资源简介

浙江省宁波市曙光中学等校2025-2026学年九年级下学期数学3月质量检测
1．的倒数是（　　）
A． B．6 C． D．
2．如图，这是由六个大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3． DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域.2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录.用科学记数法表示46200000，下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列式子中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列关于反比例函数的说法正确的是（　　）
A．图象经过第二、四象限 B．y随x的增大而减小
C．图象与x轴有交点 D．点（2，4）在该函数图象上
6．某中学举办了“文明城市，你我同行”的知识竞赛.经过对竞赛成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60-69分；C：70-79分；D：80-89分；E：90-100分）根据图中提供的信息，以下说法正确的是（　　）
A．该校共有学生1200人
B．80-89分段的人数是300人
C．在扇形统计图中，“70-79分”部分所对应的圆心角的度数是108°
D．59分及以下的人数最少
7．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若则OA：AD=（　　）
A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．4：5
8．我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念.在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼.已知每卷彩纸可制作福袋40个或灯笼25个，且每卷彩纸只能做其中的一种.现有36卷彩纸，完成后打算将2个福袋和1个灯笼配成一套礼物送给父母.最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套.设做福袋用了x卷彩纸，做灯笼用了y卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s.若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）.已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论正确的是（　　）
A．AE=8cm B．当t=12s时，△BPQ是等腰三角形
C． D．当010．如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的动点，且BE=BF=CG=AH.若菱形的面积等于24，BD=8，记EF=x，GH=y，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．x-y B．x+y C．xy D．
11．若代数式有意义，则x的取值范围是　 　.
12．已知，在“浙BA”篮球赛中，由大数据推送发现某地21号运动员比赛中罚球投中的概率是.若他在一场比赛中，有10次罚球机会，则他估计能投中的次数是　 　.
13．已知一个圆锥底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的全面积为　 　.（结果保留π）
14．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D。若AB=6，PC=4，则CD=　 　
15．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是　 　．
16．直线A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D。设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且则m+n的最大值为　 　
17．计算：
18．先化简，再求值：其中x=2
19．跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”.如图，拉皮筋的两人位置为D、C，跳皮筋孩子脚踩位置为E点，点D、E、C在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度AD=CB=1米.（AD，BC垂直地面）若∠AED=45°，最后结果保留到0.1）
（1）求拉皮筋的两个孩子之间AB的距离；
（2）当脚把橡皮筋踩在地面上的E点时，橡皮筋比原来拉长了多少米.
20．观察连续两个正整数的立方差：
①
②
③
（1）写出第n个等式（n为正整数），并给出证明.
（2）问2025能否写成这样的两个连续正整数的立方差 如果能，请写出这两个正整数；如果不能，请说明理由.
21．尺规作图问题：已知△ABC，∠ABC是钝角，AB>BC，请用尺规作AC的中点P.
小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连接BQ交AC于点P，则点P为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦…我明白了.
（1）证明：小聪的作法是正确的.
（2）指出小明作法中存在的问题.
22．图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了5分钟再原路原速返回到图书馆.设小明、小丽与书店的距离分别为y1，y2米，小明与小丽之间的距离为s米，设小丽行走的时间为x分钟.y1，y2与x之间的函数图象如图所示.
（1）分别求出线段OG，CD所在直线的函数表达式.
（2）求小明、小丽第二次相遇时x的值.
（3）当15≤x≤25时，若s=400，求x的值.
23．已知抛物线b为常数）经过点（-1，-4），当x=-2时，函数值为p，当x=1时，函数值为q，p+q=-7.
（1）求函数表达式。
（2）若过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B恰为线段AC的中点，求t的值。
（3）有一条直线向下平移9个单位长度得到直线l2。设m<2夹在两条直线直线l1，l2之间，求n-m的最大值。
24．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC为直径，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F.
（1）若∠CBD=33°，求∠CDF的度数；
（2）连接BD，若CF：BF=1：2，求DF：DB的值；
（3）在（2）的条件下，若BD，AC交于点P，试用含m的式子表示cos∠BDF.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是，
故选：C．
【分析】
根据倒数的定义：两个数的乘积是1，即可解答.
2．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的图形有两行，最下面一行有3个正方形，上面一行有2个正方形，
故答案为：C.
【分析】主视图即从正面看到的图形，对应选项即可求解.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：46200000=4.62×107
故答案为：B.
【分析】将数字精确到百万位并用科学记数法表示，其中科学记数法的形式为a×10n，且系数a满足1≤|a|<10，然后问题可求解.
4．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2a2-a2=a2，故原选项计算错误，原选项不符合题意；
B、a2与a3不是同类项，不能计算，原选项不符合题意；
C、，故原选项计算错误，原选项不符合题意；
D、(a2)3=a6，计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方运算法则即可求解.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于反比例函数
选项A、由于8>0，则函数图象经过第一、三象限，故A错误；
选项B、由于8>0，则只有在每个象限内，y随x的增大而减小，并非对所有x都满足此性质，故B错误；
选项C、中y不可能等于0，图象与x轴没有交点，故C错误；
选项D、将x=2代入得，则点(2，4)在该函数图象上，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数(k≠0)的性质，逐一判断选项即可，判断点是否在函数图象上，只需验证点的坐标是否满足函数解析式.
6．【答案】C
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：A.该校八年级学生有300÷30%=1000(人)，不符合题意；
B.80-89分段的人数是1000×35%=350(人)，不符合题意；
C.在扇形统计图中，“70-79分”部分所对应的圆心角的度数是360°×30%=108°，符合题意；
D.59分及以下人数为100×10%=100(人)，不符合题意
故答案为：C.
【分析】根据C类人数和所占百分比可判断A；根据总人数和D类所占百分比可判断B；用360°×30%可判断C；计算出A类的人数和E类比较即可判断D.
7．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△AOB~△DOE，
∴
∵S△ABC：S△DEF=4：9，
∴
∴
∴OA：AD=2：1
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB//DE，得到△AOB~△DOE，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案.
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：B.
【分析】根据现有36卷彩纸，完成后打算将2个福袋和1个灯笼配成一套礼物送给父母，列出二元一次方程组即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；动点问题的函数图象；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当t=10s时，△BPQ的面积y达到最大值40cm2
∴此时点Q到达点C，点P到达点E，
∴BC=BE=10cm.
∴，即，
∴AB=8，
∵t=14s时△BPQ的面积y开始变小，
∴此时点P到达点D
∴DE=14×1-10×1=4(cm)
∴AE=AD-DE=10-4=6cm，故A错误，不符合题意；
当t=12s时，点C和点Q重合，过点P作PH⊥BC交BC于点H，连接PC，
∴BE+EP=12×1=12，
∴EP=12-BE=2
∴AP=AE+EP=8， PD=AD-AP=2，
∴，
∴PB≠BC≠PC
∴△PBQ不是等腰三角形，故B错误，不符合题意；
∵AD//BC
∴，故C正确，符合题意.
当0∴BP=BQ=t，
∵
∴
∴，故D错误
故答案为：C.
【分析】由图象得到BC=BE=10cm，然后根据面积求出AB=8，然后求出DE，即可得到AE，进而判断A选项；如图所示，当t=12s时，点C和点Q重合，过点P作PH⊥BC交BC于点H，连接PC，利用勾股定理求出PB，PC，即可判断B选项；然后利用，即可判断C选项；当010．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∵菱形的面积为24，BD=8，
∴
∴AC=6
∵BE=BF
∴
∵BA=BC
∴，
∴∠BEF=∠BAC
∴EF//AC，
∴△BEF∽△BAC
∴
∵BA=DA
∴
同理可证△DHG∽△DAC
∴
∴
即
∴EF+GH=AC=6
∴x+y=6，
故答案为：B.
【分析】由菱形的性质求出AC=6，证明∠BEF=∠BAC，得EF//AC，证出△BEF∽△BAC，得出，同理可得，从而可证明EF+GH=AC=6，得x+y=6是定值.
11．【答案】x<3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，6-2x>0，
解得x<3
故答案为：x<3.
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数须为非负数，分式分母不为零，因此本题中被开方数需大于零，列不等式求解即可.
12．【答案】8
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】由题意可知，罚球总次数为10，单次罚球投中的概率为，
因此估计投中的次数为：.
故答案为：8.
【分析】根据概率的意义，用罚球总次数乘以单次罚球投中的概率，即可估计出投中的次数.
13．【答案】14π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题知，
因为圆锥底面半径为2，
所以圆锥的底面积为4π，
又因为圆锥的母线长为5，
所以圆锥的侧面积为π×2×5=10π，
所以圆锥的全面积为：4π+10π=14π
故答案为：14π.
【分析】分别求出圆锥的底面积及侧面积即可解决问题.
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接OC，OD，则OC=OD，
∵PC，PD与⊙O相切，
∴PC=PD， OC⊥PC，
∴OP垂直平分CD
∴CD=2CE，
∵AB为直径，且AB=6，
∴OC=3，
在Rt△OCP中，
∴
在Rt△OEC中，
∴
故答案为：.
【分析】连接OC，OD，设CD与AB交于点E，根据切线的性质结合勾股定理求出OP的长，进而求出sin∠COP，解Rt△OEC，求出CE的长，即可.
15．【答案】
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由3x<2x+2，可得：x<2，
∵不等式组的解集是，
∴，
故答案为：.
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
16．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，
设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，
∵BD=4，
∴DM=y-4，DN=4-x，
∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∴△ABE∽△BFC
∴，即
∴xy=mn，
∵∠ADN=∠CDM，
∴△CMD~△AND
∴，即
∴
∵
∴
∴
∴当m最大时，
∵
∴当时，
∴
∴m+n的最大值为
故答案为：.
【分析】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，得到DM=y-4，DN=4-x，根据相似三角形的性质得到xy=mn，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可解答.
17．【答案】解：原式：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂等进行计算即可求解.
18．【答案】解：原式
当x=2时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算的法则化简，再代入求值即可.
19．【答案】（1）解：∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴AD∥BC
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
在Rt△ADE中，
在Rt△BCE中，

（2）解：在Rt△ADE中，
在Rt△BCE中，
∴橡皮筋比原来拉长了0.7米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)根据正切的定义，分别求得DE，EC的长，进而根据AB=CD=DE+EC，即可求解；
(2)解Rt△ADE，Rt△EBC，求得AE，BE的长，结合题意，即可求解.
20．【答案】（1）解：
左边
右边
∵左边=右边
∴等式成立
（2）解：设两个连续的正整数分别为n和n+1
由可知，若其中一个数为正整数，则另一个数也为整数，此时n1·n2也为整数，这与相矛盾，
∴2025不能写成两个连续正整数的立方差。
也可：其中24297不是完全平方数，
∴2025不能写成两个连续正整数的立方差。
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【分析】(1)仿照示例，写出第n个等式，对等式的左右两边分别化简，可得到结果；
(2)根据示例，设3n2+3n+1=2025，利用求根公式判断方程的整数根，得到结果.
21．【答案】（1）解：由尺规作图可知：AQ=BC，AB=CQ，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
即点P为AC的中点
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图所示，
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)由作图可得，AQ=BC，AB=CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点；
(2)以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案.
22．【答案】（1）解：设线段OG的解析式为
把G（30，3000）代入得：解得
设线段CD的解析式为
把C（15，0），D（25，3000）代入得：
解得
（2）解：100x=300x-4500，解得x=22.5，
∴小明、小丽第二次相遇时x的值是22.5.
（3）解：①当时，300x-4500-100x=400，解得x=24.5
②当时，100x-（300x-4500）=400，解得x=20.5
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据图象即题干信息，可得出线段OG所在直线为正比例函数表达式，结合点G的坐标，可求出其函数表达式；根据题意，可得出线段CD对应的速度，即为一次函数中的k值，结合点C的坐标，可求出线段CD所在直线的函数表达式；
(2)根据题意，小明、小丽第二次相遇即为点F时的状态，结合(1)中的函数表达式，可求出点F的横坐标，得其所对应的值；
(3)根据题意，可得出当15≤x≤25时，恰在线段CD所在范围内，故|yOG-yCD|=400，解出对应的x值即可.
23．【答案】（1）解：
解得
（2）解：设B（m，t），
∵点B恰为线段AC中点，∴C（2m，t）
解得
当时，
（3）解：当直线l1与抛物线相切，即只有一个交点时，
解得：t=2
∵直线l1：y=2x+2向下平移9个单位长度得到直线l2，
∴l2：y=2x-7
解得：
∵m<2∴当m=-2，n=4时，
∴（m-n）max=4-（-2）=6
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)将已知点代入抛物线方程，结合p+q=-7列方程组，求解a、b得到函数表达式；
(2)根据直线与抛物线交点及中点坐标关系，利用对称轴性质求交点横坐标，代入抛物线求t；
(3)先求直线l1与抛物线相切时的t值，确定l2方程，联立l2与抛物线求交点，结合m<224．【答案】（1）解：∵弧CD=弧CD，∴∠CBD=∠CAD，
∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠CAD
∵DE⊥AC，∴∠CDF=90°-∠ACD=∠CAD=33°
（2）解：∵CF：BF=1：2，∴设CF=a，则BF=2a，
∵∠DCF=∠BCD，∠CDF=∠CBD，∴△CDF∽△CBD
（3）解：过点P作PQ∥DF交BC于点Q，
即
即
即
在中，
由（2）得：
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)先证明∠CAD=∠CDE，然后根据圆周角定理即可求解；
(2)证明△CDF~△CBD，得出，根据根据CF：BF=1：2可设CF=a，BF=2a，则BC=3a，，最后代入计算即可；
(3)过点P作PQ∥DF交BC于点Q，则， △CEF~△CPQ，△BPQ~△BDF，根据相似三角形的性质可求出，，，由平行线分线段成比例得出，在Rt△PDE中，，结合(2)，即可求解.
1 / 1浙江省宁波市曙光中学等校2025-2026学年九年级下学期数学3月质量检测
1．的倒数是（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是，
故选：C．
【分析】
根据倒数的定义：两个数的乘积是1，即可解答.
2．如图，这是由六个大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的图形有两行，最下面一行有3个正方形，上面一行有2个正方形，
故答案为：C.
【分析】主视图即从正面看到的图形，对应选项即可求解.
3． DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域.2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录.用科学记数法表示46200000，下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：46200000=4.62×107
故答案为：B.
【分析】将数字精确到百万位并用科学记数法表示，其中科学记数法的形式为a×10n，且系数a满足1≤|a|<10，然后问题可求解.
4．下列式子中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2a2-a2=a2，故原选项计算错误，原选项不符合题意；
B、a2与a3不是同类项，不能计算，原选项不符合题意；
C、，故原选项计算错误，原选项不符合题意；
D、(a2)3=a6，计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方运算法则即可求解.
5．下列关于反比例函数的说法正确的是（　　）
A．图象经过第二、四象限 B．y随x的增大而减小
C．图象与x轴有交点 D．点（2，4）在该函数图象上
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于反比例函数
选项A、由于8>0，则函数图象经过第一、三象限，故A错误；
选项B、由于8>0，则只有在每个象限内，y随x的增大而减小，并非对所有x都满足此性质，故B错误；
选项C、中y不可能等于0，图象与x轴没有交点，故C错误；
选项D、将x=2代入得，则点(2，4)在该函数图象上，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数(k≠0)的性质，逐一判断选项即可，判断点是否在函数图象上，只需验证点的坐标是否满足函数解析式.
6．某中学举办了“文明城市，你我同行”的知识竞赛.经过对竞赛成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60-69分；C：70-79分；D：80-89分；E：90-100分）根据图中提供的信息，以下说法正确的是（　　）
A．该校共有学生1200人
B．80-89分段的人数是300人
C．在扇形统计图中，“70-79分”部分所对应的圆心角的度数是108°
D．59分及以下的人数最少
【答案】C
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：A.该校八年级学生有300÷30%=1000(人)，不符合题意；
B.80-89分段的人数是1000×35%=350(人)，不符合题意；
C.在扇形统计图中，“70-79分”部分所对应的圆心角的度数是360°×30%=108°，符合题意；
D.59分及以下人数为100×10%=100(人)，不符合题意
故答案为：C.
【分析】根据C类人数和所占百分比可判断A；根据总人数和D类所占百分比可判断B；用360°×30%可判断C；计算出A类的人数和E类比较即可判断D.
7．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若则OA：AD=（　　）
A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．4：5
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△AOB~△DOE，
∴
∵S△ABC：S△DEF=4：9，
∴
∴
∴OA：AD=2：1
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB//DE，得到△AOB~△DOE，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案.
8．我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念.在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼.已知每卷彩纸可制作福袋40个或灯笼25个，且每卷彩纸只能做其中的一种.现有36卷彩纸，完成后打算将2个福袋和1个灯笼配成一套礼物送给父母.最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套.设做福袋用了x卷彩纸，做灯笼用了y卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：B.
【分析】根据现有36卷彩纸，完成后打算将2个福袋和1个灯笼配成一套礼物送给父母，列出二元一次方程组即可.
9．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s.若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）.已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论正确的是（　　）
A．AE=8cm B．当t=12s时，△BPQ是等腰三角形
C． D．当0【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；动点问题的函数图象；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当t=10s时，△BPQ的面积y达到最大值40cm2
∴此时点Q到达点C，点P到达点E，
∴BC=BE=10cm.
∴，即，
∴AB=8，
∵t=14s时△BPQ的面积y开始变小，
∴此时点P到达点D
∴DE=14×1-10×1=4(cm)
∴AE=AD-DE=10-4=6cm，故A错误，不符合题意；
当t=12s时，点C和点Q重合，过点P作PH⊥BC交BC于点H，连接PC，
∴BE+EP=12×1=12，
∴EP=12-BE=2
∴AP=AE+EP=8， PD=AD-AP=2，
∴，
∴PB≠BC≠PC
∴△PBQ不是等腰三角形，故B错误，不符合题意；
∵AD//BC
∴，故C正确，符合题意.
当0∴BP=BQ=t，
∵
∴
∴，故D错误
故答案为：C.
【分析】由图象得到BC=BE=10cm，然后根据面积求出AB=8，然后求出DE，即可得到AE，进而判断A选项；如图所示，当t=12s时，点C和点Q重合，过点P作PH⊥BC交BC于点H，连接PC，利用勾股定理求出PB，PC，即可判断B选项；然后利用，即可判断C选项；当010．如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的动点，且BE=BF=CG=AH.若菱形的面积等于24，BD=8，记EF=x，GH=y，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．x-y B．x+y C．xy D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∵菱形的面积为24，BD=8，
∴
∴AC=6
∵BE=BF
∴
∵BA=BC
∴，
∴∠BEF=∠BAC
∴EF//AC，
∴△BEF∽△BAC
∴
∵BA=DA
∴
同理可证△DHG∽△DAC
∴
∴
即
∴EF+GH=AC=6
∴x+y=6，
故答案为：B.
【分析】由菱形的性质求出AC=6，证明∠BEF=∠BAC，得EF//AC，证出△BEF∽△BAC，得出，同理可得，从而可证明EF+GH=AC=6，得x+y=6是定值.
11．若代数式有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x<3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，6-2x>0，
解得x<3
故答案为：x<3.
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数须为非负数，分式分母不为零，因此本题中被开方数需大于零，列不等式求解即可.
12．已知，在“浙BA”篮球赛中，由大数据推送发现某地21号运动员比赛中罚球投中的概率是.若他在一场比赛中，有10次罚球机会，则他估计能投中的次数是　 　.
【答案】8
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】由题意可知，罚球总次数为10，单次罚球投中的概率为，
因此估计投中的次数为：.
故答案为：8.
【分析】根据概率的意义，用罚球总次数乘以单次罚球投中的概率，即可估计出投中的次数.
13．已知一个圆锥底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的全面积为　 　.（结果保留π）
【答案】14π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题知，
因为圆锥底面半径为2，
所以圆锥的底面积为4π，
又因为圆锥的母线长为5，
所以圆锥的侧面积为π×2×5=10π，
所以圆锥的全面积为：4π+10π=14π
故答案为：14π.
【分析】分别求出圆锥的底面积及侧面积即可解决问题.
14．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D。若AB=6，PC=4，则CD=　 　
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接OC，OD，则OC=OD，
∵PC，PD与⊙O相切，
∴PC=PD， OC⊥PC，
∴OP垂直平分CD
∴CD=2CE，
∵AB为直径，且AB=6，
∴OC=3，
在Rt△OCP中，
∴
在Rt△OEC中，
∴
故答案为：.
【分析】连接OC，OD，设CD与AB交于点E，根据切线的性质结合勾股定理求出OP的长，进而求出sin∠COP，解Rt△OEC，求出CE的长，即可.
15．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由3x<2x+2，可得：x<2，
∵不等式组的解集是，
∴，
故答案为：.
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
16．直线A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D。设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且则m+n的最大值为　 　
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，
设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，
∵BD=4，
∴DM=y-4，DN=4-x，
∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∴△ABE∽△BFC
∴，即
∴xy=mn，
∵∠ADN=∠CDM，
∴△CMD~△AND
∴，即
∴
∵
∴
∴
∴当m最大时，
∵
∴当时，
∴
∴m+n的最大值为
故答案为：.
【分析】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，得到DM=y-4，DN=4-x，根据相似三角形的性质得到xy=mn，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可解答.
17．计算：
【答案】解：原式：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂等进行计算即可求解.
18．先化简，再求值：其中x=2
【答案】解：原式
当x=2时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算的法则化简，再代入求值即可.
19．跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”.如图，拉皮筋的两人位置为D、C，跳皮筋孩子脚踩位置为E点，点D、E、C在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度AD=CB=1米.（AD，BC垂直地面）若∠AED=45°，最后结果保留到0.1）
（1）求拉皮筋的两个孩子之间AB的距离；
（2）当脚把橡皮筋踩在地面上的E点时，橡皮筋比原来拉长了多少米.
【答案】（1）解：∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴AD∥BC
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
在Rt△ADE中，
在Rt△BCE中，

（2）解：在Rt△ADE中，
在Rt△BCE中，
∴橡皮筋比原来拉长了0.7米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)根据正切的定义，分别求得DE，EC的长，进而根据AB=CD=DE+EC，即可求解；
(2)解Rt△ADE，Rt△EBC，求得AE，BE的长，结合题意，即可求解.
20．观察连续两个正整数的立方差：
①
②
③
（1）写出第n个等式（n为正整数），并给出证明.
（2）问2025能否写成这样的两个连续正整数的立方差 如果能，请写出这两个正整数；如果不能，请说明理由.
【答案】（1）解：
左边
右边
∵左边=右边
∴等式成立
（2）解：设两个连续的正整数分别为n和n+1
由可知，若其中一个数为正整数，则另一个数也为整数，此时n1·n2也为整数，这与相矛盾，
∴2025不能写成两个连续正整数的立方差。
也可：其中24297不是完全平方数，
∴2025不能写成两个连续正整数的立方差。
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【分析】(1)仿照示例，写出第n个等式，对等式的左右两边分别化简，可得到结果；
(2)根据示例，设3n2+3n+1=2025，利用求根公式判断方程的整数根，得到结果.
21．尺规作图问题：已知△ABC，∠ABC是钝角，AB>BC，请用尺规作AC的中点P.
小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连接BQ交AC于点P，则点P为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦…我明白了.
（1）证明：小聪的作法是正确的.
（2）指出小明作法中存在的问题.
【答案】（1）解：由尺规作图可知：AQ=BC，AB=CQ，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
即点P为AC的中点
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图所示，
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)由作图可得，AQ=BC，AB=CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点；
(2)以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案.
22．图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了5分钟再原路原速返回到图书馆.设小明、小丽与书店的距离分别为y1，y2米，小明与小丽之间的距离为s米，设小丽行走的时间为x分钟.y1，y2与x之间的函数图象如图所示.
（1）分别求出线段OG，CD所在直线的函数表达式.
（2）求小明、小丽第二次相遇时x的值.
（3）当15≤x≤25时，若s=400，求x的值.
【答案】（1）解：设线段OG的解析式为
把G（30，3000）代入得：解得
设线段CD的解析式为
把C（15，0），D（25，3000）代入得：
解得
（2）解：100x=300x-4500，解得x=22.5，
∴小明、小丽第二次相遇时x的值是22.5.
（3）解：①当时，300x-4500-100x=400，解得x=24.5
②当时，100x-（300x-4500）=400，解得x=20.5
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据图象即题干信息，可得出线段OG所在直线为正比例函数表达式，结合点G的坐标，可求出其函数表达式；根据题意，可得出线段CD对应的速度，即为一次函数中的k值，结合点C的坐标，可求出线段CD所在直线的函数表达式；
(2)根据题意，小明、小丽第二次相遇即为点F时的状态，结合(1)中的函数表达式，可求出点F的横坐标，得其所对应的值；
(3)根据题意，可得出当15≤x≤25时，恰在线段CD所在范围内，故|yOG-yCD|=400，解出对应的x值即可.
23．已知抛物线b为常数）经过点（-1，-4），当x=-2时，函数值为p，当x=1时，函数值为q，p+q=-7.
（1）求函数表达式。
（2）若过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B恰为线段AC的中点，求t的值。
（3）有一条直线向下平移9个单位长度得到直线l2。设m<2夹在两条直线直线l1，l2之间，求n-m的最大值。
【答案】（1）解：
解得
（2）解：设B（m，t），
∵点B恰为线段AC中点，∴C（2m，t）
解得
当时，
（3）解：当直线l1与抛物线相切，即只有一个交点时，
解得：t=2
∵直线l1：y=2x+2向下平移9个单位长度得到直线l2，
∴l2：y=2x-7
解得：
∵m<2∴当m=-2，n=4时，
∴（m-n）max=4-（-2）=6
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)将已知点代入抛物线方程，结合p+q=-7列方程组，求解a、b得到函数表达式；
(2)根据直线与抛物线交点及中点坐标关系，利用对称轴性质求交点横坐标，代入抛物线求t；
(3)先求直线l1与抛物线相切时的t值，确定l2方程，联立l2与抛物线求交点，结合m<224．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC为直径，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F.
（1）若∠CBD=33°，求∠CDF的度数；
（2）连接BD，若CF：BF=1：2，求DF：DB的值；
（3）在（2）的条件下，若BD，AC交于点P，试用含m的式子表示cos∠BDF.
【答案】（1）解：∵弧CD=弧CD，∴∠CBD=∠CAD，
∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠CAD
∵DE⊥AC，∴∠CDF=90°-∠ACD=∠CAD=33°
（2）解：∵CF：BF=1：2，∴设CF=a，则BF=2a，
∵∠DCF=∠BCD，∠CDF=∠CBD，∴△CDF∽△CBD
（3）解：过点P作PQ∥DF交BC于点Q，
即
即
即
在中，
由（2）得：
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)先证明∠CAD=∠CDE，然后根据圆周角定理即可求解；
(2)证明△CDF~△CBD，得出，根据根据CF：BF=1：2可设CF=a，BF=2a，则BC=3a，，最后代入计算即可；
(3)过点P作PQ∥DF交BC于点Q，则， △CEF~△CPQ，△BPQ~△BDF，根据相似三角形的性质可求出，，，由平行线分线段成比例得出，在Rt△PDE中，，结合(2)，即可求解.
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