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圆--与扇形弧长和面积相关
1．如图，在中，，点D是的中点，以A为圆心的圆过点D．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求阴影部分的面积．
2．如图，为外接圆，为的直径，，是的切线，，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求阴影部分的面积．（结果不取近似值，请保留精确值）
3．已知：如图，在中，，以为直径作，交于点，与所在直线交于点，连接．
(1)如图1，点在边上，当时，求的度数；
(2)如图2，点在边延长线上，若，，求的长．
4．如图，是的外接圆，是的直径，，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求线段，和围成的阴影部分面积．
5．如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，．
(1)求的长；
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留）．
6．在中，与相切于点C，与相交于点D，E为上一点，连接．
(1)如图1，求的大小；
(2)如图2，与相交于点F，延长与相交于点G，若，且，求的长（结果保留π）．
7．如图，是的外接圆的直径，线段与相切于点，连接，交，于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若，求阴影部分的面积．
8．如图，在中，是的直径，是过上一点C的直线，且于点D，，E是的中点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
9．已知：如图，为的直径，点，为上不同于，的两点，连接，并延长，与过点的直线分别交于，两点，连接，．
(1)如图，求证：直线为的切线；
(2)如图，连接，当，且时，求的长．
10．如图，内接于，连接，平分，点D在弧上，过点B作，交的延长线于点E，．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ，，求阴影部分的面积．
11．如图，，，分别与相切于，，三点，且，，．
(1)求证：；
(2)求图中阴影部分的面积．
12．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D、E，过点D作，垂足为点F．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点E是半圆的一个三等分点，求阴影部分的面积．
13．如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，垂足为点，延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
14．如图，为的直径，，点是上且位于上方一点，，点是上一动点，且不与、、重合，过点作的平行线．
(1)求的长度；
(2)当点在上方且直线与相切时，求的长；（结果保留）
(3)当时，求扇形的面积；（结果保留）
(4)当直线与相交时，设另一个交点为，连接、，当时，直接写出线段的长．
15．已知半圆O的直径，为半圆O的弦长，且，点C在射线上，以为直径作半圆D．
(1)如图1，当点C与点O重合时，连接交半圆D于点P，连接．
的度数为_______；比较大小：_______（填“”“”或“”）；
(2)如图2，若与半圆D相切于点G，当时，求半圆D的半径长；
(3)射线交半圆D于点Q，若，当两个半圆的半径之间存在2倍关系时，直接写出劣弧的长．
《圆--与扇形弧长和面积相关 高频考点归纳专项练2026年数学中考一轮复习备考》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】（1）推导出，是的半径，则与相切，即可解答；
（2）先求出，，得到，继而推导出，，再根据，即可解答
【详解】（1）证明：∵，点D是的中点
∴
∵以点A为圆心，且过点D
∴是的半径
∴与相切；
（2）解：在中，，
∴
∴，，
∴，
∵点D是的中点
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∴，
∴
答：阴影部分的面积为．
2．(1)见详解
(2)
【分析】（1）首先证明，结合，即可证明结论；
（2）用梯形的面积减去扇形的面积即得阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）连接，如下图，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，且为的直径，，
∴，，
∴阴影部分的面积
．
3．(1)
(2)
【分析】（1）由等边对等角得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，则，由直角三角形中的两个锐角互余即可得出答案．
（2）连接，，由直径所对的圆周角等于90度得出，由三线合一的性质得出，再根据正弦的定义得出，由外角的定义得出，由余弦的定义得出，再求出半径，由圆周角定理得出，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
（2）解：连接，，
∵，，
∴，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长．
4．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用平行线的性质证得，即可得到是的切线；
（2）连接，作于点，证得四边形是正方形，得到，解直角三角形求得，在中，解直角三角形求得，再根据阴影部分面积，列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，又是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴阴影部分面积．
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到，由是直径推出，再利用勾股定理即可求解；
（2）连接，根据即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
是的中位线，
．
是直径，
，
．
（2）解：如图，连接，
，
是等边三角形，
，
，
．
6．(1)
(2)
【分析】（1）连接，根据题意得出，进而得出，再根据圆周角定理求出结论；
（2）连接，先求出，证明是等边三角形，得出，根据弧长公式计算即可．
【详解】（1）解：连接，
与相切于点C，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
的长．
7．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先根据切线的性质得，进而得出，再结合已知条件可得，则此题可解；
（2）先根据直径所对的圆周角得，再根据“同弧所对的圆周角相等”得，接下来说明，进而得出，然后化成乘积式可得答案；
（3）先根据直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，然后说明，接下来根据同弧所对的圆周角相等，再根据圆周角定理得，即可根据勾股定理求出，最后根据得出答案．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
即；
（2）证明：连接,
∵是的直径，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接,
在中，，
∴，
∴，
根据勾股定理，得．
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴ ．
【点睛】求不规则图形的面积的常用方法是转化为求规则图形的面积差，如题目中，弓形的面积等于扇形面积减去三角形的面积即可．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由得；结合直径所对圆周角为，及，推得，由切线判定定理证得是的切线；
（2）由垂径定理得，勾股定理求得半径，判定为等边三角形；再计算、与扇形的面积，用割补法即可求解阴影面积．
【详解】（1）证明：连接，如图．
，
．
是的直径，
，即，
．
，
，即．
点在上，
是的切线；
（2）解：过作于，如图，
是的中点，，
，
，
，．
，，
．
又，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
；
∵是等边三角形，且，
∴是的中点，
∴，
在中，，
∴；
．
【点睛】本题核心是切线判定与割补法求阴影面积，关键是“连半径、证垂直”证明切线，再结合垂径定理、等边三角形性质，将阴影面积转化为三角形与扇形的面积差计算．
9．(1)见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由圆周角定理得，从而可得，又为的直径，则，从而得出，所以，然后通过切线的判定方法即可求证；
（）设与交于点，证明，所以，，然后由，则，再证明是等边三角形，所以，得，在中，，，由勾股定理得，然后通过弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵与都对着弧，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴为的切线；
（2）解：设与交于点，
∵，
∴，
由（）知，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵为的切线，
∴，
由，得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
10．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，则，由平分，，得，等量代换得即可；
（2）连接，交于点F，则，证是等边三角形，设，，得解得，由勾股定理得，证四边形是菱形，得，用割补法求面积即可．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，交于点F，则，
∵，，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
设，，
∴，，，
∴，解得，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，，
∴，
∴．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由切线长定理易得，则可得，即可得证；
（2）先由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式得到，然后根据扇形的面积公式计算即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵分别与相切于三点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
12．(1)见详解
(2)或.
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质，同位角相等两直线平行；即可解答；
（2）连接，作于点，分或两种情况；分别计算扇形的面积和三角形的面积，再计算面积差即可解答；
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：连接，作于点，
∵点是半圆的一个三等分点，
∴或，
当时，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
当时，则，
∴，
∴，，
.
.
综上所述，阴影部分的面积是或.
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得即可证明结论；
（2）过点作，垂足为点，根据垂径定理，则得，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得，解直角三角形可得，，进而得到；再证明四边形是矩形，以及；易得，则，最后根据求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，以为直径的交于点，连接，
则，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图2，，，过点作，垂足为点，
，
，
∴，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
14．(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据为的直径得出，根据圆周角定理得出，利用的三角函数即可得答案；
（2）根据切线的性质得出，根据垂径定理得出，利用弧长公式求解即可；
（3）根据可得直线是的垂直平分线，分点在上方和下方两种情况，利用平行线的性质及扇形面积公式分别求解即可；
（4）分点在上方和下方两种情况，连接、，作过点作的垂线，利用勾股定理求出，根据含角的直角三角形的性质得出，利用的三角函数分别求解即可；
【详解】（1）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵点在上方且直线与相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴是的垂直平分线，即直线是的垂直平分线，
①当点在上方时，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②当点在下方时，
∵，，
∴，
∴；
综上所述：扇形的面积为或．
（4）解：如图，当点在上方时，连接、，过点作，交延长线于，
∵为的直径，，
∴，，
∵和都是所对的圆周角，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
如图，当点在下方时，连接、，过点作于，
同理可得，，，，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
综上所述：的长为或．
15．(1)；
(2)半圆D的半径长为
(3)劣弧的长为或
【分析】（1）根据题意及圆周角定理：直径所对应的圆周角是直角，再根据垂径定理即可得答案；
（2）首先，连接，，过点O作于点H，由与半圆D相切于点G，得，再根据，，得，再由，得，进而得，最后，整理可得结论；
（3）根据题意分两种情况：当半圆O的半径是半圆D的半径的2倍时，如图2；当半圆D的半径是半圆O的半径的2倍时，如图3，进行“分类讨论”，添加辅助线，过点O作于点H，连接，，然后，根据，，得到，进而得到，再证得，最后，代入弧长公式计算即可；另一种情况与此类似可得答案．
【详解】（1）解：∵点C与点O重合，是半圆D的直径，
∴的度数为；
∴，
∵是半圆O的弦长，点O是圆心，，
∴=；
（2）解：如图1，连接，，
∵与半圆D相切于点G，
∴．
过点O作于点H，
∵，
∴，
∵的直径为，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
∴半圆D的半径长为；
（3）解：当半圆O的半径是半圆D的半径的2倍时，如图2，过点O作于点H，连接，．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴劣弧的长为；
当半圆D的半径是半圆O的半径的2倍时，如图3，过点O作于点H，连接，．
∵，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴劣弧的长为．
劣弧的长为，
综上，劣弧的长为或．
【点睛】熟练运用圆的性质，垂径定理，勾股定理，求出，，得到，能进行“分类讨论”，并熟记弧长公式是解题的关键．

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