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二次函数综合问题（线段周长问题）高频考点归纳专项练
1．如图，已知在直角梯形的边在y轴的正半轴上，在x轴的正半轴上，，，过点B作，交于点D，将绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴和x轴的正半轴于E和F．
(1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．
(2)当经过（1）中抛物线的顶点时，求的长．
2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值；
(3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．
4．如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标．
5．如图，已知抛物线经过点、、三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．请用m的代数式表示的长；
(3)在（2）的条件下，连接、，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使值最小；
(3)若M是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点M的坐标．
7．如图，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，P为x轴上方的抛物线上一动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．过点P作轴于H，交直线于点Q，线段的长为d．
(1)求抛物线的解析式
(2)当点P在第一象限运动时，m的取值范围为__________，写出此时d与m的函数解析式为__________
(3)①当时，求m的值；
②当时，则直接写出m的取值范围__________．
8．已知抛物线与轴交于两点，点在点的左边，与轴交于点．
(1)求点的坐标；
(2)点是抛物线上一点，若，求点的坐标；
(3)如图，为线段的中点，将抛物线向上平移个单位，交线段于点，连接并将其绕点逆时针旋转得到线段，连接，当的周长最小时，直接写出的值．
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点．过点作轴于点．点是直线上一动点，连接交抛物线于点，连接

(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求的面积；
(3)如图2，以为边向下作等腰直角三角形，，当点运动到某一位置时，连接，使得的周长最小，求此时周长的最小值．
10．二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点是第四象限内抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；
(3)若点是平面内一点，是否存在以为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，抛物线上有一动点P，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接，作直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点P，使得以点B、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)对称轴上有一动点M，抛物线上有一点，当周长最小时，求出点M的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接．连接，当的面积为10时，求点的横坐标；
(3)若为抛物线对称轴上一动点，使得以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标．
(3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请直接写出M点坐标，若不存在，说明理由．
15．定义：若抛物线与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”．
(1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是______；（填序号）
(2)如图1，已知直线，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为A、B．
①在x轴上找一点E，使周长最小，请直接写出此时点E的坐标______；
②在直线l上方的抛物线上是否存在点P使面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点P坐标，若不存在，请说明理由．
《二次函数综合问题（线段周长问题）高频考点归纳专项练2026年数学中考一轮复习备考》参考答案
1．(1)
(2)
【分析】（1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作轴，证明，求出直线的解析式，进而求出点坐标，进而求出的长，得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵直角梯形的边在y轴的正半轴上，在x轴的正半轴上，，，
∴，
设抛物线的解析式为，把代入，得：
，解得，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴平行轴，
作轴于点，则四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设直线的解析式为，把，代入，得
，解得，
∴，
∴当时，，
∴，
∴，
∴．
2．(1)
(2)
(3)存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：，
【分析】（1）将、的坐标代入解析求解即可；
（2）连接，由勾股定理得，要使的周长最小，只要最小，则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立，即可求解；
（3）分类讨论：当时，当时，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得，
故二次函数的解析式为；
（2）解：令，即，
解得或，
则二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标．
连接，
则，
要使的周长最小，只要最小．
是对称轴上一点，且点A与点C关于对称轴对称，
则，
则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立，
因而与对称轴的交点P就是所求的点．
设直线的解析式为，
根据题意，可得：，
解得，
所以直线的解析式为；
联立，解得，
故所求的点P的坐标为，
此时的周长即为；
（3）解：存在．
，，
，
，，
，
，，
，
当时，
，
，
解得：，
；
当时，
，
，
解得：，
，
故E点坐标为：，
综上所述：存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似，点E的坐标为：，．
3．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
()待定系数法求函数解析式即可；
()根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解；
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）在，当时，
∴
∵抛物线解析式为
∴抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴ ，
∴，
当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
4．(1)抛物线的解析式为
(2)线段的最大值为及此时点的坐标为
【分析】本题考查了一次函数图象与性质，二次函数的解析式求解，二次函数的最值问题和函数图象上点的坐标关系．
（1）根据一次函数，分别令和，求出直线与轴、轴的交点、点的坐标，然后根据抛物线经过点、，将这两点坐标代入抛物线解析式得出方程组并求解得出抛物线解析式即可；
（2）设点的坐标为，由于轴交直线于点，得到点横坐标为，代入直线得出点坐标，然后用点纵坐标减去点纵坐标求出线段长度的解析式，然后将其化为顶点式得出当时，取得最大值，最大值为，最后将代入抛物线解析式求出点纵坐标即可．
【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、，
当时，，解得，
当时，，解得，
，．
抛物线经过点，，
将点，代入，
得，
解得，
抛物线解析式为，
即．
（2）解：设点的坐标为，
轴交直线于点，
点的坐标为，
，
将整理成顶点式可得
该二次函数图象开口向下，当时，取得最大值，最大值为．
将代入抛物线解析式得，
点的坐标为．
5．(1)
(2)
(3)存在，当时，的面积最大为．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式，然后用m表示出点M和点N，然后用点N的纵坐标减去点M的纵坐标即可解答；
（3）根据的面积等于，据此列出二次函数解析式，然后运用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、三点，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴抛物线的解析式：，即．
（2）解：设直线的解析式为：，
把、代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
又∵轴，
∴，
∴，
即.
（3）解：存在，
∵，
∴当最大时，的面积最大，
∵，
当时，有最大值为，
所以当时，的面积最大为．
6．(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：
（1）写出两点式，待定系数法进行求解即可；
（2）连接，求出的解析式，根据对称性得到当点在线段上时的值最小，进行求解即可；
（3）作轴，交于点，设出点的坐标，利用的面积等于，转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴设抛物线的解析式为，把代入，得：，
解得，
∴；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴设直线的解析式为，把代入，得，
∴，
∵点关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴当点在线段上时的值最小，
∵，
∴当时，，
∴当时，的值最小；
（3）作轴，交于点，设，则：，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大为，此时．
7．(1)
(2)，
(3)① 或1或4
② 或或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，利用函数图象解一元二次不等式等知识点．
（1）由待定系数法即可求解函数解析式；
（2）根据点P在第一象限运动，而即可求解取值范围；先求出直线，则， ，那么；
（3）①当时，即，然后解方程，再进行舍解即可；
②先得到且，再分类讨论，画图分析，利用二次函数的图象解一元二次不等式即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于两点，
∴，
∴
∴解析式为；
（2）解：∵
∴当点P在第一象限运动时，m的取值范围为;
对于，，
∴，
设直线，
∴
解得，
∴直线，
∵，轴，
∴，
∴，
∴d与m的函数解析式为；
（3）解：①当时，即，
解得或或或，
∵P为x轴上方的抛物线上一动点，
∴，
∴（舍），
∴或或；
②∵P为x轴上方的抛物线上一动点（不与点C重合），
∴且，
当在轴左侧时，即，如图：
由题意得：，
即，
利用二次函数图象解不等式，则解集为，
而，
∴；
当在轴右侧时，即，如图：
，
∴，
利用二次函数图象解不等式，则解集为或，
而，，
∴或，
综上：m的取值范围为或或．
8．(1)，，
(2)或
(3)
【分析】（）把和代入函数解析式解答即可求解；
（）由点坐标可得，再分点在轴上方和下方两种情况解答即可求解；
（）过点作，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于，可得点在以为直径的圆上，即得点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，可知此时的值最小，则的周长最小，利用轴对称的性质可得，再证明，得，即得，又由是等腰直角三角形，得，进而得到，即得到，，得到，最后代入到平移后的函数解析式即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，，
∴，，
把代入，得，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
如图，过点作交抛物线于点，则，
设直线的解析式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得或，
∴；
过点作于点，延长线交抛物线于点，过点作轴于点，则，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得或，
∴；
综上，点的坐标为或；
（3）解：过点作，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于，
则，
∵，
∴，
又∵，
∴点在以为直径的圆上，
∴点在直线上运动，
如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，可知此时的值最小，则的周长最小，
∵，，
∴，
由对称性可得，，
∴，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∵抛物线向上平移个单位的解析式为，点在平移后的抛物线上，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，二次函数的平移，旋转的性质，锐角三角函数，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，正确作出辅助线是解题的关键．
9．(1)
(2)的面积为或
(3)
【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，面积问题，线段周长问题；
（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）分点在轴上方和在轴的下方时，分别求得点的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）在直线上取一点，使，当点在点上方时，连接，，证明得出，得出点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，，；与交于点 则点即为使得 最小时的点，进而求得的长，即可得出周长的最小值．
【详解】（1）解：抛物线过点．
∴
解得：，
∴；
（2）解：当在轴上方时，如图，过点作于点，
，，轴
∴，，
设，
将点代入得，
，
（舍去），
，，
，
，
当在轴下方时，如图，

将点代入得，
，
（舍去），
，，
，
，
综上所述，的面积为或；
（3）解：如图，在直线上取一点，使，当点在点上方时，连接，，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
如图，则点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，，；与交于点 则点即为使得 最小时的点，
，
，
，
，
设交于点，
，，
∴，
，
，
，
即的最小值为，
∵，
∴的最小值为．
∴的周长最小值为．
10．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）作于点Q，作于点N，交于点M，先求出直线的解析式为，设点，则点，，利用面积法可得，化为顶点式，即可求出取最大值时t的值，将t的值代入二次函数解析式即可求出点P的坐标；
（3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，利用中点坐标公式，列出方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象过，两点，
，
解得：，
二次函数的解析式为；
（2）解：如图所示，作于点Q，作于点N，交于点M，
由（1）知二次函数的解析式为，
令，得，
点C的坐标为，
设直线的解析式为，将，代入，
得：，
解得，
直线的解析式为．
设点，则点，
，
，
，，
，
，
，
，
当时，取最大值，
此时，，
点P的坐标为；
（3）解：设，，，，
当为对角线时，，
解得：，
∴此时；
当为对角线时，，
解得：，
∴此时；
当为对角线时，，
解得：，
∴此时；
综上可知，点M的坐标为或或．
【点睛】本题属于二次函数与一次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、求线段的最值、平行四边形的性质、中点坐标公式，解题的关键是综合运用上述知识，第3问难度较大，注意分类讨论，避免漏解．
11．(1)
(2)抛物线上存在一点P，使得以点B、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为
(3)
【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出a、b的值，即可求得二次函数解析式；
（2）分别以，，为对角线讨论求解即可；
（3）因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，作点关于对称轴的对称点，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：对于，当时，，
∴，
又，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点的坐标为，
①当为对角线时，设的中点为点
∵，
∴，即，
∵，
∴，
当时，，
∴点不在抛物线上，即不存在这样的平行四边形；
②当为对角线时，设的中点为，
∵，，
∴，
又，
∴，
当时，，
∴点在抛物线上，即存在这样的平行四边形；
③当为对角线时，设的中点为，
∵，，
∴
∵，
∴，
当叶，，
∴点不在抛物线上，即不存在这样的平行四边形；
所以，抛物线上存在一点P，使得以点B、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为；
（3）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，作点关于对称轴的对称点，点关于对称轴对称的点的坐标为，
连接，交对称轴于点，
设直线的解析式为，
把点代入得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键．
12．(1)
(2)P点见解析；
(3)或
【分析】本题考查二次函数的综合，能够正确做出辅助线是解题关键；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据轴对称的性质先找到点，然后确定P点为函数对称轴和直线的交点，求出的函数解析式以及二次函数的对称轴，进而可求出P点；
（3）当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，证明，有，设，可得，即知，直线解析式为，联立，解得点坐标；当Q在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，同理可得点坐标．
【详解】（1）解：把，两点，代入抛物线，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为：．
（2）如图，P点即为所求，
∵抛物线的解析式为：，
当时，，
∴，
设直线的解析式为：，代入，，
得到，
∴，
∴，
∵二次函数，
∴函数的对称轴为直线，两点关于直线对称，
∴，
∴的周长为：，
∴当三点共线时，的周长取到最小值，
此时点在对称轴上，
∴将代入，得到，
∴点坐标为．
（3）解：抛物线上存在点Q，使，理由如下：
当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∵，
∴
解得
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线解析式为，
联立，
解得，
∴；
当Q在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，如图：
同理可得，
∴，
设，
∴，
解得，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，，
解得，，
∴直线解析式为，
联立，
解得 ，
∴，
综上所述，Q的坐标为或．
13．(1)抛物线解析式为；
(2)的面积为时，点的横坐标为或；
(3)点的坐标为或．
【分析】（）利用待定系数法求解即可；
（）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，然后利用三角形的面积公式并解方程即可求解；
（）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到 ，，，利用勾股定理当和，时，列出关于的方程，解答即可得到满足条件的点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴ ，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将点，点的坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴，
根据题意得的面积为10，
∴ ，
解得：，，
∴的面积为时，点的横坐标为或；
（3）解：点的坐标为，，，，理由如下:
∵抛物线，
∴对称轴为直线，
设，
∵，，
∴，，，
∵以为直角边的直角三角形，
∴如图，当，
∴，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
如图，当，
∴，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，
综上可得：点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的性质，二次函数的应用——面积问题，线段周长问题，求抛物线与轴的交点坐标，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
14．(1)
(2)最大值；点P的坐标为
(3)M
【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式等知识，解题的关键是：
（1）由二次函数的对称轴公式以及过点，待定系数法即可求解；
（2）先求出直线的解析式，过点作轴，交于点，则，设点为，则点为，求出的长度，利用三角形面积列出函数解析式，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，进一步即可求出点的坐标；
（3）可求抛物线对称轴为直线，连接，，，根据对称性得出，则，故当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小，根据待定系数法求出直线的解析式为，然后把代入求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过，其对称轴为，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：由，
当时，，
则，
设直线的解析式为，则把点、代入，得
，
解得：，
∴直线的解析式为；
过点作轴，交于点，如图：
设点P 为，则点D为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，取最大值；
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：∵，
∴对称轴为直线，
连接，，，
∵A、B关于直线对称，
∴，
∴，
∴当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小，
当时，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，，
∴．
15．(1)②
(2)①；②，的最大值为
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据“双幸运曲线”的定义及一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）①由题意易得，则有，的周长，要使的周长最小，即为的值最小，然后根据轴对称的性质可进行求解；
②过点P作轴，交直线于点H，由题意可设，则有，然后根据铅垂法可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
①联立得：，则有，
由于，方程无解，
所以一次函数与二次函数没有交点；
②联立得：，则有，
由于，方程有两个不相等的实数根，
所以一次函数与二次函数有两个交点，满足“双幸运曲线”的定义；
③联立得：，则有，
由于，方程有两个相等的实数根，
所以一次函数与二次函数有一个交点，不满足“双幸运曲线”的定义；
故答案为：②；
（2）解：①由题意可联立，
解得：或，
∴，
∴，
∴的周长，
如图，过点B作关于x轴的对称点C，则，连接，与x轴交于点E，根据轴对称的性质可知，
所以的周长最小值即为的最小值，则当点A、E、C三点共线时，的值最小，即为的长，图中点E满足题意，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
令时，则有，
解得：，
∴；
故答案为；
②过点P作轴，交直线于点H，如图所示：
∴，
由题意可设，则有，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时点P的坐标为．

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