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2025年学院路中学八年级数学入学考试试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如果分式的值为零，那么x应为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
2．（3分）100的算术平方根是（　　）
A．﹣10 B．10 C．±10 D．
3．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列各式中正确的是（　　）
A． B．
C．＝±4 D．＝3
5．（3分）不等式x＞﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，∠ABC＝∠BAD，添加下列条件不一定得到△ABC≌△BAD的是（　　）
A．∠CAB＝∠DBA B．∠C＝∠D C．AC＝BD D．AD＝BC
7．（3分）下列各命题的逆命题，属于假命题的是（　　）
A．锐角三角形是等边三角形
B．直角三角形的两个锐角互余
C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等
D．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等
8．（3分）下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，且△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（　　）
A．15cm B．18cm C．22cm D．25cm
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）比较大小： 　 　．
12．（3分）要使得式子有意义，则a的取值范围是 　 　．
13．（3分）分式的最简公分母是 　 　．
14．（3分）若关于x的方程无解．则a＝ 　 　．
15．（3分）有一个数值转换器，原理如图：当输入的x＝256时，输出的y等于　 　
16．（3分）化简：＝ 　 　．
17．（3分）若a，b为实数，且，则（a+b）2025＝　 　．
18．（3分）观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）计算：．
20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1，2，3中选取一个合适的数代入求值．
21．（8分）解方程：．
22．（8分）解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上．
23．（8分）如图，点B，F，E，C在同一条直线上，EA⊥AB于点A，FD⊥CD于点D，且BF＝CE，AB＝CD．求证：△ABE≌△DCF．
24．（8分）如图，已知BF＝CE，∠B＝∠E，请你从以下条件中选择一个，使得△ABC≌△DEF．①∠A＝∠D；②AC＝DF；③AB＝DE；④∠ACB＝∠DFE．
（Ⅰ）你添加的条件是 　 　.（填序号，只填一个）
（Ⅱ）请利用你所添加的条件证明：△ABC≌△DEF．
25．（8分）在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买A、B两种型号的教学设备．已知购买2台A型设备和1台B型设备共需2万元；购买4台A型设备和3台B型设备共需5万元．
（1）求A型、B型设备每台各是多少万元；
（2）根据该校的实际情况，需购买A、B两种型号的教学设备共10台，要求购买的总费用不超过8万元，并且B型设备的数量不少于A型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？
26．（10分）如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
2025年学院路中学八年级数学入学考试试卷
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A B A C D B A C
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）比较大小： 　＜　．
12．（3分）要使得式子有意义，则a的取值范围是 　a≥2　．
13．（3分）分式的最简公分母是 　12xy2　．
14．（3分）若关于x的方程无解．则a＝ 　1　．
15．（3分）有一个数值转换器，原理如图：当输入的x＝256时，输出的y等于　　
16．（3分）化简：＝ 　﹣2　．
17．（3分）若a，b为实数，且，则（a+b）2025＝　﹣1　．
18．（3分）观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝　﹣1　．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）计算：．
【解答】解：
＝1+2+2025﹣3
＝2025．
20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1，2，3中选取一个合适的数代入求值．
【解答】解：原式＝（﹣）
＝
＝，
由题意得：a≠1和2，
当a＝3时，原式＝．
21．（8分）解方程：．
【解答】解：去分母得：5﹣2（2x﹣1）＝﹣3，
解整式方程得：x＝，
检验：把x＝代入最简公分母得：2x﹣1＝2×﹣1＝4≠0，
∴原方程的解为x＝．
22．（8分）解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上．
【解答】解：，
由①得：x≤4，
由②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤4，
．
23．（8分）如图，点B，F，E，C在同一条直线上，EA⊥AB于点A，FD⊥CD于点D，且BF＝CE，AB＝CD．求证：△ABE≌△DCF．
【解答】证明：∵EA⊥AB于点A，FD⊥CD于点D，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵BF＝CE，
∴BE＝CF，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，∠A＝∠D＝90°，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．
24．（8分）如图，已知BF＝CE，∠B＝∠E，请你从以下条件中选择一个，使得△ABC≌△DEF．①∠A＝∠D；②AC＝DF；③AB＝DE；④∠ACB＝∠DFE．
（Ⅰ）你添加的条件是 　③　.（填序号，只填一个）
（Ⅱ）请利用你所添加的条件证明：△ABC≌△DEF．
【解答】（Ⅰ）解：添加的条件是③（答案不唯一），
故答案为：③（答案不唯一）．
（Ⅱ）证明：∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
25．（8分）在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买A、B两种型号的教学设备．已知购买2台A型设备和1台B型设备共需2万元；购买4台A型设备和3台B型设备共需5万元．
（1）求A型、B型设备每台各是多少万元；
（2）根据该校的实际情况，需购买A、B两种型号的教学设备共10台，要求购买的总费用不超过8万元，并且B型设备的数量不少于A型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？
【解答】解：（1）设A型设备x万元/台，B型设备y万元/台，
依题意得：，
解得，
所以A型设备每台0.5万元，B型设备每台1万元，
答：A型设备每台0.5万元，B型设备每台1万元；
（2）设A型设备购买a台，则购买B型设备（10﹣a）台，
依题意得：，
解得：4≤a≤6，
又因为a为正整数，所以a的取值为4，5，6，
所以一共有3种购买方案．
答：一共有3种购买方案．
26．（10分）如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：
∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD＝DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，
∴∠BDC+∠FDA＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形；
（2）作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连接DF，CF，如图，
∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD＝DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，
∴∠BDC+∠FDA＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠FCD＝45°，
∵AF∥CE，且AF＝CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠APD＝∠FCD＝45°．

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