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湖南省娄底市涟源市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平行四边形中，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】
本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题关键.
根据平行四边形的性质：对角相等，对边平行可得：，，再根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补可得：，等量代换可得：可解得：，即，由此可得出答案．
2．公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐项判断解答．
3．如图，一竖直的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在地面离大树底端4米处，大树折断之前的高度为（　　）
A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
【答案】B
【知识点】风吹树折模型
【解析】【解答】解∶如图，
米，米，，
折断的部分长为，
折断前高度为(米)．
故选：B
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
4．如图，在中，，，点为斜边上的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：中，，，点为斜边上的中点，
；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD的长.
5．如图，，，，则能直接判定的理由是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
故选：A
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理（、、、、），垂直的定义，直角三角形的性质．先根据垂直条件确定两个三角形为直角三角形，再识别对应相等的边，匹配正确的全等判定定理.
6．如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，对角线、相交于点，
∴，，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质，对角线的特征. 解题的关键在于熟练掌握矩形的核心性质：矩形的两条对角线长度相等，且对角线的交点为两条对角线的中点. 利用这一性质，可由已知的OA长度推导出AC的长度，再结合对角线相等的关系，求出BD的长度.
7．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直
C．对角线互相平分 D．四条边相等
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、三个图形中，只有矩形和正方形的对角线相等且互相平分，故本选项不符合题意；
B、三个图形中，只有正方形的对角线相等且互相垂直，故本选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项符合题意；
D、矩形的四条边不一定相等，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据菱形，矩形和正方形的性质对每个选项一一判断即可。
8．如图1，在中，，为钝角．要在对边，上分别找点，，使四边形为菱形．现有图2中的甲、乙两种用尺规作图确定点，的方案，则可得出结论（　　）
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
【答案】D
【知识点】菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：方案甲：根据作图可知平分，，
∴
∵在中，
∴，
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形，故方案甲正确；
方案乙：根据作图可知，，则，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形，故方案乙正确.
故答案为：D．
【分析】方案甲：由作图过程可得AM平分∠DAB，AN=AB，由角平分线的定义及平行线的性质可推出∠BAM=∠DAM=∠AMB，由等角对等边得出AB=BM，则AN=BM，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形ABMN是菱形；方案乙：由作图过程知BA=BM，AN=AB，则AN=BM，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形ABMN是菱形.
9．如图，在中，，的角平分线交于点，于点．若，，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为，
故选：B．
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的证明，勾股定理，三角形周长的计算. 解题关键在于利用角平分线上的点到角两边的距离相等，将CD转化为DE，再通过全等三角形转化线段，最终将的周长转化为已知线段的和.
10．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在正方形中，和为对角线，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
过点作，如图，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题围绕正方形的综合性质展开，融合了全等三角形、勾股定理等多个知识点. 解题的关键在于熟练掌握正方形的对角线性质：对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组内角. 首先通过角度推导
证明，得到；再结合已知的与DF的长度，利用角的直角三角形性质求出的长，最后在直角三角形OEF中用勾股定理求出的长．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．在中，，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，即，
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和等于180度，可得，结合条件即可求解．注意三角形的内角和等于180度．
12．已知某多边形的每个外角都等于，则这个多边形是　 　边形．
【答案】十
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
∴这个多边形的边数为10，即这个多边形是十边形，
故答案为：十．
【分析】本题考查正多边形边数的计算，外角和定理的应用. 牢记任意多边形的外角和为360度，利用外角和与单个外角的关系计算边数.
13．如图，在正五边形中，连接两条对角线，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意，得：，，
∴，
∴；
故答案为：
【分析】根据正多边形内角和可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
14．如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边的中点，连接． 若，，则的长为　 　．
【答案】2.5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形 ，
∴，，，
∴，
∵点分别是边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：2.5．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，根据三角形中位线等于第三边的一半可得AC=2MN=6，由菱形的面积等于两对角线乘积的一半建立方程求出BD，进而利用勾股定理可求出AD，最后根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求出OM的长．
15．如图，中，，点为的中点，点在上，且，相交于点，若，则等于　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：中，，点E为的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，由等边对等角得，，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和依次求出∠ADC与∠DFE的度数.
16．如图，在正方形中，点E在边上，于点G，交于点F．若，，则的长是 　 　．
【答案】25
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：．
故答案为：25．
【分析】本题考查了正方形性质的应用、全等三角形的证明、勾股定理的计算等. 解题关键是利用正方形的性质证明与全等，得，进而求出正方形的边长，再结合勾股定理求解线段长度.
17．如图，是的角平分线，于点E，，则边的长是　 　．
【答案】7
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点
平分
，
，
.
故答案为：7.
【分析】
过点D作于点，，根据角平分线的性质得到，结合，计算即可求得．
18．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 　 　
【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】由勾股定理得出，结合正方形面积公式可得，再结合可得出的值，然后根据平行线间的距离处处相等及三角形面积公式可得阴影部分的面积为，从而即可得出答案.
三、解答题（每小题6分，共12分）
19．若一个n边形的内角和的比它的外角和少，求n的值．
【答案】解：一个n边形的内角和的比它的外角和少，
，
解得：，
n的值为．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用多边形的内角和和外角和公式及“ 一个n边形的内角和的比它的外角和少 ”列出方程，再求解即可.
20．如图，等边△ABC中，D是AC的中点，DE⊥BC于E，AB＝4，求EC的长．
【答案】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，AC＝AB＝BC＝4，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AC＝2，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝CD＝1
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】本题围绕等边三角形的性质展开，考查特殊直角三角形的性质应用. 解题关键在于熟练掌握等边三角形的核心性质“三边相等，三个内角均为60度”. 首先根据等边三角形的边长与中点条件，求出CD的长度，再结合垂直条件得到，最后利用30°角的性质求出EC的长度.
四、解答题（每小题8分，共16分）
21．如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接．
（1）求的度数；
（2）取的中点，连接．若，，求的长．
【答案】（1）解：∵，分别是，的中点，∴是中位线，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，是的中点，∴，
在中，，
∵，分别是，的中点，
∴
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题综合考查了三角形中位线，直角三角形的性质与勾股定理的应用. 解题关键在于熟练掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半.
（1）根据中位线性质得到，得，再结合已知的求出的度数；
（2）利用直角三角形斜边中线的性质求出BC的长度，结合勾股定理求出的长度，最后用中位线性质求出EF的长度.
（1）解：∵，分别是，的中点，
∴是中位线，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，是的中点，
∴，
在中，，
∵，分别是，的中点，
∴．
22．如图，中，E、F为对角线上的两点，且，连接，．
（1）求证：．
（2）连接、，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴ ∠ADB=∠CBD，
∵DF=BE，
∴DF-EF=BE-EF，即DE=BF，
在△ADE与△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴．
（2）证明：连接、．
由（1）得，△ADE≌△CBF，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-证明问题；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等得出AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠ADB=∠CBD，由线段构成及等式性质推出DE=BF，从而利用“SAS”证明△ADE≌△CBF，由全等三角形的对应角相等得出结论；
（2）由全等三角形的对应角相等，对应边相等得出，，由邻补角及等角的补角相等推出，由内错角相等，两直线平行推出，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论.
五、解答题（每小题9分，共18分）
23．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米．
②根据手中剩余线的长度计算出了风筝拉线的长为17米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务：
（1）根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度．
（2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？
【答案】（1）解：∵在中，，，
，
又米，米，
米，
答：线段的长为9.7米；
（2）解：∵风筝沿方向再上升12米后，米，
∴此时风筝线的长为：（米），
∴风筝应该放出线的长度为：米，
答：他应该再放出8米线．
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵在中，，，
，
又米，米，
米，
答：线段的长为9.7米；
（2）∵风筝沿方向再上升12米后，米，
∴此时风筝线的长为：（米），
∴风筝应该放出线的长度为：米，
答：他应该再放出8米线．
24．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，又，∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴的面积，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题围绕平行四边形与矩形的综合应用展开，融合了矩形判定、勾股定理的逆定理等知识点. 解题关键在于熟练掌握平行四边形与矩形的性质及判定定理.
（1）利用平行四边形的性质与已知的线段相等，证明四边形是平行四边形，再结合的直角条件，证明其为矩形；
（2）利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，结合三角形面积的两种表示方法，求出的长度．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，又，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴的面积，
∴，
∴．
六、综合题（每小题10分，共20分）
25．如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC＝90°， BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF．
（1）求证：△FBD≌△ACD；
（2）延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE＝BF；
（3）在（2）的条件下，H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G，如图②．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴BD＝CD，∠BDC＝∠CDA＝90°．
在△FBD和△ACD中，
∴△FBD≌△ACD(SAS)；
（2）证明：∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝∠BEC＝90°.
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABE＝∠CBE，
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE(ASA)，
∴AE＝CE.
∴CE＝AC．
由（1）知△FBD≌△ACD，
∴BF＝CA，
∴CE＝BF；
（3）解：．证明如下：
如图，连接CG，
∵H是BC边的中点，BD＝CD，
∴HD垂直平分BC，
∴BG＝CG
∵BE⊥AC，
∴在Rt△CEG中，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由已知等腰直角三角形△DBC可推出DB=DC，且∠BDF=∠ADC=90°，通过SAS即可证得△FBD≌△ACD；
（2）根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE，然后利用"ASA"证明，则，结合（1）即可求解；
（3）连接CG，由H是BC边的中点即可得到HD垂直平分BC，则BG＝CG，最后在Rt△CEG中利用勾股定理即可求解.
26．如图，在四边形中，对角线与交于点O，已知，过点O作，分别交、于点E，F，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）设，，，求的长
【答案】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
又∵，
∴
（2）证明：由（1）可知，，∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴是等腰三角形，，
∴四边形是菱形
（3）解：∵，∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图，作于，
∴，，
由勾股定理得，，
由勾股定理得，，
∴的长为
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题是平行四边形、菱形与全等三角形的综合证明题，核心考查特殊四边形的判定与性质. 解题的关键在于熟练掌握各类特殊四边形的判定定理与性质.（1）根据对角线互相平分证明四边形为平行四边形，再结合平行线性质证明；
（2）由，得，证明四边形为平行四边形，再结合对角线垂直证明其为菱形；
（3）利用得到垂直关系，结合勾股定理求出边长，再通过特殊角度与勾股定理求出AF的长度.
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
又∵，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴是等腰三角形，，
∴四边形是菱形；
（3）解：∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图，作于，
∴，，
由勾股定理得，，
由勾股定理得，，
∴的长为．
1 / 1湖南省娄底市涟源市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平行四边形中，，则等于（　　）
A． B． C． D．
2．公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，一竖直的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在地面离大树底端4米处，大树折断之前的高度为（　　）
A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
4．如图，在中，，，点为斜边上的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，，，，则能直接判定的理由是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直
C．对角线互相平分 D．四条边相等
8．如图1，在中，，为钝角．要在对边，上分别找点，，使四边形为菱形．现有图2中的甲、乙两种用尺规作图确定点，的方案，则可得出结论（　　）
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
9．如图，在中，，的角平分线交于点，于点．若，，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．在中，，，则　 　．
12．已知某多边形的每个外角都等于，则这个多边形是　 　边形．
13．如图，在正五边形中，连接两条对角线，，则的度数为　 　．
14．如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边的中点，连接． 若，，则的长为　 　．
15．如图，中，，点为的中点，点在上，且，相交于点，若，则等于　 　．
16．如图，在正方形中，点E在边上，于点G，交于点F．若，，则的长是 　 　．
17．如图，是的角平分线，于点E，，则边的长是　 　．
18．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 　 　
三、解答题（每小题6分，共12分）
19．若一个n边形的内角和的比它的外角和少，求n的值．
20．如图，等边△ABC中，D是AC的中点，DE⊥BC于E，AB＝4，求EC的长．
四、解答题（每小题8分，共16分）
21．如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接．
（1）求的度数；
（2）取的中点，连接．若，，求的长．
22．如图，中，E、F为对角线上的两点，且，连接，．
（1）求证：．
（2）连接、，求证：四边形是平行四边形．
五、解答题（每小题9分，共18分）
23．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米．
②根据手中剩余线的长度计算出了风筝拉线的长为17米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务：
（1）根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度．
（2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？
24．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，，求的长．
六、综合题（每小题10分，共20分）
25．如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC＝90°， BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF．
（1）求证：△FBD≌△ACD；
（2）延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE＝BF；
（3）在（2）的条件下，H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G，如图②．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论．
26．如图，在四边形中，对角线与交于点O，已知，过点O作，分别交、于点E，F，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）设，，，求的长
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】
本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题关键.
根据平行四边形的性质：对角相等，对边平行可得：，，再根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补可得：，等量代换可得：可解得：，即，由此可得出答案．
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐项判断解答．
3．【答案】B
【知识点】风吹树折模型
【解析】【解答】解∶如图，
米，米，，
折断的部分长为，
折断前高度为(米)．
故选：B
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：中，，，点为斜边上的中点，
；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD的长.
5．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
故选：A
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理（、、、、），垂直的定义，直角三角形的性质．先根据垂直条件确定两个三角形为直角三角形，再识别对应相等的边，匹配正确的全等判定定理.
6．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，对角线、相交于点，
∴，，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质，对角线的特征. 解题的关键在于熟练掌握矩形的核心性质：矩形的两条对角线长度相等，且对角线的交点为两条对角线的中点. 利用这一性质，可由已知的OA长度推导出AC的长度，再结合对角线相等的关系，求出BD的长度.
7．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、三个图形中，只有矩形和正方形的对角线相等且互相平分，故本选项不符合题意；
B、三个图形中，只有正方形的对角线相等且互相垂直，故本选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项符合题意；
D、矩形的四条边不一定相等，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据菱形，矩形和正方形的性质对每个选项一一判断即可。
8．【答案】D
【知识点】菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：方案甲：根据作图可知平分，，
∴
∵在中，
∴，
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形，故方案甲正确；
方案乙：根据作图可知，，则，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形，故方案乙正确.
故答案为：D．
【分析】方案甲：由作图过程可得AM平分∠DAB，AN=AB，由角平分线的定义及平行线的性质可推出∠BAM=∠DAM=∠AMB，由等角对等边得出AB=BM，则AN=BM，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形ABMN是菱形；方案乙：由作图过程知BA=BM，AN=AB，则AN=BM，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形ABMN是菱形.
9．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为，
故选：B．
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的证明，勾股定理，三角形周长的计算. 解题关键在于利用角平分线上的点到角两边的距离相等，将CD转化为DE，再通过全等三角形转化线段，最终将的周长转化为已知线段的和.
10．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在正方形中，和为对角线，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
过点作，如图，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题围绕正方形的综合性质展开，融合了全等三角形、勾股定理等多个知识点. 解题的关键在于熟练掌握正方形的对角线性质：对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组内角. 首先通过角度推导
证明，得到；再结合已知的与DF的长度，利用角的直角三角形性质求出的长，最后在直角三角形OEF中用勾股定理求出的长．
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，即，
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和等于180度，可得，结合条件即可求解．注意三角形的内角和等于180度．
12．【答案】十
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
∴这个多边形的边数为10，即这个多边形是十边形，
故答案为：十．
【分析】本题考查正多边形边数的计算，外角和定理的应用. 牢记任意多边形的外角和为360度，利用外角和与单个外角的关系计算边数.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意，得：，，
∴，
∴；
故答案为：
【分析】根据正多边形内角和可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
14．【答案】2.5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形 ，
∴，，，
∴，
∵点分别是边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：2.5．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，根据三角形中位线等于第三边的一半可得AC=2MN=6，由菱形的面积等于两对角线乘积的一半建立方程求出BD，进而利用勾股定理可求出AD，最后根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求出OM的长．
15．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：中，，点E为的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，由等边对等角得，，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和依次求出∠ADC与∠DFE的度数.
16．【答案】25
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：．
故答案为：25．
【分析】本题考查了正方形性质的应用、全等三角形的证明、勾股定理的计算等. 解题关键是利用正方形的性质证明与全等，得，进而求出正方形的边长，再结合勾股定理求解线段长度.
17．【答案】7
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点
平分
，
，
.
故答案为：7.
【分析】
过点D作于点，，根据角平分线的性质得到，结合，计算即可求得．
18．【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】由勾股定理得出，结合正方形面积公式可得，再结合可得出的值，然后根据平行线间的距离处处相等及三角形面积公式可得阴影部分的面积为，从而即可得出答案.
19．【答案】解：一个n边形的内角和的比它的外角和少，
，
解得：，
n的值为．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用多边形的内角和和外角和公式及“ 一个n边形的内角和的比它的外角和少 ”列出方程，再求解即可.
20．【答案】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，AC＝AB＝BC＝4，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AC＝2，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝CD＝1
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】本题围绕等边三角形的性质展开，考查特殊直角三角形的性质应用. 解题关键在于熟练掌握等边三角形的核心性质“三边相等，三个内角均为60度”. 首先根据等边三角形的边长与中点条件，求出CD的长度，再结合垂直条件得到，最后利用30°角的性质求出EC的长度.
21．【答案】（1）解：∵，分别是，的中点，∴是中位线，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，是的中点，∴，
在中，，
∵，分别是，的中点，
∴
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题综合考查了三角形中位线，直角三角形的性质与勾股定理的应用. 解题关键在于熟练掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半.
（1）根据中位线性质得到，得，再结合已知的求出的度数；
（2）利用直角三角形斜边中线的性质求出BC的长度，结合勾股定理求出的长度，最后用中位线性质求出EF的长度.
（1）解：∵，分别是，的中点，
∴是中位线，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，是的中点，
∴，
在中，，
∵，分别是，的中点，
∴．
22．【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴ ∠ADB=∠CBD，
∵DF=BE，
∴DF-EF=BE-EF，即DE=BF，
在△ADE与△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴．
（2）证明：连接、．
由（1）得，△ADE≌△CBF，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-证明问题；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等得出AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠ADB=∠CBD，由线段构成及等式性质推出DE=BF，从而利用“SAS”证明△ADE≌△CBF，由全等三角形的对应角相等得出结论；
（2）由全等三角形的对应角相等，对应边相等得出，，由邻补角及等角的补角相等推出，由内错角相等，两直线平行推出，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论.
23．【答案】（1）解：∵在中，，，
，
又米，米，
米，
答：线段的长为9.7米；
（2）解：∵风筝沿方向再上升12米后，米，
∴此时风筝线的长为：（米），
∴风筝应该放出线的长度为：米，
答：他应该再放出8米线．
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵在中，，，
，
又米，米，
米，
答：线段的长为9.7米；
（2）∵风筝沿方向再上升12米后，米，
∴此时风筝线的长为：（米），
∴风筝应该放出线的长度为：米，
答：他应该再放出8米线．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，又，∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴的面积，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题围绕平行四边形与矩形的综合应用展开，融合了矩形判定、勾股定理的逆定理等知识点. 解题关键在于熟练掌握平行四边形与矩形的性质及判定定理.
（1）利用平行四边形的性质与已知的线段相等，证明四边形是平行四边形，再结合的直角条件，证明其为矩形；
（2）利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，结合三角形面积的两种表示方法，求出的长度．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，又，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴的面积，
∴，
∴．
25．【答案】（1）证明：∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴BD＝CD，∠BDC＝∠CDA＝90°．
在△FBD和△ACD中，
∴△FBD≌△ACD(SAS)；
（2）证明：∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝∠BEC＝90°.
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABE＝∠CBE，
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE(ASA)，
∴AE＝CE.
∴CE＝AC．
由（1）知△FBD≌△ACD，
∴BF＝CA，
∴CE＝BF；
（3）解：．证明如下：
如图，连接CG，
∵H是BC边的中点，BD＝CD，
∴HD垂直平分BC，
∴BG＝CG
∵BE⊥AC，
∴在Rt△CEG中，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由已知等腰直角三角形△DBC可推出DB=DC，且∠BDF=∠ADC=90°，通过SAS即可证得△FBD≌△ACD；
（2）根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE，然后利用"ASA"证明，则，结合（1）即可求解；
（3）连接CG，由H是BC边的中点即可得到HD垂直平分BC，则BG＝CG，最后在Rt△CEG中利用勾股定理即可求解.
26．【答案】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
又∵，
∴
（2）证明：由（1）可知，，∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴是等腰三角形，，
∴四边形是菱形
（3）解：∵，∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图，作于，
∴，，
由勾股定理得，，
由勾股定理得，，
∴的长为
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题是平行四边形、菱形与全等三角形的综合证明题，核心考查特殊四边形的判定与性质. 解题的关键在于熟练掌握各类特殊四边形的判定定理与性质.（1）根据对角线互相平分证明四边形为平行四边形，再结合平行线性质证明；
（2）由，得，证明四边形为平行四边形，再结合对角线垂直证明其为菱形；
（3）利用得到垂直关系，结合勾股定理求出边长，再通过特殊角度与勾股定理求出AF的长度.
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
又∵，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴是等腰三角形，，
∴四边形是菱形；
（3）解：∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图，作于，
∴，，
由勾股定理得，，
由勾股定理得，，
∴的长为．
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