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广东省广州市广州南方学院番禺附属中学2024-2025学年高一下学期期中教学质量监测数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则的子集个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：向量，，则，
即子集的个数为个.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集运算求，再确定其子集的个数即可.
2．已知复数满足，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，则.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得，再根据复数的模长公式计算即可.
3．若向量，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，则，
因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标运算先求的坐标，再根据向量共线的坐标运算求解即可.
4．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据奇函数的性质，结合函数解析式求值即可.
5．△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，若，，则＝（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得，所以.
故答案为：B.
【分析】根据正弦定理计算得解．
6．已知平面向量，满足，且，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由及，得，则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：C．
【分析】先根据题意求出，再由向量在向量上的投影向量为求解．
7．如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，
故，
由于在上，所以，故，
则，
又，，，
所以，
则
.
故答案为：B.
【分析】根据题意，，再利用向量三点共线定理解出，进而求数量积．
8．葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（　　）（）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设下面球的半径为，
因为上，中，下三个几何体的高度之比为，所以上面球的半径为，圆柱的高为，
由题意可得：，解得，
则下面球的半径为，上面球的半径为，
下面球的体积为，上面球的体积为，
又因为，所以下面球的体积与上面球的体积之差约为.
故答案为：A.
【分析】设下面球的半径为， 根据上，中，下三个几何体的高度之比以及总高度求上、下两个球的半径，再根据球的体积公式求两个球的体积，两体积相减即可得答案.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．以下说法正确的是（　　）
A．两个相等向量的模相等
B．平行向量方向相同
C．若和都是单位向量，则
D．平行向量一定是共线向量
【答案】A,D
【知识点】单位向量；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：A、根据相等向量的概念可知，两个相等向量的模相等，故A正确；
B、平行向量方向可能相同、可能相反，零向量与任何向量平行，此时不谈方向，故B不正确；
C、若和都是单位向量，则，不一定有，故C不正确；
D、平行向量与共线向量是同一个概念，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据相等向量的定义即可判断 A；根据平行向量的定义即可判断B；根据单位向量的定义即可判断C；根据共线向量的概念即可判断D.
10．已知复数，，则（　　）
A．
B．
C．
D．在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】B,C,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对于A选项，，所以，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，在复平面内对应的点位于第四象限，D对.
故选：BCD.
【分析】根据复数的相关运算逐项判断即可.
11．已知四面体的所有棱长均为2，M，N分别为棱，的中点，F为棱上异于A，B的动点．下列结论正确的是（　　）
A．若点G为线段上的动点，则无论点F与G如何运动，直线与直线都是异面直线
B．线段的长度为
C．异面直线和所成的角为
D．的最小值为2
【答案】B,C,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；异面直线所成的角；异面直线的判定
【解析】【解答】解：对于A，取的中点为F，的中点为E，连接，，，，
则，，
所以，故四边形为平行四边形，
设与交于点G，故此时直线与直线相交于E，
因此此时直线与直线不是异面直线，故A错误；
对于B，连接，，四面体的所有棱长均为2，
故，因为M为中点，故，
所以，故B正确；
对于C，取的中点为H，连接，，因为M，N分别为棱，的中点，
故，
则即为异面直线和所成的角或其补角，
因为，故为等腰直角三角形，
则，故C正确；
对于D，将平面，平面展开为一个平面，如图示：
当M，F，N三点共线时，最小，因为M，N分别为棱，的中点，
所以此时四边形为平行四边形，故，
即的最小值为2，故D正确，
故答案为：BCD.
【分析】对于A，先确定构成的平面，再结合异面直线的概念判断；对于B，解等腰即可；对于C，取的中点为H，则，故就是异面直线和所成的角或其补角，再求其大小即可；对于D，将平面与平面展开即可求解.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．）
12．一个物体在大小为6N的力F的作用下产生大小为100m的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功　 　J．
【答案】300
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：J.
故答案为：300
【分析】根据题意，，再代入相关量计算即可.
13．如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为　 　.
【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：根据题意，可以补充成一个棱长为的正方体.
如图所示.取的三等分点，连接，根据正方体性质，知道.
则为直线与所成角或补角.
连接，.根据正方体性质，知道．
，
，
，
，
在中，由余弦定理可得，，
则直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】根据题意，先不成长方体，再取的三等分点，得到，则为异面直线所成角或其补角，进而利用余弦定理求解即可.
14．已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为　 　
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图；解三角形
【解析】【解答】解：由于用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形，
则中边长与的边长相等的边为，
在中，，，，所以，
由正弦定理，可得，
则原图中边上的高为：.
故答案为：.
【分析】根据斜二测画法可知中边长与的边长相等的边为，在中，利用正弦定理求出，再求原图中的长度即可.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知平面向量.
（1）若，求实数的值；
（2）若与的夹角为，求实数的值.
【答案】（1）解：由，可得，
若，则，解得；
（2）解：， 若与的夹角为，
则，
解得.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，结合向量垂直数量积为0列式求解即可；
（2）先求的坐标，再根据向量的夹角公式求解即可.
（1）由可得，
由得，解得
（2），故，
解得
16．在中，已知，，．
（1）求；
（2）如为的中点，求的长．
【答案】（1）解：在中，，且，，
由正弦定理，解得，
因为 ，且，所以；
（2）解：由（1）可知，，
由，可得，
因为D为AC的中点，所以，
在中， 由余弦定理，
可得，解得.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可；
（2）由（1）可知，，利用余弦定理求解即可.
（1）因为，且，，
根据正弦定理可得，
解得；
又 ，且，
故.
（2）由（1）可知，，
由可得.
因为D为AC的中点，所以，
在中， 由余弦定理可得，
则，
从而.
17．如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为D．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积．
【答案】（1）解：如图所示，取边上的中点为E．连接，
易知是正三角形，所以
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
即为四棱锥的高，
因为．
所以四棱锥的体积．
（2）解：由题意得，，，
所以，所以，
所以，
所以
所以三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为．
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取边上的中点为E．连接可知，利用面面垂直的性质可得平面，即为四棱锥的高，进而利用锥体体积公式即可求四棱锥的体积；
（2）分别求得所剩几何体各个面的面积即可求得三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积．
（1）设边上的中点为E．连接，
又面面，面面，则平面，
即为四棱锥的高，．
所以四棱锥的体积．
（2）由题意得，，，
从而，所以，
所以，
所以
所以三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为．
18．已知函数的周期为.
（1）求的值及函数的单调递增区间；
（2）若，求的最大值和最小值以及取得最值时相应的值．
【答案】（1）解：，
因为函数的最小正周期为，所以，则，
令，解得，
故函数的单调递增区间为.
（2）解：由，可得，则，
所以当，即时，；
所以当，即时，.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简求得，根据函数的周期求参数的值，再利用整体思想，结合正弦函数的单调性，求解即可；
（2）由，求，利用整体思想，结合正弦函数的单调性与最值求解即可.
（1）.
由于函数的最小正周期为，所以，
故，
令，解得，
故函数的单调递增区间为.
（2）由，则，所以，
所以当，即时，；
所以当，即时，.
19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
则，
因为，则，所以，又因为，所以；
（2）解：在中，由正弦定理，可得，
，
又因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以，所以，所以，
故周长的取值范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；正切函数的图象与性质；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式以及诱导公式化简求解即可；
（2）在中，利用正弦定理将转化为关于A的三角函数，再根据为锐角三角形，求得，最后根据正切函数的性质求解的范围即可.
（1）因为，
由正弦定理可得，
，
，则，，又，；
（2）在中，由正弦定理，
，
，
又为锐角三角形，，
，，
，，，
故周长的取值范围为．
1 / 1广东省广州市广州南方学院番禺附属中学2024-2025学年高一下学期期中教学质量监测数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则的子集个数为（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则为（　　）
A． B． C． D．
3．若向量，则（　　）
A． B． C． D．
4．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，若，，则＝（ ）
A．2 B． C． D．3
6．已知平面向量，满足，且，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．4
8．葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（　　）（）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．以下说法正确的是（　　）
A．两个相等向量的模相等
B．平行向量方向相同
C．若和都是单位向量，则
D．平行向量一定是共线向量
10．已知复数，，则（　　）
A．
B．
C．
D．在复平面内对应的点位于第四象限
11．已知四面体的所有棱长均为2，M，N分别为棱，的中点，F为棱上异于A，B的动点．下列结论正确的是（　　）
A．若点G为线段上的动点，则无论点F与G如何运动，直线与直线都是异面直线
B．线段的长度为
C．异面直线和所成的角为
D．的最小值为2
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．）
12．一个物体在大小为6N的力F的作用下产生大小为100m的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功　 　J．
13．如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为　 　.
14．已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为　 　
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知平面向量.
（1）若，求实数的值；
（2）若与的夹角为，求实数的值.
16．在中，已知，，．
（1）求；
（2）如为的中点，求的长．
17．如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为D．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积．
18．已知函数的周期为.
（1）求的值及函数的单调递增区间；
（2）若，求的最大值和最小值以及取得最值时相应的值．
19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：向量，，则，
即子集的个数为个.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集运算求，再确定其子集的个数即可.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，则.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得，再根据复数的模长公式计算即可.
3．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，则，
因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标运算先求的坐标，再根据向量共线的坐标运算求解即可.
4．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据奇函数的性质，结合函数解析式求值即可.
5．【答案】B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得，所以.
故答案为：B.
【分析】根据正弦定理计算得解．
6．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由及，得，则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：C．
【分析】先根据题意求出，再由向量在向量上的投影向量为求解．
7．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，
故，
由于在上，所以，故，
则，
又，，，
所以，
则
.
故答案为：B.
【分析】根据题意，，再利用向量三点共线定理解出，进而求数量积．
8．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设下面球的半径为，
因为上，中，下三个几何体的高度之比为，所以上面球的半径为，圆柱的高为，
由题意可得：，解得，
则下面球的半径为，上面球的半径为，
下面球的体积为，上面球的体积为，
又因为，所以下面球的体积与上面球的体积之差约为.
故答案为：A.
【分析】设下面球的半径为， 根据上，中，下三个几何体的高度之比以及总高度求上、下两个球的半径，再根据球的体积公式求两个球的体积，两体积相减即可得答案.
9．【答案】A,D
【知识点】单位向量；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：A、根据相等向量的概念可知，两个相等向量的模相等，故A正确；
B、平行向量方向可能相同、可能相反，零向量与任何向量平行，此时不谈方向，故B不正确；
C、若和都是单位向量，则，不一定有，故C不正确；
D、平行向量与共线向量是同一个概念，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据相等向量的定义即可判断 A；根据平行向量的定义即可判断B；根据单位向量的定义即可判断C；根据共线向量的概念即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对于A选项，，所以，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，在复平面内对应的点位于第四象限，D对.
故选：BCD.
【分析】根据复数的相关运算逐项判断即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；异面直线所成的角；异面直线的判定
【解析】【解答】解：对于A，取的中点为F，的中点为E，连接，，，，
则，，
所以，故四边形为平行四边形，
设与交于点G，故此时直线与直线相交于E，
因此此时直线与直线不是异面直线，故A错误；
对于B，连接，，四面体的所有棱长均为2，
故，因为M为中点，故，
所以，故B正确；
对于C，取的中点为H，连接，，因为M，N分别为棱，的中点，
故，
则即为异面直线和所成的角或其补角，
因为，故为等腰直角三角形，
则，故C正确；
对于D，将平面，平面展开为一个平面，如图示：
当M，F，N三点共线时，最小，因为M，N分别为棱，的中点，
所以此时四边形为平行四边形，故，
即的最小值为2，故D正确，
故答案为：BCD.
【分析】对于A，先确定构成的平面，再结合异面直线的概念判断；对于B，解等腰即可；对于C，取的中点为H，则，故就是异面直线和所成的角或其补角，再求其大小即可；对于D，将平面与平面展开即可求解.
12．【答案】300
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：J.
故答案为：300
【分析】根据题意，，再代入相关量计算即可.
13．【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：根据题意，可以补充成一个棱长为的正方体.
如图所示.取的三等分点，连接，根据正方体性质，知道.
则为直线与所成角或补角.
连接，.根据正方体性质，知道．
，
，
，
，
在中，由余弦定理可得，，
则直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】根据题意，先不成长方体，再取的三等分点，得到，则为异面直线所成角或其补角，进而利用余弦定理求解即可.
14．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图；解三角形
【解析】【解答】解：由于用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形，
则中边长与的边长相等的边为，
在中，，，，所以，
由正弦定理，可得，
则原图中边上的高为：.
故答案为：.
【分析】根据斜二测画法可知中边长与的边长相等的边为，在中，利用正弦定理求出，再求原图中的长度即可.
15．【答案】（1）解：由，可得，
若，则，解得；
（2）解：， 若与的夹角为，
则，
解得.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，结合向量垂直数量积为0列式求解即可；
（2）先求的坐标，再根据向量的夹角公式求解即可.
（1）由可得，
由得，解得
（2），故，
解得
16．【答案】（1）解：在中，，且，，
由正弦定理，解得，
因为 ，且，所以；
（2）解：由（1）可知，，
由，可得，
因为D为AC的中点，所以，
在中， 由余弦定理，
可得，解得.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可；
（2）由（1）可知，，利用余弦定理求解即可.
（1）因为，且，，
根据正弦定理可得，
解得；
又 ，且，
故.
（2）由（1）可知，，
由可得.
因为D为AC的中点，所以，
在中， 由余弦定理可得，
则，
从而.
17．【答案】（1）解：如图所示，取边上的中点为E．连接，
易知是正三角形，所以
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
即为四棱锥的高，
因为．
所以四棱锥的体积．
（2）解：由题意得，，，
所以，所以，
所以，
所以
所以三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为．
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取边上的中点为E．连接可知，利用面面垂直的性质可得平面，即为四棱锥的高，进而利用锥体体积公式即可求四棱锥的体积；
（2）分别求得所剩几何体各个面的面积即可求得三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积．
（1）设边上的中点为E．连接，
又面面，面面，则平面，
即为四棱锥的高，．
所以四棱锥的体积．
（2）由题意得，，，
从而，所以，
所以，
所以
所以三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为．
18．【答案】（1）解：，
因为函数的最小正周期为，所以，则，
令，解得，
故函数的单调递增区间为.
（2）解：由，可得，则，
所以当，即时，；
所以当，即时，.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简求得，根据函数的周期求参数的值，再利用整体思想，结合正弦函数的单调性，求解即可；
（2）由，求，利用整体思想，结合正弦函数的单调性与最值求解即可.
（1）.
由于函数的最小正周期为，所以，
故，
令，解得，
故函数的单调递增区间为.
（2）由，则，所以，
所以当，即时，；
所以当，即时，.
19．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
则，
因为，则，所以，又因为，所以；
（2）解：在中，由正弦定理，可得，
，
又因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以，所以，所以，
故周长的取值范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；正切函数的图象与性质；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式以及诱导公式化简求解即可；
（2）在中，利用正弦定理将转化为关于A的三角函数，再根据为锐角三角形，求得，最后根据正切函数的性质求解的范围即可.
（1）因为，
由正弦定理可得，
，
，则，，又，；
（2）在中，由正弦定理，
，
，
又为锐角三角形，，
，，
，，，
故周长的取值范围为．
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