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浙江省金华丽泽教育集团2025-2026学年第二学期3月独立作业八年级数学试题卷
1．若代数式 有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x>-3 B．x<-3 C．x≠-3 D．x≥-3
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
3． 下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．若2a=3b，则下列比例式正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．将方程 配方后，原方程变形为(　　)
A． B． C．(x-3)2=9 D．
6．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A．AB=CD， AD=BC B．OA=OC， OB=OD
C．∠ABC=∠ADC， AB∥CD D．∠ABC=∠ADC， AB=CD
7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1， l2， l3于点A， B， C，直线DF分别交l1， l2，l3于点 D， E， F.若 则 的值为(　　)
A． B． C． D．
8．近年来，全国各地旅游的人数逐年增多.据统计，某地2023年“五一”假期期间，接待游客15万人次，2025年增长至46万人次.设这两年“五一”假期该地接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程(　　)
A．15 (1+2x) =46 B．
C．46(1-x)2=15 D．15 (1+x) +15 (1+x)2=46
9．若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围为(　　)
A． B．
C．且k≠0 D．且k≠0
10．如图，在 ABCD中， ∠D=5∠CAB，在AC上取点P，使PC=BC，连接BP，过点 P作EF⊥CD交AB， CD分别于点E， F.已知BE=2， AE=x， BP=y，当x， y发生变化时，下列代数式值不变的是(　　)
A．x+y B．x-y C．xy D．
11．已知 ，则 的值是　 　．
12．一个多边形的内角和为540°，则这个多边形有　 　条边.
13．平行四边形ABCD中， ∠A与∠B的度数之比是1： 3，则∠D=　 　°.
14．如图，测量小玻璃管口径的量△ABC，AB的长为10cm，AC 被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是　 　 cm.
15．定义新运算： 例如： =1.若 则x的值为　 　.
16．如图，有一张平行四边形纸条ABCD， AD=5cm， AB=2cm， ∠A=120°，点E， F分别在边AD，BC上，DE=1cm.现将四边形CFED沿EF折叠，使点C，D分别落在点C'，D'上.当点C'恰好落在边AD上时，如图2，线段CF的长为　 　 cm.在点F从点B运动到点C的过程中，若边 FC与边AD交于点 M，则点 M相应运动的路径长为　 　.
17．计算：
（1）
（2）
18．解方程：
（1）x(x-3) =0；
（2）
19．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽AB.如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走40m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A， C， E恰好在一条直线上，量得DE=30m.
（1）求证： △ABC∽△EDC.
（2）求河宽AB的长.
20．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点(网格线的交点)A， B， C的坐标分别为(2， 6) ， (5， 1) ， (1， 2) .
（1）请画出△ABC关于原点O 对称的△A' B' C' ；
（2） △A' B' C'的面积为　 　；
（3）在所给的网格图中确定一个格点 P，使得∠BCP=∠A，且CP与AB交于点 Q，画出线段CP 及点Q，此时点 P 的坐标为 .
21．如图，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连结AE并延长，与 DC的延长线交于 F.
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若AF平分∠BAD， ∠D=60°， AD=8，求 ABCD的周长.
22．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元.天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱.针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：
（1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利　 　元.
（2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元
（3）该超市售卖这种饮料的总利润能达到15000元吗 若能，每箱应降价多少元；若不能，请说明理由.
23．
（1）【证明体验】
如图1， AD为△ABC的角平分线， ∠ADC=60°，点E在AB上， AE=AC.求证：DE=CD.
（2）【思考探究】
如图2，在(1)的条件下， F为AB上一点，连结FC交AD于点G.若FB=FC，DG=2， CD=3，求BD的长.
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD， ∠BCA=2∠DCA，点E在AC上， ∠EDC=∠ABC.若 求AC的长.
24．如图，在 ABCD中， ∠BAC=90°， ∠B=60°， AB=6.动点P从点A出发沿AD以每秒2个单位的速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿射线 CB运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点 P运动的时间为t秒.
（1）用含t的代数式表示AP=　 　； CQ=　 　；
（2）当PQ⊥BC时，求t的值；
（3）请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，
解得：
故答案为：D .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B：是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180°后能与自身重合，这个图形是中心对称图形分别判断即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法直接相减，则本项不符合题意；
B、则本项不符合题意；
C、则本项符合题意；
D、则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式减法法则和乘法法则计算即可.
4．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： A、由 得3a=2b，故本选项错误，不符合题意；
B、由得2a=3b，故本选项正确，符合题意；
C、由 得3a=2b，故本选项错误，不符合题意；
D、由 得3a=2b，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：A .
【分析】先移项，然后加上一次项系数一般的平方，把左边化为完全平方公式，然后逐项判断解答即可.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、若.AB=CD，AD=BC，能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、若(OA=OC，OB=OD，能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意；
，
∴四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、若. 不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可.
7．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：
.
故答案为：D .
【分析】利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可.
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：B .
【分析】利用2025年“五一”假期该县接待旅游人次=2023年“五一”假期该县接待旅游人次这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意列出方程组 ，
解得 且k≠0.
故答案为：D .
【分析】根据一元二次方程根的情况得到二次项系数不为零，且在有两个实数根下必须满足 ，据此解答即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设 则
∵四边形ABCD是平行四边形，
在 中，
如图，在AE上取QE=BE=2，连接PQ，
∵EF⊥CD， AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴EF是QB的垂直平分线，
∴PQ=PB，
∴∠PQB=∠PBQ=2α，
∴∠QPA=∠PQB-∠CAB=2α-α=α，
∴∠QPA=∠CAB=α，
∴AQ=QP=BP=y，
∵AE=x，
∴AE-AQ=QE=2，即x-y=2，
∴x， y发生变化时， x-y不变.
故答案为：B .
【分析】设再依次求出 ，由此想到在AE上取QE=BE=2，连接PQ，推出QA=QP=BP=y，进而可利用线段间的和差关系解决问题.
11．【答案】
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】∵ ，
∴设a=2k，则b=3k，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据比例的性质，可以设a=2k，则b=3k，然后将a，b的值代入代数式，按分式的混合运算法则即可算出答案。
12．【答案】5
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则
解得n=5，
故答案为：5.
【分析】根据n边形的内角和公式为( 由此列方程求n.
13．【答案】135
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
设 则
列方程得
解得
故答案为：135 .
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，即可得到∠A+∠B=180°，再根据比值求出∠B的度数，再根据平行四边形的对角相等解答即可.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
∴小玻璃管口径DE是cm.
故答案为： .
【分析】根据平行得到△CDE∽△CAB，再根据对应边成比例解答即可.
15．【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可知，
当x≤0时，
得
又∵ x≤0，
当x>0时， 得
综上所述，x的值为 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】分为x≤0或x>0两种情况，根据新定义的运算法则得到方程，解方程求出x的值解答即可.
16．【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：当点C"恰好落在边AD上时，如图：
∵平行四边形纸条ABCD，
AD=5cm，AB=2cm，∠A=120°，
∴CD=AB=2cm，∠D=60°，∠BCD=120°，
AD∥BC，
∴∠CFE=∠C'EF，
∵折叠，
∴C'D'=CD=2cm，DE=D'E=1cm，
过点E作 于点G，
则：
厘米；
当点F与点B重合时，此时AM最短，如图：
∵
同(1)法可得： BM=ME，
设BM=ME=x， 则： C'M=BC'-BM=BC-BM=5-x，
在 中，即：
解得：
当点C"在AD上时，此时M与C"重合，AM最大，
由(1)可知
∴点M运动的路径长为 厘米.
故答案为：
【分析】当点C"恰好落在边AD上时，易得C'E=C'F=CF，过点E作 于点G，求出D'G，EG的长度，进而求出C'G的长度，勾股定理求出C'E的长度，即可得到CF的长；分别求出F与B重合时，AM的长，以及C'在AD上时，AM的长，作差即可得出点M相应运动的路径长.
17．【答案】（1）解：

（2）解：
=1+9
=10.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)根据乘法分配律计算，然后化简，再计算加法即可.
18．【答案】（1）解：x(x-3)=0，
x=0或x-3=0，
解得： ；

（2）解：
x+3=±
解答： .

【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）把二次方程降次得到x=0或x-3=0，求出x的值解答即可；
（2）先移项，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方的性质，然后直接开方解答即可.
19．【答案】（1）证明： ∵∠ABC=∠EDC=90°， ∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△EDC.
（2）解： ∵△ACB∽△DCE，
∵AC=40m， DC=20m， DE=30m，
∴AB=60m.
答：河宽AB为60m.
【知识点】相似三角形的实际应用；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等证明两三角形相似即可；
（2）利用相似三角形的对应边成比例进而求出即可.
20．【答案】（1）解：作图见解析；
（2）8.5
（3）解：作图见解析， P 的坐标为(6， 5).
【知识点】点的坐标；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；作图﹣中心对称；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）根据对称的性质可得， 即为所求作；
(2)解：
即 的面积为
故答案为：
(3)如图，线段CP及点Q即为所求作，点P的坐标为(6， 5).
故答案为： (6， 5).
【分析】(1)分别作出 关于原点O对称的对应点A'，B'，C'，再顺次连结得到
(2)利用割补法求解即可；
(3)由图形知 则 推出 是等腰直角三角形，得到 作正方形ACBP，连接CP交AB于点Q，则 ，写出点P的坐标即可.
21．【答案】（1）证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AE的延长线与DC的延长线交于F，
∴AB∥FC，
∴∠BAE=∠CFE，
在△AEB和△FEC中，
∴△AEB≌△FEC(AAS)，
∴AB=FC，
∴四边形ABFC是平行四边形.
（2）解： ∵四边形ABFC和四边形ABCD都是
平行四边形，
∴FC=AB=DC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵∠BAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠DFA，
∴FD=AD=8，
∴AB+BC+DC+AD=4+8+4+8=24，
∴ ABCD的周长为24.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由点E是BC边的中点，得BE=CE，由平行四边形的性质得 则 而 可根据“AAS”证明 得AB=FC，即可得到结论.
(2)由平行四边形的性质得 FC=AB=DC， 由∠ 推导出 则FD=AD=8， 所以BC=AD=8， 求得 的周长即可.
22．【答案】（1）100
（2）解：要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价x元，
依据题意列一元二次方程得，(120-x)(100+2x)=14400，
解得
∵要求每箱饮料获利大于80元，
答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元；
（3）解：不能达到，理由如下：
根据题意列一元二次方程得，(120-x)(100+2x)=15000，
整理得
∴方程无解，
答：每天销售饮料获利不能达到15000元.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：
故答案为： 14000；
【分析】（1）根据“ 每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱 ”计算即可；
（2）根据单利润×销售量=总利润列方程求出x的值，然后根据题意取舍根解答即可；
（3）根据题意列方程，利用的值判断方程根的情况解答即可.
23．【答案】（1）证明：因为AD平分
所以
因为AE=AC，AD=AD，
所以
所以 DE=DC；
（2）解：因为FB=FC，
所以
因为
所以
所以
因为
所以DE=DC=3。
因为DG=2，
所以 ；
（3）解：如图，在AB上取一点F，使得AF=AD，连接CF，
因为AC平分
所以
因为AC=AC，AF=AD，
所以
所以
因为
所以
因为
所以
所以
因为
所以CE=4。
因为
又因为
所以
又因为AD=2AE，
所以
所以AC=2AD=4AE，
所以

【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据SAS证明 进而即可得到结论。
(2)先证明 得 ，进而即可求解；
(3)在AB上取一点F，使得AF=AD，连结CF，可得 从而得 可得 最后证明 即可求解。
24．【答案】（1）2t；4t
（2）解：当PQ⊥BC时，如图1，作AF⊥BC于点F，
则AF∥PQ， ∠AFB=90°，
∵AP∥FQ，
∴四边形APQF是平行四边形，
∴AP=FQ，
∵∠BAF=90°-∠ABC=30°，
∴CF=CB-BF=12-3=9，
∴2t=9-4t，
解得
∴t的值是
（3）解：存在，
∵∠BAC=90°， ∠ABC=60°， AB=6，
∴∠ACB=90°-∠ABC=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB=2AB=12，
∵AP=2t，
∴当点P与点D重合时，则t=6；
∵CQ=4t，
∴当点Q与点B重合时，则4t=12，解得t=3，
∴当 时，BQ=12-4t；当 时， BQ=4t-12，
∴当AP=BQ时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，
当时，如图2，四边形APQB是平行四边形，
解得t=2；
当 时，如图3，四边形APBQ是平行四边形，
∵AP=BQ，
∴2t=4t-12，
解得t=6，
综上所述，t的值为2或6.
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解： (1)∵动点P从点A出发沿AD以2cm/s速度向终点D运动，
∴AP=2t，
∵ 点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿射线 CB运动，
∴CQ=4t，
故答案为：2t；4t；
【分析】(1)根据速度和时间计算即可；
(2)当PQ⊥BC时， 作AF⊥BC于点F， 则四边形APQF是平行四边形， 可求得∠BAF=30°，则BF=3， 所以CF=CB-BF=9， 由AP=FQ，得2t=9-4t， 可得出答案；
(3)由AP∥BQ， 可知当AP=BQ时， A， B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，再分两种情况讨论， 一是当0≤t<3时， 则2t=12-4t，求得t值； 二是当31 / 1浙江省金华丽泽教育集团2025-2026学年第二学期3月独立作业八年级数学试题卷
1．若代数式 有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x>-3 B．x<-3 C．x≠-3 D．x≥-3
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，
解得：
故答案为：D .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B：是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180°后能与自身重合，这个图形是中心对称图形分别判断即可得出答案.
3． 下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法直接相减，则本项不符合题意；
B、则本项不符合题意；
C、则本项符合题意；
D、则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式减法法则和乘法法则计算即可.
4．若2a=3b，则下列比例式正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： A、由 得3a=2b，故本选项错误，不符合题意；
B、由得2a=3b，故本选项正确，符合题意；
C、由 得3a=2b，故本选项错误，不符合题意；
D、由 得3a=2b，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.
5．将方程 配方后，原方程变形为(　　)
A． B． C．(x-3)2=9 D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：A .
【分析】先移项，然后加上一次项系数一般的平方，把左边化为完全平方公式，然后逐项判断解答即可.
6．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A．AB=CD， AD=BC B．OA=OC， OB=OD
C．∠ABC=∠ADC， AB∥CD D．∠ABC=∠ADC， AB=CD
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、若.AB=CD，AD=BC，能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、若(OA=OC，OB=OD，能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意；
，
∴四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、若. 不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可.
7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1， l2， l3于点A， B， C，直线DF分别交l1， l2，l3于点 D， E， F.若 则 的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：
.
故答案为：D .
【分析】利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可.
8．近年来，全国各地旅游的人数逐年增多.据统计，某地2023年“五一”假期期间，接待游客15万人次，2025年增长至46万人次.设这两年“五一”假期该地接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程(　　)
A．15 (1+2x) =46 B．
C．46(1-x)2=15 D．15 (1+x) +15 (1+x)2=46
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：B .
【分析】利用2025年“五一”假期该县接待旅游人次=2023年“五一”假期该县接待旅游人次这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
9．若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围为(　　)
A． B．
C．且k≠0 D．且k≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意列出方程组 ，
解得 且k≠0.
故答案为：D .
【分析】根据一元二次方程根的情况得到二次项系数不为零，且在有两个实数根下必须满足 ，据此解答即可.
10．如图，在 ABCD中， ∠D=5∠CAB，在AC上取点P，使PC=BC，连接BP，过点 P作EF⊥CD交AB， CD分别于点E， F.已知BE=2， AE=x， BP=y，当x， y发生变化时，下列代数式值不变的是(　　)
A．x+y B．x-y C．xy D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设 则
∵四边形ABCD是平行四边形，
在 中，
如图，在AE上取QE=BE=2，连接PQ，
∵EF⊥CD， AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴EF是QB的垂直平分线，
∴PQ=PB，
∴∠PQB=∠PBQ=2α，
∴∠QPA=∠PQB-∠CAB=2α-α=α，
∴∠QPA=∠CAB=α，
∴AQ=QP=BP=y，
∵AE=x，
∴AE-AQ=QE=2，即x-y=2，
∴x， y发生变化时， x-y不变.
故答案为：B .
【分析】设再依次求出 ，由此想到在AE上取QE=BE=2，连接PQ，推出QA=QP=BP=y，进而可利用线段间的和差关系解决问题.
11．已知 ，则 的值是　 　．
【答案】
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】∵ ，
∴设a=2k，则b=3k，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据比例的性质，可以设a=2k，则b=3k，然后将a，b的值代入代数式，按分式的混合运算法则即可算出答案。
12．一个多边形的内角和为540°，则这个多边形有　 　条边.
【答案】5
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则
解得n=5，
故答案为：5.
【分析】根据n边形的内角和公式为( 由此列方程求n.
13．平行四边形ABCD中， ∠A与∠B的度数之比是1： 3，则∠D=　 　°.
【答案】135
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
设 则
列方程得
解得
故答案为：135 .
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，即可得到∠A+∠B=180°，再根据比值求出∠B的度数，再根据平行四边形的对角相等解答即可.
14．如图，测量小玻璃管口径的量△ABC，AB的长为10cm，AC 被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是　 　 cm.
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
∴小玻璃管口径DE是cm.
故答案为： .
【分析】根据平行得到△CDE∽△CAB，再根据对应边成比例解答即可.
15．定义新运算： 例如： =1.若 则x的值为　 　.
【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可知，
当x≤0时，
得
又∵ x≤0，
当x>0时， 得
综上所述，x的值为 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】分为x≤0或x>0两种情况，根据新定义的运算法则得到方程，解方程求出x的值解答即可.
16．如图，有一张平行四边形纸条ABCD， AD=5cm， AB=2cm， ∠A=120°，点E， F分别在边AD，BC上，DE=1cm.现将四边形CFED沿EF折叠，使点C，D分别落在点C'，D'上.当点C'恰好落在边AD上时，如图2，线段CF的长为　 　 cm.在点F从点B运动到点C的过程中，若边 FC与边AD交于点 M，则点 M相应运动的路径长为　 　.
【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：当点C"恰好落在边AD上时，如图：
∵平行四边形纸条ABCD，
AD=5cm，AB=2cm，∠A=120°，
∴CD=AB=2cm，∠D=60°，∠BCD=120°，
AD∥BC，
∴∠CFE=∠C'EF，
∵折叠，
∴C'D'=CD=2cm，DE=D'E=1cm，
过点E作 于点G，
则：
厘米；
当点F与点B重合时，此时AM最短，如图：
∵
同(1)法可得： BM=ME，
设BM=ME=x， 则： C'M=BC'-BM=BC-BM=5-x，
在 中，即：
解得：
当点C"在AD上时，此时M与C"重合，AM最大，
由(1)可知
∴点M运动的路径长为 厘米.
故答案为：
【分析】当点C"恰好落在边AD上时，易得C'E=C'F=CF，过点E作 于点G，求出D'G，EG的长度，进而求出C'G的长度，勾股定理求出C'E的长度，即可得到CF的长；分别求出F与B重合时，AM的长，以及C'在AD上时，AM的长，作差即可得出点M相应运动的路径长.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：

（2）解：
=1+9
=10.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)根据乘法分配律计算，然后化简，再计算加法即可.
18．解方程：
（1）x(x-3) =0；
（2）
【答案】（1）解：x(x-3)=0，
x=0或x-3=0，
解得： ；

（2）解：
x+3=±
解答： .

【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）把二次方程降次得到x=0或x-3=0，求出x的值解答即可；
（2）先移项，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方的性质，然后直接开方解答即可.
19．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽AB.如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走40m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A， C， E恰好在一条直线上，量得DE=30m.
（1）求证： △ABC∽△EDC.
（2）求河宽AB的长.
【答案】（1）证明： ∵∠ABC=∠EDC=90°， ∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△EDC.
（2）解： ∵△ACB∽△DCE，
∵AC=40m， DC=20m， DE=30m，
∴AB=60m.
答：河宽AB为60m.
【知识点】相似三角形的实际应用；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等证明两三角形相似即可；
（2）利用相似三角形的对应边成比例进而求出即可.
20．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点(网格线的交点)A， B， C的坐标分别为(2， 6) ， (5， 1) ， (1， 2) .
（1）请画出△ABC关于原点O 对称的△A' B' C' ；
（2） △A' B' C'的面积为　 　；
（3）在所给的网格图中确定一个格点 P，使得∠BCP=∠A，且CP与AB交于点 Q，画出线段CP 及点Q，此时点 P 的坐标为 .
【答案】（1）解：作图见解析；
（2）8.5
（3）解：作图见解析， P 的坐标为(6， 5).
【知识点】点的坐标；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；作图﹣中心对称；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）根据对称的性质可得， 即为所求作；
(2)解：
即 的面积为
故答案为：
(3)如图，线段CP及点Q即为所求作，点P的坐标为(6， 5).
故答案为： (6， 5).
【分析】(1)分别作出 关于原点O对称的对应点A'，B'，C'，再顺次连结得到
(2)利用割补法求解即可；
(3)由图形知 则 推出 是等腰直角三角形，得到 作正方形ACBP，连接CP交AB于点Q，则 ，写出点P的坐标即可.
21．如图，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连结AE并延长，与 DC的延长线交于 F.
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若AF平分∠BAD， ∠D=60°， AD=8，求 ABCD的周长.
【答案】（1）证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AE的延长线与DC的延长线交于F，
∴AB∥FC，
∴∠BAE=∠CFE，
在△AEB和△FEC中，
∴△AEB≌△FEC(AAS)，
∴AB=FC，
∴四边形ABFC是平行四边形.
（2）解： ∵四边形ABFC和四边形ABCD都是
平行四边形，
∴FC=AB=DC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵∠BAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠DFA，
∴FD=AD=8，
∴AB+BC+DC+AD=4+8+4+8=24，
∴ ABCD的周长为24.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由点E是BC边的中点，得BE=CE，由平行四边形的性质得 则 而 可根据“AAS”证明 得AB=FC，即可得到结论.
(2)由平行四边形的性质得 FC=AB=DC， 由∠ 推导出 则FD=AD=8， 所以BC=AD=8， 求得 的周长即可.
22．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元.天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱.针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：
（1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利　 　元.
（2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元
（3）该超市售卖这种饮料的总利润能达到15000元吗 若能，每箱应降价多少元；若不能，请说明理由.
【答案】（1）100
（2）解：要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价x元，
依据题意列一元二次方程得，(120-x)(100+2x)=14400，
解得
∵要求每箱饮料获利大于80元，
答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元；
（3）解：不能达到，理由如下：
根据题意列一元二次方程得，(120-x)(100+2x)=15000，
整理得
∴方程无解，
答：每天销售饮料获利不能达到15000元.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：
故答案为： 14000；
【分析】（1）根据“ 每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱 ”计算即可；
（2）根据单利润×销售量=总利润列方程求出x的值，然后根据题意取舍根解答即可；
（3）根据题意列方程，利用的值判断方程根的情况解答即可.
23．
（1）【证明体验】
如图1， AD为△ABC的角平分线， ∠ADC=60°，点E在AB上， AE=AC.求证：DE=CD.
（2）【思考探究】
如图2，在(1)的条件下， F为AB上一点，连结FC交AD于点G.若FB=FC，DG=2， CD=3，求BD的长.
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD， ∠BCA=2∠DCA，点E在AC上， ∠EDC=∠ABC.若 求AC的长.
【答案】（1）证明：因为AD平分
所以
因为AE=AC，AD=AD，
所以
所以 DE=DC；
（2）解：因为FB=FC，
所以
因为
所以
所以
因为
所以DE=DC=3。
因为DG=2，
所以 ；
（3）解：如图，在AB上取一点F，使得AF=AD，连接CF，
因为AC平分
所以
因为AC=AC，AF=AD，
所以
所以
因为
所以
因为
所以
所以
因为
所以CE=4。
因为
又因为
所以
又因为AD=2AE，
所以
所以AC=2AD=4AE，
所以

【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据SAS证明 进而即可得到结论。
(2)先证明 得 ，进而即可求解；
(3)在AB上取一点F，使得AF=AD，连结CF，可得 从而得 可得 最后证明 即可求解。
24．如图，在 ABCD中， ∠BAC=90°， ∠B=60°， AB=6.动点P从点A出发沿AD以每秒2个单位的速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿射线 CB运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点 P运动的时间为t秒.
（1）用含t的代数式表示AP=　 　； CQ=　 　；
（2）当PQ⊥BC时，求t的值；
（3）请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2t；4t
（2）解：当PQ⊥BC时，如图1，作AF⊥BC于点F，
则AF∥PQ， ∠AFB=90°，
∵AP∥FQ，
∴四边形APQF是平行四边形，
∴AP=FQ，
∵∠BAF=90°-∠ABC=30°，
∴CF=CB-BF=12-3=9，
∴2t=9-4t，
解得
∴t的值是
（3）解：存在，
∵∠BAC=90°， ∠ABC=60°， AB=6，
∴∠ACB=90°-∠ABC=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB=2AB=12，
∵AP=2t，
∴当点P与点D重合时，则t=6；
∵CQ=4t，
∴当点Q与点B重合时，则4t=12，解得t=3，
∴当 时，BQ=12-4t；当 时， BQ=4t-12，
∴当AP=BQ时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，
当时，如图2，四边形APQB是平行四边形，
解得t=2；
当 时，如图3，四边形APBQ是平行四边形，
∵AP=BQ，
∴2t=4t-12，
解得t=6，
综上所述，t的值为2或6.
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解： (1)∵动点P从点A出发沿AD以2cm/s速度向终点D运动，
∴AP=2t，
∵ 点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿射线 CB运动，
∴CQ=4t，
故答案为：2t；4t；
【分析】(1)根据速度和时间计算即可；
(2)当PQ⊥BC时， 作AF⊥BC于点F， 则四边形APQF是平行四边形， 可求得∠BAF=30°，则BF=3， 所以CF=CB-BF=9， 由AP=FQ，得2t=9-4t， 可得出答案；
(3)由AP∥BQ， 可知当AP=BQ时， A， B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，再分两种情况讨论， 一是当0≤t<3时， 则2t=12-4t，求得t值； 二是当31 / 1

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