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广西北海市合浦县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．剪纸是中国传统的民间艺术，下列各剪纸图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．截至年月日时分，中国动画电影哪吒之魔童闹海全球票房含预售及海外已破亿元，登顶中国影史票房榜，暂列全球票房榜第位将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，直线a、b被直线c所截，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．若，则的值（　　）
A． B． C． D．
7．一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（　　）
A．156° B．78° C．39° D．12°
9．某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
11． 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，函数（x＞0）和（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（　　）
A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．分解因式：x2-16= 　 　.
14．合浦汉代文化博物馆的“海上丝绸之路”灯塔巍然矗立．小亮在距离灯塔基座12米处测得塔顶的仰角为，则该灯塔的高度为　 　米．（结果保留根号）
15．任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的x是　 　．
16．如图，合浦汉代文化博物馆的建筑模型中，有一正方形展板，边长为6，与x轴负半轴夹角为（象征海上丝绸之路15个沿线国家），点B在抛物线上，求a的值　 　．
三、解答题（第17题8分，第18至21题每题10分，第22、23题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：．
（2）解方程组：．
18．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图中的信息解答以下问题：
（1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人；
（3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
19．如图，中，，，．
（1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长．
20．合浦某珍珠加工厂需采购两种型号的珍珠筛选设备，型设备单价比型贵200元，用2000元购买型设备数量与用1200元购买型设备数量相同．
（1）求型设备单价分别是多少元？
（2）工厂计划采购40台设备，型数量不超过型的3倍，且两种设备均享受“合浦产业扶持补贴”（原价打8折），问购买型和型两种设备各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
21．如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
22．“跳大绳”是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某校在大课间活动中开展了“跳大绳”活动．如图，小明和小亮分别抓住大绳的两端转动大绳，他们转动大绳的手距离水平地面均为1m，大绳在距离他们5m处有最高点，距水平地面3.5m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是大绳距小明的水平距离，是大绳距水平地面的高度．
（1）求抛物线的表达式；
（2）小红在跳绳时，距离小明的水平距离2m（即与点O的水平距离），当绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶正上方1m处，求小红的身高；
（3）身高为1.9m的体育老师刘老师也参加了活动，当刘老师跳进大绳，直立落地时，绳子甩到最高处，且正好扫过刘老师的头顶，求刘老师与小红间的水平距离．
23．问题背景：在将合浦古地图中的三角形地块划分综合实践活动课上，小云发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是的角平分线，可证．小云的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
（1）尝试证明：请参照小云的思路，利用图证明：；
（2）基础训练：如图，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长；
（3）拓展升华：如图，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义，的相反数是，
故选：A．
【分析】本题主要考查了相反数的定义，其中符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，据此分析判断，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：140亿
，
故选：D．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质，结合得，再由对顶角相等求出的度数即可.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据得，然后代入计算解答即可得答案.
7．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴知，这个不等式组的解集为，
故选：D．
【分析】
根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可．
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BOC=78°，
∴∠BAC=∠BOC=39°．
故答案为：C．
【分析】根据图形，发现圆周角∠BAC与圆心角∠BOC=78°是同一条弧所对的圆周角与圆心角，即可得答案.
9．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，
则2021的教育经费为：万元，
2022的教育经费为：万元，
∴可得方程：．
故选C．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且点E为CD的中点，
是的中位线，
∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周长为：4BC=4×6=24．
故选：C．
【分析】根据菱形性质可得BO=DO，AB=BC=CD=DA，根据三角形中位线定理可得BC，再根据菱形周长即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木长尺，绳子长y尺，根据题意，得：
.
故答案为：A。
【分析】 设木长尺，绳子长y尺，根据 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ，可得方程y-x=4.5；根据 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程x-0.5y=1，联立即可得出方程组。
12．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，
∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N，
假设点M落在上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1，
假设点M落在上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3，
∴△MON的面积可能是2，
故答案为：C．
【分析】假设点M落在上，根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1，假设点M落在上，根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3，即可得答案.
13．【答案】（x-4）（x+4）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
【分析】由平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=（x-4）（x+4）.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，
在中，，
∴，
∴该灯塔的高度为
故答案为：．
【分析】在中，根据锐角三角函数的定义得即可.
15．【答案】255
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【解答】解：依题意：
，
∴只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最小的是256，
则只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的x是255．
故答案为：255．
【分析】根据题目新定义计算方法对256进行运算，结合二次根式的估算，要想确定只需进行4次操作后变为1的所有正整数，对255进行运算，结合二次根式的估算，即可得答案.
16．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；含30°角的直角三角形；正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
连接，过点B作轴于点D，
∵四边形是正方形，边长为6，
∴，是等腰直角三角形，，
∴，
∵与x轴负半轴夹角为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
把代入得：，解得：．
故答案为：
【分析】连接，过点B作轴于点D，根据正方形的性质可得，等于，等于，再根据直角三角形的性质可得点B的坐标为.
17．【答案】解：（1）
（2），
，得，即，
把代入②得，，即，
∴方程组的解为.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把先运算乘方，再运算乘除得，最后运算加法即可作答．
（2）根据加减消元法对方程组进行消元得一元一次方程，进一步解方程即可作答．
18．【答案】（1），，
补全条形统计图如下：
（2）
（3）解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种，
被抽取的人恰好是名男生名女生的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：本次抽取的学生人数共有：
（人），
扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是：
，
等级人数为：
（人），
故答案为：，，
（2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有：
（人），
故答案为：.
【分析】（1）利用“C”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“A”的圆心角和“B”的人数，最后作出图形即可；
（2）先求出“优秀”的百分比，再乘以2800可得答案；
（3）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：本次抽取的学生人数共有：
（人），
扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是：
，
等级人数为：
（人），
故答案为：，，
补全条形统计图如下：
（2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有：
（人），
故答案为：；
（3）解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种，
被抽取的人恰好是名男生名女生的概率．
19．【答案】解：（1）如图直线即为所求．
（2）∵垂直平分线段，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线即可．
（2）设，利用勾股定理可得，再求出x的值即可.
20．【答案】（1）解：设种型号设备单价是元，种型号设备单价是元根据题意：
．解得：
经检验，是原方程的根，
∴种型号设备单价是500元，种型号设备单价是300元．
（2）解：设购买种型号设备台，购买种型号设备台，购买型和型设备共花费w元，由题意得：，解得：，
，
由可知，随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为，
∴购买型设备10台和型设备30台时花费最少，最少花费11200元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设种型号设备单价是元，种型号设备单价是元，列方程，
解出即可.
（2）设购买种型号设备台，购买种型号设备台，列不等式，求出，
即可得到，根据一次函数的性质，计算即可得到答案．
（1）解：设种型号设备单价是元，种型号设备单价是元
根据题意：．
解得：
经检验，是原方程的根
答：种型号设备单价是500元，种型号设备单价是300元．
（2）解：设购买种型号设备台，购买种型号设备台，
购买型和型设备共花费w元
由题意得：，
解得：，
，
由可知，随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为，
答：购买型设备10台和型设备30台时花费最少，最少花费11200元
21．【答案】（1）证明：连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，先证出，再结合OC是半径，即可证出是的切线；
（2）先求出，再结合，利用弧长公式求解即可.
（1）证明：连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
22．【答案】（1）解：由题意知，抛物线顶点坐标为，
则抛物线的表达式为，
将点代入得，解得，
．
即抛物线的表达式为．
（2）解：把代入
得，（m），
即小红的身高是1.6 m.
（3）解：当时，，
解得或，
刘老师与小红之间的水平距离为（m）或（m），
答：刘老师与小红间的水平距离是1 m或7 m．
【知识点】二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用顶点式设抛物线的表达式为，再将点（0，1）代入计算求解即可；
（2）将x=2代入解析式求出y的值即可；
（3）将y=1.9代入解析式求出x的值，再求解即可.
（1）解：由题意知，抛物线顶点坐标为，
则抛物线的表达式为，
将点代入得，解得，
．
即抛物线的表达式为．
（2）把代入
得，（m），
即小红的身高是1.6 m；
（3）当时，，
解得或，
刘老师与小红之间的水平距离为（m）或（m），
答：刘老师与小红间的水平距离是1 m或7 m．
23．【答案】（1）证明：如图2，
，
是的角平分线，
，
（2）解：如图3，
将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
由（）可知，
又，，
，
∴
，
在中，由勾股定理得：，
，即
∴
（3）解：如图，
，即是的角平分线，
∴由（）可得
，，，
，即
的中垂线交延长线于，
，即，
，
，即
又，
，即
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行线性质得，即可证明相似，再结合角平分线定义得相等，即可得相等，进一步得相等，即可证明结论．
（2）先根据折叠性质得相等，再运用（1）中证明的线段比例关系，结合勾股定理求出长，进而算出长，得出长．
（3）依据角平分线条件，结合（1）的比例关系算出长，结合中垂线性质得相等，即可得相似，即可得相等，进一步得的长.
（1）证明：
，
是的角平分线，
，
；
（2）解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
由（）可知，
又，，
，即
，
在中，由勾股定理得：，
，即
，即
（3）解：，即是的角平分线，
∴由（）可得
，，，
，即
的中垂线交延长线于，
，即，
，
，即
又，
，即
1 / 1广西北海市合浦县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义，的相反数是，
故选：A．
【分析】本题主要考查了相反数的定义，其中符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，据此分析判断，即可求解.
2．剪纸是中国传统的民间艺术，下列各剪纸图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．截至年月日时分，中国动画电影哪吒之魔童闹海全球票房含预售及海外已破亿元，登顶中国影史票房榜，暂列全球票房榜第位将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：140亿
，
故选：D．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．如图所示，直线a、b被直线c所截，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质，结合得，再由对顶角相等求出的度数即可.
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
6．若，则的值（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据得，然后代入计算解答即可得答案.
7．一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴知，这个不等式组的解集为，
故选：D．
【分析】
根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可．
8．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（　　）
A．156° B．78° C．39° D．12°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BOC=78°，
∴∠BAC=∠BOC=39°．
故答案为：C．
【分析】根据图形，发现圆周角∠BAC与圆心角∠BOC=78°是同一条弧所对的圆周角与圆心角，即可得答案.
9．某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，
则2021的教育经费为：万元，
2022的教育经费为：万元，
∴可得方程：．
故选C．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且点E为CD的中点，
是的中位线，
∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周长为：4BC=4×6=24．
故选：C．
【分析】根据菱形性质可得BO=DO，AB=BC=CD=DA，根据三角形中位线定理可得BC，再根据菱形周长即可求出答案.
11． 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木长尺，绳子长y尺，根据题意，得：
.
故答案为：A。
【分析】 设木长尺，绳子长y尺，根据 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ，可得方程y-x=4.5；根据 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程x-0.5y=1，联立即可得出方程组。
12．如图，函数（x＞0）和（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（　　）
A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，
∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N，
假设点M落在上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1，
假设点M落在上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3，
∴△MON的面积可能是2，
故答案为：C．
【分析】假设点M落在上，根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1，假设点M落在上，根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3，即可得答案.
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．分解因式：x2-16= 　 　.
【答案】（x-4）（x+4）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
【分析】由平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=（x-4）（x+4）.
14．合浦汉代文化博物馆的“海上丝绸之路”灯塔巍然矗立．小亮在距离灯塔基座12米处测得塔顶的仰角为，则该灯塔的高度为　 　米．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，
在中，，
∴，
∴该灯塔的高度为
故答案为：．
【分析】在中，根据锐角三角函数的定义得即可.
15．任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的x是　 　．
【答案】255
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【解答】解：依题意：
，
∴只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最小的是256，
则只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的x是255．
故答案为：255．
【分析】根据题目新定义计算方法对256进行运算，结合二次根式的估算，要想确定只需进行4次操作后变为1的所有正整数，对255进行运算，结合二次根式的估算，即可得答案.
16．如图，合浦汉代文化博物馆的建筑模型中，有一正方形展板，边长为6，与x轴负半轴夹角为（象征海上丝绸之路15个沿线国家），点B在抛物线上，求a的值　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；含30°角的直角三角形；正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
连接，过点B作轴于点D，
∵四边形是正方形，边长为6，
∴，是等腰直角三角形，，
∴，
∵与x轴负半轴夹角为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
把代入得：，解得：．
故答案为：
【分析】连接，过点B作轴于点D，根据正方形的性质可得，等于，等于，再根据直角三角形的性质可得点B的坐标为.
三、解答题（第17题8分，第18至21题每题10分，第22、23题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：．
（2）解方程组：．
【答案】解：（1）
（2），
，得，即，
把代入②得，，即，
∴方程组的解为.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把先运算乘方，再运算乘除得，最后运算加法即可作答．
（2）根据加减消元法对方程组进行消元得一元一次方程，进一步解方程即可作答．
18．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图中的信息解答以下问题：
（1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人；
（3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】（1），，
补全条形统计图如下：
（2）
（3）解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种，
被抽取的人恰好是名男生名女生的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：本次抽取的学生人数共有：
（人），
扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是：
，
等级人数为：
（人），
故答案为：，，
（2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有：
（人），
故答案为：.
【分析】（1）利用“C”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“A”的圆心角和“B”的人数，最后作出图形即可；
（2）先求出“优秀”的百分比，再乘以2800可得答案；
（3）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：本次抽取的学生人数共有：
（人），
扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是：
，
等级人数为：
（人），
故答案为：，，
补全条形统计图如下：
（2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有：
（人），
故答案为：；
（3）解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种，
被抽取的人恰好是名男生名女生的概率．
19．如图，中，，，．
（1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长．
【答案】解：（1）如图直线即为所求．
（2）∵垂直平分线段，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线即可．
（2）设，利用勾股定理可得，再求出x的值即可.
20．合浦某珍珠加工厂需采购两种型号的珍珠筛选设备，型设备单价比型贵200元，用2000元购买型设备数量与用1200元购买型设备数量相同．
（1）求型设备单价分别是多少元？
（2）工厂计划采购40台设备，型数量不超过型的3倍，且两种设备均享受“合浦产业扶持补贴”（原价打8折），问购买型和型两种设备各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】（1）解：设种型号设备单价是元，种型号设备单价是元根据题意：
．解得：
经检验，是原方程的根，
∴种型号设备单价是500元，种型号设备单价是300元．
（2）解：设购买种型号设备台，购买种型号设备台，购买型和型设备共花费w元，由题意得：，解得：，
，
由可知，随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为，
∴购买型设备10台和型设备30台时花费最少，最少花费11200元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设种型号设备单价是元，种型号设备单价是元，列方程，
解出即可.
（2）设购买种型号设备台，购买种型号设备台，列不等式，求出，
即可得到，根据一次函数的性质，计算即可得到答案．
（1）解：设种型号设备单价是元，种型号设备单价是元
根据题意：．
解得：
经检验，是原方程的根
答：种型号设备单价是500元，种型号设备单价是300元．
（2）解：设购买种型号设备台，购买种型号设备台，
购买型和型设备共花费w元
由题意得：，
解得：，
，
由可知，随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为，
答：购买型设备10台和型设备30台时花费最少，最少花费11200元
21．如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，先证出，再结合OC是半径，即可证出是的切线；
（2）先求出，再结合，利用弧长公式求解即可.
（1）证明：连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
22．“跳大绳”是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某校在大课间活动中开展了“跳大绳”活动．如图，小明和小亮分别抓住大绳的两端转动大绳，他们转动大绳的手距离水平地面均为1m，大绳在距离他们5m处有最高点，距水平地面3.5m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是大绳距小明的水平距离，是大绳距水平地面的高度．
（1）求抛物线的表达式；
（2）小红在跳绳时，距离小明的水平距离2m（即与点O的水平距离），当绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶正上方1m处，求小红的身高；
（3）身高为1.9m的体育老师刘老师也参加了活动，当刘老师跳进大绳，直立落地时，绳子甩到最高处，且正好扫过刘老师的头顶，求刘老师与小红间的水平距离．
【答案】（1）解：由题意知，抛物线顶点坐标为，
则抛物线的表达式为，
将点代入得，解得，
．
即抛物线的表达式为．
（2）解：把代入
得，（m），
即小红的身高是1.6 m.
（3）解：当时，，
解得或，
刘老师与小红之间的水平距离为（m）或（m），
答：刘老师与小红间的水平距离是1 m或7 m．
【知识点】二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用顶点式设抛物线的表达式为，再将点（0，1）代入计算求解即可；
（2）将x=2代入解析式求出y的值即可；
（3）将y=1.9代入解析式求出x的值，再求解即可.
（1）解：由题意知，抛物线顶点坐标为，
则抛物线的表达式为，
将点代入得，解得，
．
即抛物线的表达式为．
（2）把代入
得，（m），
即小红的身高是1.6 m；
（3）当时，，
解得或，
刘老师与小红之间的水平距离为（m）或（m），
答：刘老师与小红间的水平距离是1 m或7 m．
23．问题背景：在将合浦古地图中的三角形地块划分综合实践活动课上，小云发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是的角平分线，可证．小云的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
（1）尝试证明：请参照小云的思路，利用图证明：；
（2）基础训练：如图，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长；
（3）拓展升华：如图，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长．
【答案】（1）证明：如图2，
，
是的角平分线，
，
（2）解：如图3，
将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
由（）可知，
又，，
，
∴
，
在中，由勾股定理得：，
，即
∴
（3）解：如图，
，即是的角平分线，
∴由（）可得
，，，
，即
的中垂线交延长线于，
，即，
，
，即
又，
，即
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行线性质得，即可证明相似，再结合角平分线定义得相等，即可得相等，进一步得相等，即可证明结论．
（2）先根据折叠性质得相等，再运用（1）中证明的线段比例关系，结合勾股定理求出长，进而算出长，得出长．
（3）依据角平分线条件，结合（1）的比例关系算出长，结合中垂线性质得相等，即可得相似，即可得相等，进一步得的长.
（1）证明：
，
是的角平分线，
，
；
（2）解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
由（）可知，
又，，
，即
，
在中，由勾股定理得：，
，即
，即
（3）解：，即是的角平分线，
∴由（）可得
，，，
，即
的中垂线交延长线于，
，即，
，
，即
又，
，即
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