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高二数学参考答案
1-4 DBAB 5-8.CABD 9.AB 10．ABD 11．BCD
12. 224 13. 14. .
15（1）若 4名男生相邻，有 种情况，
将 4名男生看为一个整体，和 3名女生进行排列，有 种情况．
所以共有 种不同的排法． …………………………………4 分
（2）若 3名女生不相邻，先安排 4名男生，有 种情况，
再将 3名女生插入到 4名男生形成的 5个空中，有 种，
所以共有 种情况． …………… ……………………8 分
（3）方法一：男生甲排第一名时，其他人可全排，有 种排法；
男生甲不排第一名时，可从余下不含中间的 5个位置任选 1个，有 种，
而女生乙可从除去第一名和男生甲的位置后剩下的 5个中任选 1个，有 种，
其他人全排列，只有 种不同排法，共有 种排法．综上所述，男生甲不排中间，女
生乙不排第一名，共有 种不同的排法. …………………………………13 分
方法二：7名学生全排列，有 种排法，
其中男生甲排中间，有 种排法，女生乙排第一名，有 种排法，其中都包含了男生甲排中
间且女生乙排第一名的情形，有 种，所以男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有
种不同的法． …………………………………13 分
16. （1）因为点 为 的中点，所以 ， 因为 ，所以 ，
所以
…………………………………7 分
（2）由题意得 ，故
．……………………………15 分
17.（1）由题意得 ，因为 是函数 的一个极值点，所以
， …………………………………2 分
1
即 ，当 时，解得 或 ，所以 在 和 上单调递
增；当 时，解得 ，所以 在 上单调递减，因此 是函数 的一个极值点，
所以函数 的增区间为 和 ，减区间为 ；………………… ………………7 分
（2）由（1）可知：函数 的增区间为 和 ，减区间为 ，
所以 是函数 的极小值点，且 ，所以 是函数 的极大值点，且
，当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，
所以当 时，函数 的最小值为 . …………………………………15 分
18.依题意，以 为原点，分别以 、 、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系
（如图），
可得 、 、 、 、 、 、 、 、
.
（1）依题意， ， ，从而 ，所以 ；
…………………………………4 分
（2）依题意， 是平面 的一个法向量， ， ．
设 为平面 的法向量，则 ，即 ，不妨设 ，可得 ．
， ．所以，二面角
的正弦值为 ； …………………………………10 分
2
（2）依题意， ．由（2）知 为平面 的一个法向量，于是
．所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
…………………………………14 分
又 ，所以点 平面 的距离 …………………………………17 分
19.（1） ，定义域为 ， ，令 ，得 ，当 时，
；当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当
时， 取得最大值，且最大值为 . …………………………………4
分
（2）因为函数 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，即 ，
由（1）可知， 的最大值为 1，所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 . …………………………………9 分
（3）若函数 在 上恒成立，即 在 成立，
所以 在 上恒成立，令 ，则
，因为 ，所以当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 时不符合题意；
当 时，令 ，
①当 时，即 时，则 恒成立，
即 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 时符合题意；
②当 时，即 时，令 ，
则 ，因为 ，所以 ，
所以当 时， ，所以 在 上恒成立，即函数 在 上单调递增，
3
所以当 时， ，所以 时，不符合题意.综上所述，实数 的取值范围为
.
…… ……………………………17 分
4高二数学期中试卷
一 单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．已知函数 ，则 在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．设 ，向量 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．1
3．函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在下列条件中，使 与 一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
5．用 6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．360 C．480 D．600
6．在空间直角坐标系中，点 ， ，若 关于 轴的对称点为 ， 关于坐标平面 的
对称点为 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
7．已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．某空间站由 ， ， 三个舱构成，某次实验需要 5名宇航员同时在 3个舱中开展，每个人只能去 1
个舱，每个舱至少安排 1名宇航员，其中宇航员甲只能去 舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．35 B．36 C．42 D．50
1
二 多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A． B．若 ，则 C．若 ，则 D．
10.已知函数 定义域为 ，部分对应值如表， 的导函数 的图象如图所示. 下列关于函数
的结论正确的有（ ）
A．函数 的极大值点有 个 B．函数 在 是减函数
C．若 时， 的最大值是 ，则 的最大值为 4
D．当 时，函数 有 个零点
11.在棱长为 2的正方体 中， 、 、 分别为 、 、 的中点，则下列选项正确
的是（ ）
A．若点 在平面 内，则必存在实数 ， 使得
B．直线 与 所成角的余弦值为
C．点 到直线 的距离为
D．存在实数 、 使得
2
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 用 1，2，3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （用数字作答）
13. 已知向量 ， ， ，当 时，向量 在向量 上的投影向量
为_______ （用坐标表示）
14.已知函数 在区间 上的最小值为 0，则实数 的值为
四 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．某班进行“数学与生活”演讲，有 4名男生和 3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答
）
(1)若 4名男生相邻，共有多少种不同的排法？
(2)若 3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？
(3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？
16．如图，在空间四边形 中， 为 的中点，点 满足 ，设 ， ， ．
(1)试用向量 ， ， 表示向量 ；
(2)若 ， ，求 的值．
17．已知函数 是函数 的一个极值点．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，求函数 的最小值．
3
18.如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，点 分别
在棱 和棱 上，且 为棱 的中点．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）求直线 与平面 所成角的正弦值，并求点 平面 的距离．
19. 已知函数 .
(1)求函数 的最大值；
(2)若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
(3)若函数 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
42025~2065 学年度第二学期期中调研测试
高二数学答题卡 2 0 2 6 . 0 4
注意事项
1．请用 2B铅笔填涂选
择题答案等选项；注意 考生条形码粘贴处 16．（本题满分 15分）
将所选项涂满涂黑，修 四、解答题：本大题 5小题；共 77分．
改时使用橡皮擦干净；
其它题用黑色水笔。 15．（本题满分 13分）
2．此卡不准弄脏、弄皱
或弄破，严禁折叠。 学校
填涂实例 班级 姓名
正确填涂■ 缺考□ 准考证号
一、单项选择题（每小题 5 分，共 8 道题，计 40 分）
1 A 2 A 3 A
5 A 6 A 7 A
二、多项选择题（每小题 6 分，共 3 道题，计 18 分） 4 A
9 A 10 A 11 A 8 A
三、填空题：（本大题共 3小题；每小题 5分，共 15分）
12．
13 ．
14．

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17．（本题满分 15分） 18．（本题满分 17分） 19．（本题满分 17分）
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