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华安一中 2025-2026 学年（下）期中考高二数学试卷
满分：150 分 考试时间：120 分钟
第 I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分）
1．在空间直角坐标系O xyz中，点 P 2,4, 3 关于 yOz平面的对称点的坐标为
A． 2, 4,3 B． 2,4, 3 C． 2, 4, 3 D． 2,4,3

2．已知向量 a 4, 2,3 ，b 1,5, x ，满足 a b，则 x的值为（ ）
14 14
A． 3 B．-2 C． 3 D． 2

3．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，E为棱 A1C1的中点.设BA a， BB1 b， BC c，

则BE （ ）
1 1 1 1 a 1
1 1
A． b c B． a b c C．a b c D． a b c
2 2 2 2 2 2 2
4．已知函数 f x 在点 x= 1处的切线方程为 x y 1 0，则 f 1 f 1
（ ）
A． 1 B．0 C．1 D． 2
5．若函数 f x x 1 ln x ax 1是 0, 上的增函数，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A． , 2 ln 2 B． 0, 2 ln 2 C． , 2 D． 0,2

6．已知正四面体 P-ABC 的棱长为 3，动点 M 满足 PM 1 y z PA yPB zPC，

则 PM 的最小值为（ ）
A． 3 B． 6 C．2 D．3
1
7. 设a = ln 3，3 b = 2，e c =
ln π
π ，则（ ）
A. a b c B. a c b C. b a c D. c b a
8．如图，已知圆柱OO1的轴截面 AA1B1B为矩形， AB 2AA1，P，Q 分别为圆柱上、
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1
下底面圆周上一点， AP P B ， AQ 2Q 1 2 1 B，则异面直线 PQ 与 AB 所成角的余弦
值为（ ）
2 3 1 3
A． B． C． D．
2 3 3 2
二、多选题（本大题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分。全部选对的得 6 分，选对
但不全得部分分，有选错的得 0 分。）

9．已知空间向量 a 1,0,2 ，b 1,1,1 ，则（ ）

A． 2a b 3, 1,3 B． a b
a

C． b 10 a

D． 在b的投影向量的坐标是
1 1
, ,
1
3 3 3
10. 给出下列命题，其中正确的有（ ）

A．两个不同的平面 , 的法向量分别是u 2,2, 1 ,v 3,4,2 ，则

B．若 a,b ,c 是空间的一个基底，则 a，b， c中任意两个向量不共线

C．若空间向量 a 2,2, 3 ，b 1,1,1 ，则 a与b的夹角为钝角

D．直线 l的方向向量 a 1,3,0 ，平面 的法向量是u 6,2,0 ，则 l / / 或 l
3
11. 已知函数 f x x ax 2 a R ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 a 0时，函数 f x 不存在极值点
B. 当 a = 3时，函数 f x 有三个零点
C. 点 0,2 是曲线 y f x 的对称中心
D. 若 y 2x是函数 f x 的一条切线，则 a 1
第 II 卷（非选择题）
第 2 页，共 4 页
三、填空题（本大题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分）

12. 已 知 向 量 a， b满 足 a 3， b 4, a,b 60 ， 则 a 2b a b
__________.
13．如图， AO 平面 ，O为垂足，B ， BC BO， BC与平面 所成的
角为30 ， AO BO BC 1，则 AC的长等于_____．
xex , x 0
14．已知函数 f (x) 2 ， g(x) f (x) k .
x 4x, x 0
（1）当 k=0 时，函数 g（x）的零点个数为____________；
（2）若函数 g（x）恰有 2 个不同的零点，则实数 k 的取值范围为_________.
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过
程或验算步骤。）
15．(本小题 13 分）已知函数 ( ) = 3 + 2 ．在点(1,f(1))处的切线与直线
x + 4y = 0 垂直．(1)求 a； (2)求 f x 的单调区间和极值．
16．(本小题 15 分）如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 平面 ABCD，底面 ABCD
为矩形，E，F 分别为 PA，CD 的中点．
(1)求证：DE / /平面 PBF；(2)若 PA AB 1,BC 2，求直线 PC 与平面 PBF 所
成角的正弦值．
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17.(本小题 15 分) 已知函数 f (x) a ln x bx2在 x 1处取得极值 2.
1
（1）求 a，b 的值：（2）求函数 f (x)在 ,e 上的最值. e
18.(本小题 17 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，梯形 ADEF 与平行四边形 ABCD 所
1
在平面互相垂直， AF∥DE，DE AD， AD BD， AF AD BD DE 1．2
(1)求证：DE 平面 ABCD；(2)在线段 DE（不包括端点）上是否存在点 Q，使得
EQ
直线 AF 与平面 BQF 所成角为 450？若存在，求出 DQ的值，若不存在，说明理
由．
19．(本小题 17 分）已知函数 f(x)=x2-axlnx．
(1)若f(x) ≥ x对任意x > 1恒成立，求a的取值范围；
(2)已知a > 0，且函数f(x)存在极值，求a的取值范围．
第 4 页，共 4 页
华安一中2025-2026 学年（下）高二数学期中考试卷解析
一.单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分）
1．在空间直角坐标系O xyz中，点 P 2,4, 3 关于 yOz平面的对称点的坐标为
A． 2, 4,3 B． 2,4, 3 C． 2, 4, 3 D． 2,4,3
【答案】B【详解】依据空间直角坐标系中点的对称性可知：
点 P 2,4, 3 关于 yOz平面的对称点的坐标为 2,4, 3

2．已知向量 a 4, 2,3 ，b 1,5, x ，满足 a b，则 x的值为（ ）
14 14
A． B．-2 C． D． 2
3 3

【答案】D【详解】 a b， a 4, 2,3 ，b 1,5, x 4 1 2 5 3x 0，解得 x 2

3．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，E 为棱 A1C1的中点.设BA a， BB1 b，

BC c，则BE （ ）
1 a b 1
1 1 c 1
1 1
A． B． a b c C．a b c D． a b c
2 2 2 2 2 2 2
【答案】A
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1
【详解】由题意可得 BE BB1 B1A1 A1E BB1 BA A2 1
C1
1
BB1 BA AC BB
1
1 BA
1 1 BC BA BA BC BB 1 1 1 a c b .2 2 2 2 2 2
4．已知函数 f x 在点 x= 1处的切线方程为 x y 1 0，则 f 1 f 1
（ ）
A． 1 B．0 C．1 D． 2
【答案】C【详解】由切线方程 x y 1 0，得 f 1 k 1，
将 x= 1代入切线方程 x y 1 0，得 y 2，所以 f 1 2，则
f 1 f 1 1 2 1.
5．若函数 f x x 1 ln x ax 1是 0, 上的增函数，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A． , 2 ln 2 B． 0, 2 ln 2 C． , 2 D． 0,2
【答案】C【详解】因为函数 f x x 1 ln x ax 1是 0, 上的增函数，所以
f x 1 ln x 1 a 0在 0, 上恒成立，
x
即 a≤ ln x
1
1在 0, 上恒成立．令 g x ln x 1 1， x 0, ,则
x x
g x 1 1 x 1 2 2 ，则当0 x 1时， g (x) 0，当 x 1时， g (x) 0，故 g x 在 0,1 x x x
上单调递减，在 1, 上单调递增，所以 g x g 1 2min ，所以 a 2．

6．已知正四面体 P-ABC 的棱长为 3，动点 M 满足 PM 1 y z PA yPB zPC，则 PM
的最小值为（ ）
A． 3 B． 6 C．2 D．3

【答案】B【详解】因为 PM 1 y z PA yPB zPC，

PM PA yPA zPA yPB zPC，
所以 PM PA y PB PA z PC PA ，所以 AM yAB zAC，

因为 AB， AC不共线，所以 AM ， AB， AC共面，所以点 M 在平面 ABC 内，

所以当 PM 平面 ABC 时， PM 最小，如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，
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则点 M 在 AD 上，且 AM 2 AD 2 3 3 3，
3 3 2

所以 PM PA2 AM 2 9 3 6，即 PM 的最小值为 6 .

7. 设 =
，
=
， = ，则（ ）
A. a b c B. a c b C. b a c D. c b a
ln x 1 2ln x
【答案】B【详解】设函数 f (x) 2 , (x 0)，则 f (x) 2 , (x 0)，x x
当0 x e 时， f (x) 0，当 x e时， f (x) 0，
故 f (x)在 (0, e)单调递增，在 ( e, )上单调递减，
ln 3 ln 3 ln π2 ln π
又 a f ( 3) b ln e2 ， 2 c f (e)，c f ( π)，3 3 e 4π
2
π
因为 e 3 π e，故 f ( 3) f ( π) f (e)，即 a c b，
8．如图，已知圆柱OO1的轴截面 AA1B1B为矩形， AB 2AA1，P，Q 分别为圆柱上、下
1
底面圆周上一点， AP P B ， 1 1 AQ 2Q B，则异面直线 PQ 与 AB 所成角的余弦值为2
（ ）
2 3 1 3
A． B． C． D．
2 3 3 2
【答案】A【详解】如图，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，
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设 AB 2AA1 6，则 A 0,0,0 ， B 0,6,0 AP
1
，结合 1 P B 2 1， AQ 2Q
B
3 3 3
可得 P , ,3
3 3 9
，Q , ,0 ，所以 AB 0,6,0 ，PQ 0,3, 3
2 2
，
3 2

A B P Q 18 2所以异面直线 PQ 与 AB 所成角的余弦值为 ，
AB PQ 6 3 2 2
二.、多选题（本大题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分。全部选对的得 6 分，选对但不全
得部分分，有选错的得 0 分。）

9．已知空间向量 a 1,0,2 ，b 1,1,1 ，则（ ）

A． 2a b 3, 1,3 B． a b
1 1 1
C． a b 10 D． a在 b的投影向量的坐标是 , ,
3 3 3

【答案】AD【详解】因为 a 1,0,2 ，b 1,1,1 ，所以
2a b 2,0,4 1,1,1 3, 1,3 ，即 A 正确；因为 a b 1 1 0 1 2 1 1，所以
B 错误；

因为 a b 0,1,3 a b 12 32 10，所以 C 错误；

a b 1 1 1 1a在 b的投影向量为 2 b 1,1,1

, ,

b 3 3 3 3

，即 D 正确.
10. 给出下列命题，其中正确的有（ ）

A．两个不同的平面 , 的法向量分别是u 2,2, 1 ,v 3,4,2 ，则
a ,b ,c B．若 是空间的一个基底，则 a c ， b， 中任意两个向量不共线

C．若空间向量 a

2,2, 3 ，b 1,1,1 a ，则 与 b的夹角为钝角

D．直线 l的方向向量 a 1,3,0 ，平面 的法向量是u 6,2,0 ，则 l / / 或 l
【答案】ABD【详解】对于选项 A，因为 2 ( 3) 2 4 ( 1) 2 0

，所以 u v，所以
，故选项 A 正确，
对于选项 B，基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，故选项 B 正
确，
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a b 2 1 2 1 3 1 1
对于选项 C， cos a,b 0
π
a b 17 3 51 ，所以
a,b 0, ，故
2
选项 C 不正确，

选项 D：因为1 ( 6) 3 2 0，所以 a u，所以 l / / 或 l ，故 D 正确.
3
11. 已知函数 f x x ax 2 a R ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 a 0时，函数 f x 不存在极值点 B. 当 = 时，函数 f x 有三个零点
C. 点 0,2 是曲线 y f x 的对称中心 D. 若 y 2x是函数 f x 的一条切线，则
a 1
【答案】ACD【详解】对于选项 A：当 a 0时，可知 y x3 , y ax 2均在R上单调
3
递增，则 f x x ax 2均在R上单调递增，所以函数 f x 不存在极值点，故 A
正确；
对于选项 B：
F(x)只有两个零点，所以 B 错误.
3
对于选项 C：因为 f x f x x ax 2 x
3 a x 2 4，
所以点 0,2 是曲线 y f x 的对称中心，故 C 正确；
对于选项 D：设 y 2x 3是函数 f x 的一条切线，设切点坐标为 t, t at 2 ，
2 2
因为 f x 3x a，由题意可得 f t 3t a 2，①
3
所以曲线 y f x 在 x t处的切线方程为 y t at 2 2(x t)，
即 y 2x t3 (a 2)t 2，则 t3 (a 2)t 2 0，②联立①②可得 a t 1，故 D
正确.
三、填空题（本大题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分）
第 9页，共 4页

12. 已知向量 a， b满足 a 3， b 4, a,b

60 ，则 a 2b a b
__________.
【详解】
a 2b a b 2 2 a a b 2b 9 3 4 cos60 2 16 9 6 32 17，
13．如图， AO 平面 ，O为垂足， B ， BC BO， BC与平面 所成的角为30 ，
AO BO BC 1，则 AC的长等于_____．
【答案】 2【详解】 AO 平面 ，O为垂足， B ， BC BO，
BC与平面 所成的角为30 ， AO BO BC 1，

OB,BC 90， AO,BC 120 , AO,OB 90 2AC (AO OB BC)2

1 1 1 2 1 1 cos120 2， | AC | 2．故答案为： 2．
xex , x 0
14．已知函数 f (x) 2 ， g(x) f (x) k .
x 4x, x 0
（1）当 k=0 时，函数 g（x）的零点个数为____________；
（2）若函数 g（x）恰有 2 个不同的零点，则实数 k 的取值范围为_________.
【详解】（1）当 k 0时， g x f x 0，显然可得 g 0 f 0 0，当 x 0时，
f x xex 0无零点，当 x 0时， g x f x x2 4x 0，解得 x 4，故函数 g x
的零点个数为 2 个；（2）当 f x xex f x ex时， xex ex 1 x ，当 x 1时，
f x 0，函数 f x 单调递减，当 1 x 0时， f x 0，函数 f x 单调递增，并且
当 x 0时， f x 0即函数图象在 x轴的下方，函数 g x f x k有两个零点，即
y f x 和 y k的图象有两个交点，如图所示：
第 10 页，共 4页
f 1 1函数图象的最低点对应的函数值为 ，函数图象最高点对应的函数值为
e
f 2 4 0,4 1 0,4 1 k ，要使两图象有两个交点，故 应满足 ，故答案为 .
e e
四、解答题
15．(本小题 13 分）已知函数 ( ) = + ．在点(1,f(1))处的切线与直线 x + 4y
= 0 垂直．(1)求 a； (2)求 f x 的单调区间和极值．
解（1）因 为
――――5 分
（2）由（1）得
解得： ――――――――――――――7 分
―――――――――――10 分

且当 x＝-1 时，f(x)取到极大值 f(-1)＝1，当 x＝ 时，f(x)取到极小值
第 11 页，共 4页

综上：函数 f(x)在（－∞，－1），（ ，+∞）单调递增，在（－1， ）单调递减
当 x＝-1 时，f(x)取到极大值 f(-1)＝1，

当 x＝ 时，f(x)取到极小值 ――――――――― 13 分
16.如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，E，F 分别为 PA，
CD 的中点．(1)求证：DE / /平面 PBF；(2)若 PA AB 1,BC 2，求直线 PC 与平面 PBF
所成角的正弦值．
【详解】（1）证明：取 PB 的中点 G，连接 EG，GF，如图．
1
因为 E，G 是 PA，PB 的中点，所以 EG / /AB，且 EG AB .
2
1 1
因为DF / /AB，且DF CD AB，
2 2
所以DF / /EG,DF EG，
所以四边形 EGFD 为平行四边形， ―――――――――――――――5 分
所以DE / /FG，又DE 平面 PBF， FG 平面 PBF，
所以DE / /平面 PBF. ――――――――――7 分

（2）如图，以 A 为坐标原点， AB， AD， AP的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向
建立空间直角坐标系 A xyz，则 A 0,0,0, ,B 1,0,0 ,P 0,0,1 ,F 1 , 2,0

,C 1,2,0
2
．


1所以CP 1, 2,1 ， BP 1,0,1 ， BF , 2,0

．―――――――――10 分
2
第 12 页，共 4页

u BP p r 0



1 u 4,1,4
设平面 PBF 的法向量为u p,q, r ，则 u BF p 2q 0 ，――12 分 2

u CP 4 1 1 2 4 1cos u,CP 22则| ，u CP 42 12 42 1 2 2 2 12 33
22
所以直线 PC 与平面 PBF 所成角的正弦值为 .――――――――――――15 分
33
17. 已知函数 f (x) a ln x bx2在 x 1处取得极值 2.
f (x) 1 （1）求 a，b 的值：（2）求函数 在 ,e 上的最值. e
【小问 1 详解】 af (x) a ln x bx2， x (0, )， f (x) 2bx,
x
f (x)在 x 1处取得极值 2， f (1) 0且 f (1) 2，
a 2b 0 a 4
即 ，解得 ， ――――4 分
b 2 b 2
4 4 x2 1
此时 f (x) 4x ，
x x
由 f (x) 0，可得 x (0,1)， f (x)在( 0, 1)上单调递减，
由 f (x) 0，可得 x (1, )， f (x)在 (1, )上单调递增，
所以 f x 在 x 1处取得极值，符合题意，所以 a的值为 4，b的值为 2；――――6
分
【小问 2 详解】由（1）有 f (x) 4ln x 2x2， x (0, )，
4 4 x2 1
f (x) 4x , 由 f (x) 0，可得 x (0,1)， f (x)在( 0, 1)上单调递
x x
减，
由 f (x) 0，可得 x (1, )， f (x)在 (1, )上单调递增，
x 1 ,e 1 时， f (x)在 ,1e e
上单调递减，在 (1,e)上单调递增，――――――――10

第 13 页，共 4页
分
因此 f (x)在 x 1处取得极小值 f (1) 2，即为最小值，
f (x) 1 max max f , f (e)
f 1 4 2 1 ， ， f (e) 2e2

4， f (e) f
e
，

2
e e e
f (x)在 x e处取得最大值 f (e) 2e2 4，
1
综上所述， f (x)在 ,e 上的最小值为 2，最大值为 2e
2 4 .――――――――15 分
e
18．如图，在多面体 ABCDEF 中，梯形 ADEF 与平行四边形 ABCD 所在平面互相垂直，
1
AF∥DE，DE AD， AD BD， AF AD BD DE 1．
2
(1)求证：DE 平面 ABCD；(2)在线段 DE（不包括端点）上是否存在点 Q，使得直线 AF
EQ
与平面 BQF 所成角为 450？若存在，求出 DQ的值，若不存在，说明理由．
【详解】（1）平面 ADEF 平面 ABCD，
平面 ADEF 平面 ABCD=AD，
因为DE AD，DE 平面 ADEF ，
所以DE 平面 ABCD . ―――――――――7 分
（2）连接 BD，由(1)知，DE 平面 ABCD，DB 平面 ABCD，则DE DB .
又因为DE AD， AD BD，故DA，DB，DE两两垂直，
所以以 DA，DB，DE所在的直线分别为 x轴 y轴和 z轴，如图建立空间直角坐标系，
则
第 14 页，共 4页
――――――――10 分
―――――――――12 分
因为 所以
代入得
所以 使得直线 AF 与平面 BQF 所成角为 450 ――――
17 分（第二问也可用几何法作答一样给分）
19．已知函数 f(x)=x2-axlnx．
(1)若 ( ) ≥ 对任意 > 恒成立，求 的取值范围；
(2)已知 > ，且函数 ( )存在极值，求 的取值范围．
【详解】（1）由题可知 x2-axlnx ≥ x 恒成立，
因为 > ，所以不等式整理得 x-alnx ≥ 1 alnx ≤ 恒成立，
当 > > , ≤ 时，lnx ，令 ( ) = ( > )，
ln ln
第 15 页，共 4页
ln ( ) ( ) = = lnx x + 1求导 ′ (ln ) ，令 ( ) = lnx x + 1，求导 ′( ) = lnx，(ln )
当 > 时， ′( ) > , ( )在( , + ∞)上单调递增，且 ( ) = ，因此 ( ) > ，
即 ′( ) > , ( )在( , + ∞)上单调递增，当 → 时， ( )→ ，所以 ( ) > ，
≤ 要使 恒成立，故 ≤ . ―――――――8 分
ln
（2）已知 > ，且函数 ( ) = lnx存在极值，
求导 ′( ) = lnx a，令 ( ) = lnx a( > )

，求导 ′( ) = ，

令 ′( ) = ，解得 = .因为 ∈

， 时， ′( ) < ∈ ， , + ∞ 时， ′( ) > ，
所以 ′( )在 ， 上单调递减， , + ∞ 上单调递增，

所以 ′( )在 = 处有最小值，因为 ′
= ln = ln ，
所以当 > 时， ′( )min = ′
= ln < ，故函数 ( )存在极值，

当 = 时， ′( )min = ′
= ln = ，故函数 ( )不存在极值；
< < 当 ， ′( )min = ′
= ln > ，故函数 ( )不存在极值；

综上，若函数 ( )存在极值，求 的取值范围为( , + ∞)．―――――――――――17 分
第 16 页，共 4页

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