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吉林省长春市绿园区实验学校2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷
一、单选题
1．下列是一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，故该选项符合题意；
B、含有两个未知数，故该选项不符合题意；
C、最高次数是2次，故该选项不符合题意；
D、最高次数是2次，故该选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据一元一次方程的定义逐项判断即可。
2．已知，下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，故不符合题意；
B． ∵，
∴，
∴，故符合题意；
C．∵，
∴，故不符合题意；
D． ∵，
∴，故不符合题意．
故选：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．已知某三角形的三边长分别为3，7，，则的值可以是（　　）
A．1 B．4 C．7 D．10
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，7，m，∴，则，
故选项C中的7满足题意，
故选：C．
【分析】本题核心考查三角形三边关系的实际应用．解题时，需先依据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”这一核心定理，推导出第三边m的取值范围，再逐一验证选项中的数值，筛选出满足条件的答案.
4．多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖拼铺房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（　　）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：A. 正三角形的每个内角为，能整除，故不符合题意；
B. 正四边形的每个内角为，能整除，故不符合题意；
C. 正五边形的每个内角为，不能整除，故符合题意；
D. 正六边形的每个内角为，能整除，故不符合题意．
故选：C．
【分析】用一种正多边形铺满平面时，需要满足每个内角都能被360°整除。因为围绕平面中任意一点，所有相邻多边形的内角之和必须正好等于360°。正三角形内角60°，360°÷60°=6；正四边形内角90°，360°÷90°=4；正六边形内角120°，360°÷120°=3，这三种都能整除，所以可以单独密铺。而正五边形内角108°，360°÷108°的结果不是整数，因此无法用同一种正五边形不留缝隙地铺满平面。
5．解不等式，下列去分母正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
不等式两边同乘6得：
；
故选D．
【分析】本题围绕一元一次不等式的去分母步骤展开，核心考查不等式的基本性质与去分母的运算规则. 解题时，需先确定分母3和6的最小公倍数为6，再根据不等式性质，给不等式两边每一项同时乘6，注意不等号方向保持不变，且分子为多项式时需添加括号，以此判断各选项的正确性.
6．下列四个图形中，线段是的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：选项A：线段是的高，选项不符合题意；
选项B：线段是的高，选项不符合题意；
选项C：线段是的高，选项不符合题意；
选项D：线段是的高，选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题以三角形的高线识别为背景，考查了三角形高的定义。三角形的高是指从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段。判断一条线段是否为某三角形的高，关键看两点：一是该线段的一个端点是否为三角形的顶点，二是该线段是否垂直于这个顶点所对的边（或边的延长线）。根据这一标准，依次分析每个选项中线段BD是否符合△ABC中从顶点B到边AC的垂线段即可。
7．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（　　）
A．96° B．84° C．76° D．72°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝66°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣66°＝84°，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠ACB＝×84°＝42°．
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+42°＝72°．
故选：D．
【分析】根据考查三角形内角和、角平分线、外角性质的综合应用. 解题关键在于先利用内角和求出∠ACB，再结合角平分线得到∠ACD；最后用外角性质快速计算∠BDC．
8．如图，已知D、E分别为的边、的中点，连接、，为的中线，若的面积为4，则的面积为（　　）
A．30 B．32 C．34 D．36
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解∶分别为的边，的中点，
连接，，为的中线，
，，，
和等底同高，和等底同高，和等底同高．
，，，
，
，
，，
四边形的面积，，
．
故选∶B．
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，根据三角形中线求面积，根据中点和中线性质，得出各三角形面积的倍数关系，推出四边形的面积，，结合三角形的面积公式，进行计算，即可得出答案．
二、填空题
9．已知 是关于x的一元一次方程，则m的值为　 　．
【答案】－1
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】由题意得： ，解得：m=-1，
故答案为：-1.
【分析】根据一元一次方程的含义可知，x的系数不为0，x的指数为1，即可得到m的值。
10．一个多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数为　 　．
【答案】六
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
则，解得，
所以这个多边形的边数为六．
故答案为：六．
【分析】本题以多边形内角和与外角和的数量关系为背景，考查了多边形内角和公式以及外角和定理。解题的关键是知道任意多边形的外角和恒为360°，而内角和则与边数有关，公式为 (n-2) 180。根据“内角和是外角和的2倍”这一条件，可列出关于边数 n 的方程，解方程求出 n 的值，即可得到多边形的边数。
11．如图，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，其中的数学原理是三角形的　 　．
【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【分析】利用三角形的稳定性解答．
12．如图，中，平分平分，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：平分平分，
，，
在中，，则，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
故答案为：．
【分析】本题考查三角形内角度数的推导计算，核心围绕三角形内角和定理与角平分线的定义展开. 解题时，先根据角平分线的定义，得到，，再分别在和中，结合三角形内角和定理，通过代数推导求出的度数．
13．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为　 　．
【答案】a＜4
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
①+②得，x+y＝1+，
∵x+y＜2，
∴1+＜2，
解得a＜4．
故答案为：a＜4．
【分析】本题考查了解二元一次方程以及一元一次不等式，根据题意，两式相减，求得x+y＝1+，结合x+y＜2，的关于a的不等式，求得不等式的解集，即可得到答案.
14．如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则的大小是　 　度．
【答案】48
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】解：正五边形内角和为且在直线上，
，
正六边形内角和为且在直线上，
，
在中，，
，
，
，
故答案是：．
【分析】根据正多边形内角和了的∠EDC，∠EFG，再根据补角可得，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
三、解答题
15．解方程
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题以解一元一次方程为载体，考查了等式的基本性质以及解方程的基本步骤。
（1）方程两边均含有未知数，需要先去括号，再通过移项将含未知数的项移到一边、常数项移到另一边，合并同类项后将系数化为1即可求解。
（2）含有分母，需要先找到分母的最小公倍数去分母，将其转化为整数系数的方程，然后按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解。整个过程需要特别注意去分母时每一项都要乘以公倍数，以及移项时要改变符号。
（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
16．解二元一次方程组：．
【答案】解：
得：
，
将代入①得：
，
，
方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解法：加减消元法. 解题关键在于通过给方程变形，消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解.
17．解不等式组
【答案】解： ，解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴原不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题围绕一元一次不等式组的解法展开，核心考查单个不等式的求解与公共解集的确定. 解题时，需先分别解出两个一元一次不等式的解集，再根据”同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了“的口诀，找到两个解集的公共部分，最终得到不等式组的解集．熟练掌握不等式的解法与解集口诀是解题的关键.
18．已知关于的方程是二元一次方程．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：由题意，得，，，
，
（2）解：由（1）知，，则原方程可化为．
当时，，
解得
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【分析】本题考查二元一次方程的定义应用，根据定义求参数值，代入法解一元一次方程.
（1）根据二元一次方程的定义，列出满足条件的等式与不等式：未知数的次数为1、系数不为0，进而求解得到m、n的取值；
（2）先将m、n代入原方程，化简得到标准的二元一次方程，再将代入，解关于
x的一元一次方程，求出x的值，准确把握定义是解题的核心前提.
（1）由题意，得，，，
，．
（2）由（1）知，，则原方程可化为．
当时，，
解得．
19．修建一条长960米的公路，由甲、乙两支工程队从两端同时施工，6天可以完成任务．已知甲工程队的施工速度是乙工程队的，求甲、乙两支工程队每天分别修建多少米？
【答案】解：设甲工程队每天修建x米，乙工程队每天修建y米，
依题意，得：，
解得：，
答：甲工程队每天修建60米，乙工程队每天修建100米．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题以公路修建的工程问题为背景，考查了二元一次方程组的实际应用。解题的关键是根据题意找出两个等量关系：一是两队合作6天完成的总长度等于960米，由此可列出关于工作效率和的方程；二是甲队速度是乙队速度的五分之三，由此可列出两者之间的比例关系。设出两个未知数后，联立这两个方程组成方程组，通过代入消元法求解，即可得出甲、乙两队每天的修建长度。
20．如图，在中，点E，F分别在和上，点D在的延长线上，连接交于点G，若．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】本题以三角形与平行线相交的图形为背景，考查了平行线的判定与性质以及三角形外角定理的运用。解题时，先从已知的一对相等角入手，根据“内错角相等，两直线平行”判定出两条直线平行；再利用平行线的性质得出同位角相等；最后结合三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，通过等量代换得到所要证明的结论。整个推理过程需要熟练掌握平行线的判定与性质，以及三角形外角定理的应用。
21．如图，在中，，，是的角平分线，于点E．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1） 解：在中，，，
∴．
∵是的角平分线，
∴；
（2）解：∵，又，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】本题以三角形中的角平分线和垂线为背景，考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义以及直角三角形两锐角互余的性质。
（1）在△ABC中，已知两个内角的度数，利用三角形内角和为180°可求出∠BAC的度数，再根据AD是角平分线，即可得到∠BAD的度数。
（2）由BE⊥AD可知△ABE为直角三角形，结合已求出的∠BAD，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABE，最后用已知的∠ABC减去∠ABE，即可得出∠EBD的度数。
（1）解：在中，，，
∴．
∵是的角平分线，
∴；
（2）解：∵
，又，
∴，
∴．
22．2025年4月23日是第30个世界读书日．为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．初一年级两个班订购图书情况如表：
　 老舍文集（套） 四大名著（套） 总费用（元）
初一（1）班 4 5 900
初一（2）班 8 3 820
（1）求《老舍文集》和《四大名著》每套各是多少元；
（2）学校准备再购买《老舍文集》和《四大名著》共20套，总费用不超过1720元，购买《老舍文集》的数量不超过四大名著的3倍，学校有几种购买方案？请你设计出来．
【答案】（1）解：设《老舍文集》每套元，《四大名著》每套元，
根据题意，得： ，
解得，
答：《老舍文集》每套50元，《四大名著》每套140元；
（2）解：设学校决定购买《老舍文集》套，则购买《四大名著》套．根据题意，得 ，
解得，，
∵取整数，
∴，13，14，15，
∴该学校共有四种购买方案：
方案1：购买《老舍文集》12套，《四大名著》为8套；
方案2：购买《老舍文集》13套，《四大名著》为7套；
方案3：购买《老舍文集》14套，《四大名著》为6套；
方案4：购买《老舍文集》15套，《四大名著》为5套．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题以学校购买图书的实际问题为背景，考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用。
（1）根据表格提供的两种购买方案及其总费用，可以分别列出两个关于单价的一次方程，联立组成方程组，通过消元法解出两种图书各自的单价。
（2）设购买其中一种图书的数量为未知数，另一种图书的数量用总套数减去该未知数表示，然后根据“总费用不超过1720元”和“一种图书数量不超过另一种的3倍”这两个条件列出不等式组，求出未知数的整数取值范围，从而得出所有符合条件的购买方案。
（1）解：设《老舍文集》每套元，《四大名著》每套元，
根据题意，得： ，
解得，
答：《老舍文集》每套50元，《四大名著》每套140元；
（2）解：设学校决定购买《老舍文集》套，则购买《四大名著》套．
根据题意，得 ，
解得，，
∵取整数，
∴，13，14，15，
∴该学校共有四种购买方案：
方案1：购买《老舍文集》12套，《四大名著》为8套；
方案2：购买《老舍文集》13套，《四大名著》为7套；
方案3：购买《老舍文集》14套，《四大名著》为6套；
方案4：购买《老舍文集》15套，《四大名著》为5套．
23．（1）【探究发现】
如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移拓展】
（2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
（3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ．
【答案】解：（1），证明如下：
点是内角和外角的角平分线的交点，
，，
由三角形的外角性质得：，，
，即，
；
（2），证明如下：
，，
由三角形的外角性质得：，，
，即，
；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：（3）由（1）的结论得：，，
即，，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】本题考查三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；角平分线的定义；n等分线的定义；角度的和差计算.
（1）先根据角平分线的定义，得到，，再结合三角形外角性质，得到，，从而推导出与的数量关系并完成证明；
（2）将角平分线的特殊情况推广到n等分线的一般情况，沿用（1）的推导思路，结合外角性质与n等分线的定义，推导出一般情况下与的数量关系；
（3）结合（1）中得到的规律，将复杂图形拆解为两个基础模型，利用角度和差关系，代入已知角度计算出的度数.
24．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示）
（2）当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示）；当点P运动到的中点时，求线段的长；
（3）当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值．
（4）当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值．
【答案】（1）
（2）；
（3）解：当点P在上运动时，则，
解得：；
当点P在上运动时，则，
解得；
综上所述，当点P与点Q到点B的距离相等时，或
（4）解：∵的面积是，∴，
∴，
∴或，
解得：或，
∴当的面积是时t的值为或2
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】
解：（1）由题意得，当点P在上运动时，，
∴；
（2）由题意得，当点P在上运动时，
；
由题意得，，
∴，
∴，
∴；
【分析】
本题综合考查一元一次方程在几何问题中的建模与求解，三角形面积公式在动态问题中的实际运用，几何动点问题中线段长度的代数式表示，分段讨论思想在几何综合题中的应用.（1）先根据点P的运动速度和运动时间t，求出AP的长度；再结合线段和差关系，用AB的总长减去AP的长度，即可推出BP的代数式；
（2）首先，当点P在BC段运动时，总运动路程为4tcm，减去AB段的长度，即可得到BP的长度为；当P运动到BC中点时，先根据中点性质列出方程，求出对应时间t，再结合点Q的运动速度计算CQ的长度，最后用CB总长减去CQ得到BQ的长度；
（3）分两种情况：当P在AB上运动时，分别用代数式表示出P、Q到B点的距离，令两者相等列方程求解；当P在BC上运动时，同理表示出两者到B点的距离，列方程求解；
（4）当P在BC段运动时，先确定三角形APQ的底和高：以AB为高，则底为PQ的长度；根据三角形面积公式推导出PQ的长度为1cm；再用含t的代数式表示出PQ的长度，分两种情况（P在Q上方、P在Q下方）建立方程，求解得到符合条件的t值.
（1）解：由题意得，当点P在上运动时，，
∴；
（2）解：由题意得，当点P在上运动时，
；
由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点P在上运动时，则，
解得：；
当点P在上运动时，则，
解得；
综上所述，当点P与点Q到点B的距离相等时，或；
（4）解：∵的面积是，
∴，
∴，
∴或，
解得：或，
∴当的面积是时t的值为或2．
1 / 1吉林省长春市绿园区实验学校2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷
一、单选题
1．下列是一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知某三角形的三边长分别为3，7，，则的值可以是（　　）
A．1 B．4 C．7 D．10
4．多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖拼铺房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（　　）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
5．解不等式，下列去分母正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列四个图形中，线段是的高的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（　　）
A．96° B．84° C．76° D．72°
8．如图，已知D、E分别为的边、的中点，连接、，为的中线，若的面积为4，则的面积为（　　）
A．30 B．32 C．34 D．36
二、填空题
9．已知 是关于x的一元一次方程，则m的值为　 　．
10．一个多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数为　 　．
11．如图，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，其中的数学原理是三角形的　 　．
12．如图，中，平分平分，则　 　．
13．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为　 　．
14．如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则的大小是　 　度．
三、解答题
15．解方程
（1）．
（2）．
16．解二元一次方程组：．
17．解不等式组
18．已知关于的方程是二元一次方程．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
19．修建一条长960米的公路，由甲、乙两支工程队从两端同时施工，6天可以完成任务．已知甲工程队的施工速度是乙工程队的，求甲、乙两支工程队每天分别修建多少米？
20．如图，在中，点E，F分别在和上，点D在的延长线上，连接交于点G，若．求证：．
21．如图，在中，，，是的角平分线，于点E．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
22．2025年4月23日是第30个世界读书日．为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．初一年级两个班订购图书情况如表：
　 老舍文集（套） 四大名著（套） 总费用（元）
初一（1）班 4 5 900
初一（2）班 8 3 820
（1）求《老舍文集》和《四大名著》每套各是多少元；
（2）学校准备再购买《老舍文集》和《四大名著》共20套，总费用不超过1720元，购买《老舍文集》的数量不超过四大名著的3倍，学校有几种购买方案？请你设计出来．
23．（1）【探究发现】
如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移拓展】
（2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
（3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ．
24．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示）
（2）当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示）；当点P运动到的中点时，求线段的长；
（3）当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值．
（4）当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，故该选项符合题意；
B、含有两个未知数，故该选项不符合题意；
C、最高次数是2次，故该选项不符合题意；
D、最高次数是2次，故该选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据一元一次方程的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，故不符合题意；
B． ∵，
∴，
∴，故符合题意；
C．∵，
∴，故不符合题意；
D． ∵，
∴，故不符合题意．
故选：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，7，m，∴，则，
故选项C中的7满足题意，
故选：C．
【分析】本题核心考查三角形三边关系的实际应用．解题时，需先依据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”这一核心定理，推导出第三边m的取值范围，再逐一验证选项中的数值，筛选出满足条件的答案.
4．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：A. 正三角形的每个内角为，能整除，故不符合题意；
B. 正四边形的每个内角为，能整除，故不符合题意；
C. 正五边形的每个内角为，不能整除，故符合题意；
D. 正六边形的每个内角为，能整除，故不符合题意．
故选：C．
【分析】用一种正多边形铺满平面时，需要满足每个内角都能被360°整除。因为围绕平面中任意一点，所有相邻多边形的内角之和必须正好等于360°。正三角形内角60°，360°÷60°=6；正四边形内角90°，360°÷90°=4；正六边形内角120°，360°÷120°=3，这三种都能整除，所以可以单独密铺。而正五边形内角108°，360°÷108°的结果不是整数，因此无法用同一种正五边形不留缝隙地铺满平面。
5．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
不等式两边同乘6得：
；
故选D．
【分析】本题围绕一元一次不等式的去分母步骤展开，核心考查不等式的基本性质与去分母的运算规则. 解题时，需先确定分母3和6的最小公倍数为6，再根据不等式性质，给不等式两边每一项同时乘6，注意不等号方向保持不变，且分子为多项式时需添加括号，以此判断各选项的正确性.
6．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：选项A：线段是的高，选项不符合题意；
选项B：线段是的高，选项不符合题意；
选项C：线段是的高，选项不符合题意；
选项D：线段是的高，选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题以三角形的高线识别为背景，考查了三角形高的定义。三角形的高是指从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段。判断一条线段是否为某三角形的高，关键看两点：一是该线段的一个端点是否为三角形的顶点，二是该线段是否垂直于这个顶点所对的边（或边的延长线）。根据这一标准，依次分析每个选项中线段BD是否符合△ABC中从顶点B到边AC的垂线段即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝66°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣66°＝84°，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠ACB＝×84°＝42°．
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+42°＝72°．
故选：D．
【分析】根据考查三角形内角和、角平分线、外角性质的综合应用. 解题关键在于先利用内角和求出∠ACB，再结合角平分线得到∠ACD；最后用外角性质快速计算∠BDC．
8．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解∶分别为的边，的中点，
连接，，为的中线，
，，，
和等底同高，和等底同高，和等底同高．
，，，
，
，
，，
四边形的面积，，
．
故选∶B．
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，根据三角形中线求面积，根据中点和中线性质，得出各三角形面积的倍数关系，推出四边形的面积，，结合三角形的面积公式，进行计算，即可得出答案．
9．【答案】－1
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】由题意得： ，解得：m=-1，
故答案为：-1.
【分析】根据一元一次方程的含义可知，x的系数不为0，x的指数为1，即可得到m的值。
10．【答案】六
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
则，解得，
所以这个多边形的边数为六．
故答案为：六．
【分析】本题以多边形内角和与外角和的数量关系为背景，考查了多边形内角和公式以及外角和定理。解题的关键是知道任意多边形的外角和恒为360°，而内角和则与边数有关，公式为 (n-2) 180。根据“内角和是外角和的2倍”这一条件，可列出关于边数 n 的方程，解方程求出 n 的值，即可得到多边形的边数。
11．【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【分析】利用三角形的稳定性解答．
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：平分平分，
，，
在中，，则，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
故答案为：．
【分析】本题考查三角形内角度数的推导计算，核心围绕三角形内角和定理与角平分线的定义展开. 解题时，先根据角平分线的定义，得到，，再分别在和中，结合三角形内角和定理，通过代数推导求出的度数．
13．【答案】a＜4
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
①+②得，x+y＝1+，
∵x+y＜2，
∴1+＜2，
解得a＜4．
故答案为：a＜4．
【分析】本题考查了解二元一次方程以及一元一次不等式，根据题意，两式相减，求得x+y＝1+，结合x+y＜2，的关于a的不等式，求得不等式的解集，即可得到答案.
14．【答案】48
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】解：正五边形内角和为且在直线上，
，
正六边形内角和为且在直线上，
，
在中，，
，
，
，
故答案是：．
【分析】根据正多边形内角和了的∠EDC，∠EFG，再根据补角可得，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．【答案】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题以解一元一次方程为载体，考查了等式的基本性质以及解方程的基本步骤。
（1）方程两边均含有未知数，需要先去括号，再通过移项将含未知数的项移到一边、常数项移到另一边，合并同类项后将系数化为1即可求解。
（2）含有分母，需要先找到分母的最小公倍数去分母，将其转化为整数系数的方程，然后按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解。整个过程需要特别注意去分母时每一项都要乘以公倍数，以及移项时要改变符号。
（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
16．【答案】解：
得：
，
将代入①得：
，
，
方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解法：加减消元法. 解题关键在于通过给方程变形，消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解.
17．【答案】解： ，解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴原不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题围绕一元一次不等式组的解法展开，核心考查单个不等式的求解与公共解集的确定. 解题时，需先分别解出两个一元一次不等式的解集，再根据”同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了“的口诀，找到两个解集的公共部分，最终得到不等式组的解集．熟练掌握不等式的解法与解集口诀是解题的关键.
18．【答案】（1）解：由题意，得，，，
，
（2）解：由（1）知，，则原方程可化为．
当时，，
解得
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【分析】本题考查二元一次方程的定义应用，根据定义求参数值，代入法解一元一次方程.
（1）根据二元一次方程的定义，列出满足条件的等式与不等式：未知数的次数为1、系数不为0，进而求解得到m、n的取值；
（2）先将m、n代入原方程，化简得到标准的二元一次方程，再将代入，解关于
x的一元一次方程，求出x的值，准确把握定义是解题的核心前提.
（1）由题意，得，，，
，．
（2）由（1）知，，则原方程可化为．
当时，，
解得．
19．【答案】解：设甲工程队每天修建x米，乙工程队每天修建y米，
依题意，得：，
解得：，
答：甲工程队每天修建60米，乙工程队每天修建100米．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题以公路修建的工程问题为背景，考查了二元一次方程组的实际应用。解题的关键是根据题意找出两个等量关系：一是两队合作6天完成的总长度等于960米，由此可列出关于工作效率和的方程；二是甲队速度是乙队速度的五分之三，由此可列出两者之间的比例关系。设出两个未知数后，联立这两个方程组成方程组，通过代入消元法求解，即可得出甲、乙两队每天的修建长度。
20．【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】本题以三角形与平行线相交的图形为背景，考查了平行线的判定与性质以及三角形外角定理的运用。解题时，先从已知的一对相等角入手，根据“内错角相等，两直线平行”判定出两条直线平行；再利用平行线的性质得出同位角相等；最后结合三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，通过等量代换得到所要证明的结论。整个推理过程需要熟练掌握平行线的判定与性质，以及三角形外角定理的应用。
21．【答案】（1） 解：在中，，，
∴．
∵是的角平分线，
∴；
（2）解：∵，又，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】本题以三角形中的角平分线和垂线为背景，考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义以及直角三角形两锐角互余的性质。
（1）在△ABC中，已知两个内角的度数，利用三角形内角和为180°可求出∠BAC的度数，再根据AD是角平分线，即可得到∠BAD的度数。
（2）由BE⊥AD可知△ABE为直角三角形，结合已求出的∠BAD，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABE，最后用已知的∠ABC减去∠ABE，即可得出∠EBD的度数。
（1）解：在中，，，
∴．
∵是的角平分线，
∴；
（2）解：∵
，又，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：设《老舍文集》每套元，《四大名著》每套元，
根据题意，得： ，
解得，
答：《老舍文集》每套50元，《四大名著》每套140元；
（2）解：设学校决定购买《老舍文集》套，则购买《四大名著》套．根据题意，得 ，
解得，，
∵取整数，
∴，13，14，15，
∴该学校共有四种购买方案：
方案1：购买《老舍文集》12套，《四大名著》为8套；
方案2：购买《老舍文集》13套，《四大名著》为7套；
方案3：购买《老舍文集》14套，《四大名著》为6套；
方案4：购买《老舍文集》15套，《四大名著》为5套．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题以学校购买图书的实际问题为背景，考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用。
（1）根据表格提供的两种购买方案及其总费用，可以分别列出两个关于单价的一次方程，联立组成方程组，通过消元法解出两种图书各自的单价。
（2）设购买其中一种图书的数量为未知数，另一种图书的数量用总套数减去该未知数表示，然后根据“总费用不超过1720元”和“一种图书数量不超过另一种的3倍”这两个条件列出不等式组，求出未知数的整数取值范围，从而得出所有符合条件的购买方案。
（1）解：设《老舍文集》每套元，《四大名著》每套元，
根据题意，得： ，
解得，
答：《老舍文集》每套50元，《四大名著》每套140元；
（2）解：设学校决定购买《老舍文集》套，则购买《四大名著》套．
根据题意，得 ，
解得，，
∵取整数，
∴，13，14，15，
∴该学校共有四种购买方案：
方案1：购买《老舍文集》12套，《四大名著》为8套；
方案2：购买《老舍文集》13套，《四大名著》为7套；
方案3：购买《老舍文集》14套，《四大名著》为6套；
方案4：购买《老舍文集》15套，《四大名著》为5套．
23．【答案】解：（1），证明如下：
点是内角和外角的角平分线的交点，
，，
由三角形的外角性质得：，，
，即，
；
（2），证明如下：
，，
由三角形的外角性质得：，，
，即，
；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：（3）由（1）的结论得：，，
即，，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】本题考查三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；角平分线的定义；n等分线的定义；角度的和差计算.
（1）先根据角平分线的定义，得到，，再结合三角形外角性质，得到，，从而推导出与的数量关系并完成证明；
（2）将角平分线的特殊情况推广到n等分线的一般情况，沿用（1）的推导思路，结合外角性质与n等分线的定义，推导出一般情况下与的数量关系；
（3）结合（1）中得到的规律，将复杂图形拆解为两个基础模型，利用角度和差关系，代入已知角度计算出的度数.
24．【答案】（1）
（2）；
（3）解：当点P在上运动时，则，
解得：；
当点P在上运动时，则，
解得；
综上所述，当点P与点Q到点B的距离相等时，或
（4）解：∵的面积是，∴，
∴，
∴或，
解得：或，
∴当的面积是时t的值为或2
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】
解：（1）由题意得，当点P在上运动时，，
∴；
（2）由题意得，当点P在上运动时，
；
由题意得，，
∴，
∴，
∴；
【分析】
本题综合考查一元一次方程在几何问题中的建模与求解，三角形面积公式在动态问题中的实际运用，几何动点问题中线段长度的代数式表示，分段讨论思想在几何综合题中的应用.（1）先根据点P的运动速度和运动时间t，求出AP的长度；再结合线段和差关系，用AB的总长减去AP的长度，即可推出BP的代数式；
（2）首先，当点P在BC段运动时，总运动路程为4tcm，减去AB段的长度，即可得到BP的长度为；当P运动到BC中点时，先根据中点性质列出方程，求出对应时间t，再结合点Q的运动速度计算CQ的长度，最后用CB总长减去CQ得到BQ的长度；
（3）分两种情况：当P在AB上运动时，分别用代数式表示出P、Q到B点的距离，令两者相等列方程求解；当P在BC上运动时，同理表示出两者到B点的距离，列方程求解；
（4）当P在BC段运动时，先确定三角形APQ的底和高：以AB为高，则底为PQ的长度；根据三角形面积公式推导出PQ的长度为1cm；再用含t的代数式表示出PQ的长度，分两种情况（P在Q上方、P在Q下方）建立方程，求解得到符合条件的t值.
（1）解：由题意得，当点P在上运动时，，
∴；
（2）解：由题意得，当点P在上运动时，
；
由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点P在上运动时，则，
解得：；
当点P在上运动时，则，
解得；
综上所述，当点P与点Q到点B的距离相等时，或；
（4）解：∵的面积是，
∴，
∴，
∴或，
解得：或，
∴当的面积是时t的值为或2．
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