ ，
∴．
22．如图，已知数轴上的点A，B，C分别表示实数a，b，c，
（1）化简：
（2）若，，．且满足与互为相反数，是绝对值最小的负整数，，互为倒数，试求的值．
23．如图，在中，平分交于点D，点E在的延长线上，点G在线段上，与相交于点F，
（1）与平行吗？请说明理由．
（2）点H在的延长线上，若，，求的度数
24．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
（1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
25．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且．
（1）请直接写出点A、B、C的坐标；
（2）若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的时，点停止运动，求点P的运动时间；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．已知直线，点A，C在直线上，D在直线上．
（1）如图1，若，，且，则的度数为 ；
（2）如图2，若平分，，，过点D作交于点F，求证：；
（3）如图3，若，直线和直线相交于点K，点H在直线上，试探究，和之间的数量关系，请直接写出结论
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项C．
故选：C．
【分析】本题考查了对顶角的定义，把有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此逐项分析作答，即可得到答案.
2．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：可以通过平移图形得到的是
故选：D．
【分析】本题核心考查平移的性质，属于平面图形变换的基础考点. 紧扣平移“不改变图形方向”的本质，逐一对比原图与选项图形的细节（如花朵、茎叶的朝向、形态细节），排除旋转、翻转等非平移变换得到的图形，锁定符合平移特征的选项..
3．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： 点 ，
∵m2≥0，
∴m2+1＞0，
∴ 点 位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】由m2≥0可得m2+1＞0，从而可知点P的横坐标为负数，纵坐标为正数，再根据各象限内点的坐标特征求解即可.
4．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，0，，0.333 是有理数；
，，2.12112111211112 （相邻的两个2之间依次多一个1）是无理数．
∴无理数共有3个，
故选：C．
【分析】本题围绕实数的分类展开，核心考查无理数的定义及判定方法. 解题的核心逻辑是：先明确无理数的本质是“无限不循环小数”，再结合常见无理数类型（含π的式子、开方不尽的数、特殊构造的无限不循环小数），对题目中的各式逐一分析. 首先通过算术平方根、立方根的运算规则化简带根号的数，判断其是否为有理数；再区分有限小数、无限循环小数（有理数）与无限不循环小数（无理数），最终统计无理数的数量，得出答案.
5．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】∵正方形ABCD的面积为7，
∴AB=，
∵AB=AE，
∴AE=，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为+1，
故选：C．
【分析】
由于正方形的边长是正方形的面积的算术平方根，可先求出AB的长，则AE等于AB的长，又因为点A在原点右侧且距离原点一个单位长度，则点E表示的数字等于AE的长加1．
6．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，
依题意知∠1+∠3=90°．
∵∠1=56°，
∴∠3=34°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=34°.
故答案为：C．
【分析】由平角的定义及学具性质得到∠3=34°，然后根据“两直线平行，内错角相等”求出∠2=∠3=34° ．
7．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵ 点到两坐标轴的距离相等，
∴，
解得：或；
故选C．
【分析】本题依托平面直角坐标系中点的坐标性质，考查点到坐标轴距离的计算及绝对值方程的求解. 解题的关键在于牢记：点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值. 据此，由“点P到两坐标轴距离相等”可列等式，接下来需结合绝对值的定义，分情况去掉绝对值符合求解方程，或通过平方的方法消去绝对值符号，最终计算出a的可能取值，确定正确选项.
8．【答案】B
【知识点】梯形；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用图形平移的特征可得，，，，再利用线段的和差求出，最后求出即可．
9．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）如图，由AB//CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图，过E2作AB平行线，
则由AB//CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
（3）如图，由AB//CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图，由AB//CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
（5）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
故选：D．
【分析】本题综合考查平行线的性质，三角形外角定理，属于几何图形变换与角度计算的综合考点. 解题关键在于根据点E的不同位置（AB与CD之间、AB上方、CD下方等）分类讨论，过点E作平行线，结合平行线的性质转化角度，再利用三角形外角定理或角度和差关系计算，判断其是否符合题干给出的各式.
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据题意可得：点运动到点（1，1）用了2秒，到点（2，2）处用了6秒，到点（3，3）处用了12秒，
所以运动到点（n，n）用了n(n+1)秒，
所以在第1980秒时移动到点（44，44）；
因为坐标为奇数时逆时针，偶数时顺时针，
所以可得1980秒时是顺时钟，
而2018-1980=38，
所以44-38=6，
所以可得2018秒时，移动到点(44，6)，
故答案为：D.
【分析】观察“对角线点”的时间规律发现：到点(n，n)时，总时间为n(n+1)秒；从而确定最接近2018秒的“对角线点”，即找到n(n+1)≤2018时n的最大值，通过尝试发现最接近2018秒的“对角线点”为(44，44)，对应时间为1980秒；由于坐标为奇数时逆时针，偶数时顺时针，故当n=44时，即1980秒时的运动方向为顺时针，进而计算出从1980秒到2018秒还需要的时间为38秒，故纵坐标为44-38=6，从而即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】
∵=3，
又∵（±）2=3，
∴的平方根是±．
【分析】首先得出的值，再利用平方根的定义计算即可．
12．【答案】或
【知识点】利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：∵，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
【分析】本题围绕平方根的定义展开，核心考查利用平方根的性质解方程. 解题的关键在于明确：若一个数的平方等于1，则这个数是1的平方根，而1的平方根为. 因此，由可推出或，分别求解这两个一元一次方程，即可得到x的所有取值，完成解题.
13．【答案】80°
【知识点】平行线的应用-折叠问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】∵BC∥DE，∴∠ADE=∠B=50°，∵∠EDF=∠ADE=50°，∴∠BDF=180°-50°-50°=80°．
故答案为80°．【分析】本题以三角形折叠为背景，结合平行线的条件，考查角度的计算，涉及平行线性质与折叠性质的综合运用. 解题的关键在于抓住两个核心性质：一是平行线的性质，两直线平行，同位角相等，由此可由推出与相等；二是折叠的性质，折叠前后对应角相等，因此. 确定这两个相等关系后，结合平角为180度的定义，通过角度的和差计算，可求出的度数.
14．【答案】±1
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵3＜＜4，
∴5＜2＋＜6，3＜7 ＜4，
∴a＝2＋ 5＝ 3，b＝7 3＝4 ，
∴a＋b＝1，
∴a＋b的平方根为±1，
故答案为：±1．
【分析】首先确定的取值范围，然后可得2＋和7 的取值范围，进而可得a＝ 3，
b＝4 ，再计算a＋b，然后可得a＋b的平方根，即可得解.
15．【答案】66
【知识点】平行线的应用-求角度；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
，
时，与平行，
故答案为：．
【分析】
由两直线平行同旁内角互补可得，再由可得，则当时可由内错角相等两直线平行得AM//BC．
16．【答案】①②④
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】本题依托平行线、角平分线与相交线的组合图形，综合考查平行线的判定与性质、角平分线的定义及三角形外角的性质. 解题的关键是层层推导角度关系：首先利用角平分线的定义，将、等角拆分为相等的两个角；接着结合平行线的判定定理，由角的相等关系推出，验证结论①；再利用平行线的性质，结合角平分线与三角形外角定理，推导与、与、与的数量关系，逐一验证其余结论，最终确定正确的结论组合.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算、算术平方根、立方根、二次根式运算、绝对值化简、有理数乘方运算.（1）先根据算术平方根、立方根的定义，以及有理数乘方的运算法则，对每一项分别化简，再按照有理数的加减运算法则依次计算；
（2）先利用二次根式的乘法法则展开括号，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后合并同类项完成计算.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：∵的平方根是，立方根是，∴，
解得：，
∵，
∴，
∴的平方根是
【知识点】平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】本题综合考查平方根与立方根的定义、代数式求值、平方根的计算，是实数概念与代数运算的综合考点. 解题的关键在于根据平方根、立方根的定义，列出关于a、b的方程，求解出a、b的值；再根据立方根、算术平方根的定义计算c的值；最后代入求值，再求其平方根.
19．【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】尺规作图-垂线；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【分析】本题考查复杂作图，平行线的性质，是几何作图与几何证明的综合考点.
（1）根据垂线的定义，过点A作AE垂直于BC，确保垂足为E；根据平行线的定义，过点D作DF平行于AB，且DF与BC相交于点F，按规范完成图形绘制；
（2）由，根据“两直线平行，同位角相等”可得；由，同理可得. 通过等量代换，即可推导出，完成证明.
（1）解：图形如图所示：
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：
（2）解：是由向右平移4个单位，向上平移2个单位得到的
（3）解：∵是由向右平移4个单位，向上平移2个单位得到的，点是内部一点，∴内部的对应点的坐标为，
故答案为：
（4）解：根据割补法，补成长方形：
∴
，
，
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；图形的平移
【解析】【解答】解：（1）由图知：，
故答案为：；
【分析】本题综合考查平面直角坐标系的核心知识，涵盖点的坐标读取、图形平移的规律应用，以及网格中三角形面积的计算.
（1）先根据网格位置准确读取各点坐标；
（2）通过对比对应点的位置变化，确定图形的平移方向与距离；
（3）接着依据平移的坐标变换规律，推导任意点的对应坐标；
（4）利用割补法，将三角形转化为规则图形的面积差，完成面积计算．
（1）解：由图知：，
故答案为：；
（2）是由向右平移4个单位，向上平移2个单位得到的．
（3）∵是由向右平移4个单位，向上平移2个单位得到的，点是内部一点，
∴内部的对应点的坐标为，
故答案为：；
（4）根据割补法，补成长方形：
∴
，
，
．
21．【答案】；垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；；等量代换；
【知识点】平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：∵，，
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，
∴（等量代换），
∴，
∴．
故答案为：；垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；；等量代换；．
【分析】本题核心考查平行线的判定与性质，垂直的定义. 解题的关键是先证平行，再推角关系：通过垂直定义确定，利用“同位角相等，两直线平行”证得；借助平行线性质得到，进而推出；最后依据“内错角相等，两直线平行”判定，最终利用平行线同旁内角互补性质证得结论.
22．【答案】（1）解：由数轴可知：
，，，
（2）解：由题意可知：，，，
，，，
【知识点】有理数的倒数；实数在数轴上表示；算术平方根的性质（双重非负性）；相反数的意义与性质
【解析】【分析】本题涵盖二次根式化简、绝对值性质、相反数与倒数定义、有理数运算等多个代数基础知识点.（1）化简核心：先定符号，再去根号与绝对值. 先由数轴确定，，的大小顺序（），判断出，，，再依据二次根式的性质，将根式转化为绝对值，最后去绝对值符号合并同类项；
（2）求值核心：挖掘特殊定义的隐含值. 利用“x与y互为相反数得”“绝对值最小的负整数z=-1”“m、n互为倒数得”这些定义，先求出，，的具体值，再代入代数式中计算.
（1）解：由数轴可知：
，，，
；
（2）解：由题意可知：，，，
，，，
．
23．【答案】（1）解：，理由如下：
∵，，
∴．
∴
（2）解∶∵，∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵平分交于点D，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】本题考查平行线的判定定理与性质定理，同时融合了角平分线的定义、邻补角的性质两大基础几何知识点.
（1）利用，（邻补角性质），通过同角的补角相等推导出，再依据“同位角相等，两直线平行”直接判定；
（2）先由判定，结合第一问已证的，通过平行线的同位角相等性质，推导出；再结合已知条件，建立方程求解出的度数，最后利用角平分线定义（BD平分），得出，完成最终计算.
（1）解：，
理由如下：
∵，，
∴．
∴．
（2）解∶∵，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵平分交于点D，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
24．【答案】（1）
（2），49
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
【分析】本题考查二次根式的规律探究、取整函数（高斯函数）的应用.
（1）观察已知等式，发现可拆分为，进一步化简为，依据此规律完成猜想和通式推导；
（2）先将每一项二次根式按规律拆分为，再对所有项求和，利用进行裂项相消，最后结合取整函数的定义，确定每一项的取整结果后求和．
（1）解：；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
25．【答案】（1），，
（2）解：设，则，由题意知，，
∴，解得，
∴（秒），
∴点P的运动时间为2秒；
（3）解：存在，由（2）可知，
设，则，，
∵，
∴，解得或，
∴或．
【知识点】坐标与图形性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】
（1）
解：∵，
∴，，解得，，
∴，
∴，；
【分析】
（1）若几个非负数的和为0，则这几个非负数都等于0，由于绝对值和完全平方式都是非负数，则a=6、b=4，再由坐标与图形性质可得A、B、C三点的坐标；
（2）由于与长方形ABCO有公共底边OA，则由面积公式知当时，的面积恰好是长方形面积的 ，即OP=2，再由公式计算出点P运动的时间即可；
（3）由（2）知AQ上的高OP=2，则由题意知，则AQ=24，再由绝对值的概念和意义得满足条件的点Q有两个，分别为或．
26．【答案】（1）
（2）证明：设，∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：如图，当点H在点K上方时，则，
∴，，
，
∴，
∴，
∴；
如图，当点H在点C，过点H作，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，即；
如图，当点H在点C，过点H作，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的关系是或
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【分析】本题围绕平行线的性质，垂直的定义，角平分线的性质，角度的计算与证明展开.
（1）先由得出，结合的度数求出，再利用的平行线性质，直接得到与的相等关系；
（2）设，利用角平分线定义表示，再结合的性质推导与的关系，最后通过垂直定义推导的直角，完成的证明；
（3）分点H在点K上方、点C和K之间、点C和D之间三种情况，结合平行线性质和角的和差关系，分别推导、和的数量关系.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）证明：设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图，当点H在点K上方时，则，
∴，，
，
∴，
∴，
∴；
如图，当点H在点C，过点H作，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，即；
如图，当点H在点C，过点H作，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的关系是或．
1 / 1四川省广元市苍溪县2024—2025学年下学期七年级期中数学试卷
一、单项选择题（10小题，每题3分，共30分）
1．下列工具中，有对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项C．
故选：C．
【分析】本题考查了对顶角的定义，把有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此逐项分析作答，即可得到答案.
2．如图，A，B，C，D中的图形，可以通过平移下边图形得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：可以通过平移图形得到的是
故选：D．
【分析】本题核心考查平移的性质，属于平面图形变换的基础考点. 紧扣平移“不改变图形方向”的本质，逐一对比原图与选项图形的细节（如花朵、茎叶的朝向、形态细节），排除旋转、翻转等非平移变换得到的图形，锁定符合平移特征的选项..
3．在平面直角坐标系中， 点 位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： 点 ，
∵m2≥0，
∴m2+1＞0，
∴ 点 位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】由m2≥0可得m2+1＞0，从而可知点P的横坐标为负数，纵坐标为正数，再根据各象限内点的坐标特征求解即可.
4．在，0.333 ，2.12112111211112 （相邻的两个2之间依次多一个1）中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，0，，0.333 是有理数；
，，2.12112111211112 （相邻的两个2之间依次多一个1）是无理数．
∴无理数共有3个，
故选：C．
【分析】本题围绕实数的分类展开，核心考查无理数的定义及判定方法. 解题的核心逻辑是：先明确无理数的本质是“无限不循环小数”，再结合常见无理数类型（含π的式子、开方不尽的数、特殊构造的无限不循环小数），对题目中的各式逐一分析. 首先通过算术平方根、立方根的运算规则化简带根号的数，判断其是否为有理数；再区分有限小数、无限循环小数（有理数）与无限不循环小数（无理数），最终统计无理数的数量，得出答案.
5．图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　）
A． B． C．1+ D．+2
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】∵正方形ABCD的面积为7，
∴AB=，
∵AB=AE，
∴AE=，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为+1，
故选：C．
【分析】
由于正方形的边长是正方形的面积的算术平方根，可先求出AB的长，则AE等于AB的长，又因为点A在原点右侧且距离原点一个单位长度，则点E表示的数字等于AE的长加1．
6．如图，直解三角板的直角顶点落在直尺边上，若∠1=56°，则∠2的度数为（　　）
A．56° B．44° C．34° D．28°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，
依题意知∠1+∠3=90°．
∵∠1=56°，
∴∠3=34°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=34°.
故答案为：C．
【分析】由平角的定义及学具性质得到∠3=34°，然后根据“两直线平行，内错角相等”求出∠2=∠3=34° ．
7．已知点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（　　）
A．4 B． C．8或4 D．或
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵ 点到两坐标轴的距离相等，
∴，
解得：或；
故选C．
【分析】本题依托平面直角坐标系中点的坐标性质，考查点到坐标轴距离的计算及绝对值方程的求解. 解题的关键在于牢记：点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值. 据此，由“点P到两坐标轴距离相等”可列等式，接下来需结合绝对值的定义，分情况去掉绝对值符合求解方程，或通过平方的方法消去绝对值符号，最终计算出a的可能取值，确定正确选项.
8．如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】梯形；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用图形平移的特征可得，，，，再利用线段的和差求出，最后求出即可．
9．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）如图，由AB//CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图，过E2作AB平行线，
则由AB//CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
（3）如图，由AB//CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图，由AB//CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
（5）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
故选：D．
【分析】本题综合考查平行线的性质，三角形外角定理，属于几何图形变换与角度计算的综合考点. 解题关键在于根据点E的不同位置（AB与CD之间、AB上方、CD下方等）分类讨论，过点E作平行线，结合平行线的性质转化角度，再利用三角形外角定理或角度和差关系计算，判断其是否符合题干给出的各式.
10．如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点(1，0)，然后按照图中箭头所示方向移动，即(0，0)→(1，0)→(1，1)→)(0，1)→(0，2)→……，且每秒移动一个单位，那么第2018秒时，点所在位置的坐标是(　　).
A．(6，44) B．(38，44) C．(44，38) D．(44，6)
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据题意可得：点运动到点（1，1）用了2秒，到点（2，2）处用了6秒，到点（3，3）处用了12秒，
所以运动到点（n，n）用了n(n+1)秒，
所以在第1980秒时移动到点（44，44）；
因为坐标为奇数时逆时针，偶数时顺时针，
所以可得1980秒时是顺时钟，
而2018-1980=38，
所以44-38=6，
所以可得2018秒时，移动到点(44，6)，
故答案为：D.
【分析】观察“对角线点”的时间规律发现：到点(n，n)时，总时间为n(n+1)秒；从而确定最接近2018秒的“对角线点”，即找到n(n+1)≤2018时n的最大值，通过尝试发现最接近2018秒的“对角线点”为(44，44)，对应时间为1980秒；由于坐标为奇数时逆时针，偶数时顺时针，故当n=44时，即1980秒时的运动方向为顺时针，进而计算出从1980秒到2018秒还需要的时间为38秒，故纵坐标为44-38=6，从而即可得出答案.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．的平方根是　 　
【答案】
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】
∵=3，
又∵（±）2=3，
∴的平方根是±．
【分析】首先得出的值，再利用平方根的定义计算即可．
12．若，则　 　．
【答案】或
【知识点】利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：∵，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
【分析】本题围绕平方根的定义展开，核心考查利用平方根的性质解方程. 解题的关键在于明确：若一个数的平方等于1，则这个数是1的平方根，而1的平方根为. 因此，由可推出或，分别求解这两个一元一次方程，即可得到x的所有取值，完成解题.
13．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠B＝50°，则∠BDF＝　 　°．
【答案】80°
【知识点】平行线的应用-折叠问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】∵BC∥DE，∴∠ADE=∠B=50°，∵∠EDF=∠ADE=50°，∴∠BDF=180°-50°-50°=80°．
故答案为80°．【分析】本题以三角形折叠为背景，结合平行线的条件，考查角度的计算，涉及平行线性质与折叠性质的综合运用. 解题的关键在于抓住两个核心性质：一是平行线的性质，两直线平行，同位角相等，由此可由推出与相等；二是折叠的性质，折叠前后对应角相等，因此. 确定这两个相等关系后，结合平角为180度的定义，通过角度的和差计算，可求出的度数.
14． 若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的平方根为　 　．
【答案】±1
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵3＜＜4，
∴5＜2＋＜6，3＜7 ＜4，
∴a＝2＋ 5＝ 3，b＝7 3＝4 ，
∴a＋b＝1，
∴a＋b的平方根为±1，
故答案为：±1．
【分析】首先确定的取值范围，然后可得2＋和7 的取值范围，进而可得a＝ 3，
b＝4 ，再计算a＋b，然后可得a＋b的平方根，即可得解.
15．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图．其中都与地面平行，，，当为　 　度时，与平行．
【答案】66
【知识点】平行线的应用-求角度；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
，
时，与平行，
故答案为：．
【分析】
由两直线平行同旁内角互补可得，再由可得，则当时可由内错角相等两直线平行得AM//BC．
16．如图，，交于点P，平分，平分，交的反向延长线于Q，，则：①若，则；②；③；④，其中正确的是　 　 ．
【答案】①②④
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】本题依托平行线、角平分线与相交线的组合图形，综合考查平行线的判定与性质、角平分线的定义及三角形外角的性质. 解题的关键是层层推导角度关系：首先利用角平分线的定义，将、等角拆分为相等的两个角；接着结合平行线的判定定理，由角的相等关系推出，验证结论①；再利用平行线的性质，结合角平分线与三角形外角定理，推导与、与、与的数量关系，逐一验证其余结论，最终确定正确的结论组合.
三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算、算术平方根、立方根、二次根式运算、绝对值化简、有理数乘方运算.（1）先根据算术平方根、立方根的定义，以及有理数乘方的运算法则，对每一项分别化简，再按照有理数的加减运算法则依次计算；
（2）先利用二次根式的乘法法则展开括号，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后合并同类项完成计算.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．已知的平方根是，立方根是，，求的平方根．
【答案】解：∵的平方根是，立方根是，∴，
解得：，
∵，
∴，
∴的平方根是
【知识点】平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】本题综合考查平方根与立方根的定义、代数式求值、平方根的计算，是实数概念与代数运算的综合考点. 解题的关键在于根据平方根、立方根的定义，列出关于a、b的方程，求解出a、b的值；再根据立方根、算术平方根的定义计算c的值；最后代入求值，再求其平方根.
19．如图，在四边形中，过A作的垂线，垂足为E，过D作的平行线，交于点F．
（1）按要求完成画图；
（2）若，试说明．
【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】尺规作图-垂线；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【分析】本题考查复杂作图，平行线的性质，是几何作图与几何证明的综合考点.
（1）根据垂线的定义，过点A作AE垂直于BC，确保垂足为E；根据平行线的定义，过点D作DF平行于AB，且DF与BC相交于点F，按规范完成图形绘制；
（2）由，根据“两直线平行，同位角相等”可得；由，同理可得. 通过等量代换，即可推导出，完成证明.
（1）解：图形如图所示：
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．与在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A 、B 、C ；
（2）是由经过怎样的平移得到的？
（3）若点是内部一点，求内部的对应点的坐标；
（4）求的面积．
【答案】（1）解：
（2）解：是由向右平移4个单位，向上平移2个单位得到的
（3）解：∵是由向右平移4个单位，向上平移2个单位得到的，点是内部一点，∴内部的对应点的坐标为，
故答案为：
（4）解：根据割补法，补成长方形：
∴
，
，
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；图形的平移
【解析】【解答】解：（1）由图知：，
故答案为：；
【分析】本题综合考查平面直角坐标系的核心知识，涵盖点的坐标读取、图形平移的规律应用，以及网格中三角形面积的计算.
（1）先根据网格位置准确读取各点坐标；
（2）通过对比对应点的位置变化，确定图形的平移方向与距离；
（3）接着依据平移的坐标变换规律，推导任意点的对应坐标；
（4）利用割补法，将三角形转化为规则图形的面积差，完成面积计算．
（1）解：由图知：，
故答案为：；
（2）是由向右平移4个单位，向上平移2个单位得到的．
（3）∵是由向右平移4个单位，向上平移2个单位得到的，点是内部一点，
∴内部的对应点的坐标为，
故答案为：；
（4）根据割补法，补成长方形：
∴
，
，
．
21．根据下列证明过程填空：
如图，，，且．求证：．
证明：∵，，
∴ （ ），
∴ （ ），
∴ （ ），
∵，
∴ ，（ ）
∴ ，
∴．
【答案】；垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；；等量代换；
【知识点】平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：∵，，
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，
∴（等量代换），
∴，
∴．
故答案为：；垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；；等量代换；．
【分析】本题核心考查平行线的判定与性质，垂直的定义. 解题的关键是先证平行，再推角关系：通过垂直定义确定，利用“同位角相等，两直线平行”证得；借助平行线性质得到，进而推出；最后依据“内错角相等，两直线平行”判定，最终利用平行线同旁内角互补性质证得结论.
22．如图，已知数轴上的点A，B，C分别表示实数a，b，c，
（1）化简：
（2）若，，．且满足与互为相反数，是绝对值最小的负整数，，互为倒数，试求的值．
【答案】（1）解：由数轴可知：
，，，
（2）解：由题意可知：，，，
，，，
【知识点】有理数的倒数；实数在数轴上表示；算术平方根的性质（双重非负性）；相反数的意义与性质
【解析】【分析】本题涵盖二次根式化简、绝对值性质、相反数与倒数定义、有理数运算等多个代数基础知识点.（1）化简核心：先定符号，再去根号与绝对值. 先由数轴确定，，的大小顺序（），判断出，，，再依据二次根式的性质，将根式转化为绝对值，最后去绝对值符号合并同类项；
（2）求值核心：挖掘特殊定义的隐含值. 利用“x与y互为相反数得”“绝对值最小的负整数z=-1”“m、n互为倒数得”这些定义，先求出，，的具体值，再代入代数式中计算.
（1）解：由数轴可知：
，，，
；
（2）解：由题意可知：，，，
，，，
．
23．如图，在中，平分交于点D，点E在的延长线上，点G在线段上，与相交于点F，
（1）与平行吗？请说明理由．
（2）点H在的延长线上，若，，求的度数
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，，
∴．
∴
（2）解∶∵，∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵平分交于点D，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】本题考查平行线的判定定理与性质定理，同时融合了角平分线的定义、邻补角的性质两大基础几何知识点.
（1）利用，（邻补角性质），通过同角的补角相等推导出，再依据“同位角相等，两直线平行”直接判定；
（2）先由判定，结合第一问已证的，通过平行线的同位角相等性质，推导出；再结合已知条件，建立方程求解出的度数，最后利用角平分线定义（BD平分），得出，完成最终计算.
（1）解：，
理由如下：
∵，，
∴．
∴．
（2）解∶∵，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵平分交于点D，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
24．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
（1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
【答案】（1）
（2），49
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
【分析】本题考查二次根式的规律探究、取整函数（高斯函数）的应用.
（1）观察已知等式，发现可拆分为，进一步化简为，依据此规律完成猜想和通式推导；
（2）先将每一项二次根式按规律拆分为，再对所有项求和，利用进行裂项相消，最后结合取整函数的定义，确定每一项的取整结果后求和．
（1）解：；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
25．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且．
（1）请直接写出点A、B、C的坐标；
（2）若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的时，点停止运动，求点P的运动时间；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：设，则，由题意知，，
∴，解得，
∴（秒），
∴点P的运动时间为2秒；
（3）解：存在，由（2）可知，
设，则，，
∵，
∴，解得或，
∴或．
【知识点】坐标与图形性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】
（1）
解：∵，
∴，，解得，，
∴，
∴，；
【分析】
（1）若几个非负数的和为0，则这几个非负数都等于0，由于绝对值和完全平方式都是非负数，则a=6、b=4，再由坐标与图形性质可得A、B、C三点的坐标；
（2）由于与长方形ABCO有公共底边OA，则由面积公式知当时，的面积恰好是长方形面积的 ，即OP=2，再由公式计算出点P运动的时间即可；
（3）由（2）知AQ上的高OP=2，则由题意知，则AQ=24，再由绝对值的概念和意义得满足条件的点Q有两个，分别为或．
26．已知直线，点A，C在直线上，D在直线上．
（1）如图1，若，，且，则的度数为 ；
（2）如图2，若平分，，，过点D作交于点F，求证：；
（3）如图3，若，直线和直线相交于点K，点H在直线上，试探究，和之间的数量关系，请直接写出结论
【答案】（1）
（2）证明：设，∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：如图，当点H在点K上方时，则，
∴，，
，
∴，
∴，
∴；
如图，当点H在点C，过点H作，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，即；
如图，当点H在点C，过点H作，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的关系是或
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【分析】本题围绕平行线的性质，垂直的定义，角平分线的性质，角度的计算与证明展开.
（1）先由得出，结合的度数求出，再利用的平行线性质，直接得到与的相等关系；
（2）设，利用角平分线定义表示，再结合的性质推导与的关系，最后通过垂直定义推导的直角，完成的证明；
（3）分点H在点K上方、点C和K之间、点C和D之间三种情况，结合平行线性质和角的和差关系，分别推导、和的数量关系.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）证明：设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图，当点H在点K上方时，则，
∴，，
，
∴，
∴，
∴；
如图，当点H在点C，过点H作，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，即；
如图，当点H在点C，过点H作，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的关系是或．
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