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浙江省浙北地区八校联考2026年中考一模数学试卷（3月）
1．下列四个数中绝对值最大的是(　　)
A．1 B．0 C．-1 D．-3
2．中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，在晚境内全媒体总值达230.63亿次，创13年来新高．数据“23063000000”用科学记数法表示为(　　)
A．2.3063×10 B．2.3063×109
C．2.3063×108 D．230.63×107
3．如图，物体的主视图画法正确的是(　　)
A． B． C． D．
4．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示)，现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中∠2=80°，∠3=30°，则∠1=(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．下列计算中不正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，DF=3AC，点E坐标为(- ，3)，则点B的坐标为(　　)
A．( ，-3) B．( ，-1) C． D．(-1， ）
7．2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分.设答对了x道题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是(　　)
A．5x-3(20-x)≤80 B．5x-3(20-x) ≥80
C．5x-3(20-x) <80 D．5x-3(20-x) >80
8．一分钟跳绳是中考休育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数或方图如图所示.若成绩为不少于160个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有(　　)
A．5人 B．12人 C．14人 D．17人
9．已知反比例函数 上有A(t-1 y1)，B(1-t， y2)两点，当r满足下列什么条件时，一定有y1>y2(　　)
A．t＞0 B．t<0 C．t>1 D．t<1
10． 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点A'是点A关于直线BD的对称点，连结A'B交 CD，AC于点E，F，连结OE. 若CF=3，OF=2， 则OE的长度为(　　)
A． B． C． D．
11． -12+ =　 　.
12．关于x和y的二元一次方程组 的解是　 　．
13．一个不透明的袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球.甲先换一个球，不放回，乙再摸一个，则甲乙摸到的球颜色不同的概率是　 　．
14．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线AB与水平方向的夹角为∠A，已知 若小明从扶梯底端A处乘扶梯，以0.5m/s的速度用时10s到达扶梯顶端B处，则小明上升的垂直高度BC为　 　 ．
15．【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法.以解方程 为例：将原方程整理可得：x(x+2)=35，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形，此时大正方形的面积是(x+x+2)2，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得： 得正整数解为x=5．
【应用体验】小明用此方法解关于x的方程 已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为　 　．
16．如图，已知点D为⊙O的直径AB上一点，且AD=2DB．C为⊙O上一点，满足AD=AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，过点A作AF⊥CD．若CF=1，则EF的长为　 　．
17． 化简求值： -2(a-1)-(a-2)(a+2)，其中a=3．
18．小江解方程 的过程如下：
解：去分母，得2(4x+1)-3(3x-1)=1 第一步
去括号，得 8x+2-9x+3=1 第二步
合并同类项，得-x+5=1 第三步
移项，得5-1=x 第四步
合并同类项，得x=4 第五步
（1）小江的解题过程有错误，他从第　 　步开始出现错误：
（2）写出正确的解答过程，
19． 如图，在Rt△ABC中， ∠A=90°，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半径的半圆交BC边于点E，与AC相切于点 F，连接BF，EF．
（1）求证： BF平分∠ABC；
（2）若AB=4， AF=3，求该圆的直径．
20．为丰富同学们的课余生活，学校举办“校园十佳歌手”比赛，邀请全校同学当评委对每个节目进行打分(满分5分)，该校九年级同学对其中一个节目的打分情况统计结果如下：
（1）求九年级同学对该节目打分的众数、中位数和平均数；
（2）全校共有学生1200人，请根据统计信息，估计全校打分在4分及以上的总人数．
21．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y(km)与甲的行驶时间x(h)之间的函数关系，请你根据图象进行探究：
（1）求甲和乙的速度；
（2） C点的坐标是　 　；
（3）当甲乙两人相距10km时，求x的值．
22．【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C， A'B'交AC于点E， A'C交CD于点 F．
【数学理解】
（1）在平移过程中，线段A'E的长始终与CF相等，请说明理由；
（2）已知AD=3，AB=4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A'ECF为菱形时，求移动的距离AA'．
23．已知二次函数y=(x-a) (x-a-4) (a为常数)．
（1）当a=2时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为a-1，求线段AB的长；
（3）若1n．
24．如图，正方形ABCD，直线DA绕点 D顺时针旋转α至DE (0°≤α≤45°)，作A关于直线DE的对称点F， AF交DE于点 G，连CF交DE于点 H，连BH交AC于点M．小明在探究∠DHC与α的大小关系时，发现其对应如下：
α 10° α
∠DHC ① ▲ ② ▲
（1）请填表，并证明结论②：
（2）求证： BH∥AF；
（3）在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比(用含α的式子表示)．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：
∴绝对值最大的数是-3.
故选： D.【分析】先求出每个数的绝对值，再比较即可.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据23063000000用科学记数法表示为：
故选： A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加两条虚竖线，画法正确的是
故选C.
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，进而得出答案.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵水面与玻璃杯的杯底平行，
又
故选： C.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，然后根据角的和差解答即可.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，计算正确，不符合题意；
B：，计算正确，不符合题意；
C：，原计算错误，符合题意；
D：，计算正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项法则逐项判断解答即可.
6．【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：
与 的相似比为AC：DF=1：3，
∵点E的坐标为 点B位于第四象限，
∴点B的坐标为 即
故选： B.
【分析】由题意得， 与 的相似比为AC：DF=1：3，进而可得答案.
7．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得，
故选： B.
【分析】根据题意，利用答对的得分减去答错或不答的得分不低于80分列不等式解答即可.
8．【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：在频数分布直方图中，成绩不少于160个即成绩在164.5-174.5以及174.5以上这部分.
从图中可知，成绩在164.5-174.5的频数是12，成 绩在174.5的频数是5.
∴跳绳能达到优秀(成绩不少于160个)的人数为这两部分频数之和，
即12+5=17(人).
∴抽取的女生中跳绳能达到优秀的有17人，
故选： D.
【分析】根据频数分布直方图获取成绩不少于160个的数据，再通过计算这些数据对应的频数之和来求解.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 上有 两点，
故选： C.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得出 由题意可知 求出t的取值范围解答即可.
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵OF=2，CF=3，
∴OC=5，AF=7，
∵ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，
∴∠CEF=∠ABF，∠ECF=∠BAF，∠CDB=∠DBA，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
设CE=3a，则AB=DC=7a，
∴DE=DC-CE=7a-3a=4a，
由折叠可得∠A'BD=∠ABD，
∴∠CDB=∠A'BD，
∴DE=BE=4a，
又∵OD=OB，
∴OE⊥BD，
在Rt△CBE中，BC2=BE2-CE2=(4a)2-(3a)2=7a2，即BC=，
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=7a2+(7a)2=56a2=102，
解得a2=，
又∵
∴，
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，进而得到△CEF∽△ABF，根据对应边成比例设CE=3a，则AB=DC=7a，然后推理得到DE=BE=4a，根据勾股定理求出BC长，然后再在Rt△BCD中根据勾股定理得到a2=，然后根据△DEB的面积公式解答即可.
11．【答案】1
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：原式：=-1+2
=1，
故答案为：1.
【分析】先运算乘方和算术平方根，然后运算加法解答即可.
12．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
②×3，得6x-3y=3③，
①+③，得7x=7，
解得： x=1，
把x=1代入②，得2×1-y=1，
解得： y=1，
∴方程组的解为 ，
故答案为： .
【分析】根据②×3+①消去y，求出x的值，然后把x的值代入②求出y的值解答即可.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
白 红1 红2
白 白，白 白，红1 白，红2
红1 红1，白 红1， 红1 红1， 红2
红2 红2，白 红2， 红1 红2， 红2
∴一共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有4种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为
故答案为： .
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得：AB=0.5×10=5(m)，
在 中，
∴设BC=xm，则AC=2xm，
解得： 或 (舍去)，
∴小明上升的垂直高度BC为
故答案为：
【分析】根据题意可得：AB=5m，然后在 中，利用锐角三角函数的定义可得 然后设BC=xm，则AC=2xm，从而利用勾股定理进行计算即可解答.
15．【答案】2
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：
如图，
由题意得：
解得：
即该方程的正整数解为2，
故答案为：2.
【分析】构造图形，根据大正方形的面积为81，列出一元二次方程，解方程即可.
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连结BE，
∵AD=2DB， AD=AC，
∴AB=2DB+DB=3DB， AC=2DB， ∠C=∠ADC，
∵∠C=∠B， ∠ADC=∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE，
∵AF⊥CD于点F， AB是⊙O的直径，
∴∠AFC=∠AEB=90°，
∴△AFC∽△AEB，
∵CF=1，
于点F，
故答案为：
【分析】连结BE，得到AB=3DB，A 而 B，所以 则BE=DE，可证明 根据两角对应相等得到 根据对应边成比例得到 ，即可得到 然后根据线段的和差解答即可.
17．【答案】解：-2(a-1)-(a-2)(a+2)
当a=3时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据单项式乘多项式、平方差公式分别计算，然后代入求值即可.
18．【答案】（1）一
（2）解：正确解答过程：
去分母，得2(4x+1)-3(3x-1)=6，
去括号，得8x+2-9x+3=6，
移项、合并同类项，得--x=1，
将系数化为1.得x=-1.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：(1)根据解一元一次方程的方法可知小红的解答过程，从第一步开始出现错误.
故答案为：一；
【分析】(1)根据解一元一次方程的方法判断即可；
(2)根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可.
19．【答案】（1）证明：如图，连接OF，
∵AC是圆O的切线，
∴∠CFO=∠A=90°，
∴OF∥AB，
∴∠OFB=∠ABF，
又∵OF=OB，
∴∠OFB=∠OBF，
∴∠OBF=∠ABF，
∴BF平分∠ABC；
（2）解：过点O作OD⊥AB于点D，设圆O的半径长为r，
则四边形OFAD是矩形，
∴OD=AF=3，AD=OF=r，
∴ BD=4-r，
在Rt△ODB中，OB2=OD2+BD2，即r2=32+(4-r)2，
解得，
∴圆的直径为.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OF，根据切线的性质可得OF∥AB，即可得到∠OFB=∠ABF，再根据等边对等角得到∠OFB=∠OBF，即可得到∠OBF=∠ABF，证明结论；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，设圆O的半径长为r，即可得到四边形OFAD是矩形，进而可得OD=AF=3，AD=OF=r，在Rt△ODB中，根据勾股定理求出r的值解答即可.
20．【答案】（1）解：由扇形统计图可知，打分5分的人数占比为50%，是所有分数中占比最高的，因此该组数据的众数为5分；
将打分按从小到大排序，各分数累计占比为：2分(5%)、3分(5%)、4分(40%)、5分(50%)，累计到4分的占比为5 即排序后第50%的数为4分，第51%位置的数均为5分，
因此该组数据的中位数为((4+5)÷2=4.5分；
根据加权平均数公式计算：
=2×0.05+3×0.05+4×0.4+5×0.5
=0.1+0.15+1.6+2.5
=4.35，
因此该组数据的平均数为4.35分；
（2）解：打分在4分及以上的人数占比为： 0%，
全校共有学生1200人，
因此估计总人数为：
答：估计全校打分在4分及以上的总人数为1080人.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据平均数额公式、中位数、众数的定义解答即可；
(2)运用总人数乘以打分在4分及以上的人数的占比解答即可.
21．【答案】（1）解：由题意得，A、B 两地总距离为30km，两人出发1h后相遇，
∴甲乙的速度和为：
∵甲从A到B全程用时3h，
∴甲的速度为：
∴乙的速度为：
答： 甲的速度为10 km/h， 乙的速度为20 km/h；
（2）(1.5， 15)
（3）由题意，分相遇前和相遇后两种情况讨论：
①相遇前(0≤x<1)两人距离： y=30-(10+20)x=30-30x，
令 y=10，
∴30-30x=10，
②相遇后(1≤x<1.5)两人距离 y=(10+20)(x-1)=30(x-1)，
令 y=10，
∴30(x-1)=10， 则
③乙到达 A 地后(1.5≤x≤3)只有甲继续行驶，两人距离y=10x，
令y=10，
∴10x=10，解得x=1（不符合题意，舍去），
综上，x的值为或.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(2)由题意，结合图象可得C表示此时乙到达A，又∵乙走完全程30km所需时间： ∴此时两人的距离=甲在1.5h内行驶的路程=10×1.5=15(km).
∴C点坐标为(1.5， 15).
故答案为： (1.5， 15)；
【分析】(1)依据题意得，A、B 两地总距离为30km，两人出发1h后相遇，从而速度和为： 又甲从A到B全程用时3h，可得甲的速度为10km/h，从而求出乙的速度解答即可；
(2)依据题意，结合图象可得C表示此时乙到达A，即可得到乙走完全程30km所需时间，进而可求出行驶的路程解答即可；
(3)依据题意，分相遇前和相遇后两种情况，列方程求出x的值解答即可.
22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∵把 沿着AD方向平移，得到
∴四边形A'ECF是平行四边形，
即平移过程中.线段A'E的长始终与CF相等；
（2）解：
设AA'=x，A'E=a，A'F=b，
即
解得
同理
解得
当A'E=A'F时，四边形A'ECF是菱形，
解得
∴移动的距离.AA'为
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到 根据平移的性质得到 推出四边形A'ECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到结论即可；
(2)先根据勾股定理求出AC长，然后根据平行可得△DA'F∽△DAC，再根据对应边成成比例解答即可.
23．【答案】（1）解： 当a=2时，函数为y=(x-2)(x-2-4)=(x-2)(x-6)=
∴顶点坐标为(4，- 4)；
（2）解：由题意得，对称轴为直线x=a+2，
设点A的横坐标为xA，
∴AB的长为|(a-1)-(a+5)|=6；
（3）证明：∵二次项系数为1>0，即抛物线开口向上，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大.
∵对称轴是直线x=a+2，
∴|(2a-3)-(a+2)|=|a-5|=5-a(因为1由题意得，
∴当 时，2a-2>0(因为a>1)，即5-a>7-3a；
当 时，12-4a>0(因为a<3)，即5-a>3a-7，
综上，点(2a-3，m)到对称轴的距离更远，又因为抛物线开口向上，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)依据题意，将a=2代入y=(x-a)(x-a-4)，然后配方得到顶点式解答即可；
(2)由题意得，对称轴为直线x=a+2，设点A的横坐标为xA，则 从而 =a+5，进而可得AB的长为故可得解；
(3)依据题意，由二次项系数为1>0，即抛物线开口向上，则抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，又对称轴是直线x=a+2，从而 然后由 分类讨论计算可以得解.
24．【答案】（1）45°； 45°
（2）证明：连接BD交AC于点O，连接AH， OH，如图：
由(1)可知∠AHC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴OH=OA=OC，
∴OH=OB=OD，
∴∠BHD=90°，
∴BH⊥DE，
∵DE⊥AF，
∴BH∥AF；
（3）解：设BH交AD于K，如图：
由(2)知∠BHD=90°，
∴∠KHD=∠KAB=90°，
∵∠HKD=∠AKB，
∴∠HDK=∠ABK=α，
∵AK∥BC，
∴△AKM∽△CBM，
∵AB=BC，
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：由表可知， 为定值 故 时， 当 时， 理由如下：
连接DF， AH，设CF交AD于N，如图：
∵A， F关于DE对称，
即
∴∠AHN=∠CDN=90°，
∴∠AHF=90°，
∵HF=HA， HG⊥AF，
∴∠FHE=∠AHE=45°，
∴∠DHC=∠FHE=45°；
故答案为： 45°； 45°；
【分析】(1)由表可知， 为定值 连接DF， AH，设CF交AD于N，由A， F关于DE对称，可证明 即可得 即可得到结论
(2)连接BD交AC于点O，连接AH， OH，由(1)可知 而四边形ABCD是正方形，有OA=OC=OB=OD，可得 从而得到结论；
(3)设BH交AD于K，证明 可得由，即可解答
1 / 1浙江省浙北地区八校联考2026年中考一模数学试卷（3月）
1．下列四个数中绝对值最大的是(　　)
A．1 B．0 C．-1 D．-3
【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：
∴绝对值最大的数是-3.
故选： D.【分析】先求出每个数的绝对值，再比较即可.
2．中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，在晚境内全媒体总值达230.63亿次，创13年来新高．数据“23063000000”用科学记数法表示为(　　)
A．2.3063×10 B．2.3063×109
C．2.3063×108 D．230.63×107
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据23063000000用科学记数法表示为：
故选： A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．如图，物体的主视图画法正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加两条虚竖线，画法正确的是
故选C.
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，进而得出答案.
4．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示)，现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中∠2=80°，∠3=30°，则∠1=(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵水面与玻璃杯的杯底平行，
又
故选： C.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，然后根据角的和差解答即可.
5．下列计算中不正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，计算正确，不符合题意；
B：，计算正确，不符合题意；
C：，原计算错误，符合题意；
D：，计算正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项法则逐项判断解答即可.
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，DF=3AC，点E坐标为(- ，3)，则点B的坐标为(　　)
A．( ，-3) B．( ，-1) C． D．(-1， ）
【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：
与 的相似比为AC：DF=1：3，
∵点E的坐标为 点B位于第四象限，
∴点B的坐标为 即
故选： B.
【分析】由题意得， 与 的相似比为AC：DF=1：3，进而可得答案.
7．2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分.设答对了x道题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是(　　)
A．5x-3(20-x)≤80 B．5x-3(20-x) ≥80
C．5x-3(20-x) <80 D．5x-3(20-x) >80
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得，
故选： B.
【分析】根据题意，利用答对的得分减去答错或不答的得分不低于80分列不等式解答即可.
8．一分钟跳绳是中考休育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数或方图如图所示.若成绩为不少于160个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有(　　)
A．5人 B．12人 C．14人 D．17人
【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：在频数分布直方图中，成绩不少于160个即成绩在164.5-174.5以及174.5以上这部分.
从图中可知，成绩在164.5-174.5的频数是12，成 绩在174.5的频数是5.
∴跳绳能达到优秀(成绩不少于160个)的人数为这两部分频数之和，
即12+5=17(人).
∴抽取的女生中跳绳能达到优秀的有17人，
故选： D.
【分析】根据频数分布直方图获取成绩不少于160个的数据，再通过计算这些数据对应的频数之和来求解.
9．已知反比例函数 上有A(t-1 y1)，B(1-t， y2)两点，当r满足下列什么条件时，一定有y1>y2(　　)
A．t＞0 B．t<0 C．t>1 D．t<1
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 上有 两点，
故选： C.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得出 由题意可知 求出t的取值范围解答即可.
10． 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点A'是点A关于直线BD的对称点，连结A'B交 CD，AC于点E，F，连结OE. 若CF=3，OF=2， 则OE的长度为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵OF=2，CF=3，
∴OC=5，AF=7，
∵ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，
∴∠CEF=∠ABF，∠ECF=∠BAF，∠CDB=∠DBA，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
设CE=3a，则AB=DC=7a，
∴DE=DC-CE=7a-3a=4a，
由折叠可得∠A'BD=∠ABD，
∴∠CDB=∠A'BD，
∴DE=BE=4a，
又∵OD=OB，
∴OE⊥BD，
在Rt△CBE中，BC2=BE2-CE2=(4a)2-(3a)2=7a2，即BC=，
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=7a2+(7a)2=56a2=102，
解得a2=，
又∵
∴，
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，进而得到△CEF∽△ABF，根据对应边成比例设CE=3a，则AB=DC=7a，然后推理得到DE=BE=4a，根据勾股定理求出BC长，然后再在Rt△BCD中根据勾股定理得到a2=，然后根据△DEB的面积公式解答即可.
11． -12+ =　 　.
【答案】1
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：原式：=-1+2
=1，
故答案为：1.
【分析】先运算乘方和算术平方根，然后运算加法解答即可.
12．关于x和y的二元一次方程组 的解是　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
②×3，得6x-3y=3③，
①+③，得7x=7，
解得： x=1，
把x=1代入②，得2×1-y=1，
解得： y=1，
∴方程组的解为 ，
故答案为： .
【分析】根据②×3+①消去y，求出x的值，然后把x的值代入②求出y的值解答即可.
13．一个不透明的袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球.甲先换一个球，不放回，乙再摸一个，则甲乙摸到的球颜色不同的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
白 红1 红2
白 白，白 白，红1 白，红2
红1 红1，白 红1， 红1 红1， 红2
红2 红2，白 红2， 红1 红2， 红2
∴一共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有4种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为
故答案为： .
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.
14．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线AB与水平方向的夹角为∠A，已知 若小明从扶梯底端A处乘扶梯，以0.5m/s的速度用时10s到达扶梯顶端B处，则小明上升的垂直高度BC为　 　 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得：AB=0.5×10=5(m)，
在 中，
∴设BC=xm，则AC=2xm，
解得： 或 (舍去)，
∴小明上升的垂直高度BC为
故答案为：
【分析】根据题意可得：AB=5m，然后在 中，利用锐角三角函数的定义可得 然后设BC=xm，则AC=2xm，从而利用勾股定理进行计算即可解答.
15．【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法.以解方程 为例：将原方程整理可得：x(x+2)=35，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形，此时大正方形的面积是(x+x+2)2，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得： 得正整数解为x=5．
【应用体验】小明用此方法解关于x的方程 已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为　 　．
【答案】2
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：
如图，
由题意得：
解得：
即该方程的正整数解为2，
故答案为：2.
【分析】构造图形，根据大正方形的面积为81，列出一元二次方程，解方程即可.
16．如图，已知点D为⊙O的直径AB上一点，且AD=2DB．C为⊙O上一点，满足AD=AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，过点A作AF⊥CD．若CF=1，则EF的长为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连结BE，
∵AD=2DB， AD=AC，
∴AB=2DB+DB=3DB， AC=2DB， ∠C=∠ADC，
∵∠C=∠B， ∠ADC=∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE，
∵AF⊥CD于点F， AB是⊙O的直径，
∴∠AFC=∠AEB=90°，
∴△AFC∽△AEB，
∵CF=1，
于点F，
故答案为：
【分析】连结BE，得到AB=3DB，A 而 B，所以 则BE=DE，可证明 根据两角对应相等得到 根据对应边成比例得到 ，即可得到 然后根据线段的和差解答即可.
17． 化简求值： -2(a-1)-(a-2)(a+2)，其中a=3．
【答案】解：-2(a-1)-(a-2)(a+2)
当a=3时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据单项式乘多项式、平方差公式分别计算，然后代入求值即可.
18．小江解方程 的过程如下：
解：去分母，得2(4x+1)-3(3x-1)=1 第一步
去括号，得 8x+2-9x+3=1 第二步
合并同类项，得-x+5=1 第三步
移项，得5-1=x 第四步
合并同类项，得x=4 第五步
（1）小江的解题过程有错误，他从第　 　步开始出现错误：
（2）写出正确的解答过程，
【答案】（1）一
（2）解：正确解答过程：
去分母，得2(4x+1)-3(3x-1)=6，
去括号，得8x+2-9x+3=6，
移项、合并同类项，得--x=1，
将系数化为1.得x=-1.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：(1)根据解一元一次方程的方法可知小红的解答过程，从第一步开始出现错误.
故答案为：一；
【分析】(1)根据解一元一次方程的方法判断即可；
(2)根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可.
19． 如图，在Rt△ABC中， ∠A=90°，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半径的半圆交BC边于点E，与AC相切于点 F，连接BF，EF．
（1）求证： BF平分∠ABC；
（2）若AB=4， AF=3，求该圆的直径．
【答案】（1）证明：如图，连接OF，
∵AC是圆O的切线，
∴∠CFO=∠A=90°，
∴OF∥AB，
∴∠OFB=∠ABF，
又∵OF=OB，
∴∠OFB=∠OBF，
∴∠OBF=∠ABF，
∴BF平分∠ABC；
（2）解：过点O作OD⊥AB于点D，设圆O的半径长为r，
则四边形OFAD是矩形，
∴OD=AF=3，AD=OF=r，
∴ BD=4-r，
在Rt△ODB中，OB2=OD2+BD2，即r2=32+(4-r)2，
解得，
∴圆的直径为.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OF，根据切线的性质可得OF∥AB，即可得到∠OFB=∠ABF，再根据等边对等角得到∠OFB=∠OBF，即可得到∠OBF=∠ABF，证明结论；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，设圆O的半径长为r，即可得到四边形OFAD是矩形，进而可得OD=AF=3，AD=OF=r，在Rt△ODB中，根据勾股定理求出r的值解答即可.
20．为丰富同学们的课余生活，学校举办“校园十佳歌手”比赛，邀请全校同学当评委对每个节目进行打分(满分5分)，该校九年级同学对其中一个节目的打分情况统计结果如下：
（1）求九年级同学对该节目打分的众数、中位数和平均数；
（2）全校共有学生1200人，请根据统计信息，估计全校打分在4分及以上的总人数．
【答案】（1）解：由扇形统计图可知，打分5分的人数占比为50%，是所有分数中占比最高的，因此该组数据的众数为5分；
将打分按从小到大排序，各分数累计占比为：2分(5%)、3分(5%)、4分(40%)、5分(50%)，累计到4分的占比为5 即排序后第50%的数为4分，第51%位置的数均为5分，
因此该组数据的中位数为((4+5)÷2=4.5分；
根据加权平均数公式计算：
=2×0.05+3×0.05+4×0.4+5×0.5
=0.1+0.15+1.6+2.5
=4.35，
因此该组数据的平均数为4.35分；
（2）解：打分在4分及以上的人数占比为： 0%，
全校共有学生1200人，
因此估计总人数为：
答：估计全校打分在4分及以上的总人数为1080人.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据平均数额公式、中位数、众数的定义解答即可；
(2)运用总人数乘以打分在4分及以上的人数的占比解答即可.
21．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y(km)与甲的行驶时间x(h)之间的函数关系，请你根据图象进行探究：
（1）求甲和乙的速度；
（2） C点的坐标是　 　；
（3）当甲乙两人相距10km时，求x的值．
【答案】（1）解：由题意得，A、B 两地总距离为30km，两人出发1h后相遇，
∴甲乙的速度和为：
∵甲从A到B全程用时3h，
∴甲的速度为：
∴乙的速度为：
答： 甲的速度为10 km/h， 乙的速度为20 km/h；
（2）(1.5， 15)
（3）由题意，分相遇前和相遇后两种情况讨论：
①相遇前(0≤x<1)两人距离： y=30-(10+20)x=30-30x，
令 y=10，
∴30-30x=10，
②相遇后(1≤x<1.5)两人距离 y=(10+20)(x-1)=30(x-1)，
令 y=10，
∴30(x-1)=10， 则
③乙到达 A 地后(1.5≤x≤3)只有甲继续行驶，两人距离y=10x，
令y=10，
∴10x=10，解得x=1（不符合题意，舍去），
综上，x的值为或.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(2)由题意，结合图象可得C表示此时乙到达A，又∵乙走完全程30km所需时间： ∴此时两人的距离=甲在1.5h内行驶的路程=10×1.5=15(km).
∴C点坐标为(1.5， 15).
故答案为： (1.5， 15)；
【分析】(1)依据题意得，A、B 两地总距离为30km，两人出发1h后相遇，从而速度和为： 又甲从A到B全程用时3h，可得甲的速度为10km/h，从而求出乙的速度解答即可；
(2)依据题意，结合图象可得C表示此时乙到达A，即可得到乙走完全程30km所需时间，进而可求出行驶的路程解答即可；
(3)依据题意，分相遇前和相遇后两种情况，列方程求出x的值解答即可.
22．【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C， A'B'交AC于点E， A'C交CD于点 F．
【数学理解】
（1）在平移过程中，线段A'E的长始终与CF相等，请说明理由；
（2）已知AD=3，AB=4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A'ECF为菱形时，求移动的距离AA'．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∵把 沿着AD方向平移，得到
∴四边形A'ECF是平行四边形，
即平移过程中.线段A'E的长始终与CF相等；
（2）解：
设AA'=x，A'E=a，A'F=b，
即
解得
同理
解得
当A'E=A'F时，四边形A'ECF是菱形，
解得
∴移动的距离.AA'为
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到 根据平移的性质得到 推出四边形A'ECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到结论即可；
(2)先根据勾股定理求出AC长，然后根据平行可得△DA'F∽△DAC，再根据对应边成成比例解答即可.
23．已知二次函数y=(x-a) (x-a-4) (a为常数)．
（1）当a=2时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为a-1，求线段AB的长；
（3）若1n．
【答案】（1）解： 当a=2时，函数为y=(x-2)(x-2-4)=(x-2)(x-6)=
∴顶点坐标为(4，- 4)；
（2）解：由题意得，对称轴为直线x=a+2，
设点A的横坐标为xA，
∴AB的长为|(a-1)-(a+5)|=6；
（3）证明：∵二次项系数为1>0，即抛物线开口向上，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大.
∵对称轴是直线x=a+2，
∴|(2a-3)-(a+2)|=|a-5|=5-a(因为1由题意得，
∴当 时，2a-2>0(因为a>1)，即5-a>7-3a；
当 时，12-4a>0(因为a<3)，即5-a>3a-7，
综上，点(2a-3，m)到对称轴的距离更远，又因为抛物线开口向上，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)依据题意，将a=2代入y=(x-a)(x-a-4)，然后配方得到顶点式解答即可；
(2)由题意得，对称轴为直线x=a+2，设点A的横坐标为xA，则 从而 =a+5，进而可得AB的长为故可得解；
(3)依据题意，由二次项系数为1>0，即抛物线开口向上，则抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，又对称轴是直线x=a+2，从而 然后由 分类讨论计算可以得解.
24．如图，正方形ABCD，直线DA绕点 D顺时针旋转α至DE (0°≤α≤45°)，作A关于直线DE的对称点F， AF交DE于点 G，连CF交DE于点 H，连BH交AC于点M．小明在探究∠DHC与α的大小关系时，发现其对应如下：
α 10° α
∠DHC ① ▲ ② ▲
（1）请填表，并证明结论②：
（2）求证： BH∥AF；
（3）在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比(用含α的式子表示)．
【答案】（1）45°； 45°
（2）证明：连接BD交AC于点O，连接AH， OH，如图：
由(1)可知∠AHC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴OH=OA=OC，
∴OH=OB=OD，
∴∠BHD=90°，
∴BH⊥DE，
∵DE⊥AF，
∴BH∥AF；
（3）解：设BH交AD于K，如图：
由(2)知∠BHD=90°，
∴∠KHD=∠KAB=90°，
∵∠HKD=∠AKB，
∴∠HDK=∠ABK=α，
∵AK∥BC，
∴△AKM∽△CBM，
∵AB=BC，
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：由表可知， 为定值 故 时， 当 时， 理由如下：
连接DF， AH，设CF交AD于N，如图：
∵A， F关于DE对称，
即
∴∠AHN=∠CDN=90°，
∴∠AHF=90°，
∵HF=HA， HG⊥AF，
∴∠FHE=∠AHE=45°，
∴∠DHC=∠FHE=45°；
故答案为： 45°； 45°；
【分析】(1)由表可知， 为定值 连接DF， AH，设CF交AD于N，由A， F关于DE对称，可证明 即可得 即可得到结论
(2)连接BD交AC于点O，连接AH， OH，由(1)可知 而四边形ABCD是正方形，有OA=OC=OB=OD，可得 从而得到结论；
(3)设BH交AD于K，证明 可得由，即可解答
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