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四川省广安市岳池县五校2024—2025学年下学期期中质量检测八年级数学试题
一、选择题（每个小题只有一个正确选项，每题3分，共30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，符合定义，是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】满足被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．如果x是任意实数，下列各式中一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A．当x＜0时，
无意义，故此选项不符合题意；
B．当x=0时，
无意义，故此选项不符合题意；
C．x是任意实数，
都有意义，故此选项符合题意；
D．当x＞0或x＜0时，
无意义，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件逐项判断即可。
3．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2、2、3 B．9、12、15 C．6、8、10 D．7、24、25
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴数组2、2、3不能作为直角三角形的三边，此选项符合题意；
B、∵，∴数组9、12、15能作为直角三角形的三边，此选项不符合题意；
C、∵，∴数组6、8、10能作为直角三角形的三边，此选项不符合题意；
D、∵，∴数组7、24、25能作为直角三角形的三边，此选项不符合题意.
故答案为：A ．
【分析】运用勾股定理逆定理，如果一个数组中的三个数满足较小两数的平方和等于较大数的平方，则该数组就能作为直角三角形的三边，否则就不能，据此逐一判断得出答案.
4．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，故此选项计算正确，不符合题意；
B、，故此选项计算正确，不符合题意；
C、，故此选项计算错误，符合题意；
D、，故此选项计算正确，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由二次根式的乘法法则“”可判断A选项；由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2及二次根式性质可判断B选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断C选项；根据二次根式除法法则“”可判断D选项.
5．如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（　　）
A．225 B．200 C．250 D．150
【答案】A
【知识点】勾股定理；多边形的面积
【解析】【解答】解：正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=15，
则AC2+BC2=225．
即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225．
故选：A．
【分析】本题主要考查勾股定理在几何图形面积求和中的应用。正方形 ADEC 的面积为 AC2，正方形 BCFG 的面积为 BC2，两正方形面积之和为 AC2 + BC2。在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB2 = AC2 + BC2，已知 AB = 15，故 AC2 + BC2 = 152 = 225，即两正方形面积之和为 225。
6．如图，四边形的对角线相交于点O，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意；
B、∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故不符合题意；
C、，，无法判断四边形是平行四边形，故符合题意；
D、∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意；
故选：C．
【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，需熟练掌握各组判定条件。已知 CDAB，若添加 AD BC，则两组对边分别平行可判定平行四边形；若添加 AB = CD，则一组对边平行且相等可判定平行四边形；若添加DAB + ABC = 180，结合平行线同旁内角互补可推出 AD BC，同样可证平行四边形。而添加 AC = BD 仅能说明对角线相等，无法判定平行四边形，故不能添加的条件是 C。
7．如图，四边形是菱形，点在轴上，顶点A，B的坐标分别是，，则点C的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：连接，交于点E，
∵点A，B的坐标分别是，，
∴菱形的边长，
∴，
∴点D的坐标是，
设点C的坐标为，
∵四边形是菱形，
∴，解得，
，解得，
∴点C的坐标为．
故选：D．
【分析】本题主要考查菱形的性质、两点间距离公式以及中点坐标公式的应用。连接菱形对角线 AC 与 BD 交于点 E，由 A(0，2)、B(4，4) 利用勾股定理求出边长 AB = 2，根据菱形四条边相等及顶点 D 在 x 轴上，结合 AD = 2可设 D(m，0) 列方程求出 D 坐标，再利用对角线互相平分及中点坐标公式求出点 C 的坐标。
8．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=2，
∵AC2+CD2=AD2，
∴△CDA也为直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AC×CD=．
故四边形ABCD的面积是．
故选：B.
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用。连接 AC，在 Rt△ ABC 中由 AB = BC = 1 得 AC2 = 12 + 12 = 2，再计算 AC2 + CD2 = 2 + 22= 6 = AD2，根据勾股定理逆定理可得 △ ACD 也是直角三角形且∠ ACD = 90。四边形面积等于两个直角三角形面积之和，即 S =1 1 +2 =。
9．已知如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：根据题意，点B与点D关于AC对称，连接BM交AC于点N'，再连接DN'，则BN'=DN'，
∴MN'+DN'=MN'+BN'=BM，即当N与N'重合时，根据两点之间线段最短可得BM就是所求DN+MN的最小值，
在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6
根据勾股定理得：BM＝＝10，
即DN+MN的最小值是10；
故答案为：B．
【分析】易得点B与点D关于AC对称，连接BM交AC于点N'，再连接DN'，则BN'=DN'，故MN'+DN'=MN'+BN'=BM，即当N与N'重合时，根据两点之间线段最短可得BM就是所求DN+MN的最小值；然后在Rt△BCM中，利用勾股定理算出BM即可得出答案.
10．如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故①正确；
过B作，交的延长线于F，则，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即点B到直线的距离为1，
故②不正确；
如图，连接，
∵，
∴，，
∴，
故③正确；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确，
综上可知，①③④正确，
故选：A．
【分析】本题以正方形外一点及垂线为背景，综合考查全等三角形的判定（SAS）、勾股定理、点到直线距离、面积割补法以及正方形面积的计算。通过证明得 PD = BE 及∠ APD = ∠AEB，结合等腰直角三角形的性质推出 ∠ BEP = 90°，即 EBED；过点 B 作垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出相关线段长，逐一验证各结论的正确性。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．“在同一个三角形中，等边对等角．”请写出该命题的逆命题　 　．
【答案】“在同一个三角形中，等角对等边“
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：根据题意，得该命题的逆命题是“在同一个三角形中，等角对等边“，
故答案为：“在同一个三角形中，等角对等边”.
【分析】根据逆命题的定义：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么就说这两个命题互为逆命题，据此即可得到答案.
12．自由落体的公式是h=gt2（g为重力加速度，g=9.8m/s2），若物体下落的高度h为88.2米，则下落的时间为　 　秒．
【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：把h=88.2与 g=9.8 代入h=gt2，可得×9.8×t2=88.2，
解得：t=±，
又因下落的时间是正数，
所以下落的时间是秒.
故答案为：.
【分析】把h=88.2与 g=9.8 代入h=gt2可得关于字母t的一元二次方程，再结合时间为正数，利用开平方法求出其算术平方根即可.
13．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形（改变矩形内角，边长保持不变）为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为　 　．
【答案】30°
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：CE=，∠CED=90°，
∴∠D=30°，
故答案为30°．
【分析】本题主要考查矩形的面积公式、平行四边形的面积公式以及含 30 角的直角三角形的性质。设矩形相邻两边长分别为 a、b，则矩形面积为 ab，变形后平行四边形面积 S = ah =ab，故高 h =b。在 Rt△中，高 h 为平行四边形一边 b 上的高，且 h =b，根据“直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该边所对角为 30”可得最小内角为 30。
14．如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设杯子中牙刷长度为xcm，
∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，
∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于以杯子底面直径、杯子的高为直角边的直角三角形的斜边长度，
∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，，
当杯子中牙刷最长时：，
∴12≤x≤13
∴，
即．
故答案为：．
【分析】在杯子中牙刷最短是等于杯子的高12cm，最长是等于以杯子底面直径、杯子的高为直角边的直角三角形的斜边长度，从而利用勾股定理算出杯子中牙刷最长时的长度，即可得出杯子中牙刷长度的取值范围，进而根据不等式性质即可得到牙刷在杯子外面长度的取值范围.
15．如图，设四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此下去．则第2024个正方形的边长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵四边形是边长为1的正方形，
∴第二个正方形的边长，
第三个正方形的边长，
同理：第n个正方形的边长，
∴第2024个正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理依次计算出前几个正方形的对角线，就会发现正方形的对角线等于边长的倍，据此根据指数的变化求出第n个正方形的边长为，最后将n=2024代入计算可得答案.
16．如图，有一张矩形纸片，，点分别在边上，，现将四边形沿折叠，使点分别落在点上当点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应的运动路径长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 如图，当点与点重合时，
，
四边形矩形，，
，，，，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
如图，当点运动到时，的值最大，
，
四边形矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
同前可得：，
，
如图，当点运动到点落在时，
，
由折叠的性质可得：，，，
，
，
点的运动轨迹为，
运动路径为，
故答案为：．
【分析】探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置；当M与A重合时，由矩形性质得AB∥CD，AD=BC=3，CD=AB=7，∠D=90°，由二直线平行，内错角相等及折叠的性质可得出∠2=∠3，由等角对等边得出AE=EN，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求出AE，进而根据线段和差算出DE；当点M运动到MB'⊥AB时，DE'的值最大，由矩形性质及判定可得四边形CBME'是矩形，由矩形性质得出E'M=BC=3，同前可得E'M=E'N=3，由线段和差算出DE'=3；当点M运动到点B'落在CD时，由折叠的性质可得∠C=∠C'，CN=C'N=1，BC=B'C'=3，在Rt△B'C'N中，利用勾股定理算出B'N，根据线段和差算出DE''，然后根据点E的运动轨迹为E→E'→E''，从而即可算出运动路径.
三、解答题（共96分）
17．计算：
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式除法法则“”及平方差公式分别计算，再根据二次根式性质“”及“”分别化简，最后计算有理数加减法运算即可.
18．已知a＝2＋＋2，求÷·的值．
【答案】解：∵，，∴，
把代入式子计算出
∴ab＝6，a＋b＝5，
∴原式＝＝.
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除混合运算。由 a = 2 + + 2 中两个根号下的被开方数均需非负，得 3 - b0 且 3b - 9 0，联立解得 b = 3，代入得 a = 2。再将 a， b 的值代入所求代数式，先化简括号内、将除法转化为乘法，最后进行二次根式的乘除运算得出结果。
19．在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)已知c=25，b=15，求a；
(2)已知a=，∠A=60°，求b，c．
【答案】解：（1）如图，∵Rt△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15，
∴
（2）∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∴c=2b，
∵
∴b=，c=2．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，利用勾股定理直接计算即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，根据含30°角直角三角形的性质得出c=2b，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程可求出b的长，进而即可得到c的长.
20．已知：如图，在中，∠BAC=90°，DE、DF是 的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．
【答案】证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，
∴EF=AD．
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由三角形的中位线平行于第三边得出DE∥AB，DF∥AC，进而根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形AEDF是平行四边形，再根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”证得平行四边形AEDF是矩形，最后根据矩形对角线相等可得结论.
21．如图，在四边形中，，为边的中点，连接，，分别延长，，交于点，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，试探究与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
，
，
∵为边的中点，
，
，
，
，
∴，
，
，
∴四边形是平行四边形
（2）解：，理由如下：
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠NAM=∠B，∠N=∠BCM，由中点定义得AM=BM，用“AAS”证△AMN≌△BMC，由全等三角形的对应边相等得AN=BC，结合已知推出AD=BC，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）易得AB=DN，由平行四边形的对边相等得AB=CD，则可得DN=DC，由全等三角形的对应边相等得MN=CM，然后根据等腰三角形三线合一即可得出DM⊥CM.
（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
，
，
∵为边的中点，
，
，
，
，
∴，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，理由如下：
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
22．在中，，，三边长分别为，，，求这个三角形面积，小明同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点，借用网格就能计算出它的面积．
（1）的面积为______；
（2）如果三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点，并直接写出的面积为______．
【答案】（1）4.5
（2）解：如图，
，
∴格点即为所求作；
3.5
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）的面积为；
故答案为：4.5；
（2）的面积．
故答案为：3.5．
【分析】（1）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积即可得出△ABC的面积，据此列式计算即可；
（2）先根据勾股定理可得：长度为的线段是两直角边分别为3与1的直角三角形的斜边长，长度为的线段是两直角边分别为2与1的直角三角形的斜边长，长度为的线段是两直角边分别为3与2的直角三角形的斜边长，据此结合方格纸的特点确定三边所在的三角形的位置，进而可画出相应的三角形，再根据割补法用△MNP外接正方形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积即可得出△MNP的面积，据此列式计算即可.
23．阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3＋2＝（1＋）2，善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn．
a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝　 　，b＝　 　；
（2）若a＋6＝（m＋n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）直接写出式子化简的结果．
【答案】（1）m2+5n2，2mn
（2）解：∵，
，
，
∵a、m、n均为正整数，
∴或，
∴a=16或a=64；
（3）解：化简的结果为
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
，
；
故答案为：m2+5n2，2mn；
（3）∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）将已知等式的右边利用完全平方公式展开后，结合题干给出的方法即可求出a、b所代表的式子；
（2） 将已知等式的右边利用完全平方公式展开后，结合题干给出的方法得出a=m2+7n2及6=2mn，首先确定正整数m、n的值，通过分析m=3，n=1或者m=1，n=3，然后即可确定a的值；
（3）利用题干提供的方法将变形为，然后根据二次根式性质“”化简即可.
24．在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是．
（1）如图①，如果点和顶点重合，求的长；
（2）如图②，如果是的中点，求的长．
【答案】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：，设，则，
，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
．
（2）解：∵点落在的中点，
，
设，则，
，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
即的长为：．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠可得，设，则，在Rt△ACE中，利用勾股定理建立方程求解得出x的值，从而即可得到CE的长；
（2）由中点定义得，由折叠的性质可得：，设，则， 在Rt△B'CE中，利用勾股定理建立方程求解得出y的值，从而即可得到CE的长 .
（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：，
设，则，
，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
．
（2）解：∵点落在的中点，
，
设，则，
，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
即的长为：．
25．如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点．
（1）若，求的长；
（2）当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？
（3）在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵AC=PQ，
∴平行四边形APCQ是矩形，
∴∠APC=90°，
∴∠APB=90°
，，
，
∴∠BAP=30°
（2）解：当PB=6时，平行四边形APCQ是菱形，理由如下：
Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=6，
∴BC=2AB=12，
当PB=6时，PC=AB-PB=6=PB，即点P是BC的中点，
∴PA=PC，
∴此时平行四边形APCQ是菱形，
∴当PB=6时，平行四边形APCQ是菱形
（3）存在，PQ的最小值为
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】（3）解：如图，设与交于点，作于．
在中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
【分析】（1）当AC=PQ时，由对角线相等的平行四边形是矩形得出四边形APCQ是矩形，由矩形四个内角为直角得出∠APC=90°，然后根据是哪些的内角和定理求出∠BAP=30°，最后根据含30°角直角三角形的性质得出PB=AB=3；
（2）当时，，此时平行四边形是菱形；
（3）设PQ与AC交于点O，过点O作OP'⊥BC于点P'，根据含30°角直角三角形的性质得出BC=12，AC=，由平行四边形的对角线互相平分， 再根据含30°角直角三角形的性质得出OP'，当点P与点P'重合时，OP的值最小，最小值等于2OP'.
（1）当时，平行四边形是矩形，则，
，，
，
，，
；
（2），当时，
∴，此时平行四边形是菱形，
，，，
，
；
（3）如图，设与交于点，作于．
在中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
26．【问题呈现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系．
【问题初探】
（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题引申】
（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ；
【问题解决】
（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ．
【答案】解：（1）结论：．
理由：如图1中，
正方形的对角线，交于点，
，，
，
，
在和中
，
，
，
；
（2）；
（3）4或2
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】
解：（2）结论变为，理由如下：
如图2中，取的中点T，连接，
四边形为的菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．
是等边三角形，，
，，
在中，，
，
由（2）可知，，
；
如图中，当点靠近点时，同法可得，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或；
故答案为：4或2．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得，，再利用ASA证明，得到，即可解答；
（2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，即可利用ASA可证明得到，即可解答；
（3）分两种情况：当点靠近点时；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质通过计算线段的和差，求解即可解答．
1 / 1四川省广安市岳池县五校2024—2025学年下学期期中质量检测八年级数学试题
一、选择题（每个小题只有一个正确选项，每题3分，共30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．如果x是任意实数，下列各式中一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2、2、3 B．9、12、15 C．6、8、10 D．7、24、25
4．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（　　）
A．225 B．200 C．250 D．150
6．如图，四边形的对角线相交于点O，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，四边形是菱形，点在轴上，顶点A，B的坐标分别是，，则点C的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．已知如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每题4分，共24分）
11．“在同一个三角形中，等边对等角．”请写出该命题的逆命题　 　．
12．自由落体的公式是h=gt2（g为重力加速度，g=9.8m/s2），若物体下落的高度h为88.2米，则下落的时间为　 　秒．
13．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形（改变矩形内角，边长保持不变）为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为　 　．
14．如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是　 　．
15．如图，设四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此下去．则第2024个正方形的边长为　 　．
16．如图，有一张矩形纸片，，点分别在边上，，现将四边形沿折叠，使点分别落在点上当点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应的运动路径长为　 　．
三、解答题（共96分）
17．计算：
18．已知a＝2＋＋2，求÷·的值．
19．在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)已知c=25，b=15，求a；
(2)已知a=，∠A=60°，求b，c．
20．已知：如图，在中，∠BAC=90°，DE、DF是 的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．
21．如图，在四边形中，，为边的中点，连接，，分别延长，，交于点，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，试探究与的位置关系，并说明理由．
22．在中，，，三边长分别为，，，求这个三角形面积，小明同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点，借用网格就能计算出它的面积．
（1）的面积为______；
（2）如果三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点，并直接写出的面积为______．
23．阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3＋2＝（1＋）2，善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn．
a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝　 　，b＝　 　；
（2）若a＋6＝（m＋n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）直接写出式子化简的结果．
24．在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是．
（1）如图①，如果点和顶点重合，求的长；
（2）如图②，如果是的中点，求的长．
25．如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点．
（1）若，求的长；
（2）当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？
（3）在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．
26．【问题呈现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系．
【问题初探】
（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题引申】
（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ；
【问题解决】
（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，符合定义，是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】满足被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A．当x＜0时，
无意义，故此选项不符合题意；
B．当x=0时，
无意义，故此选项不符合题意；
C．x是任意实数，
都有意义，故此选项符合题意；
D．当x＞0或x＜0时，
无意义，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件逐项判断即可。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴数组2、2、3不能作为直角三角形的三边，此选项符合题意；
B、∵，∴数组9、12、15能作为直角三角形的三边，此选项不符合题意；
C、∵，∴数组6、8、10能作为直角三角形的三边，此选项不符合题意；
D、∵，∴数组7、24、25能作为直角三角形的三边，此选项不符合题意.
故答案为：A ．
【分析】运用勾股定理逆定理，如果一个数组中的三个数满足较小两数的平方和等于较大数的平方，则该数组就能作为直角三角形的三边，否则就不能，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，故此选项计算正确，不符合题意；
B、，故此选项计算正确，不符合题意；
C、，故此选项计算错误，符合题意；
D、，故此选项计算正确，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由二次根式的乘法法则“”可判断A选项；由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2及二次根式性质可判断B选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断C选项；根据二次根式除法法则“”可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；多边形的面积
【解析】【解答】解：正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=15，
则AC2+BC2=225．
即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225．
故选：A．
【分析】本题主要考查勾股定理在几何图形面积求和中的应用。正方形 ADEC 的面积为 AC2，正方形 BCFG 的面积为 BC2，两正方形面积之和为 AC2 + BC2。在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB2 = AC2 + BC2，已知 AB = 15，故 AC2 + BC2 = 152 = 225，即两正方形面积之和为 225。
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意；
B、∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故不符合题意；
C、，，无法判断四边形是平行四边形，故符合题意；
D、∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意；
故选：C．
【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，需熟练掌握各组判定条件。已知 CDAB，若添加 AD BC，则两组对边分别平行可判定平行四边形；若添加 AB = CD，则一组对边平行且相等可判定平行四边形；若添加DAB + ABC = 180，结合平行线同旁内角互补可推出 AD BC，同样可证平行四边形。而添加 AC = BD 仅能说明对角线相等，无法判定平行四边形，故不能添加的条件是 C。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：连接，交于点E，
∵点A，B的坐标分别是，，
∴菱形的边长，
∴，
∴点D的坐标是，
设点C的坐标为，
∵四边形是菱形，
∴，解得，
，解得，
∴点C的坐标为．
故选：D．
【分析】本题主要考查菱形的性质、两点间距离公式以及中点坐标公式的应用。连接菱形对角线 AC 与 BD 交于点 E，由 A(0，2)、B(4，4) 利用勾股定理求出边长 AB = 2，根据菱形四条边相等及顶点 D 在 x 轴上，结合 AD = 2可设 D(m，0) 列方程求出 D 坐标，再利用对角线互相平分及中点坐标公式求出点 C 的坐标。
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=2，
∵AC2+CD2=AD2，
∴△CDA也为直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AC×CD=．
故四边形ABCD的面积是．
故选：B.
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用。连接 AC，在 Rt△ ABC 中由 AB = BC = 1 得 AC2 = 12 + 12 = 2，再计算 AC2 + CD2 = 2 + 22= 6 = AD2，根据勾股定理逆定理可得 △ ACD 也是直角三角形且∠ ACD = 90。四边形面积等于两个直角三角形面积之和，即 S =1 1 +2 =。
9．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：根据题意，点B与点D关于AC对称，连接BM交AC于点N'，再连接DN'，则BN'=DN'，
∴MN'+DN'=MN'+BN'=BM，即当N与N'重合时，根据两点之间线段最短可得BM就是所求DN+MN的最小值，
在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6
根据勾股定理得：BM＝＝10，
即DN+MN的最小值是10；
故答案为：B．
【分析】易得点B与点D关于AC对称，连接BM交AC于点N'，再连接DN'，则BN'=DN'，故MN'+DN'=MN'+BN'=BM，即当N与N'重合时，根据两点之间线段最短可得BM就是所求DN+MN的最小值；然后在Rt△BCM中，利用勾股定理算出BM即可得出答案.
10．【答案】A
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故①正确；
过B作，交的延长线于F，则，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即点B到直线的距离为1，
故②不正确；
如图，连接，
∵，
∴，，
∴，
故③正确；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确，
综上可知，①③④正确，
故选：A．
【分析】本题以正方形外一点及垂线为背景，综合考查全等三角形的判定（SAS）、勾股定理、点到直线距离、面积割补法以及正方形面积的计算。通过证明得 PD = BE 及∠ APD = ∠AEB，结合等腰直角三角形的性质推出 ∠ BEP = 90°，即 EBED；过点 B 作垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出相关线段长，逐一验证各结论的正确性。
11．【答案】“在同一个三角形中，等角对等边“
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：根据题意，得该命题的逆命题是“在同一个三角形中，等角对等边“，
故答案为：“在同一个三角形中，等角对等边”.
【分析】根据逆命题的定义：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么就说这两个命题互为逆命题，据此即可得到答案.
12．【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：把h=88.2与 g=9.8 代入h=gt2，可得×9.8×t2=88.2，
解得：t=±，
又因下落的时间是正数，
所以下落的时间是秒.
故答案为：.
【分析】把h=88.2与 g=9.8 代入h=gt2可得关于字母t的一元二次方程，再结合时间为正数，利用开平方法求出其算术平方根即可.
13．【答案】30°
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：CE=，∠CED=90°，
∴∠D=30°，
故答案为30°．
【分析】本题主要考查矩形的面积公式、平行四边形的面积公式以及含 30 角的直角三角形的性质。设矩形相邻两边长分别为 a、b，则矩形面积为 ab，变形后平行四边形面积 S = ah =ab，故高 h =b。在 Rt△中，高 h 为平行四边形一边 b 上的高，且 h =b，根据“直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该边所对角为 30”可得最小内角为 30。
14．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设杯子中牙刷长度为xcm，
∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，
∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于以杯子底面直径、杯子的高为直角边的直角三角形的斜边长度，
∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，，
当杯子中牙刷最长时：，
∴12≤x≤13
∴，
即．
故答案为：．
【分析】在杯子中牙刷最短是等于杯子的高12cm，最长是等于以杯子底面直径、杯子的高为直角边的直角三角形的斜边长度，从而利用勾股定理算出杯子中牙刷最长时的长度，即可得出杯子中牙刷长度的取值范围，进而根据不等式性质即可得到牙刷在杯子外面长度的取值范围.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵四边形是边长为1的正方形，
∴第二个正方形的边长，
第三个正方形的边长，
同理：第n个正方形的边长，
∴第2024个正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理依次计算出前几个正方形的对角线，就会发现正方形的对角线等于边长的倍，据此根据指数的变化求出第n个正方形的边长为，最后将n=2024代入计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 如图，当点与点重合时，
，
四边形矩形，，
，，，，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
如图，当点运动到时，的值最大，
，
四边形矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
同前可得：，
，
如图，当点运动到点落在时，
，
由折叠的性质可得：，，，
，
，
点的运动轨迹为，
运动路径为，
故答案为：．
【分析】探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置；当M与A重合时，由矩形性质得AB∥CD，AD=BC=3，CD=AB=7，∠D=90°，由二直线平行，内错角相等及折叠的性质可得出∠2=∠3，由等角对等边得出AE=EN，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求出AE，进而根据线段和差算出DE；当点M运动到MB'⊥AB时，DE'的值最大，由矩形性质及判定可得四边形CBME'是矩形，由矩形性质得出E'M=BC=3，同前可得E'M=E'N=3，由线段和差算出DE'=3；当点M运动到点B'落在CD时，由折叠的性质可得∠C=∠C'，CN=C'N=1，BC=B'C'=3，在Rt△B'C'N中，利用勾股定理算出B'N，根据线段和差算出DE''，然后根据点E的运动轨迹为E→E'→E''，从而即可算出运动路径.
17．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式除法法则“”及平方差公式分别计算，再根据二次根式性质“”及“”分别化简，最后计算有理数加减法运算即可.
18．【答案】解：∵，，∴，
把代入式子计算出
∴ab＝6，a＋b＝5，
∴原式＝＝.
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除混合运算。由 a = 2 + + 2 中两个根号下的被开方数均需非负，得 3 - b0 且 3b - 9 0，联立解得 b = 3，代入得 a = 2。再将 a， b 的值代入所求代数式，先化简括号内、将除法转化为乘法，最后进行二次根式的乘除运算得出结果。
19．【答案】解：（1）如图，∵Rt△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15，
∴
（2）∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∴c=2b，
∵
∴b=，c=2．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，利用勾股定理直接计算即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，根据含30°角直角三角形的性质得出c=2b，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程可求出b的长，进而即可得到c的长.
20．【答案】证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，
∴EF=AD．
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由三角形的中位线平行于第三边得出DE∥AB，DF∥AC，进而根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形AEDF是平行四边形，再根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”证得平行四边形AEDF是矩形，最后根据矩形对角线相等可得结论.
21．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
，
，
∵为边的中点，
，
，
，
，
∴，
，
，
∴四边形是平行四边形
（2）解：，理由如下：
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠NAM=∠B，∠N=∠BCM，由中点定义得AM=BM，用“AAS”证△AMN≌△BMC，由全等三角形的对应边相等得AN=BC，结合已知推出AD=BC，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）易得AB=DN，由平行四边形的对边相等得AB=CD，则可得DN=DC，由全等三角形的对应边相等得MN=CM，然后根据等腰三角形三线合一即可得出DM⊥CM.
（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
，
，
∵为边的中点，
，
，
，
，
∴，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，理由如下：
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
22．【答案】（1）4.5
（2）解：如图，
，
∴格点即为所求作；
3.5
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）的面积为；
故答案为：4.5；
（2）的面积．
故答案为：3.5．
【分析】（1）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积即可得出△ABC的面积，据此列式计算即可；
（2）先根据勾股定理可得：长度为的线段是两直角边分别为3与1的直角三角形的斜边长，长度为的线段是两直角边分别为2与1的直角三角形的斜边长，长度为的线段是两直角边分别为3与2的直角三角形的斜边长，据此结合方格纸的特点确定三边所在的三角形的位置，进而可画出相应的三角形，再根据割补法用△MNP外接正方形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积即可得出△MNP的面积，据此列式计算即可.
23．【答案】（1）m2+5n2，2mn
（2）解：∵，
，
，
∵a、m、n均为正整数，
∴或，
∴a=16或a=64；
（3）解：化简的结果为
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
，
；
故答案为：m2+5n2，2mn；
（3）∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）将已知等式的右边利用完全平方公式展开后，结合题干给出的方法即可求出a、b所代表的式子；
（2） 将已知等式的右边利用完全平方公式展开后，结合题干给出的方法得出a=m2+7n2及6=2mn，首先确定正整数m、n的值，通过分析m=3，n=1或者m=1，n=3，然后即可确定a的值；
（3）利用题干提供的方法将变形为，然后根据二次根式性质“”化简即可.
24．【答案】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：，设，则，
，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
．
（2）解：∵点落在的中点，
，
设，则，
，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
即的长为：．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠可得，设，则，在Rt△ACE中，利用勾股定理建立方程求解得出x的值，从而即可得到CE的长；
（2）由中点定义得，由折叠的性质可得：，设，则， 在Rt△B'CE中，利用勾股定理建立方程求解得出y的值，从而即可得到CE的长 .
（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：，
设，则，
，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
．
（2）解：∵点落在的中点，
，
设，则，
，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
即的长为：．
25．【答案】（1）解：∵AC=PQ，
∴平行四边形APCQ是矩形，
∴∠APC=90°，
∴∠APB=90°
，，
，
∴∠BAP=30°
（2）解：当PB=6时，平行四边形APCQ是菱形，理由如下：
Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=6，
∴BC=2AB=12，
当PB=6时，PC=AB-PB=6=PB，即点P是BC的中点，
∴PA=PC，
∴此时平行四边形APCQ是菱形，
∴当PB=6时，平行四边形APCQ是菱形
（3）存在，PQ的最小值为
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】（3）解：如图，设与交于点，作于．
在中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
【分析】（1）当AC=PQ时，由对角线相等的平行四边形是矩形得出四边形APCQ是矩形，由矩形四个内角为直角得出∠APC=90°，然后根据是哪些的内角和定理求出∠BAP=30°，最后根据含30°角直角三角形的性质得出PB=AB=3；
（2）当时，，此时平行四边形是菱形；
（3）设PQ与AC交于点O，过点O作OP'⊥BC于点P'，根据含30°角直角三角形的性质得出BC=12，AC=，由平行四边形的对角线互相平分， 再根据含30°角直角三角形的性质得出OP'，当点P与点P'重合时，OP的值最小，最小值等于2OP'.
（1）当时，平行四边形是矩形，则，
，，
，
，，
；
（2），当时，
∴，此时平行四边形是菱形，
，，，
，
；
（3）如图，设与交于点，作于．
在中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
26．【答案】解：（1）结论：．
理由：如图1中，
正方形的对角线，交于点，
，，
，
，
在和中
，
，
，
；
（2）；
（3）4或2
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】
解：（2）结论变为，理由如下：
如图2中，取的中点T，连接，
四边形为的菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．
是等边三角形，，
，，
在中，，
，
由（2）可知，，
；
如图中，当点靠近点时，同法可得，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或；
故答案为：4或2．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得，，再利用ASA证明，得到，即可解答；
（2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，即可利用ASA可证明得到，即可解答；
（3）分两种情况：当点靠近点时；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质通过计算线段的和差，求解即可解答．
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