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浙江省丽水市景宁县、青田县2024-2025学年九年级下学期中考二模数学试卷
1．2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．在人体血液中红细胞的直径约为，数据0.00077用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．在中，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．不等式的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两车同时出发
B．乙车的速度为
C．乙车出发时，追上了甲车
D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距
10．如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是上的动点，且．若菱形的面积等于24，，记，则下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
11．因式分解： 　 　.
12．某小组体育中考成绩为30，29，27，30，18，则这组同学成绩的中位数是　 　．
13．一元二次方程
x2+2x+c＝0有两个相等实数根，则c＝　 　.
14．如图，为的中位线，且平分交于点F．若，，则　 　．
15．将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，已知，，则边　 　．
16．如图，在中，，的中垂线分别交于点E，F．
（1）若，，则　 　；
（2）若，，则　 　（用含m，n的代数式表示）．
17．计算：
18． 解方程：
19．如图，在中，，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，过点D作．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
20．端午节前，学校准备举行“龙腾端午·竞舟校园”文化节活动，计划开展A-包粽子，B-划旱船，C-创美文，-拔河四个项目，要求人人参加，每人限选一项，为了解同学们参加活动的意愿，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数；
（3）甲、乙、丙三位同学都是包粽子的能手，现从他们3人中选2人参加才艺展示，请用画树林图或列表的方法表示所有可能情况，并求甲、乙两人同时被选中的概率．
21．如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接．
（1）求证：平分；
（2）若的直径为10，，求的长．
22．制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为．
（1）求第一次锻造操作的时长；
（2）求第二次开始锻造的时间．
23．已知二次函数（a是常数且）
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当时，y有最小值，求该二次函数的表达式；
（3）已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围．
24．如图，在正方形中，E是上一点，延长使，连接，，，过点A作，交于点G．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的主视图为，
故答案为：A．
【分析】主视图是从正面看到的平面图形，据此即可求解.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵，
故选：C．
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，
∵在中，，，，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】在直角中，根据勾股定理求出的长，再根据正弦的定义解答即可．
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，错误，该选项不符合题意；
B、a2a3=a5，错误，该选项不符合题意；
C、a3÷a=a2，正确，该选项符合题意；
D、（a3）2=a6，错误，该选项不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方法则逐一计算，再判定即可。
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故选：D．
【分析】首先移项再合并同类项，将系数化为，即可解答.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
无法判断，
故选：D．
【分析】
根据平行四边形的基本性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，逐一分析选项即可.
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：∵雀每只两，燕每只两，
依题意可得，
故选：A.
【分析】设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重”列方程组即可.
9．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误；
由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误；
设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得，
所以，，
设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得，
所以，，
联立，
解得，
∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C正确；
由图象得A，B两地的距离为
甲车速度为，
所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误；
故选：C．
【分析】由图象得乙车出发时间为2小时，甲车出发时间为0小时，故可判断A；由图象得乙车行驶总路程为，乙车行驶时间为3小时，得速度为，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；根据甲车行驶速度求出甲车行驶路程，再用乙车到达B城的路程减去甲车行驶的路程，得到两车距离可判断D．
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵菱形的面积为24，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
同理可证，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】由菱形的面积公式可求出，根据菱形的性质和已知条件可证明，得，从而得出，则有；同理可得，从而可证明，得是定值．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．【答案】29
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为18，27，29，30，30，数据个数为5，是奇数，故中位数为第3个数29，
故答案为：29．
【分析】根据中位数定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列出中间位置的数即可．
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程 x2+2x+c＝0有两个相等实数根，
∴ =4-4c=0，
∴c=1.
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根，得出根的判别式等于0，列出方程，求出方程的解，即可求解.
14．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵是的中位线，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，是的中位线，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据三角形的中位线性质可得，，然后利用角平分线的定义和平行线的性质得到，即可得到，然后根据线段的和差解答即可．
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；矩形的判定；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由折叠的性质得：，，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
同理，，，
∴，
∴，
∴在四边形中，，
∴四边形是矩形；
∴，
在中，，，
∴，
由折叠知，，
∵四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】首先先根据图形翻折的性质和平角的定义得到四边形是矩形；利用勾股定理得出，证得，则有，然后通过等量代换．
16．【答案】16；
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵是的中垂线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
又，
∴，
解得，
∴；
故答案为：16；
（2）∵是的中垂线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
又，
∴，
解得，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到AF=BF，再结合已知条件求出AC+BC的值，最后利用勾股定理求出AC、BC的乘积，进而求出的面积；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到AF=BF，再结合已知条件求出AC+BC的值，最后利用勾股定理求出AC、BC的乘积，进而求出的面积；．
17．【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别计算出算术平方根、乘方及负整数指数幂的值，再计算加减法即可．
18．【答案】解：，
方程两边同时乘以，去分母，得，
解得，
检验，当时，，
故是原方程的根．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以去分母化为整式方程，解整式方程求出x的值并检验解答即可．
19．【答案】（1）解：在中，，，
∵，
由作图得是的平分线，
∴
（2）解：∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余可求出，再根据作图得是的平分线，即可解答；
（2）利用角平分线上的点到两角的距离相等的性质可得到，再利用正弦函数求出，从而得．
（1）解：在中，，，
∵，
由作图得是的平分线，
∴；
（2）解：∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴．
20．【答案】（1）解：解：总人数为：（人），
类活动的人数：（人），
补全图形如下：
（2）解：，
（人），
答：选择D类活动的人数大约有人
（3）解：依题意，树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有种，
所以同时选中甲和乙的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据划旱船的人数和所占的百分比可求得总人数，再用总人数减去各部分人数得到C类活动的人数，即可补全条形统计图；
（2）利用样本中D类活动人数所占的百分比，去估计全校1800名学生中选择D类活动的人数；
（3）通过画树状图列出所有可能的结果，找出甲、乙同时被选中的情况数，利用概率公式求解即可．
（1）解：解：总人数为：（人），
类活动的人数：（人），
补全图形如下：
（2）解：，
（人），
答：选择D类活动的人数大约有人；
（3）解：依题意，树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有种，
所以同时选中甲和乙的概率为．
21．【答案】（1）证明：连接，如图，
则，，
∵过点P作的切线，切点为M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即平分
（2）解：过点O 作于点E，连接，如图，
则，
∵过点P作的切线，切点为M，
∴，即，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵的直径为10，
∴，
∴，
∴
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）通过连接半径，则和，根据切线垂直与半径得到OMPD，即有，可得，进而利用平行线性质和等腰三角形性质证明角相等；
（2）通过作辅助线，过点O 作于点E，连接，则，判定四边形为矩形，有，利用垂径定理求出，利用勾股定理求得，最后利用矩形的对边相等求出CM的长．
（1）证明：连接，如图，
则，，
∵过点P作的切线，切点为M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：过点O 作于点E，连接，如图，
则，
∵过点P作的切线，切点为M，
∴，即，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵的直径为10，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：材料锻造时，设，
由题意得，解得，
，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
，
所以第一次锻造操作的时长是
（2） ，所以煅烧时温度每分钟上升，
，所以第二次煅烧需要，
，所以第二次开始锻造的时间是第
【知识点】反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）根据题意，第一次锻造过程温度y与时间x成反比例关系，可求出反比例函数的解析式，进而分别求出当和时x的值，两者之差即为锻造时长；
（2）利用第一次煅烧的起点和终点，计算出煅烧温度上升的速度，第二次煅烧是从480℃升至800℃，利用速度求出时间，最后加上第一次煅烧结束的时间即可得答案．
（1）解：材料锻造时，设，
由题意得，解得，
，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
，
所以第一次锻造操作的时长是；
（2），所以煅烧时温度每分钟上升，
，所以第二次煅烧需要，
，所以第二次开始锻造的时间是第．
23．【答案】（1）解：∵二次函数
∴抛物线顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：
（2）解：∵二次函数，，对称轴，
∴在内离对称轴越远的点，函数值越小：
∵，
∴当时，取值最小值，
∴
解得：，
此时函数为
（3）解：∵二次函数，，对称轴，
∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为．
恒有，则有，
∴，
∵，
，
解得，
∵，
∴且，
∴
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）利用二次函数对称轴公式或配方求解即可；
（2）根据a0及对称轴，确定区间内最小值点，代入求a的值，进而得到函数表达式；
（3）根据二次函数性质推导出的解集，求出t的范围即可．
（1）解：∵二次函数
∴抛物线顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：；
（2）解：∵二次函数，，对称轴，
∴在内离对称轴越远的点，函数值越小：
∵，
∴当时，取值最小值，
∴
解得：，
此时函数为．
（3）解：∵二次函数，，对称轴，
∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为．
恒有，则有，
∴，
∵，
，
解得，
∵，
∴且，
∴．
24．【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴点是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴
（3）解：连接，
∵，，，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
在中，，即，
解得（舍去），
即
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和已知条件，通过全等三角形的判定可证明，从而可得到；
（2）利用第（1）问的全等结论，证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和斜边中线的性质，以及三角形的外角性质可得到；
（3）通过作辅助线，证明，推出是等边三角形，然后设未知数，，利用勾股定理求得，解方程即可求解．
（1）证明：∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴点是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵，，，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
在中，，即，
解得（舍去），
即．
1 / 1浙江省丽水市景宁县、青田县2024-2025学年九年级下学期中考二模数学试卷
1．2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的主视图为，
故答案为：A．
【分析】主视图是从正面看到的平面图形，据此即可求解.
3．在人体血液中红细胞的直径约为，数据0.00077用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵，
故选：C．
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
4．在中，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，
∵在中，，，，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】在直角中，根据勾股定理求出的长，再根据正弦的定义解答即可．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，错误，该选项不符合题意；
B、a2a3=a5，错误，该选项不符合题意；
C、a3÷a=a2，正确，该选项符合题意；
D、（a3）2=a6，错误，该选项不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方法则逐一计算，再判定即可。
6．不等式的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故选：D．
【分析】首先移项再合并同类项，将系数化为，即可解答.
7．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
无法判断，
故选：D．
【分析】
根据平行四边形的基本性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，逐一分析选项即可.
8．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：∵雀每只两，燕每只两，
依题意可得，
故选：A.
【分析】设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重”列方程组即可.
9．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两车同时出发
B．乙车的速度为
C．乙车出发时，追上了甲车
D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误；
由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误；
设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得，
所以，，
设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得，
所以，，
联立，
解得，
∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C正确；
由图象得A，B两地的距离为
甲车速度为，
所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误；
故选：C．
【分析】由图象得乙车出发时间为2小时，甲车出发时间为0小时，故可判断A；由图象得乙车行驶总路程为，乙车行驶时间为3小时，得速度为，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；根据甲车行驶速度求出甲车行驶路程，再用乙车到达B城的路程减去甲车行驶的路程，得到两车距离可判断D．
10．如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是上的动点，且．若菱形的面积等于24，，记，则下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵菱形的面积为24，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
同理可证，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】由菱形的面积公式可求出，根据菱形的性质和已知条件可证明，得，从而得出，则有；同理可得，从而可证明，得是定值．
11．因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．某小组体育中考成绩为30，29，27，30，18，则这组同学成绩的中位数是　 　．
【答案】29
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为18，27，29，30，30，数据个数为5，是奇数，故中位数为第3个数29，
故答案为：29．
【分析】根据中位数定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列出中间位置的数即可．
13．一元二次方程
x2+2x+c＝0有两个相等实数根，则c＝　 　.
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程 x2+2x+c＝0有两个相等实数根，
∴ =4-4c=0，
∴c=1.
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根，得出根的判别式等于0，列出方程，求出方程的解，即可求解.
14．如图，为的中位线，且平分交于点F．若，，则　 　．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵是的中位线，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，是的中位线，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据三角形的中位线性质可得，，然后利用角平分线的定义和平行线的性质得到，即可得到，然后根据线段的和差解答即可．
15．将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，已知，，则边　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；矩形的判定；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由折叠的性质得：，，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
同理，，，
∴，
∴，
∴在四边形中，，
∴四边形是矩形；
∴，
在中，，，
∴，
由折叠知，，
∵四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】首先先根据图形翻折的性质和平角的定义得到四边形是矩形；利用勾股定理得出，证得，则有，然后通过等量代换．
16．如图，在中，，的中垂线分别交于点E，F．
（1）若，，则　 　；
（2）若，，则　 　（用含m，n的代数式表示）．
【答案】16；
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵是的中垂线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
又，
∴，
解得，
∴；
故答案为：16；
（2）∵是的中垂线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
又，
∴，
解得，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到AF=BF，再结合已知条件求出AC+BC的值，最后利用勾股定理求出AC、BC的乘积，进而求出的面积；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到AF=BF，再结合已知条件求出AC+BC的值，最后利用勾股定理求出AC、BC的乘积，进而求出的面积；．
17．计算：
【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别计算出算术平方根、乘方及负整数指数幂的值，再计算加减法即可．
18． 解方程：
【答案】解：，
方程两边同时乘以，去分母，得，
解得，
检验，当时，，
故是原方程的根．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以去分母化为整式方程，解整式方程求出x的值并检验解答即可．
19．如图，在中，，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，过点D作．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：在中，，，
∵，
由作图得是的平分线，
∴
（2）解：∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余可求出，再根据作图得是的平分线，即可解答；
（2）利用角平分线上的点到两角的距离相等的性质可得到，再利用正弦函数求出，从而得．
（1）解：在中，，，
∵，
由作图得是的平分线，
∴；
（2）解：∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴．
20．端午节前，学校准备举行“龙腾端午·竞舟校园”文化节活动，计划开展A-包粽子，B-划旱船，C-创美文，-拔河四个项目，要求人人参加，每人限选一项，为了解同学们参加活动的意愿，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数；
（3）甲、乙、丙三位同学都是包粽子的能手，现从他们3人中选2人参加才艺展示，请用画树林图或列表的方法表示所有可能情况，并求甲、乙两人同时被选中的概率．
【答案】（1）解：解：总人数为：（人），
类活动的人数：（人），
补全图形如下：
（2）解：，
（人），
答：选择D类活动的人数大约有人
（3）解：依题意，树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有种，
所以同时选中甲和乙的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据划旱船的人数和所占的百分比可求得总人数，再用总人数减去各部分人数得到C类活动的人数，即可补全条形统计图；
（2）利用样本中D类活动人数所占的百分比，去估计全校1800名学生中选择D类活动的人数；
（3）通过画树状图列出所有可能的结果，找出甲、乙同时被选中的情况数，利用概率公式求解即可．
（1）解：解：总人数为：（人），
类活动的人数：（人），
补全图形如下：
（2）解：，
（人），
答：选择D类活动的人数大约有人；
（3）解：依题意，树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有种，
所以同时选中甲和乙的概率为．
21．如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接．
（1）求证：平分；
（2）若的直径为10，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图，
则，，
∵过点P作的切线，切点为M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即平分
（2）解：过点O 作于点E，连接，如图，
则，
∵过点P作的切线，切点为M，
∴，即，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵的直径为10，
∴，
∴，
∴
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）通过连接半径，则和，根据切线垂直与半径得到OMPD，即有，可得，进而利用平行线性质和等腰三角形性质证明角相等；
（2）通过作辅助线，过点O 作于点E，连接，则，判定四边形为矩形，有，利用垂径定理求出，利用勾股定理求得，最后利用矩形的对边相等求出CM的长．
（1）证明：连接，如图，
则，，
∵过点P作的切线，切点为M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：过点O 作于点E，连接，如图，
则，
∵过点P作的切线，切点为M，
∴，即，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵的直径为10，
∴，
∴，
∴．
22．制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为．
（1）求第一次锻造操作的时长；
（2）求第二次开始锻造的时间．
【答案】（1）解：材料锻造时，设，
由题意得，解得，
，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
，
所以第一次锻造操作的时长是
（2） ，所以煅烧时温度每分钟上升，
，所以第二次煅烧需要，
，所以第二次开始锻造的时间是第
【知识点】反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）根据题意，第一次锻造过程温度y与时间x成反比例关系，可求出反比例函数的解析式，进而分别求出当和时x的值，两者之差即为锻造时长；
（2）利用第一次煅烧的起点和终点，计算出煅烧温度上升的速度，第二次煅烧是从480℃升至800℃，利用速度求出时间，最后加上第一次煅烧结束的时间即可得答案．
（1）解：材料锻造时，设，
由题意得，解得，
，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
，
所以第一次锻造操作的时长是；
（2），所以煅烧时温度每分钟上升，
，所以第二次煅烧需要，
，所以第二次开始锻造的时间是第．
23．已知二次函数（a是常数且）
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当时，y有最小值，求该二次函数的表达式；
（3）已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数
∴抛物线顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：
（2）解：∵二次函数，，对称轴，
∴在内离对称轴越远的点，函数值越小：
∵，
∴当时，取值最小值，
∴
解得：，
此时函数为
（3）解：∵二次函数，，对称轴，
∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为．
恒有，则有，
∴，
∵，
，
解得，
∵，
∴且，
∴
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）利用二次函数对称轴公式或配方求解即可；
（2）根据a0及对称轴，确定区间内最小值点，代入求a的值，进而得到函数表达式；
（3）根据二次函数性质推导出的解集，求出t的范围即可．
（1）解：∵二次函数
∴抛物线顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：；
（2）解：∵二次函数，，对称轴，
∴在内离对称轴越远的点，函数值越小：
∵，
∴当时，取值最小值，
∴
解得：，
此时函数为．
（3）解：∵二次函数，，对称轴，
∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为．
恒有，则有，
∴，
∵，
，
解得，
∵，
∴且，
∴．
24．如图，在正方形中，E是上一点，延长使，连接，，，过点A作，交于点G．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴点是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴
（3）解：连接，
∵，，，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
在中，，即，
解得（舍去），
即
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和已知条件，通过全等三角形的判定可证明，从而可得到；
（2）利用第（1）问的全等结论，证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和斜边中线的性质，以及三角形的外角性质可得到；
（3）通过作辅助线，证明，推出是等边三角形，然后设未知数，，利用勾股定理求得，解方程即可求解．
（1）证明：∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴点是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵，，，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
在中，，即，
解得（舍去），
即．
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