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四川省成都市邛崃市2025-2026学年九年级下学期数学适应性训练试卷
1．某种食品包装袋上标注质量为，对4袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）如下：，，，，则最接近标注质量的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】化简含绝对值有理数；有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，，，，
∵，
∴最小，对应食品最接近标注质量．
故答案为：D.
【分析】计算绝对值，根据绝对值小的数接近标注质量解答即可.
2．国家统计局2026年1月19日发布数据．初步核算，2025全年国内生产总值1401879亿元，按不变价格计算，比上年增长．经济社会发展主要目标任务圆满实现，“十四五”胜利收官．“十四五”时期，中国经济总量先后突破110万亿元、120万亿元、130万亿元、140万亿元，实现“四连跳”．将数据1400000亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A：∵不是同类项，不能合并，∴A错误；
选项B：∵根据积的乘方运算法则得，∴B错误；
选项C：∵根据完全平方公式得，∴C错误；
选项D：∵根据平方差公式得，等式成立，∴D正确．
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项，积的乘方法则，完全平方公式和平方差公式运算法则逐项判断即可．
4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，关于原点对称的点，横、纵坐标都为原坐标的相反数，
已知点，
的相反数是，的相反数是，
因此点关于原点对称的坐标是．
故答案为：B.
【分析】根据 关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数解答即可．
5．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，下列结论不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，
，
，
；
无法证明；
，
，，
，
故选项A、C、D正确，不符合题意，选项B不正确，符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据三角形全等的性质得到BC=EF，∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，即可得到AC∥DF，然后逐项判断解答即可．
6．在2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会上，中国体育代表团以金、银、铜，总计枚奖牌的成绩完美收官，创造了中国代表团在境外参加冬奥会的历史最佳战绩．近六届冬奥会中国代表团奖牌数分别为，，，，，（单位：枚）．这组数据的中位数是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列：，，，，，，
∵这组数据共有个，个数为偶数，中位数为排列后中间两个数的平均数，
∴中间两个数为第个和第个数，即和，
∴中位数为，
故答案为：C.
【分析】先将数据按大小顺序排列，然后求出中间两个数的平均数解答即可．
7．如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵点C，D在上，，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】由弧、弦圆心角的关系可得，然后根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可．
8．如图，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，且图象经过点，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．当时，y的值随x值的增大而增大
D．是方程的一个根
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A．∵二次函数图象开口向下，
∴，故选项错误，不符合题意；
B．∵图象与y轴的交点在正半轴，
∴当时，，故选项错误，不符合题意；
C．∵对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
，此范围包含对称轴左侧和右侧部分区域，
∴随增大而增大不成立，故选项错误，不符合题意；
D．方程
，
即求二次函数图象上函数值为时对应的值．
∵对称轴为，且图象经过点；
∴点关于对称轴的对称点横坐标为：
即点也在二次函数图象上；
当时，，成立，是方程的一个根，选项正确，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据开口方向、与y轴交点位置得到a，c的大小关系判断A，B；根据对称轴左侧图象的增减性判断C；利用函数的对称性得到时自变量x的值判断D解答即可．
9．分解因式： 　 　
【答案】(x-2)2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-4x+4=（x-2）2
【分析】本题运用完全平方差公式就可以解答了.
10．方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘最简公分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为，得，
检验：当时，．
所以是原分式方程的解．
故答案为：.
【分析】方程两边同时乘以2x(x-1)转化为整式方程，解整式方程求出x的值，并检验解答即可．
11．如图，在平行四边形中，是的中点，延长和交于点．若面积为，则平行四边形的面积为　 　．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：在平行四边形中，是的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的面积．
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质，利用AAS得到，即可得到，然后根据平行线可得，根据面积比等于相似比的平方求出△CEB的面积，然后根据平行四边形的面积=△CEB的面积解答即可．
12．已知点，都在反比例函数的图象上，则　 　（填“>”或“<”）．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：对于任意实数，都有，
，
反比例函数的图象位于第一，三象限，
点的横坐标，
点在第一象限，可得，
点的横坐标，
点在第三象限，可得，
，
即.
故答案为：.
【分析】得到，即可得到双曲线位于一、三象限，然后得到点A，B的纵坐标取值范围判断大小解答即可.
13．如图，在平面直角坐标系中，点，点．按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M和点N；②作直线交于点C，则点C的坐标为　 　．
【答案】(3，0)
【知识点】点的坐标；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设直线与的交点为点，
∵，，
∴，
∴，
由作图可知直线垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：(3，0).
【分析】设直线与的交点为点，根据勾股定理求出AB长，利用作图可知垂直平分，即可得到，，然后根据余弦的定义得到求出AC长解答即可．
14．计算与解不等式组
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）计算零指数幂、绝对值和算术平方根，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式解答即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解答即可.
15．马年春晚以“欢乐吉祥、喜气洋洋”为主基调，深度践行“人民的春晚”创作理念，精心安排了歌舞、戏曲、语言、创意融合等多类型节目．新学期第一天，春晚成为同学们热议的话题．为筹备艺术节，某校艺术社以“我最喜欢的春晚节目”为主题对本校部分学生进行了随机抽样调查，被调查学生每人都只选择了一个节目．根据调查结果按照节目类型进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“戏曲”对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该校有学生人，估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有多少人？
【答案】（1）240
解：语言类人数为，补全条形图：语言类对应条形高度为，
如图所示：

（2）解：扇形圆心角戏曲人数占比，即：
，
答：“戏曲”对应的扇形圆心角的度数为；
（3）解：样本中创意融合语言类的总人数为：，占比为，
因此估计全校人中选择创意融合类和语言类节目的总人数为：
人，
答：估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵创意融合类有人，占总人数的，
∴总抽取人数为：；
故答案为：240；
【分析】（）根据创意融合类的人数除以占比求出抽样总人数，再用总人数减去其余三类的人数求出语言类人数，补全条形统计图解答即可；
（）计算戏曲类人数占比乘以求出戏曲对应的扇形圆心角度数；
（）根据样本中创意融合类与语言类的总人数占比乘以全校总人数解答即可．
16．在主题为“用数学丈量家乡美景，用数据读懂城市发展”的综合与实践活动中，某班兴趣小组测量了家乡犹如宝石的斜拉桥主塔的高度．如图，在测点A处安置测角器，测得点N的仰角，测得点O的仰角，已知测点A距离塔底M约为94米，求斜拉桥主塔的上塔柱的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，）
【答案】解：过点B作于点D，则，
∴四边形是矩形，
（米），
∵在中，，
（米），
∵在中，，
（米），
（米），
∴斜拉桥主塔的上塔柱高约53米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点B作于点D，即可得到四边形是矩形，求出长，再根据正切的定义求出，，利用线段的和差解答即可．
17．如图，在中，，D为斜边上一点，是的外接圆，交于点F，直径交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，，求及的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，，过点D作于点H，
，，
，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
即，
，．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，利用圆周角定理的推论可得，即可得到，然后根据三角形的外角和角的和差解答即可；
（2）连接，，过点D作于点H，根据圆周角定理和圆内接四边形的对角互补得出，根据勾股定理求出BD长，再根据正切的定义求出CH长，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间．
（1）求a，b和k的值；
（2）当面积为3时，求点D的坐标；
（3）将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点，
，
解得，
，
，
；
（2）解：如图，作轴交直线于点F，作轴交于点G，H，
根据（1）可得一次函数解析式为，反比例函数解析式为，
设，则，
，
，
，
化简得，
解得，（负值舍去），
经检验，是原方程的解
；
（3）解：存在，
两顶点同时落在反比例函数图象上，
∴点与点B重合，
，，
∴平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，
①如图①，点，落在反比例函数图象上，
设，则，
，
解得：或1（舍去），
；
②如图②，点，落在反比例函数图象上，
设，则，
，
解得：或1（舍去），
，
设，
在反比例函数上，
，
，
∴
化简得，
，
解得（负数舍去），
，
∴综上所述，点E的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入一次函数求出a的值，然后再代入反比例函数解答即可；
（2）作轴交直线于点F，作轴交于点G，H，设，则，根据，列方程即求出m的值解答即可；
（3）根据点与点B重合，可得平移方向，当点，落在反比例函数图象上，设点E的坐标，即可得到点E'的坐标，然后代入解析式求出点E的坐标；当点，落在反比例函数图象上，同理渴求点D的坐标．再根据EA=ED，列方程求出点E的坐标即可.
19．七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为　 　度．
【答案】720°
【知识点】简单几何体的三视图；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：该六棱柱的俯视图为六边形，
根据多边形的内角和公式可得，其俯视图的内角和为．
故答案为：720°
【分析】先得到俯视图为六边形，再根据多边形内角和公式解答即可．
20．已知a是一元二次方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：2.
【分析】将x=a代入方程得到，将代数式化成，整体代入解答．
21．如图，筝形内接于，已知直径，，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；几何概率；几何图形的面积计算-割补法；圆的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设与相交于点E，如图，
设的半径为r，
∴，
∴圆的面积为：
∵筝形内接于，且，
∴，，对角线平分，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴点取在阴影部分的概率为．
故答案为：.
【分析】设与相交于点E，的半径为r，根据公式求出圆的面积，然后得到△BCD是等边三角形，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BD长，再求出筝形的面积，根据几何概率公式计算即可．
22．如图，在中，，D为的中点，平分，交，于点E，F，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作，，过点作交于点，
，D为的中点，
，
设，则，，
可得，
，
平分，，，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】过点作，，过点作交于点，设，根据勾股定理求出AD长，求出△ABC的面积，根据角平分线的性质得到EM=EN，根据三角形的额面积进而求出EM长，利用勾股定理求出AM长，再根据平行线得到和，利用对应边成比例解答即可．
23．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的二次项系数为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，
∵当，时，都有，
∴点离对称轴更近，点离对称轴更远，
当，位于对称轴两侧时，，的中点在对称轴左侧，即 ，
∵，，
∴，
∴要使恒成立，则，
解得；
当，位于对称轴同侧时，
∵，，
∴，
∴，在对称轴左侧，
∴，
解得：．
综上，得．
故答案为：．
【分析】得到抛物线开口方向，即可得到离对称轴越近函数值越大，进而得道，中点在对称轴左侧，或，在对称轴左侧，据此列不等式求出m的取值范围解答即可．
24．爱媛号柑橘（又名“阿蜜达”）是近年引进的新品种，由“红美人”与“春见”杂交育成．某农户种植了亩“阿蜜达”，去年处于盛果期，年产量平均/亩．为提高收益和风险可控，采用电商零售和地头统货两种销售方式，且电商零售销量不超过地头统货销量的．除去采果、运输等成本，电商零售净收入平均元/，地头统货净收入元/．
（1）求销售总收入y（元）与地头统货销量（）之间的函数关系式；
（2）若人工、化肥等种植成本为元/亩，求该农户去年种植“阿蜜达”的最大利润．
【答案】（1）解：∵总产量为，地头统货销量为，
∴电商零售销量为，
∵电商零售销量不超过地头统货销量的，
∴
解得：
∵，
∴的取值范围是，
地头统货收入元，电商零售收入元，
因此，销售总收入：
；
（2）解：设利润为，
总种植成本为：元
则，
代入得：
∵一次函数中，，
∴随的增大而减小，
∴当取最小值时，
取得最大值：
因此该农户去年种植的最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）根据电商销量不超过地头销量的得到的取值范围，根据两种销售方式的净收入列出销售总收入与x的函数关系式解答；
（）求出亩柑橘的总种植成本，利用销售总收入减去总种植成本得到利润，利用一次函数的增减性性求出最大值解答即可．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点．
（1）当时，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，若点位于直线下方的抛物线上，线段与交于点，当最大时，求点的坐标；
（3）点坐标为，点坐标为，连接，若抛物线与线段有交点，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵与轴交于，两点，
∴令，则，
，
解得，，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
把点的坐标代入，得
，
解得，
把代入解析式，得
；
（2）解：如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
∴，
∴，
∴，
∵直线过，，
∴设直线的解析式为，则
，
解得，
∴，
当时，，
∴点，
设点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大为，
此时，
∴当最大时，点的坐标为；
（3）解：若过点，
∴，
即，
若过点，
∴，
即，
∵，，
∴设直线的解析式为，则
，
解得，
∴，
若抛物线与线段有交点，
∴，
∴，
当线段与抛物线仅有一个交点时，
，
解得：，（舍去），
综上，当时，抛物线与线段有交点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点、的坐标，利用的面积求出的长，得到点的坐标，代入二次函数解析式求出的值解答即可；
（2）求出直线的解析式，设点D的坐标为，即可得到，过点、分别作轴的平行线交直线于点、，根据平行线得到，根据对应边成比例解答即可；
（3）分别代入、两点坐标求出对应的值，即可根据待定系数法求出线段的解析式，联立抛物线与直线的方程求出a的值，解答即可．
26．在平行四边形中，，点为直线上一点，将沿直线翻折得到．
（1）如图1，当时，点恰好落在四边形的对角线上，连接，求证：；
（2）如图2，当，时，点恰好落在边上，连接，与交于点，求的值；
（3）如图3，当，，时，在翻折过程中，请探究，，三点能否构成直角三角形，若能，请直接写出的值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）证明：记与的交点为点，
翻折得到，
，，，
∴点，在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：过点F作交于点M，
在平行四边形中，，
∴四边形是矩形，
，
，
∴设，则，
由勾股定理得：，
，
由翻折得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）或或或
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：（3）①当，点在上方时，
如图，延长交于点，过点作于点，
，
，
，，
，，
，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
②当，点在下方时，
如图，交于点，过点作延长线于点，
，
，
，，
，，
，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
③当，点在上方时，
如图，延长交的延长线于点，过点作于点，
，
，
，，，
，，
由翻折，得，
，
，
，，，
设，
则，，，
，
解得，
；
④当，点在下方时，
如图，交的延长线于点，过点作直线于点，
，
，
，，，
，，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
⑤不存在的情况；
综上所述，或或或．
【分析】（1）记与的交点为点，根据折叠的性质得到，在的垂直平分线上，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例证明即可；
（2）过点F作交于点M，先得到ABCD是矩形，设，则，根据勾股定理求出，推理得到，根据对应边成比例求出DE长，再根据平行线得到，求出FM的长，利用平行线分线段成比例解答即可；
（3）分为①当，点在上方时；②当，点在下方时；③当，点在上方时；④当，点在下方；⑤，作辅助线构造直角三角形，根据解含30°的直角三角形计算即可．
1 / 1四川省成都市邛崃市2025-2026学年九年级下学期数学适应性训练试卷
1．某种食品包装袋上标注质量为，对4袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）如下：，，，，则最接近标注质量的是（　　）
A． B． C． D．
2．国家统计局2026年1月19日发布数据．初步核算，2025全年国内生产总值1401879亿元，按不变价格计算，比上年增长．经济社会发展主要目标任务圆满实现，“十四五”胜利收官．“十四五”时期，中国经济总量先后突破110万亿元、120万亿元、130万亿元、140万亿元，实现“四连跳”．将数据1400000亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，下列结论不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．在2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会上，中国体育代表团以金、银、铜，总计枚奖牌的成绩完美收官，创造了中国代表团在境外参加冬奥会的历史最佳战绩．近六届冬奥会中国代表团奖牌数分别为，，，，，（单位：枚）．这组数据的中位数是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，且图象经过点，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．当时，y的值随x值的增大而增大
D．是方程的一个根
9．分解因式： 　 　
10．方程的解为　 　．
11．如图，在平行四边形中，是的中点，延长和交于点．若面积为，则平行四边形的面积为　 　．
12．已知点，都在反比例函数的图象上，则　 　（填“>”或“<”）．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，点．按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M和点N；②作直线交于点C，则点C的坐标为　 　．
14．计算与解不等式组
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．马年春晚以“欢乐吉祥、喜气洋洋”为主基调，深度践行“人民的春晚”创作理念，精心安排了歌舞、戏曲、语言、创意融合等多类型节目．新学期第一天，春晚成为同学们热议的话题．为筹备艺术节，某校艺术社以“我最喜欢的春晚节目”为主题对本校部分学生进行了随机抽样调查，被调查学生每人都只选择了一个节目．根据调查结果按照节目类型进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“戏曲”对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该校有学生人，估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有多少人？
16．在主题为“用数学丈量家乡美景，用数据读懂城市发展”的综合与实践活动中，某班兴趣小组测量了家乡犹如宝石的斜拉桥主塔的高度．如图，在测点A处安置测角器，测得点N的仰角，测得点O的仰角，已知测点A距离塔底M约为94米，求斜拉桥主塔的上塔柱的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，）
17．如图，在中，，D为斜边上一点，是的外接圆，交于点F，直径交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，，求及的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间．
（1）求a，b和k的值；
（2）当面积为3时，求点D的坐标；
（3）将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
19．七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为　 　度．
20．已知a是一元二次方程的一个根，则的值为　 　．
21．如图，筝形内接于，已知直径，，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为　 　．
22．如图，在中，，D为的中点，平分，交，于点E，F，则　 　．
23．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围为　 　．
24．爱媛号柑橘（又名“阿蜜达”）是近年引进的新品种，由“红美人”与“春见”杂交育成．某农户种植了亩“阿蜜达”，去年处于盛果期，年产量平均/亩．为提高收益和风险可控，采用电商零售和地头统货两种销售方式，且电商零售销量不超过地头统货销量的．除去采果、运输等成本，电商零售净收入平均元/，地头统货净收入元/．
（1）求销售总收入y（元）与地头统货销量（）之间的函数关系式；
（2）若人工、化肥等种植成本为元/亩，求该农户去年种植“阿蜜达”的最大利润．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点．
（1）当时，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，若点位于直线下方的抛物线上，线段与交于点，当最大时，求点的坐标；
（3）点坐标为，点坐标为，连接，若抛物线与线段有交点，求的取值范围．
26．在平行四边形中，，点为直线上一点，将沿直线翻折得到．
（1）如图1，当时，点恰好落在四边形的对角线上，连接，求证：；
（2）如图2，当，时，点恰好落在边上，连接，与交于点，求的值；
（3）如图3，当，，时，在翻折过程中，请探究，，三点能否构成直角三角形，若能，请直接写出的值，若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】化简含绝对值有理数；有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，，，，
∵，
∴最小，对应食品最接近标注质量．
故答案为：D.
【分析】计算绝对值，根据绝对值小的数接近标注质量解答即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A：∵不是同类项，不能合并，∴A错误；
选项B：∵根据积的乘方运算法则得，∴B错误；
选项C：∵根据完全平方公式得，∴C错误；
选项D：∵根据平方差公式得，等式成立，∴D正确．
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项，积的乘方法则，完全平方公式和平方差公式运算法则逐项判断即可．
4．【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，关于原点对称的点，横、纵坐标都为原坐标的相反数，
已知点，
的相反数是，的相反数是，
因此点关于原点对称的坐标是．
故答案为：B.
【分析】根据 关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数解答即可．
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，
，
，
；
无法证明；
，
，，
，
故选项A、C、D正确，不符合题意，选项B不正确，符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据三角形全等的性质得到BC=EF，∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，即可得到AC∥DF，然后逐项判断解答即可．
6．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列：，，，，，，
∵这组数据共有个，个数为偶数，中位数为排列后中间两个数的平均数，
∴中间两个数为第个和第个数，即和，
∴中位数为，
故答案为：C.
【分析】先将数据按大小顺序排列，然后求出中间两个数的平均数解答即可．
7．【答案】A
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵点C，D在上，，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】由弧、弦圆心角的关系可得，然后根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A．∵二次函数图象开口向下，
∴，故选项错误，不符合题意；
B．∵图象与y轴的交点在正半轴，
∴当时，，故选项错误，不符合题意；
C．∵对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
，此范围包含对称轴左侧和右侧部分区域，
∴随增大而增大不成立，故选项错误，不符合题意；
D．方程
，
即求二次函数图象上函数值为时对应的值．
∵对称轴为，且图象经过点；
∴点关于对称轴的对称点横坐标为：
即点也在二次函数图象上；
当时，，成立，是方程的一个根，选项正确，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据开口方向、与y轴交点位置得到a，c的大小关系判断A，B；根据对称轴左侧图象的增减性判断C；利用函数的对称性得到时自变量x的值判断D解答即可．
9．【答案】(x-2)2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-4x+4=（x-2）2
【分析】本题运用完全平方差公式就可以解答了.
10．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘最简公分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为，得，
检验：当时，．
所以是原分式方程的解．
故答案为：.
【分析】方程两边同时乘以2x(x-1)转化为整式方程，解整式方程求出x的值，并检验解答即可．
11．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：在平行四边形中，是的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的面积．
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质，利用AAS得到，即可得到，然后根据平行线可得，根据面积比等于相似比的平方求出△CEB的面积，然后根据平行四边形的面积=△CEB的面积解答即可．
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：对于任意实数，都有，
，
反比例函数的图象位于第一，三象限，
点的横坐标，
点在第一象限，可得，
点的横坐标，
点在第三象限，可得，
，
即.
故答案为：.
【分析】得到，即可得到双曲线位于一、三象限，然后得到点A，B的纵坐标取值范围判断大小解答即可.
13．【答案】(3，0)
【知识点】点的坐标；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设直线与的交点为点，
∵，，
∴，
∴，
由作图可知直线垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：(3，0).
【分析】设直线与的交点为点，根据勾股定理求出AB长，利用作图可知垂直平分，即可得到，，然后根据余弦的定义得到求出AC长解答即可．
14．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）计算零指数幂、绝对值和算术平方根，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式解答即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解答即可.
15．【答案】（1）240
解：语言类人数为，补全条形图：语言类对应条形高度为，
如图所示：

（2）解：扇形圆心角戏曲人数占比，即：
，
答：“戏曲”对应的扇形圆心角的度数为；
（3）解：样本中创意融合语言类的总人数为：，占比为，
因此估计全校人中选择创意融合类和语言类节目的总人数为：
人，
答：估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵创意融合类有人，占总人数的，
∴总抽取人数为：；
故答案为：240；
【分析】（）根据创意融合类的人数除以占比求出抽样总人数，再用总人数减去其余三类的人数求出语言类人数，补全条形统计图解答即可；
（）计算戏曲类人数占比乘以求出戏曲对应的扇形圆心角度数；
（）根据样本中创意融合类与语言类的总人数占比乘以全校总人数解答即可．
16．【答案】解：过点B作于点D，则，
∴四边形是矩形，
（米），
∵在中，，
（米），
∵在中，，
（米），
（米），
∴斜拉桥主塔的上塔柱高约53米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点B作于点D，即可得到四边形是矩形，求出长，再根据正切的定义求出，，利用线段的和差解答即可．
17．【答案】（1）证明：如图，连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，，过点D作于点H，
，，
，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
即，
，．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，利用圆周角定理的推论可得，即可得到，然后根据三角形的外角和角的和差解答即可；
（2）连接，，过点D作于点H，根据圆周角定理和圆内接四边形的对角互补得出，根据勾股定理求出BD长，再根据正切的定义求出CH长，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
18．【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点，
，
解得，
，
，
；
（2）解：如图，作轴交直线于点F，作轴交于点G，H，
根据（1）可得一次函数解析式为，反比例函数解析式为，
设，则，
，
，
，
化简得，
解得，（负值舍去），
经检验，是原方程的解
；
（3）解：存在，
两顶点同时落在反比例函数图象上，
∴点与点B重合，
，，
∴平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，
①如图①，点，落在反比例函数图象上，
设，则，
，
解得：或1（舍去），
；
②如图②，点，落在反比例函数图象上，
设，则，
，
解得：或1（舍去），
，
设，
在反比例函数上，
，
，
∴
化简得，
，
解得（负数舍去），
，
∴综上所述，点E的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入一次函数求出a的值，然后再代入反比例函数解答即可；
（2）作轴交直线于点F，作轴交于点G，H，设，则，根据，列方程即求出m的值解答即可；
（3）根据点与点B重合，可得平移方向，当点，落在反比例函数图象上，设点E的坐标，即可得到点E'的坐标，然后代入解析式求出点E的坐标；当点，落在反比例函数图象上，同理渴求点D的坐标．再根据EA=ED，列方程求出点E的坐标即可.
19．【答案】720°
【知识点】简单几何体的三视图；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：该六棱柱的俯视图为六边形，
根据多边形的内角和公式可得，其俯视图的内角和为．
故答案为：720°
【分析】先得到俯视图为六边形，再根据多边形内角和公式解答即可．
20．【答案】2
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：2.
【分析】将x=a代入方程得到，将代数式化成，整体代入解答．
21．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；几何概率；几何图形的面积计算-割补法；圆的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设与相交于点E，如图，
设的半径为r，
∴，
∴圆的面积为：
∵筝形内接于，且，
∴，，对角线平分，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴点取在阴影部分的概率为．
故答案为：.
【分析】设与相交于点E，的半径为r，根据公式求出圆的面积，然后得到△BCD是等边三角形，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BD长，再求出筝形的面积，根据几何概率公式计算即可．
22．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作，，过点作交于点，
，D为的中点，
，
设，则，，
可得，
，
平分，，，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】过点作，，过点作交于点，设，根据勾股定理求出AD长，求出△ABC的面积，根据角平分线的性质得到EM=EN，根据三角形的额面积进而求出EM长，利用勾股定理求出AM长，再根据平行线得到和，利用对应边成比例解答即可．
23．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的二次项系数为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，
∵当，时，都有，
∴点离对称轴更近，点离对称轴更远，
当，位于对称轴两侧时，，的中点在对称轴左侧，即 ，
∵，，
∴，
∴要使恒成立，则，
解得；
当，位于对称轴同侧时，
∵，，
∴，
∴，在对称轴左侧，
∴，
解得：．
综上，得．
故答案为：．
【分析】得到抛物线开口方向，即可得到离对称轴越近函数值越大，进而得道，中点在对称轴左侧，或，在对称轴左侧，据此列不等式求出m的取值范围解答即可．
24．【答案】（1）解：∵总产量为，地头统货销量为，
∴电商零售销量为，
∵电商零售销量不超过地头统货销量的，
∴
解得：
∵，
∴的取值范围是，
地头统货收入元，电商零售收入元，
因此，销售总收入：
；
（2）解：设利润为，
总种植成本为：元
则，
代入得：
∵一次函数中，，
∴随的增大而减小，
∴当取最小值时，
取得最大值：
因此该农户去年种植的最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）根据电商销量不超过地头销量的得到的取值范围，根据两种销售方式的净收入列出销售总收入与x的函数关系式解答；
（）求出亩柑橘的总种植成本，利用销售总收入减去总种植成本得到利润，利用一次函数的增减性性求出最大值解答即可．
25．【答案】（1）解：∵与轴交于，两点，
∴令，则，
，
解得，，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
把点的坐标代入，得
，
解得，
把代入解析式，得
；
（2）解：如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
∴，
∴，
∴，
∵直线过，，
∴设直线的解析式为，则
，
解得，
∴，
当时，，
∴点，
设点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大为，
此时，
∴当最大时，点的坐标为；
（3）解：若过点，
∴，
即，
若过点，
∴，
即，
∵，，
∴设直线的解析式为，则
，
解得，
∴，
若抛物线与线段有交点，
∴，
∴，
当线段与抛物线仅有一个交点时，
，
解得：，（舍去），
综上，当时，抛物线与线段有交点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点、的坐标，利用的面积求出的长，得到点的坐标，代入二次函数解析式求出的值解答即可；
（2）求出直线的解析式，设点D的坐标为，即可得到，过点、分别作轴的平行线交直线于点、，根据平行线得到，根据对应边成比例解答即可；
（3）分别代入、两点坐标求出对应的值，即可根据待定系数法求出线段的解析式，联立抛物线与直线的方程求出a的值，解答即可．
26．【答案】（1）证明：记与的交点为点，
翻折得到，
，，，
∴点，在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：过点F作交于点M，
在平行四边形中，，
∴四边形是矩形，
，
，
∴设，则，
由勾股定理得：，
，
由翻折得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）或或或
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：（3）①当，点在上方时，
如图，延长交于点，过点作于点，
，
，
，，
，，
，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
②当，点在下方时，
如图，交于点，过点作延长线于点，
，
，
，，
，，
，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
③当，点在上方时，
如图，延长交的延长线于点，过点作于点，
，
，
，，，
，，
由翻折，得，
，
，
，，，
设，
则，，，
，
解得，
；
④当，点在下方时，
如图，交的延长线于点，过点作直线于点，
，
，
，，，
，，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
⑤不存在的情况；
综上所述，或或或．
【分析】（1）记与的交点为点，根据折叠的性质得到，在的垂直平分线上，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例证明即可；
（2）过点F作交于点M，先得到ABCD是矩形，设，则，根据勾股定理求出，推理得到，根据对应边成比例求出DE长，再根据平行线得到，求出FM的长，利用平行线分线段成比例解答即可；
（3）分为①当，点在上方时；②当，点在下方时；③当，点在上方时；④当，点在下方；⑤，作辅助线构造直角三角形，根据解含30°的直角三角形计算即可．
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