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四川省南充市阆中中学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列条件能判定为直角三角形的是(　　)
A． B．
C．，， D．，，
4．若，则代数式的值为（　　）
A． B． C．2026 D．2025
5．如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　）
A．点D在∠BAC的平分线上 B．
C． D．点D为BC的中点
6．下列命题是假命题的是（　　）
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．有一个角为直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
8．如图，在中，，平分交于点E，则的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知四边形为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且点D的坐标为，点P是上的一个动点，则的最小值是（　　）
A．6 B．8 C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：
①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③；④BC+FG=．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．若与最简二次根式能合并，则m的值为　 　．
13．如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为　 　．
14．如图，一艘轮船以每小时15海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于西北方向（北偏西方向），2小时后轮沿到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东方向，则此时船与小岛P的距离的长为　 　海里．（结果保留根号）．
15．如图所示的网格是正方形网格，则　 　（点A，B，C，D，E是网格线交点）．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t=　 　秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．
三、解答题（共86分）
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
18．如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．
（1）求矩形空地的周长；
（2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1．
（1）求AC的长；
（2）求∠DAB的度数．
20．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，，求的周长．
21．在中，，是中点，过点作，使．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）取中点，作，交于点，若，，求的长．
22．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点．连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
23．已知如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边OA上，点D在边OC上，且AE＝DE，已知点B(8，6)，点D(0，4)．
（1）求点E的坐标；
（2）若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设PQE的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S；
（3）在（2）的条件下，点M是射线CB上的一点，点N为平面内一点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是正方形时，请求出此时的t值与对应的点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、原计算错误，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；
C、正确，该选项符合题意；
D、原计算错误，该选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】几个被开方数完全相同的最简二次根式就是同类二次根式，只有同类二次根式才能合并，合并的时候，只需要将同类二次根式的系数相加减，根号部分不变，据此可判断A、B；二次根式的乘法，根指数不变，把被开方数相乘，据此可判断C；将被除数化为最简二次根式，再相除，据此可判断D.
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，能与合并，符合题意；
B、，不能与合并，不符合题意；
C、，不能与合并，不符合题意；
D、，不能与合并，不符合题意；
故选：A．
【分析】将二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：、∵，，
∴，即为直角三角形，故正确；
、设，，，
∴，解得 ，则，
∴不是直角三角形，故错误；
、∵，∴不是直角三角形，故错误；
、∵，∴不是直角三角形，故错误．
故选：．
【分析】利用三角形内角和和勾股定理的逆定理逐一判断即可．
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
，
故选：C．
【分析】根据题意可得，变形可得，将x-2的值代入求值即可.
5．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD
∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，
∴四边形DEAF是平行四边形，∠FAD=∠EDA，
当点D在∠BAC的平分线上时，
∴∠FAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴四边形DECF是菱形，故选项A符合题意；
当AB=AC时，不能说明四边形DECF是菱形，故B不符合题意；
当∠A =90°时，只能说明四边形DECF是矩形，故C不符合题意；
当点D为BC的中点时，不能说明四边形DECF是菱形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
先证明四边形DEAF是平行四边形，再利用平行四边形的性质得到∠FAD=∠EDA结合角平分线的定义得到∠EAD=∠EDA，从而得到AE=DE，再由菱形的判定定理即可得到结论，其余选项均不能得到四边形AFDE为菱形，由此即可解答．
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，真命题，平行四边形的判定定理之一；
B：有一个角为直角的平行四边形是矩形，真命题，矩形的判定定理之一；
C：对角线互相垂直的四边形是菱形，假命题，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
D：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，真命题，正方形的判定定理之一；
故答案为：C.
【分析】对比着记牢平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，尤其是注意区分定理的起点是四边形还是平行四边形。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
∵CD为中线，
∴CD＝AB＝5．
∵F是DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，即BF＝CD＝2.5．
故选：B．
【分析】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边中线性质以及三角形中位线定理。解题关键在于：运用勾股定理求斜边；利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质；识别并应用中位线定理确定线段比例关系。首先根据勾股定理计算斜边AB=10，在直角三角形中，斜边上的中线CD等于斜边的一半，因此CD=5，根据题意，线段BF是△CDE的中位线，所以其长度为CD的一半。
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据平行四边形的性质可得，，，根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，根据等角对等边，可得，即可求得．
9．【答案】D
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形为正方形，边长为6，
∴点A关于的对称点为点C，，
连接，则，
∴当三点共线时，的最小为的长度，
∵点D的坐标为，
∴，
∴，即的最小值为．
故选：D．
【分析】连接，点A关于的对称点为点C，则，当三点共线时，的最小为的长度，最后根据勾股定理求出的长即可．
10．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；菱形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，DE=DE，DA=DG，
∴△AED≌△GED，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，①正确，
∴∠AFG=67.5°×2=135°，③错误．
根据题意可求得BD=，BG=BD-DG=BD-CD=-1，
在等腰直角三角形EGB中，可求得BE=2-，即可求AE=AB-BE=1-(2-)=-1，
所以AH=AE=-1，即可得△HED的面积是 ，②正确；
由（1）的证明过程可得GF=FA，∠CFD=∠CDF=67.5°，所以CD=CF，即可得AC=CF+AF=CD+FG=，④正确．
综上，正确的结论为①②④．
故选B.
【分析】根据正方形的性质，利用HL得到Rt△AED≌Rt△GED，即可得到∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，进而可得∠AED=∠AFE=67.5°，证明AE=EG=GF=FA，得四边形AEGF是菱形判断①；求出∠AFG=135°，判断③；在等腰直角△EGB中，求得AE=-1，即可得到AH=AE=-1，进而求出△HED的面积判断②；由①的证明可得GF=FA，∠CFD=∠CDF=67.5°，即可得到CD=CF，求出AC=判断④解答即可．
11．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，且，
∴且，
故答案为：且．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组，即可得出答案.
12．【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵，与最简二次根式能合并，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】把化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义解答即可．
13．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意得，在中，，
，
设原点为，
，
表示的实数为．
故答案为：．
【分析】先根据勾股定理得，根据即可求得.
14．【答案】
【知识点】最简二次根式；含30°角的直角三角形；方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：过点P作PH⊥AB于H，如图，
由题意得，AB＝15×2＝30（海里），∠PBH＝90°﹣60°＝30°，
∠PAH＝90°﹣45°＝45°，
∴△PHA是等腰直角三角形，
∴AH＝PH，
∴在Rt△PHA中，设AH＝PH＝x海里，
∵在Rt△PBH中，∠PBH＝30°，
∴PB＝2PH＝2x海里，
∴BH＝＝
∵BH＋AH＝AB，
∴＋x＝30，
解得，，
∴PB＝2x＝（海里），
答：此时船与小岛P的距离为()海里，
故答案为：．
【分析】过P作PH⊥AB于H，设PH＝x海里，根据等腰直角三角形的判定与性质可得AH=PH=x海里，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理可得BH=，根据BH+AH=AB，列出方程，解方程即可求得.
15．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；两直线平行，内错角相等；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接AD，如图：
∵，，，
即，
∴△ADC是等腰直角三角形，且∠ADC，
∴∠ACD，
∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF，
∴∠BAC+∠CDE=∠ACF +∠DCF=∠ACD，
故答案为：．
【分析】连接AD，根据勾股定理的逆定理得到△ADC是等腰直角三角形，即可得到∠BAC+∠CDE=∠ACD，即可求解．
16．【答案】3或6
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：当P运动在线段AD上运动时， AP=3t，CQ=t，
∴DP=AD-AP=12-3t，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴12-3t=t，
∴t=3秒；
当P运动到AD线段以外时，AP=3t，CQ=t，
∴DP=3t-12，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴3t-12=t，
∴t=6秒，
故答案为：3或6.
【分析】先根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，再根据平行四边形的对边相等，列出方程求解即可.
17．【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
；
（4）解：，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的除法和乘法法则计算，化简二次根式，再合并同类型即可求得；
（2）利用平方差公式计算即可求得；
（3）先计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再化简二次根式，最后合并同类型即可求得．
（4）先化简二次根式，再合并同类型即可求得.
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．【答案】（1）解：．
答：矩形空地的周长为；
（2）解：，
，
，
．
（元）．
答：购买地砖需要花费780元．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求得；
（2）先求得长方形的面积，根据面积乘以20，即可求得总花费．
（1）解：．
答：矩形空地的周长为；
（2）解：
．
（元）．
答：购买地砖需要花费780元．
19．【答案】（1）解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，AD＝1，
∴AC2+AD2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝45°+90°＝135°．
∠DAB的度数为135°．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可求AC；
（2）根据∠B＝90°，AB＝BC＝2可得∠BAC＝45°，根据勾股定理的逆定理可证明△ACD是直角三角形推出∠CAD＝90°，即可求得∠DAB．
（1）解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，AD＝1，
∴AC2+AD2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝45°+90°＝135°．
∠DAB的度数为135°．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（）根据平行四边形的性质可得，，根据中点的性质可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明；
（）根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠ABE=∠AEB，根据等角对等边可证，进而可得AD=2AE，即可求得.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
21．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，是中点，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：连接，
是的中点，，
，
四边形是矩形，，，
，，
设，则，
四边形是矩形，
，
在中，
，
，
，
即.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先得到四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的“三线合一”，证明结论即可；
（2）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，设，即可得到，在中，根据勾股定理求出的值解答即可．
22．【答案】(1)证明： ∵四边形是矩形，∴，，
∴，．
∵MN垂直平分BD，
∴ ．
在和中，
，
∴()，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是菱形．
(2)解：∵四边形是菱形，
∴．
设长为，则，
在中，
即，
解得：
所以长为．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和垂直平分线的性质，利用AAS得到，即可得到，即可得到四边形是平行四边形，然后利用证明结论即可；
（2）根据菱形的性质可得，设长为，在中根据勾股定理求出x的值解答即可．
23．【答案】（1）解：∵点，点，四边形为矩形，
∴，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理可得，
即，解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：①当点在点右侧时，如下图，
根据题意，，，
∴，
∴；
②如下图，当点在点左侧时，
根据题意，，，
∴，
∴．
综上所述，；
（3）解：若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，可分情况讨论：
①如下图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如下图，过点作于点，
∴四边形、均为矩形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
解得；
③如下图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，若满足四边形是正方形，当时，；当时，；当时，．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）设，则，在中，根据勾股定理可得，求解可得，即可求得点的坐标；
（2）分两种情况讨论：当点在点右侧和点在点左侧时，利用三角形面积公式即可求得；
（3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论即可求得．
（1）解：∵点，点，四边形为矩形，
∴，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理可得，
即，解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）①如下图，当点在点右侧时，
根据题意，，，
∴，
∴；
②如下图，当点在点左侧时，
根据题意，，，
∴，
∴．
综上所述，；
（3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，
可分情况讨论：
①如下图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如下图，过点作于点，
∴四边形、均为矩形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
解得；
③如下图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，若满足四边形是正方形，当时，；当时，；当时，．
1 / 1四川省南充市阆中中学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、原计算错误，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；
C、正确，该选项符合题意；
D、原计算错误，该选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】几个被开方数完全相同的最简二次根式就是同类二次根式，只有同类二次根式才能合并，合并的时候，只需要将同类二次根式的系数相加减，根号部分不变，据此可判断A、B；二次根式的乘法，根指数不变，把被开方数相乘，据此可判断C；将被除数化为最简二次根式，再相除，据此可判断D.
2．下列二次根式化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，能与合并，符合题意；
B、，不能与合并，不符合题意；
C、，不能与合并，不符合题意；
D、，不能与合并，不符合题意；
故选：A．
【分析】将二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
3．下列条件能判定为直角三角形的是(　　)
A． B．
C．，， D．，，
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：、∵，，
∴，即为直角三角形，故正确；
、设，，，
∴，解得 ，则，
∴不是直角三角形，故错误；
、∵，∴不是直角三角形，故错误；
、∵，∴不是直角三角形，故错误．
故选：．
【分析】利用三角形内角和和勾股定理的逆定理逐一判断即可．
4．若，则代数式的值为（　　）
A． B． C．2026 D．2025
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
，
故选：C．
【分析】根据题意可得，变形可得，将x-2的值代入求值即可.
5．如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　）
A．点D在∠BAC的平分线上 B．
C． D．点D为BC的中点
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD
∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，
∴四边形DEAF是平行四边形，∠FAD=∠EDA，
当点D在∠BAC的平分线上时，
∴∠FAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴四边形DECF是菱形，故选项A符合题意；
当AB=AC时，不能说明四边形DECF是菱形，故B不符合题意；
当∠A =90°时，只能说明四边形DECF是矩形，故C不符合题意；
当点D为BC的中点时，不能说明四边形DECF是菱形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
先证明四边形DEAF是平行四边形，再利用平行四边形的性质得到∠FAD=∠EDA结合角平分线的定义得到∠EAD=∠EDA，从而得到AE=DE，再由菱形的判定定理即可得到结论，其余选项均不能得到四边形AFDE为菱形，由此即可解答．
6．下列命题是假命题的是（　　）
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．有一个角为直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，真命题，平行四边形的判定定理之一；
B：有一个角为直角的平行四边形是矩形，真命题，矩形的判定定理之一；
C：对角线互相垂直的四边形是菱形，假命题，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
D：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，真命题，正方形的判定定理之一；
故答案为：C.
【分析】对比着记牢平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，尤其是注意区分定理的起点是四边形还是平行四边形。
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
∵CD为中线，
∴CD＝AB＝5．
∵F是DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，即BF＝CD＝2.5．
故选：B．
【分析】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边中线性质以及三角形中位线定理。解题关键在于：运用勾股定理求斜边；利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质；识别并应用中位线定理确定线段比例关系。首先根据勾股定理计算斜边AB=10，在直角三角形中，斜边上的中线CD等于斜边的一半，因此CD=5，根据题意，线段BF是△CDE的中位线，所以其长度为CD的一半。
8．如图，在中，，平分交于点E，则的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据平行四边形的性质可得，，，根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，根据等角对等边，可得，即可求得．
9．如图，已知四边形为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且点D的坐标为，点P是上的一个动点，则的最小值是（　　）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形为正方形，边长为6，
∴点A关于的对称点为点C，，
连接，则，
∴当三点共线时，的最小为的长度，
∵点D的坐标为，
∴，
∴，即的最小值为．
故选：D．
【分析】连接，点A关于的对称点为点C，则，当三点共线时，的最小为的长度，最后根据勾股定理求出的长即可．
10．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：
①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③；④BC+FG=．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；菱形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，DE=DE，DA=DG，
∴△AED≌△GED，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，①正确，
∴∠AFG=67.5°×2=135°，③错误．
根据题意可求得BD=，BG=BD-DG=BD-CD=-1，
在等腰直角三角形EGB中，可求得BE=2-，即可求AE=AB-BE=1-(2-)=-1，
所以AH=AE=-1，即可得△HED的面积是 ，②正确；
由（1）的证明过程可得GF=FA，∠CFD=∠CDF=67.5°，所以CD=CF，即可得AC=CF+AF=CD+FG=，④正确．
综上，正确的结论为①②④．
故选B.
【分析】根据正方形的性质，利用HL得到Rt△AED≌Rt△GED，即可得到∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，进而可得∠AED=∠AFE=67.5°，证明AE=EG=GF=FA，得四边形AEGF是菱形判断①；求出∠AFG=135°，判断③；在等腰直角△EGB中，求得AE=-1，即可得到AH=AE=-1，进而求出△HED的面积判断②；由①的证明可得GF=FA，∠CFD=∠CDF=67.5°，即可得到CD=CF，求出AC=判断④解答即可．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，且，
∴且，
故答案为：且．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组，即可得出答案.
12．若与最简二次根式能合并，则m的值为　 　．
【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵，与最简二次根式能合并，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】把化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义解答即可．
13．如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意得，在中，，
，
设原点为，
，
表示的实数为．
故答案为：．
【分析】先根据勾股定理得，根据即可求得.
14．如图，一艘轮船以每小时15海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于西北方向（北偏西方向），2小时后轮沿到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东方向，则此时船与小岛P的距离的长为　 　海里．（结果保留根号）．
【答案】
【知识点】最简二次根式；含30°角的直角三角形；方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：过点P作PH⊥AB于H，如图，
由题意得，AB＝15×2＝30（海里），∠PBH＝90°﹣60°＝30°，
∠PAH＝90°﹣45°＝45°，
∴△PHA是等腰直角三角形，
∴AH＝PH，
∴在Rt△PHA中，设AH＝PH＝x海里，
∵在Rt△PBH中，∠PBH＝30°，
∴PB＝2PH＝2x海里，
∴BH＝＝
∵BH＋AH＝AB，
∴＋x＝30，
解得，，
∴PB＝2x＝（海里），
答：此时船与小岛P的距离为()海里，
故答案为：．
【分析】过P作PH⊥AB于H，设PH＝x海里，根据等腰直角三角形的判定与性质可得AH=PH=x海里，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理可得BH=，根据BH+AH=AB，列出方程，解方程即可求得.
15．如图所示的网格是正方形网格，则　 　（点A，B，C，D，E是网格线交点）．
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；两直线平行，内错角相等；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接AD，如图：
∵，，，
即，
∴△ADC是等腰直角三角形，且∠ADC，
∴∠ACD，
∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF，
∴∠BAC+∠CDE=∠ACF +∠DCF=∠ACD，
故答案为：．
【分析】连接AD，根据勾股定理的逆定理得到△ADC是等腰直角三角形，即可得到∠BAC+∠CDE=∠ACD，即可求解．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t=　 　秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．
【答案】3或6
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：当P运动在线段AD上运动时， AP=3t，CQ=t，
∴DP=AD-AP=12-3t，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴12-3t=t，
∴t=3秒；
当P运动到AD线段以外时，AP=3t，CQ=t，
∴DP=3t-12，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴3t-12=t，
∴t=6秒，
故答案为：3或6.
【分析】先根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，再根据平行四边形的对边相等，列出方程求解即可.
三、解答题（共86分）
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
；
（4）解：，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的除法和乘法法则计算，化简二次根式，再合并同类型即可求得；
（2）利用平方差公式计算即可求得；
（3）先计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再化简二次根式，最后合并同类型即可求得．
（4）先化简二次根式，再合并同类型即可求得.
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．
（1）求矩形空地的周长；
（2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）解：．
答：矩形空地的周长为；
（2）解：，
，
，
．
（元）．
答：购买地砖需要花费780元．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求得；
（2）先求得长方形的面积，根据面积乘以20，即可求得总花费．
（1）解：．
答：矩形空地的周长为；
（2）解：
．
（元）．
答：购买地砖需要花费780元．
19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1．
（1）求AC的长；
（2）求∠DAB的度数．
【答案】（1）解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，AD＝1，
∴AC2+AD2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝45°+90°＝135°．
∠DAB的度数为135°．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可求AC；
（2）根据∠B＝90°，AB＝BC＝2可得∠BAC＝45°，根据勾股定理的逆定理可证明△ACD是直角三角形推出∠CAD＝90°，即可求得∠DAB．
（1）解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，AD＝1，
∴AC2+AD2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝45°+90°＝135°．
∠DAB的度数为135°．
20．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，，求的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（）根据平行四边形的性质可得，，根据中点的性质可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明；
（）根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠ABE=∠AEB，根据等角对等边可证，进而可得AD=2AE，即可求得.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
21．在中，，是中点，过点作，使．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）取中点，作，交于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，是中点，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：连接，
是的中点，，
，
四边形是矩形，，，
，，
设，则，
四边形是矩形，
，
在中，
，
，
，
即.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先得到四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的“三线合一”，证明结论即可；
（2）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，设，即可得到，在中，根据勾股定理求出的值解答即可．
22．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点．连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明： ∵四边形是矩形，∴，，
∴，．
∵MN垂直平分BD，
∴ ．
在和中，
，
∴()，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是菱形．
(2)解：∵四边形是菱形，
∴．
设长为，则，
在中，
即，
解得：
所以长为．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和垂直平分线的性质，利用AAS得到，即可得到，即可得到四边形是平行四边形，然后利用证明结论即可；
（2）根据菱形的性质可得，设长为，在中根据勾股定理求出x的值解答即可．
23．已知如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边OA上，点D在边OC上，且AE＝DE，已知点B(8，6)，点D(0，4)．
（1）求点E的坐标；
（2）若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设PQE的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S；
（3）在（2）的条件下，点M是射线CB上的一点，点N为平面内一点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是正方形时，请求出此时的t值与对应的点M的坐标．
【答案】（1）解：∵点，点，四边形为矩形，
∴，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理可得，
即，解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：①当点在点右侧时，如下图，
根据题意，，，
∴，
∴；
②如下图，当点在点左侧时，
根据题意，，，
∴，
∴．
综上所述，；
（3）解：若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，可分情况讨论：
①如下图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如下图，过点作于点，
∴四边形、均为矩形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
解得；
③如下图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，若满足四边形是正方形，当时，；当时，；当时，．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）设，则，在中，根据勾股定理可得，求解可得，即可求得点的坐标；
（2）分两种情况讨论：当点在点右侧和点在点左侧时，利用三角形面积公式即可求得；
（3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论即可求得．
（1）解：∵点，点，四边形为矩形，
∴，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理可得，
即，解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）①如下图，当点在点右侧时，
根据题意，，，
∴，
∴；
②如下图，当点在点左侧时，
根据题意，，，
∴，
∴．
综上所述，；
（3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，
可分情况讨论：
①如下图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如下图，过点作于点，
∴四边形、均为矩形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
解得；
③如下图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，若满足四边形是正方形，当时，；当时，；当时，．
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