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山东省泰安市英雄山中学 2026年高二下学期期中学情检测卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共 40分)
1．（5分）设函数 可导,则 等于( )
A. B. C. D.
2．（5分）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2种主食、3
种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并
在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有( )
A.48种 B.36种 C.24种 D.12种
3．（5分）若函数 ,则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4．（5分）在 的展开式中,含 的项的系数是( )
A.120 B.15 C. D.
5．（5分）若函数 在 时取得极大值 0,则 ( )
A. B. 或 C. D.
6．（5分）某公司升级了智能客服系统,当输入的问题表达清晰时,智能客服的回答被
采纳的概率为 ,当输入的问题表达不清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为 .已知输
入的问题表达不清晰的概率为 .则智能客服的回答被采纳的概率为( )
A. B. C. D.
7．（5分）已知函数 ,若对任意实数 ,不等式
总成立,则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8．（5分）李老师教高二甲班和乙班两个班的数学,这两个班的人数相等.某次联考中,
这两个班的数学成绩均近似服从正态分布,其正态密度函数 的图像
如图所示,其中 是正态分布的期望, 是正态分布的标准差,且 ,
, .关于这次数学考试成绩,下列结论正
确的是( )
A.甲班的平均分比乙班的平均分高
B.相对于乙班,甲班学生的数学成绩更分散
C.甲班 108分以上的人数约占该班总人数的
D.乙班 112分以上的人数与甲班 108分以上的人数大致相等
二、多项选择题(共 18分)
9．（6分）设定义在 R上的函数 的导函数为 ,若 ,均有
,则( )
A. B. （ 为 的二阶导数）
C. D. 是函数 的极大值点
10．（6分）4个男生与 3个女生并排站成一排，下列说法正确的是( )（选项中排
列数的计算结果均正确）
A.若 3个女生必须相邻，则不同的排法有 种
B.若 3个女生中有且只有 2个女生相邻，则不同的排法有 种
C.若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有
种
D.若 3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有 种
11．（6分）若袋子中有 3个白球,2个黑球,现从袋子中有放回地随机取球 5次,每次取
一个球,取到白球记 1分,取到黑球记 0分,记 5次取球的总分数为 X,则( )
A. B.
C.X的数学期望 D.X的方差
三、填空题(共 15分)
12．（5分）在 的展开式中,常数项为__________________.
13．（5分）已知随机事件 A，B满足 ， ，且
，则 ________________.
14．（5分）若函数 的最小值为 1,则实数 a的取值范围为
________________.
四、解答题(共 77分)
15．（13分）计算：
(1) ；
(2) .
16．（15分）北京时间 2024年 10月 30日凌晨 4时 27分,搭载神舟十九号载人飞船的
长征二号 遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程,奔赴浩瀚
宇宙.为了某次航天任务,需要选拔若干名航天员参加该次任务.
（1）若本次任务需要从 4名男航天员和 3名女航天员中选出 4人,且至少有一名女航
天员,共有多少种不同的选法 （结果用数字作答）
（2）若从 7名航天员中选出 4名航天员,分配到 2个不同的实验室去,每个实验室至少
一名航天员,每个航天员只能去一个实验室,共有多少种不同的选派方式 （结果用数字
作答）
（3）若从 7名航天员中选出 4名航天员,分配到 3个不同的实验室去,每个实验室至少
一名航天员,每个航天员只能去一个实验室.其中航天员甲和乙必须参加,但不能分配在
同一个实验室,请问共有多少种不同的选派方式 （结果用数字作答）
17．（15分）在 的展开式中.
(1)求二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
(3)求系数最大的项.
18．（17分）盒内有大小相同的 9个球,其中 2个红色球,3个白色球,4个黑色球,规定
取出 1个红色球得 1分,取出 1个白色球得 0分,取出一个黑色球得 分,现从盒内任取
3个球.
(1)求取出的 3个球得分之和恰为 1分的概率；
(2)设 X为取出的 3个球中白色球的个数,求 X的分布列和数学期望.
19．（17分）已知函数 .
(1)若 在 处取得极值,求 的极值；
(2)若 在 上的最小值为 ,求 a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析： .
故选:A.
2．答案：B
解析：由题意可知，分三步完成：
第一步，从 2种主食中任选一种有 2种选法；
第二步，从 3种素菜中任选一种有 3种选法；
第三步，从 6种荤菜中任选一种有 6种选法，
根据分步计数原理，共有 不同的选取方法，
故选：B.
3．答案：C
解析：由题意可得 ,
则 ,解得 ,
所以
所以 .
故选：C.
4．答案：C
解析：
5．答案：C
解析：由题知 , ,
由 在 时取得极大值, ,解得 或 ,
经检验,当 时, ,
由 , ,所以 在 上单调递减；
由 , ,所以 在 上单调递增；
此时 在 时取得极大值,满足题意,故 ,
当 时, ,则 在 R上单调递增,不符合题意,故舍去
；
,将 代入 ,解得 ,
所以 .
故选：C.
6．答案：B
解析：设输入的问题表达清晰为事件 A,回答被采纳为事件 B,
则 , , , ,
根据全概率公式, .
故选：B.
7．答案：D
解析：当 时,由 可得 ,
即 ,
构造函数 ,其中 ,则 ,
所以,函数 在 R上为增函数,
由 可得 ,
所以, ,即 ,其中 ,
令 ,其中 ,则 .
当 时, ,函数 单调递增,
当 时, ,函数 单调递减,
所以, , .
故选:D.
8．答案：D
解析：对于 A,由图知 , ,即甲班的平均分比乙班的平均分低,故 A错误；
对于 B,因甲班的曲线比乙班的曲线更“瘦高”,即 ,表示甲班的数学成绩更集中,故
B错误；
对于 C,甲班 的最大值为 ,则 ,
则 ,故 C错误；
对于 D,乙班 的最大值为 ,则 ,
则 ,
又这两个班的人数相等,则乙班 112分以上的人数与甲班 108分以上的人数大致相等,故
D正确.
故选：D.
9．答案：AB
解析：由 , ,令 ,则 , ,A正确；
当 时,由 得 ,故 ,
即 ,则 （k为常数）,则 ,
满足该式,故 ,则 ,
将 代入 中,得 成立,
则 ,故 ,B正确；
令 , , 的正负无法确定,故 在 上单调性无法确定,
故无法判断,C错误；
由于 ,由于无法确定 k的符号,故无法确定 是否是函数 的极
大值点,D错误,
故选：AB.
10．答案：BCD
解析：对于 A，3个女生必须相邻，
则不同的排法有 种，A错误；
对于 B，3个女生中有且只有 2个女生相邻，
先排 4个男生有 种，3个女生取 2个女生排在一起，
与另 1个女生插入 4个男生排列形成的 5个间隙中，
有 ，不同排法有 种，B正确；
对于 C，女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，
由排除法得不同的排法共有 种，C正确；
对于 D，3个女生按从左到右的顺序排列，
不同的排法有 种，D正确.
故选：BCD
11．答案：ACD
解析：由题意知从袋子中有放回地随机取球 5次,每次取到白球的概率为 ,
取到白球记 1分,取到黑球的概率为 ,取到黑球记 0分,
则记 5次取球的总分数为 X,即为 5次取球取到白球的个数,
知 ,故 A正确；
,故 B错误；
X的数学期望 ,故 C正确﹔
X的方差 ,故 D正确.
故选：ACD．
12．答案：
解析：二项式 的展开式的第 项为 ,
则 的展开式的第 项为 , ,
令 ,得 ,所以常数项为 .
故答案为： .
13．答案： /0.75
解析：因为 ，
所以 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
14．答案：
解析： ,
令 ,原式可化为 , ,
当 , , 单调递增;当 , , 单调递减,
则 时, 取得最小值 1,所以 有解,即 有解.
记 , ,
当 , , 在 单调递增,
当 , , 在 单调递减.
故 ,且当 , , , ,
所以 ,得 ,所以实数 a的取值范围为 .
故答案为:
15．答案：(1)149
(2)1
解析：(1)
(2)
16．答案：（1）34
（2）490
（3）300
解析：（1）方法一:“直接法”,分成 3种情况讨论:
恰有 1名女性,共有 种选法;恰有 2名女性,共有 种选法;
恰有 3名女性,共有 种选法;所以共有 种选法;
方法二:“间接法”,总共有 种,没有一名女航天员有 种,
所以共有 种选法.
（2）先选 4名航天员,有 种,然后先分组再分配,可分两类:
若分为 2,2的两组再分配,有 种;
若分为 1,3的两组再分配,有 种;
所以共有 种选法.
（3）先选 2名航天员,有 种;然后安排甲、乙两人,有 种;
最后安排剩下的 2人,有 种;
所以共有 种选法.
17．答案：(1)
(2)第 6项和第 7项
(3)
解析：(1)二项式系数最大的项为中间项,即第 5项, ；
(2) 的展开式的通项为
, , ,
设第 项系数的绝对值最大,显然 ,则 ,
整理得 ,即 ,
解得 ,而 ,则 或 ,
所以系数的绝对值最大的项是第 6项和第 7项；
(3)由(2)知,展开式中的第 6项和第 7项系数的绝对值最大,而第 6项的系数为负,
第 7项的系数为正,所以系数最大的项为第 7项 .
18．答案：(1)
(2)分布列见解析,
解析：(1)从 9个球中任取 3个球,总的基本事件个数为 ,
若取出的 3个球得分之和恰为 1分,包含的情况有两种：
1红 2白,包含的基本事件个数为 ,
2红 1黑,包含的基本事件个数为 ,
所以取出的 3个球得分之和恰为 1分的概率为 ；
(2)由已知可得 X的可能取值为 0,1,2,3,
, ,
, ,
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
19．答案：(1)极大值为 ,极小值为
(2)
解析：(1) , , .
因为 在 处取得极值,所以 ,则 .
所以 , ,
令 得 或 1,列表得
x 1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 的极大值为 ,极小值为 .
(2) .
①当 时, ,所以 在 上单调递增, 的最小值为
,满足题意；
②当 时,令 ,则 或 ,所以 在 上单调递减,在 上
单调递增,
此时, 的最小值为 ,不满足题意；
③当 时, 在 上单调递减, 的最小值为 ,不满足题意.
综上可知,实数 a的取值范围时 .

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