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浙江省绍兴市新昌县潜溪中学2025-2026学年九年级下册质检数学试卷（3月）
1．若|a|=-a，则a是（　　）
A．0 B．正数 C．负数 D．负数或0
2．如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（　　）
A． B． C． D．
3．2024年前三季度，郑州市的地区生产总值（GDP）达到了10702.7亿元.数据“10702.7亿”用科学记数法表示为（　　）
A．1.07027×1011 B．1.07027×1012
C．1.07027×1013 D．10.7027×1012
4．下列计算正确的是（　　）
A．（x-2）2=x2-4 B．（-4x9）÷（-2x3）=2x3
C．a4-2a4=-a4 D．（6a3-4a2+2a）÷2a=3a2-2a
5．2023年央视兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿.舞者上半身AB长为m，下半身BC长为n，下半身与水平面夹角为θ（60°＜θ＜90°），与上半身AB夹角为120度（即∠ABC=120°）如图2，则此时舞者的铅直高度AD的长为（　　）
A． B．nsinθ+msin（θ-60°）
C．ncosθ+msin（θ+60°） D．nsinθ+mcos（θ-60°）
6．下列说法中，正确的有（　　）
①三角形是边的数量最少的多边形；
②等边三角形和长方形都是正多边形；
③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角；
④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．《算法统宗》书中原文为：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各有几个？设甜果x个，苦果y个，列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，Rt△ABC中，∠A=30°，∠ABC=90°，将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在反比例函数的图象上，若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
10．如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC，过F作FH⊥BE，交AB于G，过H作HM⊥AB于M，若AB=9，AE=3，则下列结论中：①∠BGF=∠CFB；②；③；④.其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
11．下列各式能用平方差公式分解因式的有　 　 （填序号）.
①x2+y2；②x2-y2；③-x2+y2；④-x2-y2；⑤；⑥x2-4.
12．小刚抛一枚硬币，抛了10次，其中7次正面朝上，3次反面朝上，则小刚第11次抛硬币正面朝上的概率是　 　．
13．化简：　 　 ．
14．如图，已知扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，AC⊥AO，OC交于点D，且D为OC的中点，过点D作DE⊥OB，交OB于点E，则图中阴影部分的面积是　 　.
15．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F.其中结论正确的是　 　 .（填序号）
①∠AFC=120°；②若AB=2AE，则CE⊥AB；③CD+AE=AC；④S△AEF：S△FDC=AF：FC.
16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=9，点D是BC边上的一点，且BD=3，点E是AB边上一个动点，连接DE.现以DE为一边在右侧作等边△EFD，连接CF.
⑴当点E与点B重合时，CF=　 　.
⑵在点E运动过程中，线段CF的最小值为　 　.
17．计算：.
18．如果一元一次不等式组无解，求m的取值范围.
19．2022版《义务教育新课程标准》指出，从2022年秋季开始，劳动课成为中小学的一门独立课程，标准还指出“小学1至2年级不少于2小时，其他年级不少于3小时”.某初中学校为了解本校学生每周劳动时长，组织数学社团按下列步骤来开展统计活动.
（一）、确定调查对象
有以下三种调查方案供参考：
方案一：从七年级抽取70名学生，进行每周劳动时长调查；
方案二：从七年级、八年级中各随机抽取70名学生，进行每周劳动时长调查；
方案三：从全校1600名学生中随机抽取200名学生，进行每周劳动时长调查.
（二）、收集整理数据
按照标准，学生每周劳动时长分为A、B、C、D四个类别，数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图.
抽取的学生每周劳动时长统计表
等级确定 A B C D
劳动时长/小时 n≥5 4≤n＜5 3≤n＜4 n＜3
人数 a 60 32 b
（三）、分析数据，解答问题
（1）一中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是　 　；
（2）统计表中的a=　 　，b=　 　；
（3）请估算该校学生中，每周劳动时长“不符合课程要求”的人数.
20．如图，某数学展厅的入口设计，∠ACB＝90°，AC＝4m，AB＝5m，以△ABC的各边为边向外构造正方形ACED，正方形CBGF，正方形ABHM，在点D，G处按竖直方向悬挂霓虹灯管DN，GP，且DN＝GP．
（1）求灯管DN，GP之间的距离．
（2）求点N，P离水平地面MH的高度差．
21．为给人们的生活带来方便，共享单车的租赁在我市正方兴未艾.图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=35cm，DF=24cm，AF=30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°.（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离（结果保留整数）.
22．共享电动车是一种新理念下的交通工具：
主要面向3～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2.
（1）当x= 　 　分钟时A，B两种品牌收费相同，此时收费　 　元；
（2）求骑行B品牌共享电动车超过10min后的函数表达式；
（3）请求出A，B两种品牌收费相差1元时x的值.
23．已知二次函数y=ax2-4ax+5，其中a≠0.
（1）写出该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过P（x1，y1），Q（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求2x1+x2的值；
（3）若a=-1，当m≤x≤m+2时，该二次函数的最大值和最小值的差为3，求m的值.
24． 如图， 四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 且∠C=2∠A.
（1）求∠A的度数.
（2）若⊙O的半径为5.
①如图2， 连结BD， 求BD的长.
②如图3， 连结CA， 若CA平分∠BCD， 求BC+CD 的最大值.
（3）如图4，若AC是⊙O的直径，直接写出线段AB，BC，CD之间的等量关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，即a是负数或零，
故选：D．
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意知，A中主视图与左视图不相同，符合要求；
B、C、D中主视图与左视图相同，不符合要求；
故答案为：A．
【分析】利用从前面看和从左边看到图形判断即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿用科学记数法表示为．
故选：B．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，n为小数点向左移动位数，据此解答即可．
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据完全平方公式，单项式除以单项式，合并同类项，多项式除以单项式的运算法则逐项判断解答．
5．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点B作于点E，作于点F，如图所示：
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
故选：B．
【分析】过点B作于点E，作于点F，先得到为矩形，得出，，求出，在Rt△BCE和Rt△ABF中根据正弦的定义求出BE和AF，然后根据线段的和差解答即可．
6．【答案】C
【知识点】多边形的对角线；正多边形的概念；多边形的概念与分类；多边形的边
【解析】【解答】解：①∵多边形是由至少3条线段首尾顺次围成的封闭图形，
∴三角形是边数最少的多边形，①正确；
②∵正多边形的定义是各边相等、各内角也相等的多边形，长方形四条边不都相等，不是正多边形，
∴②错误；
③∵根据多边形的性质，n边形有n条边、n个顶点、n个内角，
∴③正确.
④∵六边形边数，从一个顶点出发的对角线条数为，所有对角线总条数为，
∴④正确.
综上，正确的说法共有3个，
故答案为：C.
【分析】根据多边形、正多边形的定义、多边形的对角线的条数逐项判断解答即可．
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甜果x个，苦果y个，则一个甜果为文，一个苦果为文，根据题意，
得.
故选：A.
【分析】 设甜果x个，苦果y个， 再根据“ 九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个 ”列方程组解答.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由旋转得：，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴由勾股定理得，，
∴，
∵与同高，
∴与的面积之比为．
故选：D．
【分析】根据旋转可得，，即可得到是等边三角形，进而得到，设，根据勾股定理求出，，然后根据同高的两三角形的面积比等于相似比解答即可．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数为，其中，
∵，
∴，
∴，
∴反比例函数图象在第二、四象限，
∵，
∴点在第二象限，，
∵，
∴点和点在第四象限，
∴，，
∵在第四象限内，随着的增大而增大，
∴，
∴，即，
故选：D．
【分析】根据k=-a2-3<0得到反比例函数图象位于二、四象限，在每一象限内y随x的增大而减小解答即可.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
在和中，
，
，
，
，
，
①正确．
延长到，使，连接，如图：
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
即，
②正确．
连接，
，，
，
．
，
．
设，则，
，
．
，
，即．
∴③正确
，
，
，
．
．
故．
④正确．
正确的结论为①②④．
故选：B．
【分析】利用正方形的性质，得到、、、四点共圆，即可得到，然后根据SAS得到，进而得到判断①；延长到，使，连接，根据SAS得到，得出，，进而得到是等腰直角三角形，根据勾股定理得出判断②；连接，根据勾股定理得到，求出BH长判断③；根据正弦的定义求出HM的值判断④解答即可．
11．【答案】②③⑤⑥
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：多项式为二项式，两项均可写成某个整式的平方，且两项符号相反，
①，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式；
②，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式；
③，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式；
④，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式；
⑤，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式；
⑥，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式．
故答案为：②③⑤⑥.
【分析】根据平方差公式分解因式的条件“多项式为二项式，两项均可写成某个整式的平方，且两项符号相反”判断即可．
12．【答案】
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：抛一枚硬币，正面朝上与反面朝上出现的可能性相同，
其概率是这个事件本身属性，与抛掷次数无关，
故正面朝上的概率为，
故答案为：．
【分析】根据抛概率的意义解答即可．
13．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据同分母的加减法进行化简即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意可知，，
为的中点，
，
在中，，，则，
，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
在中，，，，则，
由勾股定理可得，
图中阴影部分的面积
，
故答案为：.
【分析】在中，根据余弦的定义求出∠AOC的度数，进而得到∠BOD的度数，再在和中，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AC和OE长，再根据阴影部分的面积解答即可．
15．【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①在中，，
，
∵平分，平分，
，，
，故①正确；
②如图，延长至G，使，连接，
，
，
，
，
，，
为角平分线，
，
，
，
，
，故②正确；
③如图，作作的平分线交于点G，
由①得：，
，
，
，
，，
，，
，，
，故③正确；
④过G作，于点G，H，
由④知，为的角平分线，
，
，
，，
，故④正确．
综上所述：正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠AFC判断①；延长至G，使，连接，根据SAS得到，即可得到，利用三线合一判断②；作的平分线交于点G，可得，根据ASA得到，，即可得到，判断③；过G作，于点G，H，由③知，为的角平分线，即可得到，进而得到，根据，判断④解答即可．
16．【答案】；6
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】
解：（1）如图，当点E与点B重合时，为等边三角形，，作，交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
（2）如图，以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点，
∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
由垂线段最短可得，当点与点重合时，最小，即最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：6.
【分析】（1）当点E与点B重合时，为等边三角形，作于点，根据等边三角形的性质可得，，然后根据勾股定理解答即可；
（2）以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点，根据SAS得到，即可得到，当最小时，最小，根据垂线段最短得到，当点与点重合时，最小，即最小，然后推理得到四边形为矩形，即可得到结论．
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，然后运算乘法，再运算加减解答即可.
18．【答案】解：由，得：，
∵一元一次不等式组无解，
∴．
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】解第一个不等式求出解集，再根据不等式组无解得到关于m的不等式解答即可.
19．【答案】（1）方案三
（2）28；80
（3）解：，
答：估计该校学生中，每周劳动时长“不符合课程要求”的有640人．
【知识点】统计表；扇形统计图；收集数据的过程与方法；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）从全校1600名学生中随机抽取200名学生，进行每周劳动时长调查是最具有代表性和广泛性的抽样调查的方案，
故答案为：方案三．
（2）解：D等级人数为，
．
故答案为：28、80；
【分析】（1）根据抽取样本的随机性解答即可；
（2）总人数乘以D等级圆心角度数的占比求出b的值，再用总人数减去其它各组的人数可得a的人数；
（3）运用总人数乘以D等级人数的占比解答即可．
20．【答案】（1）解：分别过点D，C，G作AB的垂线，垂足分别为R，S，T．
在正方形ACED中，AD＝AC，∠DAC＝90°．
由DR⊥AB，CS⊥AB，得∠CAS＝∠ADR，∠CSA＝∠ARD，
∴△CAS≌△ADR，
∴AR＝CS，DR＝AS．
同理GT＝BS，BT＝CS．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得．
∴灯管DN，GP之间的距离．
（2）解：∵DN＝GP，∴点N，P离水平地面MH的高度差＝点D，G离水平地面MH的高度差＝DR－GT＝AS－BS．
在Rt△ACS中，．
∴点N，P离水平地面MH的高度差．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）分别过点D，C，G作AB的垂线，垂足分别为R，S，T，结合已知用角角边可证△CAS≌△ADR，由全等三角形的性质得AR＝CS，DR＝AS；同理可得GT＝BS，BT＝CS，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的值，再用面积法求出CS的值，然后根据线段的构成灯管DN，GP之间的距离=AR+AB+BT=CS+AB+CS可求解；
（2）由DN=GP可得点N，P离水平地面MH的高度差＝点D，G离水平地面MH的高度差＝DR－GT＝AS－BS，在Rt△ACS中，用勾股定理求出AS的值，由线段的构成BS=AB-AS求出BS的值，再根据线段的构成点N，P离水平地面MH的高度差=AS-BS可求解.
21．【答案】（1）解：在Rt△ADF中，
由勾股定理得；
（2）解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．
AE=AD+CD+EC=18+35+15=68（cm），
在Rt△AEM中，
∵sin∠EAM=，
∴EM=sin∠EAM AE
=sin75°×68
≈0.97×68
=65.96
≈66（cm）．
答：点E到AB的距离为66cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）在中，根据勾股定理解答即可；
（2）过点E作EM⊥AB，垂足为M，先求得，在中，根据正弦的定义求出EM即可解答.
22．【答案】（1）20；8
（2）解：设骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式为，
点，在该函数图象上，
，，
解得，，
即骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式为；
（3）解：由图像可得：
品牌电动车每分钟收费为：（元），
由题意可得：
或，
解得或，
即，两种品牌收费相差元时的值为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图像得：当分钟时，
，两种品牌收费相同，此时收费元；
故答案为：，．
【分析】（1）根据两图象的交点坐标解答即可；
（2）利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（3）先求出品牌电动车每分钟收费标准，然后分两种情况，根据收费差列方程求出x的值解答即可．
23．【答案】（1）解：对称轴为直线；
（2）解：，整理得，，
∵无论取任意非零实数，该二次函数图象都经过两个定点，
令，解得；
代入得，，；即，；
∴.
（3）解：若，则，其顶点为，对称轴为，
分情况讨论：
当时，即时，此时函数的最大值为，
最小值为；由题意得，
，
解得，但，故舍去．
当时，即时，此时函数的最大值为9，
最小值为或．
若最小值为，则，
解得；
，
若最小值为，则，
解得；
．
当时，此时函数的最大值为，
最小值为，由题意得，，
解得，但，故舍去．
综上分析，的值为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据抛物线对称轴公式解答即可；
（2）将原函数化为顶点式，根据过定点可得，求出x的值，代入计算即可；
（3）根据二次函数的解析式得到顶点为，对称轴为，然后分为，，三种情况，根据二次函数的增减性求出最大值和最小值，列方程求出m的值解答即可．
24．【答案】（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，，作于点E，
则，，
∴，
∴，
∴，
由垂径定理，得，
∴；
②连接，延长至点F，使得，则，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
由①，得，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上，
∴当为所在圆直径时，的长最大，
此时，
∴，
∴，
∴，
∴，即为最大值，
∴的最大值为10；
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；定角定弦辅助圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（3）如图，延长，，交于点G，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求解即可；
（2）①利用圆周角定理，求出，再利用特殊角求解即可；
②利用60°角构造等边三角形， 将转化为相等的线段长，再利用定弦定角，找到这条相等线段的最大值即可；
（3）延长，，构造直角三角形，利用60°，30°角，找到线段之间的联系即可．
1 / 1浙江省绍兴市新昌县潜溪中学2025-2026学年九年级下册质检数学试卷（3月）
1．若|a|=-a，则a是（　　）
A．0 B．正数 C．负数 D．负数或0
【答案】D
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，即a是负数或零，
故选：D．
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
2．如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意知，A中主视图与左视图不相同，符合要求；
B、C、D中主视图与左视图相同，不符合要求；
故答案为：A．
【分析】利用从前面看和从左边看到图形判断即可．
3．2024年前三季度，郑州市的地区生产总值（GDP）达到了10702.7亿元.数据“10702.7亿”用科学记数法表示为（　　）
A．1.07027×1011 B．1.07027×1012
C．1.07027×1013 D．10.7027×1012
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿用科学记数法表示为．
故选：B．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，n为小数点向左移动位数，据此解答即可．
4．下列计算正确的是（　　）
A．（x-2）2=x2-4 B．（-4x9）÷（-2x3）=2x3
C．a4-2a4=-a4 D．（6a3-4a2+2a）÷2a=3a2-2a
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据完全平方公式，单项式除以单项式，合并同类项，多项式除以单项式的运算法则逐项判断解答．
5．2023年央视兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿.舞者上半身AB长为m，下半身BC长为n，下半身与水平面夹角为θ（60°＜θ＜90°），与上半身AB夹角为120度（即∠ABC=120°）如图2，则此时舞者的铅直高度AD的长为（　　）
A． B．nsinθ+msin（θ-60°）
C．ncosθ+msin（θ+60°） D．nsinθ+mcos（θ-60°）
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点B作于点E，作于点F，如图所示：
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
故选：B．
【分析】过点B作于点E，作于点F，先得到为矩形，得出，，求出，在Rt△BCE和Rt△ABF中根据正弦的定义求出BE和AF，然后根据线段的和差解答即可．
6．下列说法中，正确的有（　　）
①三角形是边的数量最少的多边形；
②等边三角形和长方形都是正多边形；
③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角；
④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】多边形的对角线；正多边形的概念；多边形的概念与分类；多边形的边
【解析】【解答】解：①∵多边形是由至少3条线段首尾顺次围成的封闭图形，
∴三角形是边数最少的多边形，①正确；
②∵正多边形的定义是各边相等、各内角也相等的多边形，长方形四条边不都相等，不是正多边形，
∴②错误；
③∵根据多边形的性质，n边形有n条边、n个顶点、n个内角，
∴③正确.
④∵六边形边数，从一个顶点出发的对角线条数为，所有对角线总条数为，
∴④正确.
综上，正确的说法共有3个，
故答案为：C.
【分析】根据多边形、正多边形的定义、多边形的对角线的条数逐项判断解答即可．
7．《算法统宗》书中原文为：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各有几个？设甜果x个，苦果y个，列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甜果x个，苦果y个，则一个甜果为文，一个苦果为文，根据题意，
得.
故选：A.
【分析】 设甜果x个，苦果y个， 再根据“ 九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个 ”列方程组解答.
8．如图，Rt△ABC中，∠A=30°，∠ABC=90°，将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由旋转得：，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴由勾股定理得，，
∴，
∵与同高，
∴与的面积之比为．
故选：D．
【分析】根据旋转可得，，即可得到是等边三角形，进而得到，设，根据勾股定理求出，，然后根据同高的两三角形的面积比等于相似比解答即可．
9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在反比例函数的图象上，若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数为，其中，
∵，
∴，
∴，
∴反比例函数图象在第二、四象限，
∵，
∴点在第二象限，，
∵，
∴点和点在第四象限，
∴，，
∵在第四象限内，随着的增大而增大，
∴，
∴，即，
故选：D．
【分析】根据k=-a2-3<0得到反比例函数图象位于二、四象限，在每一象限内y随x的增大而减小解答即可.
10．如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC，过F作FH⊥BE，交AB于G，过H作HM⊥AB于M，若AB=9，AE=3，则下列结论中：①∠BGF=∠CFB；②；③；④.其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
在和中，
，
，
，
，
，
①正确．
延长到，使，连接，如图：
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
即，
②正确．
连接，
，，
，
．
，
．
设，则，
，
．
，
，即．
∴③正确
，
，
，
．
．
故．
④正确．
正确的结论为①②④．
故选：B．
【分析】利用正方形的性质，得到、、、四点共圆，即可得到，然后根据SAS得到，进而得到判断①；延长到，使，连接，根据SAS得到，得出，，进而得到是等腰直角三角形，根据勾股定理得出判断②；连接，根据勾股定理得到，求出BH长判断③；根据正弦的定义求出HM的值判断④解答即可．
11．下列各式能用平方差公式分解因式的有　 　 （填序号）.
①x2+y2；②x2-y2；③-x2+y2；④-x2-y2；⑤；⑥x2-4.
【答案】②③⑤⑥
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：多项式为二项式，两项均可写成某个整式的平方，且两项符号相反，
①，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式；
②，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式；
③，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式；
④，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式；
⑤，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式；
⑥，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式．
故答案为：②③⑤⑥.
【分析】根据平方差公式分解因式的条件“多项式为二项式，两项均可写成某个整式的平方，且两项符号相反”判断即可．
12．小刚抛一枚硬币，抛了10次，其中7次正面朝上，3次反面朝上，则小刚第11次抛硬币正面朝上的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：抛一枚硬币，正面朝上与反面朝上出现的可能性相同，
其概率是这个事件本身属性，与抛掷次数无关，
故正面朝上的概率为，
故答案为：．
【分析】根据抛概率的意义解答即可．
13．化简：　 　 ．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据同分母的加减法进行化简即可求出答案.
14．如图，已知扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，AC⊥AO，OC交于点D，且D为OC的中点，过点D作DE⊥OB，交OB于点E，则图中阴影部分的面积是　 　.
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意可知，，
为的中点，
，
在中，，，则，
，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
在中，，，，则，
由勾股定理可得，
图中阴影部分的面积
，
故答案为：.
【分析】在中，根据余弦的定义求出∠AOC的度数，进而得到∠BOD的度数，再在和中，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AC和OE长，再根据阴影部分的面积解答即可．
15．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F.其中结论正确的是　 　 .（填序号）
①∠AFC=120°；②若AB=2AE，则CE⊥AB；③CD+AE=AC；④S△AEF：S△FDC=AF：FC.
【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①在中，，
，
∵平分，平分，
，，
，故①正确；
②如图，延长至G，使，连接，
，
，
，
，
，，
为角平分线，
，
，
，
，
，故②正确；
③如图，作作的平分线交于点G，
由①得：，
，
，
，
，，
，，
，，
，故③正确；
④过G作，于点G，H，
由④知，为的角平分线，
，
，
，，
，故④正确．
综上所述：正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠AFC判断①；延长至G，使，连接，根据SAS得到，即可得到，利用三线合一判断②；作的平分线交于点G，可得，根据ASA得到，，即可得到，判断③；过G作，于点G，H，由③知，为的角平分线，即可得到，进而得到，根据，判断④解答即可．
16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=9，点D是BC边上的一点，且BD=3，点E是AB边上一个动点，连接DE.现以DE为一边在右侧作等边△EFD，连接CF.
⑴当点E与点B重合时，CF=　 　.
⑵在点E运动过程中，线段CF的最小值为　 　.
【答案】；6
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】
解：（1）如图，当点E与点B重合时，为等边三角形，，作，交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
（2）如图，以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点，
∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
由垂线段最短可得，当点与点重合时，最小，即最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：6.
【分析】（1）当点E与点B重合时，为等边三角形，作于点，根据等边三角形的性质可得，，然后根据勾股定理解答即可；
（2）以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点，根据SAS得到，即可得到，当最小时，最小，根据垂线段最短得到，当点与点重合时，最小，即最小，然后推理得到四边形为矩形，即可得到结论．
17．计算：.
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，然后运算乘法，再运算加减解答即可.
18．如果一元一次不等式组无解，求m的取值范围.
【答案】解：由，得：，
∵一元一次不等式组无解，
∴．
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】解第一个不等式求出解集，再根据不等式组无解得到关于m的不等式解答即可.
19．2022版《义务教育新课程标准》指出，从2022年秋季开始，劳动课成为中小学的一门独立课程，标准还指出“小学1至2年级不少于2小时，其他年级不少于3小时”.某初中学校为了解本校学生每周劳动时长，组织数学社团按下列步骤来开展统计活动.
（一）、确定调查对象
有以下三种调查方案供参考：
方案一：从七年级抽取70名学生，进行每周劳动时长调查；
方案二：从七年级、八年级中各随机抽取70名学生，进行每周劳动时长调查；
方案三：从全校1600名学生中随机抽取200名学生，进行每周劳动时长调查.
（二）、收集整理数据
按照标准，学生每周劳动时长分为A、B、C、D四个类别，数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图.
抽取的学生每周劳动时长统计表
等级确定 A B C D
劳动时长/小时 n≥5 4≤n＜5 3≤n＜4 n＜3
人数 a 60 32 b
（三）、分析数据，解答问题
（1）一中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是　 　；
（2）统计表中的a=　 　，b=　 　；
（3）请估算该校学生中，每周劳动时长“不符合课程要求”的人数.
【答案】（1）方案三
（2）28；80
（3）解：，
答：估计该校学生中，每周劳动时长“不符合课程要求”的有640人．
【知识点】统计表；扇形统计图；收集数据的过程与方法；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）从全校1600名学生中随机抽取200名学生，进行每周劳动时长调查是最具有代表性和广泛性的抽样调查的方案，
故答案为：方案三．
（2）解：D等级人数为，
．
故答案为：28、80；
【分析】（1）根据抽取样本的随机性解答即可；
（2）总人数乘以D等级圆心角度数的占比求出b的值，再用总人数减去其它各组的人数可得a的人数；
（3）运用总人数乘以D等级人数的占比解答即可．
20．如图，某数学展厅的入口设计，∠ACB＝90°，AC＝4m，AB＝5m，以△ABC的各边为边向外构造正方形ACED，正方形CBGF，正方形ABHM，在点D，G处按竖直方向悬挂霓虹灯管DN，GP，且DN＝GP．
（1）求灯管DN，GP之间的距离．
（2）求点N，P离水平地面MH的高度差．
【答案】（1）解：分别过点D，C，G作AB的垂线，垂足分别为R，S，T．
在正方形ACED中，AD＝AC，∠DAC＝90°．
由DR⊥AB，CS⊥AB，得∠CAS＝∠ADR，∠CSA＝∠ARD，
∴△CAS≌△ADR，
∴AR＝CS，DR＝AS．
同理GT＝BS，BT＝CS．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得．
∴灯管DN，GP之间的距离．
（2）解：∵DN＝GP，∴点N，P离水平地面MH的高度差＝点D，G离水平地面MH的高度差＝DR－GT＝AS－BS．
在Rt△ACS中，．
∴点N，P离水平地面MH的高度差．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）分别过点D，C，G作AB的垂线，垂足分别为R，S，T，结合已知用角角边可证△CAS≌△ADR，由全等三角形的性质得AR＝CS，DR＝AS；同理可得GT＝BS，BT＝CS，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的值，再用面积法求出CS的值，然后根据线段的构成灯管DN，GP之间的距离=AR+AB+BT=CS+AB+CS可求解；
（2）由DN=GP可得点N，P离水平地面MH的高度差＝点D，G离水平地面MH的高度差＝DR－GT＝AS－BS，在Rt△ACS中，用勾股定理求出AS的值，由线段的构成BS=AB-AS求出BS的值，再根据线段的构成点N，P离水平地面MH的高度差=AS-BS可求解.
21．为给人们的生活带来方便，共享单车的租赁在我市正方兴未艾.图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=35cm，DF=24cm，AF=30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°.（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离（结果保留整数）.
【答案】（1）解：在Rt△ADF中，
由勾股定理得；
（2）解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．
AE=AD+CD+EC=18+35+15=68（cm），
在Rt△AEM中，
∵sin∠EAM=，
∴EM=sin∠EAM AE
=sin75°×68
≈0.97×68
=65.96
≈66（cm）．
答：点E到AB的距离为66cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）在中，根据勾股定理解答即可；
（2）过点E作EM⊥AB，垂足为M，先求得，在中，根据正弦的定义求出EM即可解答.
22．共享电动车是一种新理念下的交通工具：
主要面向3～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2.
（1）当x= 　 　分钟时A，B两种品牌收费相同，此时收费　 　元；
（2）求骑行B品牌共享电动车超过10min后的函数表达式；
（3）请求出A，B两种品牌收费相差1元时x的值.
【答案】（1）20；8
（2）解：设骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式为，
点，在该函数图象上，
，，
解得，，
即骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式为；
（3）解：由图像可得：
品牌电动车每分钟收费为：（元），
由题意可得：
或，
解得或，
即，两种品牌收费相差元时的值为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图像得：当分钟时，
，两种品牌收费相同，此时收费元；
故答案为：，．
【分析】（1）根据两图象的交点坐标解答即可；
（2）利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（3）先求出品牌电动车每分钟收费标准，然后分两种情况，根据收费差列方程求出x的值解答即可．
23．已知二次函数y=ax2-4ax+5，其中a≠0.
（1）写出该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过P（x1，y1），Q（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求2x1+x2的值；
（3）若a=-1，当m≤x≤m+2时，该二次函数的最大值和最小值的差为3，求m的值.
【答案】（1）解：对称轴为直线；
（2）解：，整理得，，
∵无论取任意非零实数，该二次函数图象都经过两个定点，
令，解得；
代入得，，；即，；
∴.
（3）解：若，则，其顶点为，对称轴为，
分情况讨论：
当时，即时，此时函数的最大值为，
最小值为；由题意得，
，
解得，但，故舍去．
当时，即时，此时函数的最大值为9，
最小值为或．
若最小值为，则，
解得；
，
若最小值为，则，
解得；
．
当时，此时函数的最大值为，
最小值为，由题意得，，
解得，但，故舍去．
综上分析，的值为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据抛物线对称轴公式解答即可；
（2）将原函数化为顶点式，根据过定点可得，求出x的值，代入计算即可；
（3）根据二次函数的解析式得到顶点为，对称轴为，然后分为，，三种情况，根据二次函数的增减性求出最大值和最小值，列方程求出m的值解答即可．
24． 如图， 四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 且∠C=2∠A.
（1）求∠A的度数.
（2）若⊙O的半径为5.
①如图2， 连结BD， 求BD的长.
②如图3， 连结CA， 若CA平分∠BCD， 求BC+CD 的最大值.
（3）如图4，若AC是⊙O的直径，直接写出线段AB，BC，CD之间的等量关系.
【答案】（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，，作于点E，
则，，
∴，
∴，
∴，
由垂径定理，得，
∴；
②连接，延长至点F，使得，则，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
由①，得，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上，
∴当为所在圆直径时，的长最大，
此时，
∴，
∴，
∴，
∴，即为最大值，
∴的最大值为10；
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；定角定弦辅助圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（3）如图，延长，，交于点G，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求解即可；
（2）①利用圆周角定理，求出，再利用特殊角求解即可；
②利用60°角构造等边三角形， 将转化为相等的线段长，再利用定弦定角，找到这条相等线段的最大值即可；
（3）延长，，构造直角三角形，利用60°，30°角，找到线段之间的联系即可．
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