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二次函数综合问题（特殊四边形问题） 高频考点归纳 专项练
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标；
(3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线经过点、，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标；
(3)点F是平面直角坐标系内一点，在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，的取值范围是，求的值；
(3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，
①求线段的最大值，
②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一点，当时，求点的坐标；
(3)若点是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC、PB，求面积的最大值及此时点的坐标；
(4)若点是抛物线上一动点，且横坐标为，、为平面内任意两点，连接HM、QM，以HM、QM为边构造矩形HMQN．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而变化时，直接写出的取值范围．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上一点，当时，求点的坐标；
(3)若点是直线上方的抛物线上一点，连结、，求面积的最大值及此时点的坐标；
(4)若点是抛物线上一动点，且横坐标为，、为平面内任意两点，连结、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而变化时，直接写出的取值范围．
6．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值是多少？
(3)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
7．如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标：
(3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F是第四象限内抛物线上一点，过点F作轴于点D，交直线于点E，当时，求四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线，点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)连接，当轴时，求点的坐标；
(3)若线段平行于两坐标轴夹角的平分线时，求的值；
(4)连接，以、为邻边作平行四边形，当抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)假设将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点平移后的对应点分别记为点，当点在点右侧时，求以为顶点的四边形周长的最大值．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是．
(1)求抛物线的顶点坐标和线段的长；
(2)当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值；
(3)若图象G位于P，A两点之间部分（包括P，A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范围．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，点为直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，作轴交于点，若，求点的坐标：
(3)将原抛物线向右平移得到新抛物线，使之经过点，新抛物线与轴左侧交点为，点是新抛物线对称轴上一点，点是第一象限内一点，当，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
13．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A、B，C三点的坐标．
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中，为常数）的图象经过，其对称轴为直线，且图象与轴正半轴交于点，过点作垂直于轴的直线．点在该抛物线上，其横坐标为，点是坐标平面内的一点，其坐标为，过点分别向直线作垂线，垂足分别为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)当矩形为正方形时，求的值；
(4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．
15．如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是．
(1)求直线及抛物线的解析式．
(2)求的面积．
(3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由
《二次函数综合问题（特殊四边形问题） 高频考点归纳 专项练 2026年数学中考一轮复习备考》参考答案
1．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）连接，，设，根据求解即可；
（3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可.
【详解】（1）解：∵当时，，
∴，
∵当时，，，
∴，
∵二次函数的图象过两点，
∴，解得：，
即：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，，
∵，
∴，
∴，
∴即：，
∵四边形是正方形，
∴，即：，
∴互相垂直平分，，
∵点是第二象限位于抛物线上一点，
∴设，
，解得：，
∴，
∴，
解得：（舍），
∴；
（3）答：存在，或，理由如下：
过点作，过点B作
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是正方形，
当时，，
∴，
∴即：，
如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时，
∵，
∴，
∴，
即：，
设直线的解析式为：，
∴解得：，
即：，
∵，
∴（舍）或，
∴；
当在上方时，
作点关于的对称点，
∵四边形是正方形，
∴点在上，，，
∴，
∵时，，
∴在抛物线上，
∵，
∴，
当与重合时，，此时，，
综上：存在，或.
2．(1)抛物线的解析式为，对称轴为
(2)满足的值为最小的点P坐标为
(3)存在，点E的坐标为或
【分析】（1）把点、代入，得到关于a，b的二元一次方程组，求解方程组，即可得到解析式；然后利用抛物线对称轴公式求出对称轴；
（2）根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，的值最小，所以先求出直线的解析式，再求其与对称轴的交点即为点P；
（3）先根据面积求出点E的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，同时结合点E在第四象限的条件筛选出符合的坐标．
【详解】（1）把点、代入，得，
解得，
抛物线的解析式为．
函数的对称轴为直线．
（2）如图1，连接交对称轴于点P，因为点A、B关于对称轴对称，∴的最小值为，
易得C点的坐标为，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：，
解得，
直线BC的表达式为：，
当时，，
故点．
（3）存在，理由：
如图2，图3，四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形，
则，
点E在第四象限，则，
将该坐标代入二次函数表达式得：．
解得：或4，
故点E的坐标为或．
3．(1)
(2)
(3)①；②存在，边长为或2
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）①根据题意求出点坐标，得到直线的解析式，设，则，进而可得即可；②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，解得：，
∴；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵时，，
①当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：或，均不符合题意，舍去；
②当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：，
故；
（3）①当时，解得：，当时，，
∴，，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
设，则：，
∴，
故线段的最大值为；
②存在；
由①知，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则：，即，
解得：（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则：，即：，
解得：或（舍去）
此时菱形的边长为：；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．
4．(1)
(2)
(3)，
(4)或
【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点解法，待定系数法依次解答即可；
（2）根据平行可知点的纵坐标为，再代入抛物线解方程即可；
（3）过点P作轴交直线于点D，结合抛物线，直线解析式，设，则，则， 计算，利用二次函数的最值解答即可．
（4）当点H、M重合时，则，确定，①当点M在点H的下方时和②当点M在点H的上方时，两种情况解答即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴，，
∵B、C在上，
∴，
解得，
∴；
（2）解：，，
点的纵坐标为，
令，即，整理得，
解得或，
；
（3）解：过点P作轴交直线于点D，
设点，则，
则，
∴，
∵，
∴开口向下，函数有最大值，
且当时，有最大值为，
∴．
（4）解：当点H、M重合时，
则，
∴
①当点M在点H的下方时，如图
即，
由题意得：，
当点H、N达到对称轴两侧对称的位置时，则，
则当时，矩形内没有函数y的图象，
当时，矩形区域内的函数y随x的增大而减小，
即．
②当点M在点H的上方时，如图
即或，
当时，，即，则此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随x的增大而增大，
当，则此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，
则，
综上，或．
5．(1)
(2)
(3)有最大值为，
(4)或
【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点解法，待定系数法依次解答即可；
（2）根据平行可知点的纵坐标为，再代入抛物线解方程即可；
（3）过点P作轴交直线于点D，结合抛物线，直线解析式，设，则，则， 计算，利用二次函数的最值解答即可．
（4）当点H、M重合时，则，确定，①当点M在点H的下方时和②当点M在点H的上方时，两种情况解答即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴，，
∵B、C在上，
∴，
解得，
∴；
（2），，
点的纵坐标为，
令，即，整理得，
解得或，
；
（3）解：过点P作轴交直线于点D，
设点，则，
则，
∴，
∵，
∴开口向下，函数有最大值，
且当时，有最大值为，
∴．
（4）解：当点H、M重合时，则，
∴，
①当点M在点H的下方时，即，
由题意得：，
当点H、N达到对称轴两侧对称的位置时，则，
则当时，矩形内没有函数y的图象，
当时，矩形区域内的函数y随x的增大而减小，
即．
②当点M在点H的上方时，即或，
当时，，即，
则此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随x的增大而增大，
当，则此时点H在对称轴右侧，矩形内没有函数y的图象，
则，
综上，或．
6．(1)
(2)
(3)点的坐标为或或或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由待定系数法可求得直线的解析式，设，，即可求得的长，可得，利用二次函数的性质，即可求得当的面积最大值；
（3）分当四边形为平行四边形时，和当四边形为平行四边形时两种情形解答，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，求得点的纵坐标，再将其代入抛物线的解析式即可求得结论．
【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）解：过作轴交于点．
设直线的解析式为：，
，解得，
直线的解析式为，
设，，
，
的面积，
∵，
当时，的面积最大，最大面积为；
（3）解：，
顶点的坐标为．
①当四边形为平行四边形时，
四边形为平行四边形，
，．
，
即．
．
令，则．
，
点的坐标为或．
②当四边形为平行四边形时，
四边形为平行四边形，
，．
，即．
，
令，则．
,
点的坐标为或．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．
7．(1)
(2)，
(3)或或
【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为二次函数求最值即可；
（3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点，
∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得，
解得，
∴，
作轴交于点，设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，为，此时．
（3）解：存在，
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
∵，当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时，
①当为对角线时，，解得，
∴，
∴；
②当为对角线时，，解得，
∴，
∴；
③当为对角线时，，解得，
∴，
∴；
综上：或或．
8．(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键：
（1）待定系数法进行求解即可；
（2）求出直线的解析式，设出点坐标，进而得到点坐标，根据，进行求解，再根据分割法求出四边形的面积即可；
（3）分三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，；当时，，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得，
解得，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，解得或（舍去）；
∴，
∴四边形的面积
；
（3）解：存在，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设，
由（2）知：，
当以点B，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，分3种情况：
①当为对角线时，则，即，
∴，
∴；
②当为对角线时，则，即，
∴，
∴；
③当为对角线时，则，即，
∴，
∴；
综上：或或．
9．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，解一元二次方程，理解题意，作出相应图象，结合图象求解是解题关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）当轴时，则点和点的纵坐标相等，即点和点关于对称轴对称，根据二次函数的性质即可解答；
（3）表示出点和点的纵坐标，当线段平行于两坐标轴夹角的平分线时，即点和点的纵坐标之差等于横坐标之差，列出方程即可解答；
（4）首先求出抛物线与x轴的交点坐标为和，然后分类讨论，分别画图即可解答．
【详解】（1）解：抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线，
，，
，
则抛物线对应的函数解析式为；
（2）解：当轴时，点和点的纵坐标相等，
点和点都在该抛物线上，
点和点关于对称轴对称，
可得，
解得；
（3）解：∵点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、
代入解析式得，，，
如图，过点作轴，过点作轴，则，
，线段平行于两坐标轴夹角的平分线，
，
为等腰直角三角形，
，
即，
解得；
（4）解：∵
∴当时，，
解得或3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为和，
如图，当点在轴下方时，且在轴左边时，即时，
平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
，
，
当时，，
点恒在抛物线上方，
此时抛物线在平行四边形内部的图象随的增大，先增大后减小，与题意不符，故该情况不存在；
如图，当点在轴上方时，且在轴左边时，即时，
平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
当，即时，
点在抛物线上方，
此时抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小，符合题意，
此时；
如图，当点在轴上方时，且在轴右边时，即时，
平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
，
，
当时，，
点在抛物线下方，
此时抛物线在平行四边形内部没有图象，不符合题意，故该种情况不存在；
如图，当点在轴下方时，且在轴右边时，即时，
平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
同理点在抛物线下方，
此时抛物线在平行四边形内部没有图象，不符合题意，故该种情况不存在；
综上，．
10．(1)
(2)
【分析】（1）由待定系数法列方程组求解即可得到答案；
（2）由平行线的判定得到四边形为平行四边形，分两种情况，作出图形即可得到在点右侧时，四边形周长最大，设，由点的平移规律得到，将代入抛物线解方程求出，最后由两点之间距离公式求出，利用平行四边形性质求出最大周长即可得到答案
【详解】（1）解：抛物线图象过，且该抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，该抛物线的函数表达式为，
抛物线与轴交于点，
当时，，即，
抛物线与轴交于两点，
当时，，
则，
解得或，
，
，
将线段平移，点平移后的对应点分别记为点，则，且，
四边形为平行四边形，
当点在点右侧时，分两种情况，如图所示：
由平行四边形性质可知，以为顶点的四边形周长为，
两种情况中不变，第一种情况的显然比第二种情况的小，
第二种情况，即在点右侧时，四边形周长最大，
设，
，，
由点的平移规律可得，
将代入抛物线，得，
则，
或（与在点右侧矛盾，舍去），
则，
，
，
以为顶点的四边形周长的最大值为．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、图形平移、平行四边形的判定与性质、两点之间距离公式（勾股定理）、解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质、平行四边形周长、二次函数综合问题求解方法是解决问题的关键．
11．(1)顶点为，
(2)m的值是1或3
(3)或
【分析】（1）将函数一般式化为顶点式，即可得顶点，令，则，当时，，解得，即可求得；
（2）将抛物线函数化为顶点式得对称轴为直线，由对称性即可知，结合平行四边形的性质得，即，解方程即可；
（3）①当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可；②当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
顶点为．
令，则，
当时，，
解得，，，
∴，
；
（2）解：如图，
∵抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
轴
点与点关于直线对称，
．
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
，
即，解得：，
的值是1或3；
（3）解：①当点在抛物线上时，即，
抛物线的顶点为点坐标为，
图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，
最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为，
当时，，解得：，（舍去）
；
②当点在抛物线上时，即
抛物线的顶点为，点坐标为，，
图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，
最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为1，
当时，，解得：，，
综上，或．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质，绝对值的意义，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉二次函数的性质．
12．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，进而根据，建立方程，解方程，即可求解；
（3）先求得新抛物线的对称轴为，设，进而求得，再分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可．
【详解】（1）解：把，代入得
，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
∴，令，则，
解得或，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
∵轴，
∴，
∵轴，
∴，
代入，
得，
解得，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴
解得：或
当时，，则
当时，，则
综上所述，或
（3）解：∵，，
∴点向右平移3个单位得到点，
∴向右平移3个单位得到新抛物线，
∵，
∴，
∴新抛物线的对称轴为，
设，
当时，解得：
∴新抛物线与轴左侧交点为，则
∵，
①当、为对角线时，则、为菱形的边，
∴，即，
此方程无解，
②当、为对角线时，则、为菱形的边，
∴，即，
整理得，
解得，
当时，，
∴，即，
解得，
∴；
当时，，
∴，即，
解得，
∴；
③当、为对角线时，则、为菱形的边，
∴，即，
解得，
∴，
∴，即，
解得，
∴（不在第一象限，舍去）；
综上，点N的坐标为或 ．
13．(1)，，
(2)存在；或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键．
（1）分别令，，即可求出三点的坐标；
（2）根据三点的坐标求直线的函数表达式，根据直线的表达式设点D的坐标为，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：对于来说，
当时 ，；
故点，
当时，有，
解得：，
∴，；
（2）解：存在：
设直线的表达式为：；
将，代入得： ，
解得：
故直线的表达式为： ；
设点D的坐标为，其中，
∵，，
∴，，，
∵，
∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴点D的坐标为，
∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴点D的坐标为，
∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或；
14．(1)抛物线的解析式
(2)，
(3)，，，
(4)或
【分析】本题主要考查二次函数的应用、矩形的性质、一元二次方程、不等式等知识点，熟练应用分类讨论思想和掌握相关知识并正确解读题意是解题的关键．
（1）将代入中求得c，结合对称轴求得b即可；
（2）由（1）知，结合题意知和，列出等式求解即可；
（3）由（2）知，，解二元一次方程求得，结合为正方形的性质得，列出方程求解即可；
（4）分五种情况：当点在直线对称轴的左边，点在点上面时；当点在直线的左边，点在点和x轴下面时；当点在直线的左边，且点在x轴上面、在点下面时；当点在直线的左边，点在点和x轴下面，在点上面时；当点在直线的右边，点在点和x轴上面，在点上面时；分析出符合题意的情况即可求解即可．
【详解】（1）解：将代入中
解得：．
∵对称轴为直线，
∴，解得，
则该抛物线的解析式；
（2）解：由（1）知
由题意知、，
点与点重合时，，
解得：，；
（3）解：由（2）知，，
令，解得，
∴，
∵矩形为正方形，
∴，
∴
即或，
解得，，，；
（4）解：当点在直线对称轴的左边，点在点上面时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，如图，不合题意；
当点在直线的左边，对称轴的右边，且点在x轴下面、在点上面时，抛物线在矩形内不存在对应的部分，如图，不合题意；
当点在直线的左边，且点在x轴上面、在点下面时，抛物线在矩形内不存在对应的部分，如图，不合题意；
当点在直线的左边，点在点和x轴下面时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大，如图，
此时，且，解得；
当点在直线的右边，点在点上面时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大，如图，
此时，且，解得；
综上，或时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大．
15．(1)直线的解析式为，抛物线的解析式是；
(2)3
(3)
【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据题意得出，，连接，然后结合图形得出即可求解；
（3）分是正方形的边和是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于点
∴，，
∴，
∴直线的解析式为，抛物线的解析式是；
（2）解：联立方程组，
解得或，
∴点A的坐标是，
当时，，
∴点C的坐标是，
∴，
连接，如图所示：
∴；
（3）解：当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示：
此时M点与A点关于y轴对称，点Q与点O重合，点P与点Q关于对称，
∴，，
∴，，，
∴当，时，四边形为正方形；
同理，当点M与顶点C重合，点Q与点O重合时，如图所示：
∴当，时，四边形为正方形；
当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示：作点A关于的对称点M，
∴，，
∴当，时，，四边形为正方形；
如图，当是正方形的对角线时，如图所示：
∴点P的纵坐标为
∴
∴
∵
∴
综上所述：M点坐标为．

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