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2026 届石家庄市普通高中学校毕业年级教学质量检测（二）
数 学 答 案
一、单选题
1-4. ADCC 5-8. DABB
二、多选题
9. BC 10. BCD 11. ACD
三、填空题
5 3 4 2
3
12． 2 13．16 14. 3 ， 3
四、解答题(仅提供一种或两种答案，其他答案请教研组参照评分细则商议决定)：
15．解：由题意得：
b
1， a a 1
,…………………………………………2分
（-2）
2 （ 3）2 b 1
1，
a
2 b2
又 c2 a2 b2 2，可得c 2，…………………………………4 分
2c 2 2，则双曲线C 的焦距为2 2. …………………………………6分
2 2（2） a 1，b2 1， 双曲线C 的方程为 x y2 1,
c 2， 右焦点坐标为（ 2，0），
2
设直线 l的斜率为 k ， k tan 3.
3
直线 l的方程为： y 3(x 2)，…………………………8分
设 A（x1, y1）, B（x2 , y2）,
y 3(x 2)
联立 ， …………………………9分
x2 y2 1,
整理得2x2
2
6 2x 7 0， ( 6 2) 4 2 7 16 0,
7
x1 x2 3 2, x1x2 .…………………………11分
2
AB 1 k 2 (x 21 x2 ) 4x1x2 1 3 18 14 4 .………………13 分
{#{QQABZYKo4wgwwpQACI5bAwUsCQsYsJCSLEgugRAeqAxLyQFABAA=}#}
16.解：（1） Sn 2an 2，
当n 1时， S1 2a1 2 a1 a1 2.………………1分
又 当n 2时， Sn 1 2an 1 2
an Sn Sn 1 2an 2an 1
an 2an 1……………………………………3 分
数列 an 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.
an a1 q
n 1 2 2n 1 2n.……………………………………………………5 分
(2) a 2n ,a 2n 1,由题意知an 1 an （n 2 1）dn n 1 n ，……………………7分
2n
d , ……………………………………8 分 n
n 1
cn n(n 1)dn , cn n 2
n ,……………………………………9 分
设数列 cn 的前 n 项和Tn ，
Tn C1 C2 Cn 1 Cn，
T 1 21 2 22 n 1 n
n (n 1) 2 n 2 ，
2Tn 1 2
2 2 23 (n 1) 2n n 2n 1，………………………11分
两式相减得： ………………………12 分
Tn 2 2
2 23 2n n 2n 1
2 2n 1
即 T n 2n 1，……………………14分 n
1 2
（ ） n 1 ……………………15 分 Tn n 1 2 2.
17.解：（1） 侧面PBC 为正三角形， PO BC，
ABCD是矩形，且O、G 分别为BC ， AD 中点，
OG BC ，……………………2分
PO 面 POG，OG 面 POG，PO OG O，
BC 面 POG， BC 平面BEC ，
平面POG 平面BEC ．……………………4分
{#{QQABZYKo4wgwwpQACI5bAwUsCQsYsJCSLEgugRAeqAxLyQFABAA=}#}
（2）方法一：由（1）知PO BC， 平面PBC 平面 ABCD，
平面PBC 平面 ABCD BC ， PO 平面 ABCD，
OG BC ，
以O为坐标原点，OB ，OG，OP 所在直线分别为 x
轴 、 y 轴 、 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系
Oxyz ，……………………5 分
1 3 3
则 P(0,0, 3), A(1,3,0), B(1,0,0),C( 1,0,0), D( 1,3,0)，E( , , )，
2 2 2
1 3 3
BC ( 2,0,0), BE ( , , ), PB (1,0, 3),
2 2 2
PC ( 1,0, 3),PD ( 1,3, 3),设Q(a,b,c)，
则QB (1 a, b, c)，PQ (a,b,c 3), …………………………………………7分
m BC 0 2x 0
设平面BCE 的一个法向量为m (x, y, z)，则 ，即 ，
m BE 0 x 3y 3z 0
取 z 3 ，则 y 1， x 0，所以m (0, 1, 3)，………………………………8分
易知点P 到平面BCE 的距离与点Q到平面BCE 的距离相等且PQ m，
| PB m | | QB m | b c 3
即 且a 0, ，………………………………10分
| m | | m | 1 3
即3 | b 3c |且a 0, 3b 3 c，
3 3
解得b 0,c 3（舍去）或b ,c ，
2 2
3 3
所以Q(0, , )．……………………………………11分
2 2
设平面QAB 的一个法向量为 t (x0 , y0 , z0 ) ，
3 3 3 3 t QA 0 2x0 3y0 3z0 0
又QA (1, , ),QB (1, , )，则 ，即 ，
2 2 2 2 t QB 0 2x0 3y0 3z0 0
取 x0 3, y0 0, z0 2，所以 t ( 3,0, 2) ．
{#{QQABZYKo4wgwwpQACI5bAwUsCQsYsJCSLEgugRAeqAxLyQFABAA=}#}
n PC 0 x1 3z1 0
设平面PCD的一个法向量为n (x1, y1, z1) ，则 ，即
n PD 0 x1 3y1 3z1 0
取 x 3 ，则 y1 0 ， z1 1，所以1 n ( 3,0, 1) ,…………………………13分
5 7
设平面QAB 与平面PCD夹角为 ，则cos | cos t,n | ．
14
5 7
故平面QAB 与平面PCD夹角的余弦值为 ．………………………………15分
14
方法二：设平面BEC 与棱PD相交于点F ，
因为 AD BC ， AD 面 BCFE ，则 AD 平
面 BCFE ，
且面 BCFE 面 PAD EF ，则 AD FE ，又
因为E 为 PA 中点,可得F 为 PD中点，
设平面BEFC 平面POG OH ，
OH PG H ,则 H 为 PG 中点，…………………………6分
因为P 关于平面BCFE 的对称点为Q，
所以PQ 面 BCFE ，由（1）知平面POG 平面 BCFE ，
所以 PQ 平面 POG，又平面 POG 平面 BCFE OH
且 PQ OH ，且PM MQ ………………………8 分
在 平 面 POG 内 ， PO 3 ， OG BA 3 ， 所 以
OPG 60°,因为 H 为PG 中点
1
PH OH PG 3 ，
2
可得△POH 为正三角形，因为PM OH ,所以M 为OH 中点，
°
由对称性可知，△PHM ≌△QHM ， PHM = QHM 60 ，
所以 POH = QHM 60
°
，可得HQ PO，且HQ PO 3 ，
设 HQ 交OG于点K ，则K 为OG中点，
{#{QQABZYKo4wgwwpQACI5bAwUsCQsYsJCSLEgugRAeqAxLyQFABAA=}#}
3 1 3
则OK ，HK KQ PO ，………………………10分
2 2 2
由 PO 面 ABCD， BC CD，可得PC CD，
则平面PCD 与平面 ABCD夹角为 PCO 60 ，
3
设平面QAB 与平面 ABCD夹角为 ,同理可得 tan ，………………………12 分
2
则平移可得平面QAB 与平面PCD夹角为60 ，………………………13 分
3
3
3 5 7
则 tan(60 ) 2 ，即cos(60 ) ，
3 5 14
1 3
2
5 7
故平面QAB 与平面PCD夹角的余弦值为 ．………………………15 分
14
b 2
18.解：（1） f (x) a ,………………………1分
x2 x
1
则 f (1) a b 2 ， f (1) a b 1，
2
5 1
则 a ，b .………………………3分
4 4
1
（2）当b 1时，依题意有ax 2ln x 0对于任意 x 1恒成立，
x
2ln x 1
则 a ，………………………5分
x x2
2ln x 1 2x 2x ln x 2
设m(x) (x 1)，m (x) ,………………………7分
x x2 x3
设 h(x) 2x 2x ln x 2，h (x) 2ln x，
由 x 1得：h (x) 0，则h(x) 在 (1, )上单调递减，
且 h(1) 0，则h(x) 0，即m (x) 0，m(x)在 (1, )上单调递减，
m(1) 1，则m(x) 1，则a 1.………………………9分
1 2
（3）由（2）可知，当 x 1时， x 2ln x ln x ,………………………11分
x
1 2n 1
令 t x
2
，则 t ln t(t 1) ,因为 1,………………………13分
t 2n 1
{#{QQABZYKo4wgwwpQACI5bAwUsCQsYsJCSLEgugRAeqAxLyQFABAA=}#}
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
令 t ，则 ln ,
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
2 2n 1 1 2n 1
即 ln ,即 ln ,………………………15分
4n2 1 2n 1 2 1 2n 1n
4
1 1 1 3 5 2n 1
累加得： ln ln ln ln(2n 1) ,
2 1 1 1 1 3 2n 11 22 n2
4 4 4
n 1
即 ln(2n 1) 成立. …………………………………17分
i 1 1
i2
4
19.解：(ⅰ)由题意得，若比赛进行四轮结束第一轮甲进攻乙胜，第二轮乙进攻甲胜，第三
轮甲进攻乙胜，第四轮乙进攻乙胜，…………………………………………1分
1 1 1 1 1
故比赛进行四轮结束的概率为 P …………………………………………3分
2 2 2 2 16
1 1
(ⅱ)由全概率公式得： a1 1 (1 a1)……………………………………5分
2 2
2
解得： a1 ………………………………………………6分
3
(2) 记b 为甲队的分数为 k 分且乙为进攻方时甲队最终获胜的概率. k
由规则，对1 k 2n 1,k **N ，
1 1
有 ak ak 1 bk ①…………………………………8分
2 2
1 1
bk bk 1 ak ②…………………………………………10分
2 2
边界条件： a0 b0 0 ，且自然定义 a2n 1(甲得满分时获胜) …………………………11分
1 1
由①解出bk 2ak ak 1，代入②得 2ak ak 1 (2ak 1 ak ) ak ak 1 ，整理得
2 2
ak 1 ak 1 2ak (k 2，3， ，2n 2) .③
这说明 a 是等差数列(1 k 2n 1,k *k N )………………………………………………13分
下面确定 a1 和 a2 的关系.
1 1 1
由②取 k 1并结合b0 0得 b1 b0 a1 a1 .
2 2 2
{#{QQABZYKo4wgwwpQACI5bAwUsCQsYsJCSLEgugRAeqAxLyQFABAA=}#}
1 1 1
又由①取 k 1得 a1 a2 b1，代入b1 a1得
2 2 2
1 1 1 3 1 3
a1 a2 a1 a1 a2 a2 a1………………………………………15分
2 2 2 4 2 2
1
设公差为 d ，则 a2 a1 d ，故 d a1.于是对任意 k 1有
2
k 1 k 1 2n 1 2
ak a1 (k 1)d (1 )a1 a1.利用边界 a2n 1，得 a1 1 a1
2 2 2 2n 1
2 k 1 k 1
因此 ak （1≤k≤2n 1,k
*
N）…………………………………………17分
2n 1 2 2n 1
{#{QQABZYKo4wgwwpQACI5bAwUsCQsYsJCSLEgugRAeqAxLyQFABAA=}#}2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（二）
7.若函数f(y)=6im2x+bcos2x在区间[，5西]上单调递减，则实数b为
3’6
数学
A.-V5
B.-3
D.5
3
3
(本试卷满分150分，考试时间120分钟)
8.已知椭圆c:女+y
=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F和F2,过F的直线交椭圆C于
注意事项：
两点，A2的内切网分别与RP2相切于A8两点，若g-2,K4=0,则椭圆
1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
的离心率为
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
A号
B
3
c
D.3
2
本试卷上无效。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.已知圆C:(x-a)2+(y+1)2=2a+2的半径为2，则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
A.a=2
合题目要求的
B.原点在圆C的内部
1.已知i为虚数单位，若复数z=(1+)(2-),则z在复平面内对应的点在
C.圆x2+y2+4x-6y-36=0与圆C有且仅有1条公切线
A.第一象限
B.第二象限
D.直线y=x与圆C交于A,B两点，△ABC的面积为2√2
C.第三象限
D.第四象限
10.已知在△ABC中，AB=2,AC=1,A=工，BD=2DC,点P为线段AD的中点，则下列
2.已知集合A={xx<1,B={xx2+2x≤0，则AnB=
结论正确的是
A.[-2,0]
B.[-2,1)
C.(-1,1)
D.（-1,0]
A.D=3
3
3.已知Sn是等差数列{a}的前n项和，若a+a,=20,则S。=
A.180
B.100
C.90
D.80
B历--号c
4.某研究小组收集了60组关于“每天课外阅读时长x(单位：分钟)”与“语文阅读理解得分
C.向量PB在向量AB上的投影向量为AB
y(单位：分》的数据(：，y)(i=1,2,3…60),经计算x=7,=12.4,且由这60组数据拟
D.若=元4B,孤=4C,元>0,4>0，且M,N,D三点共线，则+2=3
合得到的经验回归方程为)=1.6x+a,则a=
A.-0.2
B.12
C.1.2
D.12.84
1l.已知数列{a,}满足a1=ma(m∈R),且a,=l,Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列
{a}的前n项积，则下列说法正确的是
5.若函数f()-za+1为偶函数.则r2a)-
A.当m<-1时，数列{an}是递减数列
A手
B.
c.3
B.3,=1+1-m22
1-m2
6.已知正四棱台上、下底面的边长分别是2,8，体积为28√万，则其表面积为
C.存在me(-o,-1),使得a,4,a成等差数列
A.148
B.68+20W7C.168
D.80
D.当m=2时，log2Tn<2"-n
高三数学第1页（共4页）
高三数学第2页（共4页）

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