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四川省成都市武侯区领川外国语学校2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试题
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
2．以下因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A． B．0 C．4 D．
4．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，将△ ABC绕点 A逆时针旋转得到△ ADE，点B，C的对应点分别为D，E，若且于点F，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图、在平面直角坐标系中点A，B的坐标分别是、，再找一点C．使它与点A，B，O构成的四边形是平行四边形，则点C的坐标不可能是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．学校为创建“书香校园”，购买了一批图书，已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求文学类图书平均每本的价格是多少元若设文学类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．将点向上平移1个单位得点，则点的坐标为　 　．
10．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A＝∠C＝100°，则∠D的度数为　 　度．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.若∠BAC＝64°，则∠BAD的度数为　 　．
12．已知不等式组的解集为，则　 　．
13．如图，在中，，分别以A、C为圆心．大于的一半的长度为半径画弧，四弧交于两点M、N．作直线．交于点D，交于点E；已知，则的度数为　 　度．
14．分解因式：
（1）；
（2）．
15．（1）解方程：．
（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
16．按要求计算下列各题：
（1）化简：．
（2）先化简，再求值：，其中．
17．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
18．如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．
（1）求点C的坐标及直线的表达式；
（2）点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
19．已知，则代数式的值为　 　．
20．一次函数y＝(2a－3)x＋2－a的图象与y轴的交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是________．
21．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是　 　．
22．如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为　 　．
23．如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为　 　，线段的最小值为　 　．
24．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
25．由，得；如果a，b是两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当，式子的最小值为______；
（2）已知，当x多大时，分式有最大值，最大值为多少？
（3）如图，四边形的对角线于点O，，，的面积为，的面积为，当最大时，求四边形的面积．
26．已知，在正方形 ABCD 中，AB＝5，点 F 是边 DC 上的一个动点，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°至△ABE，点 F 的对应点 E 落在 CB 的延长线上，连接 EF．
(1)如图 1，求证：∠DAF+∠FEC＝∠AEF；
(2)将△ADF 沿 AF 翻折至△AGF，连接 EG．
①如图 2，若 DF＝2，求 EG 的长；
②如图 3，连接 BD 交 EF 于点 Q，连接 GQ，则 S△QEG 的最大值为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：C．
【分析】本题以常见平面图形为背景，考查了中心对称图形的识别方法。判断一个图形是否为中心对称图形，关键是看能否找到一个点（即对称中心），将该图形绕这个点旋转180°后，能否与原图形完全重合。
2．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：B．
【分析】本题以多项式的恒等变形为背景，考查了因式分解的基本方法，包括提公因式法和公式法。因式分解的结果必须是几个整式的乘积形式，并且要分解到不能再分解为止。解题时，逐一检查每个选项：先看是否有公因式可提，再判断能否运用平方差公式或完全平方公式继续分解，同时注意十字相乘法的正确性。对于选项A，虽然提了公因式但还能继续分解；选项C和D的右边展开后与左边不相等，或分解结果不正确；只有选项B提取公因式后得到的结果符合因式分解的要求。
3．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：若分式的值为0，则，，
解得：，
故选：C．
【分析】本题以分式值为零为背景，考查分式有意义的条件及方程求解。分式的值为0需同时满足两个条件：分子等于0，且分母不等于0。先令分子 x-4=0 解得 x=4，再代入分母验证 x+4 0，两者都满足时即为所求。
4．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由题意可知，
当时，
直线的图像位于直线图像的上方，
即关于的不等式的解集为：．
故选：C．
【分析】本题以一次函数的图象为背景，考查了利用函数图象解一元一次不等式的数形结合思想。解题的关键是理解：不等式 2x - 1 > kx + b 的解集，在图象上表现为直线 y = 2x - 1 位于直线 y = kx + b 上方的部分所对应的 x 的取值范围。已知两直线交于点 P(2，3)，观察图象可知，在交点右侧（即 x > 2 时），直线 y = 2x - 1 在上方；在交点左侧（x < 2 时），则下方。因此，根据图象直接读出满足条件的 x 的范围即可。
5．【答案】A
【知识点】角的运算；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：将△ ABC绕点 A逆时针旋转得到△ ADE，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】本题以旋转为背景，考查旋转的性质以及直角三角形的性质。由旋转可知旋转角 BAD = 50，且对应角相等得ACB = E = 75。由 ADBC 可得DAC 与 ACB 互余，求出DAC 后，将BAD 与DAC 相加即得 BAC。
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：如图所示，
已知 A(1，1)、B(2，-2)、O(0，0)，以这三点中的任意两个点作为平行四边形的一条边或对角线，
可构造出三个不同的平行四边形，
对应点 C 的坐标分别为 (-1，3)、(3，-1)、(1，-3)。因此点 C 的坐标不可能是 (-2，3)，
故选 ：D。
【分析】本题考查平行四边形的顶点坐标关系与平面直角坐标系中的几何构造。利用平行四边形对角线互相平分的性质，分别以 OA、OB、AB 为对角线，通过中点坐标公式求出第四个顶点的坐标，即可得到所有可能的 C 点，再与选项对比得出答案。
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC CD＝AC AD．
∴S△ABC＝AC BC＝AC AD＝AC AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC AD：AC AD＝1：3，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．
故答案为：D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；根据∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；根据∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断；根据30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设文学类图书平均每本的价格是元，则可列方程为：
．
故选：A．
【分析】本题以购买图书为背景，考查分式方程在实际问题中的应用。解题的关键是找准等量关系：科普书数量比文学书数量少100本。设文学类图书单价为 x 元，则科普类图书单价为 x+5 元，根据“总价÷单价=数量”分别表示出两种书的数量，再利用“科普书数量 = 文学书数量 100”或“文学书数量 科普书数量 = 100”列出方程即可。
9．【答案】
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点向上平移1个单位，
点的坐标是，即，
故答案为：．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的平移为背景，考查点的坐标变化规律。根据“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”的平移法则，将点向上平移，纵坐标增加，横坐标不变，由此求出平移后的坐标。
10．【答案】70
【知识点】角的运算；垂线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：在四边形 ABCD 中，已知 ABBC，即 B = 90，且 A = C = 100。
根据四边形内角和为 360，
可得 D = 360 - A -B -C = 360 - 100 - 90 - 100 = 70。
故答案为： 70。
【分析】本题主要考查四边形内角和定理的应用。解题时先由垂直条件确定B 的度数，再结合已知的两个角，利用四边形内角和为 360直接求出未知角 D。
11．【答案】32°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：在△ABC 中，AB = AC，
所以 △ ABC 是等腰三角形，顶角BAC = 64。
因为 AD BC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD 同时也是 BAC 的平分线，
因此BAD =BAC = 64= 32。
故答案为： 32。
【分析】本题考查等腰三角形的性质，重点掌握“三线合一”的运用。在等腰三角形中，底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合，由垂直条件可推出角平分线，进而求出所需角度。
12．【答案】1
【知识点】解一元一次不等式组；有理数的乘方法则；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：解不等式组，
第一个不等式移项得 x > m+n-2，第二个不等式移项得 x < m，
所以原不等式组的解集为 m+n-2 < x < m。
已知该解集为 -1 < x < 2，
因此可得。
由 m=2 代入 m+n-2=-1 得 2+n-2=-1，即 n=-1，
所以 m+n=1。
故==1。
答案为： 1。
【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集反推参数的值。先将不等式组化为 x > a 和 x < b 的形式，得到解集 a < x < b，再与已知解集 -1 < x < 2 对比，建立关于参数的方程组，求出 m+n 后代入乘方运算即可。
13．【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，
根据三角形内角和定理可得∠BAC=60°。
由尺规作图痕迹可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
因此点E在AC的垂直平分线上，故AE=CE，
所以∠EAC=∠C=30°。
于是∠BAE=∠BAC ∠EAC=60° 30°=30°。
故答案为：30。
【分析】本题综合考查三角形内角和定理、线段垂直平分线的尺规作图及其性质，以及等腰三角形“等边对等角”的应用。先求出∠BAC，再由垂直平分线得出AE=CE，进而得到∠EAC，最后通过角的差计算∠BAE。
14．【答案】（1）解：原式=
；
（2）解：原式=
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】本题以多项式因式分解为背景，考查提公因式法、完全平方公式和平方差公式的应用。
（1）先提取公因式 3m，再将括号内化为完全平方形式 x2 - 2xy + y2 = (x-y)2。
（2）连续两次运用平方差公式：先将 16- 1 视为 (4a2)2- 12，分解后其中 4a2 - 1 还可继续用平方差公式分解，直到不能再分为止。
（1）
；
（2）
．
15．【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：
解①得：；
解②得：；
即不等式组的解集为；
如图：
【知识点】完全平方公式及运用；解分式方程；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】本题主要考查分式方程的解法以及一元一次不等式组的求解与数轴表示。
（1）需先将分母利用完全平方公式因式分解，去分母后化为整式方程求解，并检验根是否使原分母为零；
（2）分别解两个不等式，取公共部分得到解集，再在数轴上用实心点和空心点准确标出端点范围。
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）原式
；
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的乘法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题主要考查分式的混合运算与化简求值，涉及通分、因式分解、乘法分配律及约分等基本技能。
（1）先将除法转化为乘法，再运用乘法分配律逐项计算并合并同类项；
（2）先对括号内进行通分，将除法变为乘法后分解因式并约分，最后代入字母的值求出结果。
（1）解：原式
；
（2）原式
；
当时，原式．
17．【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
，
在中，，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题以四边形为背景，综合考查了菱形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质。
（1）通过平行线和角平分线证得 CD = AD，结合 AB = AD 及 ABDC 先得平行四边形，再由邻边相等证菱形。
（2）利用菱形对角线互相垂直平分求出 OB 和 OA，由 CE AB 得 AEC 为直角三角形，根据斜边中线等于斜边一半得出 OE = OA，代入计算即可。
（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，
，
在中，，
，
，
，
．
18．【答案】（1）解：点在直线上，
，
解得，
，
将，代入直线，得：
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：设点的坐标为，
直线的解析式为，
，
，
的面积为4，，
，
或，
点的坐标为或；
（3）m的值为4或6或3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当时，过点作轴于，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
∴，，
，
；
②当时，过点作轴于，延长交直线于，
同理：≌，
，，
；
③当时，过点作直线于，过点作直线于，
同理：≌，
，，
设，
，，
，，，，，
，
解得 ，
；
综上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，的值为或或．
【分析】本题以一次函数为背景，综合考查了求函数解析式、坐标系中三角形面积的计算以及等腰直角三角形的存在性问题。
（1）将点C代入y=-2x求坐标，再用待定系数法求直线AB；
（2）设出P点坐标，以BP为底、C点横坐标的绝对值为高表示面积，列方程求解，注意有两解；
（3）分BC=BQ、BC=CQ、BQ=CQ三种情况，通过构造全等三角形，利用对应边相等建立方程求出m的值。
（1）解：点在直线上，
，
解得，
，
将，代入直线，得：
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：设点的坐标为，
直线的解析式为，
，
，
的面积为4，，
，
或，
点的坐标为或；
（3）解：以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当时，过点作轴于，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
∴，，
，
；
②当时，过点作轴于，延长交直线于，
同理：≌，
，，
；
③当时，过点作直线于，过点作直线于，
同理：≌，
，，
设，
，，
，，，，，
，
解得 ，
；
综上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，的值为或或．
19．【答案】2023
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一元二次方程的一般形式；整式条件求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴
，
故答案为：2023．
【分析】本题以代数式求值为背景，考查了整体代入思想的应用。已知条件是一个关于 x 的二次方程，但所求代数式是三次的，直接解方程求 x 再代入计算比较繁琐。观察发现，将已知等式两边同时乘以 x，可以得到= 6x 这一整体关系。把所求代数式中的替换为 6x，则 6x 与 -6x 恰好抵消，从而只剩下常数项，无需具体求出 x 的值即可得到结果。这种方法体现了整体代入在简化计算中的优势。
20．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数 y = (2a - 3)x + (2 - a) 中， y 随 x 的增大而减小，说明一次项系数小于零，即 2a - 3 < 0 ，解得 a < 。
图象与 y 轴的交点在 x 轴上方，即令 x = 0 时 y > 0 ，也就是常数项 2 - a > 0 ，解得 a < 2 。同时满足这两个条件，取交集得 a < 。
故答案为 a < 。
【分析】本题综合考查一次函数的性质：一次项系数决定函数的增减性（ k < 0 时 y 随 x 增大而减小），常数项决定图象与 y 轴的交点位置（ b > 0 时交于 x 轴上方）。分别列出不等式求解后取公共部分即可得到 a 的取值范围。
21．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：，
∵原分式方程得解为正数，且，
∴，且，
解得：且．
故答案为：且．
【分析】将m作为字母参数，根据解分式方程的步骤：首先去分母化成整式方程，再解整式方程求得x的值，然后根据方程的解是正数可得x＞0，且x≠3，据此建立不等式组，求解即可.
22．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：延长交于点，过点作于点，
∵，
∴，即，点在线段的垂直平分线上，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，
∴在中，即，
解得，
在中，，
∴即，
解得，
∵，
∴，
∴点到的距离为．
故答案为：．
【分析】延长CP交AB于点M，过点P作PN⊥AC于点N，由等边对等角、角的构成及已知可推出∠PAB=∠PBA，由等角对等边得PA=PB，由到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可得PC是线段AB的垂直平分线，在Rt△AMC中，利用勾股定理建立方程求出CM，在Rt△APM中，利用勾股定理建立方程求出AP，进而再在Rt△APN中，由勾股定理算出PN即可得出答案.
23．【答案】；
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；点与圆的位置关系；平移的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点作交于点，连接，
∵平行四边形的面积为
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
以点为圆心，半径为画圆，为，
∵沿某一方向平移个单位长度后得到，
∴在上运动，连接，，，
在中，，
∴当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值为；
∴的最大值为；
过点作且，
以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点，
∵，，
∴，
∵点在上运动，，
∴在上运动，
在中，，
∴当与重合时，此时有最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：；．
【分析】过点A作交BC于点E，连接AC，根据平行四边形的面积公式算出AE，然后由勾股定理求出BE，AC；以点A为圆心，半径为3画圆，为，由平移的性质得及点与圆的位置关系得点A1在上运动，连接AA1，AC1，A1C1；根据三角形三边的关系，当A1，C1，A三点共线且A1在C1，A的中间，此时AC1有最大值，即可；过点A作AO⊥AD且AO=AD=5，以点O为圆心，半径为3画圆，连接BO并延长OB交于于点D'，根据勾股定理求出OB；根据三角形三边的关系，当D2与D'重合时，此时BD2有最小值即可．
24．【答案】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，，
x=15，
经检验x=15是原方程的解．
∴40﹣x=25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，
，
解得20≤y＜24．
因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取20，21，22，23，
共有4种方案．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据总价除以单价等于数量及用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同，列出方程求解得出x的值，进而再代入40-x算出乙种玩具的单价即可；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数及购进y件甲种玩具的费用+购进(48-y)件乙种玩具的费用不超过1000元，可列出不等式组，求出该不等式组的整数解即可得出答案.
25．【答案】（1）8
（2）解：，∵，
∴，，
令，，则由，得，
∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为，
∴当时，有最大值，且最大值为，
即当时，有最大值．
（3）解：∵四边形的对角线于点O，
∴，，
，
，
根据题意得：，，
∴，，当且仅当，时，等号成立，
∴当，时，有最大值，
∵，，
∴此时，，
∴，，
∴此时
．
【知识点】分式的化简求值；勾股定理；基本不等式
【解析】【解答】解：（1）令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为8．
故答案为：8.
【分析】（1）令，，根据代入不等式求出最小值即可；
（2）先将原分式化简，令，，再根据，利用当且仅当时等号成立不等式计算求解即可；
（3）先根据四边形的面积公式写出，，再根据，当且仅当时等号成立，求出取最大值时，四边形的面积即可.
（1）解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为8．
（2）解：，
∵，
∴，，
令，，则由，得，
∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为，
∴当时，有最大值，且最大值为，
即当时，有最大值．
（3）解：∵四边形的对角线于点O，
∴，，
，
，
根据题意得：，，
∴，，当且仅当，时，等号成立，
∴当，时，有最大值，
∵，，
∴此时，，
∴，，
∴此时
．
26．【答案】(1)证明：如图 1 中，∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD∥BC，∴∠DAE+∠AEC＝180°，
∵△ABE 是由△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到，
∴∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠AEF＝45°，
∴∠DAF+∠EAF+∠AEF+∠FEC＝180°，
∴∠DAF+∠FEC＝45°，
∴∠DAF+∠FEC＝∠AEF．
①如图 2 中，连接 BF．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝5，∠C＝90°，
∵DF＝2，
∴CF＝3，
∵∠DAF＝∠FAG＝∠BAE，
∴∠EAG＝∠FAB，
∵AE＝AF，AG＝AB，
∴△AEG≌△AFB（SAS），
∴EG＝BF，
在 Rt△BCF 中，BF＝，
∴EG＝BF＝．
②.
【知识点】二次函数的最值；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：②如图 3 中，作 FH⊥CD 交 BD 于 H，QM⊥BC 于 M，连接 BF，BG，设
BF 交 EG 于点 O．
∵EG＝BF，BF＝FB，FG＝EB，
∴△EFG≌△FEB（SSS），
∴∠GEF＝∠EFB，
同法可证∠FBG＝∠EGB，
∵∠EOF＝∠BOG，
∴∠EFB＝∠FBG，
∴EF∥BG，
∴S△EQG＝S△EBQ，设 DF＝EB＝x，则 CF＝5﹣x，
∵FH∥BE，FH＝DF＝EB，
∴∠FHQ＝∠EBQ，
∵∠HQF＝∠EQB，
∴△FHQ≌△EBQ（AAS），
∴FQ＝EQ，
∵QM∥CF，
∴EM＝MC，
∴QM＝CF＝（5﹣x），
∴S△EQG＝S△E BQ＝ x （5﹣x）＝﹣（x2﹣5x）＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴x＝时，△EQG 的面积最大，最大值为，
故答案为：．
【分析】本题以正方形为背景，综合考查旋转、翻折、全等三角形的判定与性质以及二次函数最值问题。
（1）利用旋转前后角度相等及三角形内角关系，推导出角度恒等式；
（2）①通过构造全等三角形（SAS）将所求线段转化为已知线段，再借助勾股定理求解；
②先证明两组三角形全等，建立线段间的数量关系，将三角形面积表示为关于某一变量的二次函数，通过配方求得面积的最大值。

1 / 1四川省成都市武侯区领川外国语学校2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试题
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：C．
【分析】本题以常见平面图形为背景，考查了中心对称图形的识别方法。判断一个图形是否为中心对称图形，关键是看能否找到一个点（即对称中心），将该图形绕这个点旋转180°后，能否与原图形完全重合。
2．以下因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：B．
【分析】本题以多项式的恒等变形为背景，考查了因式分解的基本方法，包括提公因式法和公式法。因式分解的结果必须是几个整式的乘积形式，并且要分解到不能再分解为止。解题时，逐一检查每个选项：先看是否有公因式可提，再判断能否运用平方差公式或完全平方公式继续分解，同时注意十字相乘法的正确性。对于选项A，虽然提了公因式但还能继续分解；选项C和D的右边展开后与左边不相等，或分解结果不正确；只有选项B提取公因式后得到的结果符合因式分解的要求。
3．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A． B．0 C．4 D．
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：若分式的值为0，则，，
解得：，
故选：C．
【分析】本题以分式值为零为背景，考查分式有意义的条件及方程求解。分式的值为0需同时满足两个条件：分子等于0，且分母不等于0。先令分子 x-4=0 解得 x=4，再代入分母验证 x+4 0，两者都满足时即为所求。
4．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由题意可知，
当时，
直线的图像位于直线图像的上方，
即关于的不等式的解集为：．
故选：C．
【分析】本题以一次函数的图象为背景，考查了利用函数图象解一元一次不等式的数形结合思想。解题的关键是理解：不等式 2x - 1 > kx + b 的解集，在图象上表现为直线 y = 2x - 1 位于直线 y = kx + b 上方的部分所对应的 x 的取值范围。已知两直线交于点 P(2，3)，观察图象可知，在交点右侧（即 x > 2 时），直线 y = 2x - 1 在上方；在交点左侧（x < 2 时），则下方。因此，根据图象直接读出满足条件的 x 的范围即可。
5．如图，将△ ABC绕点 A逆时针旋转得到△ ADE，点B，C的对应点分别为D，E，若且于点F，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：将△ ABC绕点 A逆时针旋转得到△ ADE，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】本题以旋转为背景，考查旋转的性质以及直角三角形的性质。由旋转可知旋转角 BAD = 50，且对应角相等得ACB = E = 75。由 ADBC 可得DAC 与 ACB 互余，求出DAC 后，将BAD 与DAC 相加即得 BAC。
6．如图、在平面直角坐标系中点A，B的坐标分别是、，再找一点C．使它与点A，B，O构成的四边形是平行四边形，则点C的坐标不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：如图所示，
已知 A(1，1)、B(2，-2)、O(0，0)，以这三点中的任意两个点作为平行四边形的一条边或对角线，
可构造出三个不同的平行四边形，
对应点 C 的坐标分别为 (-1，3)、(3，-1)、(1，-3)。因此点 C 的坐标不可能是 (-2，3)，
故选 ：D。
【分析】本题考查平行四边形的顶点坐标关系与平面直角坐标系中的几何构造。利用平行四边形对角线互相平分的性质，分别以 OA、OB、AB 为对角线，通过中点坐标公式求出第四个顶点的坐标，即可得到所有可能的 C 点，再与选项对比得出答案。
7．如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC CD＝AC AD．
∴S△ABC＝AC BC＝AC AD＝AC AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC AD：AC AD＝1：3，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．
故答案为：D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；根据∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；根据∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断；根据30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
8．学校为创建“书香校园”，购买了一批图书，已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求文学类图书平均每本的价格是多少元若设文学类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设文学类图书平均每本的价格是元，则可列方程为：
．
故选：A．
【分析】本题以购买图书为背景，考查分式方程在实际问题中的应用。解题的关键是找准等量关系：科普书数量比文学书数量少100本。设文学类图书单价为 x 元，则科普类图书单价为 x+5 元，根据“总价÷单价=数量”分别表示出两种书的数量，再利用“科普书数量 = 文学书数量 100”或“文学书数量 科普书数量 = 100”列出方程即可。
9．将点向上平移1个单位得点，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点向上平移1个单位，
点的坐标是，即，
故答案为：．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的平移为背景，考查点的坐标变化规律。根据“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”的平移法则，将点向上平移，纵坐标增加，横坐标不变，由此求出平移后的坐标。
10．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A＝∠C＝100°，则∠D的度数为　 　度．
【答案】70
【知识点】角的运算；垂线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：在四边形 ABCD 中，已知 ABBC，即 B = 90，且 A = C = 100。
根据四边形内角和为 360，
可得 D = 360 - A -B -C = 360 - 100 - 90 - 100 = 70。
故答案为： 70。
【分析】本题主要考查四边形内角和定理的应用。解题时先由垂直条件确定B 的度数，再结合已知的两个角，利用四边形内角和为 360直接求出未知角 D。
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.若∠BAC＝64°，则∠BAD的度数为　 　．
【答案】32°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：在△ABC 中，AB = AC，
所以 △ ABC 是等腰三角形，顶角BAC = 64。
因为 AD BC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD 同时也是 BAC 的平分线，
因此BAD =BAC = 64= 32。
故答案为： 32。
【分析】本题考查等腰三角形的性质，重点掌握“三线合一”的运用。在等腰三角形中，底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合，由垂直条件可推出角平分线，进而求出所需角度。
12．已知不等式组的解集为，则　 　．
【答案】1
【知识点】解一元一次不等式组；有理数的乘方法则；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：解不等式组，
第一个不等式移项得 x > m+n-2，第二个不等式移项得 x < m，
所以原不等式组的解集为 m+n-2 < x < m。
已知该解集为 -1 < x < 2，
因此可得。
由 m=2 代入 m+n-2=-1 得 2+n-2=-1，即 n=-1，
所以 m+n=1。
故==1。
答案为： 1。
【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集反推参数的值。先将不等式组化为 x > a 和 x < b 的形式，得到解集 a < x < b，再与已知解集 -1 < x < 2 对比，建立关于参数的方程组，求出 m+n 后代入乘方运算即可。
13．如图，在中，，分别以A、C为圆心．大于的一半的长度为半径画弧，四弧交于两点M、N．作直线．交于点D，交于点E；已知，则的度数为　 　度．
【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，
根据三角形内角和定理可得∠BAC=60°。
由尺规作图痕迹可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
因此点E在AC的垂直平分线上，故AE=CE，
所以∠EAC=∠C=30°。
于是∠BAE=∠BAC ∠EAC=60° 30°=30°。
故答案为：30。
【分析】本题综合考查三角形内角和定理、线段垂直平分线的尺规作图及其性质，以及等腰三角形“等边对等角”的应用。先求出∠BAC，再由垂直平分线得出AE=CE，进而得到∠EAC，最后通过角的差计算∠BAE。
14．分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=
；
（2）解：原式=
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】本题以多项式因式分解为背景，考查提公因式法、完全平方公式和平方差公式的应用。
（1）先提取公因式 3m，再将括号内化为完全平方形式 x2 - 2xy + y2 = (x-y)2。
（2）连续两次运用平方差公式：先将 16- 1 视为 (4a2)2- 12，分解后其中 4a2 - 1 还可继续用平方差公式分解，直到不能再分为止。
（1）
；
（2）
．
15．（1）解方程：．
（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：
解①得：；
解②得：；
即不等式组的解集为；
如图：
【知识点】完全平方公式及运用；解分式方程；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】本题主要考查分式方程的解法以及一元一次不等式组的求解与数轴表示。
（1）需先将分母利用完全平方公式因式分解，去分母后化为整式方程求解，并检验根是否使原分母为零；
（2）分别解两个不等式，取公共部分得到解集，再在数轴上用实心点和空心点准确标出端点范围。
16．按要求计算下列各题：
（1）化简：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：原式
；
（2）原式
；
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的乘法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题主要考查分式的混合运算与化简求值，涉及通分、因式分解、乘法分配律及约分等基本技能。
（1）先将除法转化为乘法，再运用乘法分配律逐项计算并合并同类项；
（2）先对括号内进行通分，将除法变为乘法后分解因式并约分，最后代入字母的值求出结果。
（1）解：原式
；
（2）原式
；
当时，原式．
17．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
，
在中，，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题以四边形为背景，综合考查了菱形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质。
（1）通过平行线和角平分线证得 CD = AD，结合 AB = AD 及 ABDC 先得平行四边形，再由邻边相等证菱形。
（2）利用菱形对角线互相垂直平分求出 OB 和 OA，由 CE AB 得 AEC 为直角三角形，根据斜边中线等于斜边一半得出 OE = OA，代入计算即可。
（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，
，
在中，，
，
，
，
．
18．如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．
（1）求点C的坐标及直线的表达式；
（2）点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
【答案】（1）解：点在直线上，
，
解得，
，
将，代入直线，得：
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：设点的坐标为，
直线的解析式为，
，
，
的面积为4，，
，
或，
点的坐标为或；
（3）m的值为4或6或3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当时，过点作轴于，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
∴，，
，
；
②当时，过点作轴于，延长交直线于，
同理：≌，
，，
；
③当时，过点作直线于，过点作直线于，
同理：≌，
，，
设，
，，
，，，，，
，
解得 ，
；
综上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，的值为或或．
【分析】本题以一次函数为背景，综合考查了求函数解析式、坐标系中三角形面积的计算以及等腰直角三角形的存在性问题。
（1）将点C代入y=-2x求坐标，再用待定系数法求直线AB；
（2）设出P点坐标，以BP为底、C点横坐标的绝对值为高表示面积，列方程求解，注意有两解；
（3）分BC=BQ、BC=CQ、BQ=CQ三种情况，通过构造全等三角形，利用对应边相等建立方程求出m的值。
（1）解：点在直线上，
，
解得，
，
将，代入直线，得：
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：设点的坐标为，
直线的解析式为，
，
，
的面积为4，，
，
或，
点的坐标为或；
（3）解：以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当时，过点作轴于，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
∴，，
，
；
②当时，过点作轴于，延长交直线于，
同理：≌，
，，
；
③当时，过点作直线于，过点作直线于，
同理：≌，
，，
设，
，，
，，，，，
，
解得 ，
；
综上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，的值为或或．
19．已知，则代数式的值为　 　．
【答案】2023
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一元二次方程的一般形式；整式条件求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴
，
故答案为：2023．
【分析】本题以代数式求值为背景，考查了整体代入思想的应用。已知条件是一个关于 x 的二次方程，但所求代数式是三次的，直接解方程求 x 再代入计算比较繁琐。观察发现，将已知等式两边同时乘以 x，可以得到= 6x 这一整体关系。把所求代数式中的替换为 6x，则 6x 与 -6x 恰好抵消，从而只剩下常数项，无需具体求出 x 的值即可得到结果。这种方法体现了整体代入在简化计算中的优势。
20．一次函数y＝(2a－3)x＋2－a的图象与y轴的交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是________．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数 y = (2a - 3)x + (2 - a) 中， y 随 x 的增大而减小，说明一次项系数小于零，即 2a - 3 < 0 ，解得 a < 。
图象与 y 轴的交点在 x 轴上方，即令 x = 0 时 y > 0 ，也就是常数项 2 - a > 0 ，解得 a < 2 。同时满足这两个条件，取交集得 a < 。
故答案为 a < 。
【分析】本题综合考查一次函数的性质：一次项系数决定函数的增减性（ k < 0 时 y 随 x 增大而减小），常数项决定图象与 y 轴的交点位置（ b > 0 时交于 x 轴上方）。分别列出不等式求解后取公共部分即可得到 a 的取值范围。
21．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：，
∵原分式方程得解为正数，且，
∴，且，
解得：且．
故答案为：且．
【分析】将m作为字母参数，根据解分式方程的步骤：首先去分母化成整式方程，再解整式方程求得x的值，然后根据方程的解是正数可得x＞0，且x≠3，据此建立不等式组，求解即可.
22．如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：延长交于点，过点作于点，
∵，
∴，即，点在线段的垂直平分线上，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，
∴在中，即，
解得，
在中，，
∴即，
解得，
∵，
∴，
∴点到的距离为．
故答案为：．
【分析】延长CP交AB于点M，过点P作PN⊥AC于点N，由等边对等角、角的构成及已知可推出∠PAB=∠PBA，由等角对等边得PA=PB，由到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可得PC是线段AB的垂直平分线，在Rt△AMC中，利用勾股定理建立方程求出CM，在Rt△APM中，利用勾股定理建立方程求出AP，进而再在Rt△APN中，由勾股定理算出PN即可得出答案.
23．如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为　 　，线段的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；点与圆的位置关系；平移的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点作交于点，连接，
∵平行四边形的面积为
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
以点为圆心，半径为画圆，为，
∵沿某一方向平移个单位长度后得到，
∴在上运动，连接，，，
在中，，
∴当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值为；
∴的最大值为；
过点作且，
以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点，
∵，，
∴，
∵点在上运动，，
∴在上运动，
在中，，
∴当与重合时，此时有最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：；．
【分析】过点A作交BC于点E，连接AC，根据平行四边形的面积公式算出AE，然后由勾股定理求出BE，AC；以点A为圆心，半径为3画圆，为，由平移的性质得及点与圆的位置关系得点A1在上运动，连接AA1，AC1，A1C1；根据三角形三边的关系，当A1，C1，A三点共线且A1在C1，A的中间，此时AC1有最大值，即可；过点A作AO⊥AD且AO=AD=5，以点O为圆心，半径为3画圆，连接BO并延长OB交于于点D'，根据勾股定理求出OB；根据三角形三边的关系，当D2与D'重合时，此时BD2有最小值即可．
24．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
【答案】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，，
x=15，
经检验x=15是原方程的解．
∴40﹣x=25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，
，
解得20≤y＜24．
因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取20，21，22，23，
共有4种方案．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据总价除以单价等于数量及用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同，列出方程求解得出x的值，进而再代入40-x算出乙种玩具的单价即可；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数及购进y件甲种玩具的费用+购进(48-y)件乙种玩具的费用不超过1000元，可列出不等式组，求出该不等式组的整数解即可得出答案.
25．由，得；如果a，b是两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当，式子的最小值为______；
（2）已知，当x多大时，分式有最大值，最大值为多少？
（3）如图，四边形的对角线于点O，，，的面积为，的面积为，当最大时，求四边形的面积．
【答案】（1）8
（2）解：，∵，
∴，，
令，，则由，得，
∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为，
∴当时，有最大值，且最大值为，
即当时，有最大值．
（3）解：∵四边形的对角线于点O，
∴，，
，
，
根据题意得：，，
∴，，当且仅当，时，等号成立，
∴当，时，有最大值，
∵，，
∴此时，，
∴，，
∴此时
．
【知识点】分式的化简求值；勾股定理；基本不等式
【解析】【解答】解：（1）令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为8．
故答案为：8.
【分析】（1）令，，根据代入不等式求出最小值即可；
（2）先将原分式化简，令，，再根据，利用当且仅当时等号成立不等式计算求解即可；
（3）先根据四边形的面积公式写出，，再根据，当且仅当时等号成立，求出取最大值时，四边形的面积即可.
（1）解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为8．
（2）解：，
∵，
∴，，
令，，则由，得，
∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为，
∴当时，有最大值，且最大值为，
即当时，有最大值．
（3）解：∵四边形的对角线于点O，
∴，，
，
，
根据题意得：，，
∴，，当且仅当，时，等号成立，
∴当，时，有最大值，
∵，，
∴此时，，
∴，，
∴此时
．
26．已知，在正方形 ABCD 中，AB＝5，点 F 是边 DC 上的一个动点，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°至△ABE，点 F 的对应点 E 落在 CB 的延长线上，连接 EF．
(1)如图 1，求证：∠DAF+∠FEC＝∠AEF；
(2)将△ADF 沿 AF 翻折至△AGF，连接 EG．
①如图 2，若 DF＝2，求 EG 的长；
②如图 3，连接 BD 交 EF 于点 Q，连接 GQ，则 S△QEG 的最大值为 ．
【答案】(1)证明：如图 1 中，∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD∥BC，∴∠DAE+∠AEC＝180°，
∵△ABE 是由△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到，
∴∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠AEF＝45°，
∴∠DAF+∠EAF+∠AEF+∠FEC＝180°，
∴∠DAF+∠FEC＝45°，
∴∠DAF+∠FEC＝∠AEF．
①如图 2 中，连接 BF．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝5，∠C＝90°，
∵DF＝2，
∴CF＝3，
∵∠DAF＝∠FAG＝∠BAE，
∴∠EAG＝∠FAB，
∵AE＝AF，AG＝AB，
∴△AEG≌△AFB（SAS），
∴EG＝BF，
在 Rt△BCF 中，BF＝，
∴EG＝BF＝．
②.
【知识点】二次函数的最值；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：②如图 3 中，作 FH⊥CD 交 BD 于 H，QM⊥BC 于 M，连接 BF，BG，设
BF 交 EG 于点 O．
∵EG＝BF，BF＝FB，FG＝EB，
∴△EFG≌△FEB（SSS），
∴∠GEF＝∠EFB，
同法可证∠FBG＝∠EGB，
∵∠EOF＝∠BOG，
∴∠EFB＝∠FBG，
∴EF∥BG，
∴S△EQG＝S△EBQ，设 DF＝EB＝x，则 CF＝5﹣x，
∵FH∥BE，FH＝DF＝EB，
∴∠FHQ＝∠EBQ，
∵∠HQF＝∠EQB，
∴△FHQ≌△EBQ（AAS），
∴FQ＝EQ，
∵QM∥CF，
∴EM＝MC，
∴QM＝CF＝（5﹣x），
∴S△EQG＝S△E BQ＝ x （5﹣x）＝﹣（x2﹣5x）＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴x＝时，△EQG 的面积最大，最大值为，
故答案为：．
【分析】本题以正方形为背景，综合考查旋转、翻折、全等三角形的判定与性质以及二次函数最值问题。
（1）利用旋转前后角度相等及三角形内角关系，推导出角度恒等式；
（2）①通过构造全等三角形（SAS）将所求线段转化为已知线段，再借助勾股定理求解；
②先证明两组三角形全等，建立线段间的数量关系，将三角形面积表示为关于某一变量的二次函数，通过配方求得面积的最大值。

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