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初中数学人教版（新教材）七年级下册专题训练3 利用平行线性质解决角度、三角板、折叠问题 巩固练习卷
一、利用平行线性质解决角度问题
1．如图，直线AD∥BC，若∠1=38°，BA⊥AC于点A，则∠2为（　　）
A．38° B．32° C．52° D．58°
2．如图， AB∥DC， BC∥DE， ∠B=145°，则∠D的度数为( )
A．35° B．40° C．45° D．55°
3．如图， AB∥CD，点E在CD上，点F， G在AB上，设∠AFE=α， ∠EGB=β， ∠FEG=θ，则（　　)
A．α+β+θ=360° B．α+β+θ=210°
C．α+β-θ=180° D．α+β-θ=150°
4．如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝（　　)
A．30° B．40° C．60° D．80°
5．如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠E=107°，则∠B的度数为（　　）
A．63° B．73° C．83° D．107°
6．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交ED 于点G，F，若FG=4，ED=8，则EB+DC=　 　.
7．如图，已知AB∥CD，点E， F分别在AB，CD上，点G在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠CFG的角平分线交于点H.若∠EGF=84°，则∠H 的度数为　 　.
8．如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，则的度数为　 　．
9．已知：如图，，，．求的度数．（请将解答过程补充完整）
解：∵（已知），
∴（ ），
又∵（已知），
∴（ ），
∴________________（内错角相等，两直线平行），
∴（ ），
∵（已知），
∴________________．
10．如图，已知∠1+∠BDE=180°，∠2+∠4=180°.
（1）试说明：AD∥EF.
（2）若∠3=90°，∠4=140°，求∠BAC的度数.
二、利用平行线性质解决三角板问题
11．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（　　）
A． B． C． D．
12．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（　　）
A．30° B．15° C．45° D．20°
13． 如图2，三角板ABC（其中，）和三角板DEF（其中， ) 按照如图所示的位置摆放，点 D 在边 AC 上，若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
14．一把直尺和一个含角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且，那么的大小为（　　）
A． B． C． D．
15．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
16．已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则　 　．
17．将一副三角板按如图所示的方式放置，边AC，EF在直线MN上，∠BAC=∠EDF=90°，∠ABC=30°，∠DFE=45°。三角板ABC保持不动，将三角板DEF绕点F顺时针旋转，当EF第一次与BC平行时，∠DFN的度数是　 　度。
18．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一条直角边共线，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是　 　度．
19．探索与实践：
数学兴趣小组的同学在学行线的性质后．用一副三角板进行探索．
如图：在三角板和三角板中，，，，将三角板绕着点C做旋转运动．
（1）当时，如图1所示．______；
（2）如图2所示，当时，求的度数．
（3）当时，直接写出的度数______．
20．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板．
（1）如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数；
（2）如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系；
（3）将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由．
三、利用平行线性质解决折叠问题
21．图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是（　　）
A． B． C． D．
22．如图，将长方形纸片沿着直线折叠后，点A，B分别落在点，的位置上，再沿着线段折叠后，点，分别落在点M，N的位置上，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
23．如图，将四边形CDFE沿AB折叠一下，如果CD//EF，∠1=130°，那么∠2是（　　）
A．110° B．115° C．120° D．130°
24．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中度数是多少（　　）
A． B． C． D．
25．如图，一次数学活动中，检验两条纸带(1)(2)的上下边线是否平行，明明和小丽采用两种不同的方法：明明把纸带(1)沿AB 折叠，量得∠1=∠2=60°；小丽把纸带(2)沿 GH 折叠，发现GD与GC 重合，HF 与HE 重合.下列判断正确的是 (　　)
A．纸带(1)的上下边线平行，纸带(2)的上下边线不平行
B．纸带(1)的上下边线不平行，纸带(2)的上下边线平行
C．纸带(1)(2)的上下边线都平行
D．纸带(1)(2)的上下边线都不平行
26．如图①，已知长方形纸带，，，，点E、F分别在边、上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
27．已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（　　）
A．74° B．72° C．70° D．68°
28．如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
29．将一条长方形纸带的一端沿折叠成图1，．
（1）若，则的度数为　 　．
（2）将图1的另一端先沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若，则的度数为　 　．（用含的代数式表示）
30．如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．
（1）若图中，则　 　；
（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合（如图2），若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为　 　度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义可得，然后根据平行线的性质得到，求出∠2的度数解答即可．
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
故选： A.
【分析】由平行线的性质推出 得到 解答即可.
3．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由条件可知
即
故选： C.
【分析】利用平行线的性质可得 .然后根据角的和差和邻补角的定义得到，整理解答即可.
4．【答案】B
【知识点】邻补角；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，过点C作CM∥AB，
∵ DF∥AB ，
∴CM∥DF，
∴∠BAC+∠ACM=180°，∠MCE+∠CEF=180°，
∴∠BAC+∠ACM+∠MCE+∠CEF=360°，
即∠BAC+ ∠ACE+∠CEF=360°，
∵ ∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，
∴∠CEF=140°，
∴ ∠CED＝ 180°-∠CEF=40°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线性质得∠CEF的度数，再根据邻补角的定义得 ∠CED 的度数.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥DE，∠E＝107°，
∴∠BGF＝∠E＝107°，
∵BC∥EF，
∴∠B+∠BGF＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠BGF＝73°．
故选：B．
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到∠BGF＝∠E＝107°，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B的度数解答即可．
6．【答案】12
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ED∥BC
∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB
∴∠ABG=∠CBG，∠ACF=∠FCB
∴∠EBG=∠EGB，∠DFC=∠ACF
∴EB=EC，DF=DC
∵FG=4，ED=8
∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=12
故答案为：12
【分析】根据直线平行性质可得∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，根据角平分线定义可得∠ABG=∠CBG，∠ACF=∠FCB，则∠EBG=∠EGB，∠DFC=∠ACF，根据等角对等边可得EB=EC，DF=DC，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．【答案】42°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点G作GM∥AB，过点H作HN∥AB，如图。
∵ AB∥CD ，GM∥AB，HN∥AB
∴AB∥GM∥HN∥CD
∴∠AEG=∠MGE，∠CFG=∠MGF
∵ ∠EGF=84°
∴∠AEG+∠CFG=84°
∵EH平分∠AEG，FH平分∠CFG
∴
∴
∵AB∥HN∥CD
∴∠NHE=∠AEH，∠NHF=∠CFH
∴∠NHE+∠NHF=42°
即 ∠H =42°
故答案为：42° .
【分析】构造辅助线，利用平行的传递性、平行线的性质和角平分线的定义进行代换即可求解。
8．【答案】121°
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵GP⊥EG
∴∠PGE=90°
∵
∴CD∥AB
∴∠GEB=∠FGE
∵平分
∴
∴∠FGE=31°
∴∠PGF=∠PGE+∠FGE=121°
故答案为：121°
【分析】根据垂直可得∠PGE=90°，根据直线平行判定定理可得CD∥AB，则∠GEB=∠FGE，根据角平分线定义可得∠GEB，再根据直线平行性质可得∠FGE=31°，再根据角之间的关系即可求出答案.
9．【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补；
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补；．
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定。根据题目条件，利用平行线的性质可以推导出，从而证明。进一步应用平行线的性质即可完成解答。
10．【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∴
∴
（2）解：∵
∴
∵
∴
∴.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行得到即结合题意可得到进而即可求证；
（2）根据题意求出∠2的度数，由（1）中的平行得到进而即可求出∠BAC的度数.
11．【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，且点在点的右侧，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】根据平行公理推论，，当AD平行时，AD也会平行，再根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，及角度之间的等量关系可算出答案．
12．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作直线，
由题意得，，，，
，
∴，
∴，，
∴，
∴
故选：B．
【分析】过点作直线，先求，再求，最后用平角减去，再减去即可．
13．【答案】D
【知识点】平行线的性质；补角；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点D作DK∥AB
∵AB∥EF
∴DK∥EF
∴∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°
∴∠ADE=∠ADK+∠EDK=75°
∵∠EDF=90°
∴∠CDF=180°-90°-75°=15°
故答案为： D
【分析】过点D作DK∥AB，根据直线平行性质可得∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°，再根据角之间的关系可得∠ADE，再根据补角即可求出答案.
14．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】
解：由题意可知，△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=90°-∠B=60°.
∵，
∴CAF=CAB-∠BAF=60°-10°=50°.
∵，
∴.
故选：C.
【分析】本题考查了平行线的性质，先求出∠CAB 的度数，再得到∠CAF 的度数，最后利用直尺对边平行的特征，结合平行线的性质得到∠CED =∠CAF ，进而求出∠CED 的大小。
15．【答案】B
【知识点】三角板（量角器）画图-垂线
【解析】【解答】解：得出的是中边上的高，故A错误；
得出的是中边上的高，故B正确；
作出的不是的高，故C错误；
得出的是中边上的高，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据三角形的高的定义逐项进行判断即可．从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
16．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵直线，
∴∠2=∠ABC，
又∵∠1=30°，∠1+∠ABC=90°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∴∠2=∠ABC=60°；
故答案为：．
【分析】 根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠ABC，由直角三角板两锐角互余求得∠ABC，进而可求解.
17．【答案】75
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵ EF∥BC，
∴ ∠EFC=∠ACB=60°，
∵ ∠DFE=45°，
∴ ∠DFN=180°-∠EFC-∠DFE=75°.
故答案为：75.
【分析】根据三角板的各角大小，两直线平行同位角相等和平角，即可求得.
18．【答案】135
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB
由题意可得，AB∥CD，∠AED=90°，∠EDH=45°
∴EF∥CD
∴∠FED=∠EDH=45°
∴∠AEF=∠AED-∠FED=45°
∵EF∥AB
∴∠1+∠AEF=180°
∴∠1=180°-∠AEF=135°
故答案为：135°
【分析】过点E作EF∥AB，由题意可得，AB∥CD，∠AED=90°，∠EDH=45°，则EF∥CD，根据直线平行性质可得∠FED=∠EDH=45°，根据角之间的关系可得∠AEF，再根据直线平行性质即可求出答案.
19．【答案】（1）
（2）由题意可知，，
∵
∴，
∴，
即；
（3）或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】（1）由题意可知，，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）如图， 当时，
，
，
如图， 当时， 延长交于点，
∵
，
，
综上所述，满足条件的的度数为或
故答案为：或
【分析】（1）根据直线平行性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，当时，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
（1）由题意可知，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）由题意可知，，
∵
∴，
∴，
即；
（3）如图， 当时，
，
，
如图， 当时， 延长交于点，
∵
，
，
综上所述，满足条件的的度数为或
故答案为：或
20．【答案】（1）解：如图1中，
，
，
，，
，
即．

（2）解：，
理由如下：
如图，过点作，
，
，
，，
，
，
.
（3）解：①如图3-1中，当点在直线的上方时，过点作．
，，
，
，，
，
．
②当点在直线与直线之间时，．
③当点在直线的下方时，过点作．
，，
，
，，
，
．
综上所述，①当点在直线的上方时，．
②当点在直线与直线之间时，．
③当点在直线的下方时，.
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠1=∠EGB，再利用角的运算求出的度数即可；
（2）过点作，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）分类讨论：①当点在直线的上方时；②当点在直线与直线之间时；③当点在直线的下方时，先分别画出图形，再利用平行线的性质和角的运算求解即可.
（1）解：如图1中，
，
，
，
，
，
即．
（2）解：， 理由如下：
如图，过点作，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：①如图3-1中，当点在直线的上方时，过点作．
，，
，
，，
，
．
②当点在直线与直线之间时，．
③当点在直线的下方时，过点作．
，，
，
，，
，
．
综上所述，①当点在直线的上方时，．
②当点在直线与直线之间时，．
③当点在直线的下方时，
21．【答案】C
【知识点】邻补角；平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=α，
由折叠可得：∠EFC=180°-α，
∴∠CFG=∠EFC-∠EFB=180°-α-α=180°-2α，
故选C.
【分析】
先两直线平行内错角相等得∠DEF=∠EFB，再根据折叠的性质得出∠EFC与∠EFB互补，进而利用∠EFC与∠EFB的差即可求得∠CFG．
22．【答案】B
【知识点】角的运算；邻补角；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由长方形 AD BC，得 CFG = BGD = 70。
因为 AEBF，所以 AEG =BGD = 70。
第一次折叠（沿 EF）后， BFE = EFG，且 CFG = 70，
故 GFB = 180 - 70 = 110，
所以EFG = 110 = 55。
第二次折叠（沿 AD）后， MEG =AEG = 70。
由 ADBC 得 GFE = BFE = 55。
因此 FEM =MEG - GFE = 70 - 55 = 15。
故选： B。
【分析】本题主要考查平行线的性质（同位角相等、内错角相等）以及折叠变换中对应角相等的性质。解题时需多次利用平行线传递角度，并结合折叠前后角度不变及平角关系，逐步推导出所求角度。
23．【答案】B
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图所示
∵ ∠1=130° ，∴∠4=180°-∠1=50°，
∴∠2=∠4+∠3，
∵ CD//EF ，∴∠DAB+∠2=180°，即∠DAB=180°-∠2
∵ 四边形CDFE沿AB折叠 ，∴∠DAB=∠3，即∠2=∠4+∠3=50°+∠DAB=50°+180°-∠2，
解得∠2=115°。
故答案为：B.
【分析】 首先根据平角性质以及“三角形外角等于和它不相邻的两个内角和”，可以列出∠2=∠4+∠3，然后根据“两直线平行、同旁内角互补”列出∠DAB+∠2=180°，最后根据折叠得出∠DAB=∠3，角度等式变形即可求出答案。
24．【答案】A
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：四边形是长方形纸带，，
，
如图所示，
∵，
，
如图所示，
．
故选：A．
【分析】在图1中首先根据四边形是长方形纸带，可得，根据平行线的性质可得；在图2中根据邻补角的定义可以求出，从而可求，在图3中再根据角之间的关系即可求出的度数．
25．【答案】C
【知识点】平行线的应用-折叠问题；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图，在纸带(1)中，∵∠1=∠2=60°，∠3=∠1=60°，
∴∠3=∠2=60°，
∴∠4=∠5=180°-60°-60°=60°，
∴∠2=∠4，
∴纸带(1)的上下边线平行.
在纸带(2)中，
∵GD与GC 重合，HF 与HE 重合，
∴∠CGH=∠DGH=90°，∠EHG=∠FHG=90°，
∴∠CGH+∠EHG=180°，
∴纸带(2)的上下边线平行.
故答案为：C.
【分析】根据“内错角相等，两直线平行”得纸带(1)的上下边线平行；根据“同旁内角互补，两直线平行”得纸带(2)的上下边线平行.
26．【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠可得：，
，
．
，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据折叠和平行线的性质得到，即可得到，解题即可．
27．【答案】B
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由折叠得：
∵四边形ABCD为长方形，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
即：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得到∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，进而得到：然后结合平行线的性质得到：进而即可求解.
28．【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：，
，
由折叠性质可得：，
，
由题意得：，
，
，
由折叠性质可得：，
，
，
由题意得：，
，
故答案为：D.
【分析】由邻补角得出，由折叠的性质可得，由邻补角及对顶角相等可推出，由二直线平行，同旁内角互补可求，再由折叠性质可得，由二直线平行，内错角相等得，再由二直线平行，同位角相等可得，最后根据角的构成即可求解．
29．【答案】；
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：（1）延长至M，
由翻折可得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）延长到点N，
由翻折可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了平行线的性质和翻折的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由平行线的性质结合折叠的性质知，是的2倍；
（2）由于折叠前后F、G总在同一条直线上，可作射线FG构造一组平行线间的同位角，再利用平行线的性质并结合折叠的性质计算即可．
30．【答案】55；45
【知识点】平行线的应用-折叠问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：（1）根据上下边互相平行可知，．
由折叠的性质可知，
∴．
故答案为：55；
（2）根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，
∴，即，
由（1）同理可得：．
故答案为：45．
【分析】（1）由二直线平行，同位角相等得，由折叠的性质及平角定义建立方程求解即可；和折叠的性质即可求解；
（2）根据折叠的性质及角平分线的定义可得折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，从而可知，再由（1）的思路可得的值．
1 / 1初中数学人教版（新教材）七年级下册专题训练3 利用平行线性质解决角度、三角板、折叠问题 巩固练习卷
一、利用平行线性质解决角度问题
1．如图，直线AD∥BC，若∠1=38°，BA⊥AC于点A，则∠2为（　　）
A．38° B．32° C．52° D．58°
【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义可得，然后根据平行线的性质得到，求出∠2的度数解答即可．
2．如图， AB∥DC， BC∥DE， ∠B=145°，则∠D的度数为( )
A．35° B．40° C．45° D．55°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
故选： A.
【分析】由平行线的性质推出 得到 解答即可.
3．如图， AB∥CD，点E在CD上，点F， G在AB上，设∠AFE=α， ∠EGB=β， ∠FEG=θ，则（　　)
A．α+β+θ=360° B．α+β+θ=210°
C．α+β-θ=180° D．α+β-θ=150°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由条件可知
即
故选： C.
【分析】利用平行线的性质可得 .然后根据角的和差和邻补角的定义得到，整理解答即可.
4．如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝（　　)
A．30° B．40° C．60° D．80°
【答案】B
【知识点】邻补角；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，过点C作CM∥AB，
∵ DF∥AB ，
∴CM∥DF，
∴∠BAC+∠ACM=180°，∠MCE+∠CEF=180°，
∴∠BAC+∠ACM+∠MCE+∠CEF=360°，
即∠BAC+ ∠ACE+∠CEF=360°，
∵ ∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，
∴∠CEF=140°，
∴ ∠CED＝ 180°-∠CEF=40°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线性质得∠CEF的度数，再根据邻补角的定义得 ∠CED 的度数.
5．如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠E=107°，则∠B的度数为（　　）
A．63° B．73° C．83° D．107°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥DE，∠E＝107°，
∴∠BGF＝∠E＝107°，
∵BC∥EF，
∴∠B+∠BGF＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠BGF＝73°．
故选：B．
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到∠BGF＝∠E＝107°，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B的度数解答即可．
6．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交ED 于点G，F，若FG=4，ED=8，则EB+DC=　 　.
【答案】12
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ED∥BC
∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB
∴∠ABG=∠CBG，∠ACF=∠FCB
∴∠EBG=∠EGB，∠DFC=∠ACF
∴EB=EC，DF=DC
∵FG=4，ED=8
∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=12
故答案为：12
【分析】根据直线平行性质可得∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，根据角平分线定义可得∠ABG=∠CBG，∠ACF=∠FCB，则∠EBG=∠EGB，∠DFC=∠ACF，根据等角对等边可得EB=EC，DF=DC，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．如图，已知AB∥CD，点E， F分别在AB，CD上，点G在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠CFG的角平分线交于点H.若∠EGF=84°，则∠H 的度数为　 　.
【答案】42°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点G作GM∥AB，过点H作HN∥AB，如图。
∵ AB∥CD ，GM∥AB，HN∥AB
∴AB∥GM∥HN∥CD
∴∠AEG=∠MGE，∠CFG=∠MGF
∵ ∠EGF=84°
∴∠AEG+∠CFG=84°
∵EH平分∠AEG，FH平分∠CFG
∴
∴
∵AB∥HN∥CD
∴∠NHE=∠AEH，∠NHF=∠CFH
∴∠NHE+∠NHF=42°
即 ∠H =42°
故答案为：42° .
【分析】构造辅助线，利用平行的传递性、平行线的性质和角平分线的定义进行代换即可求解。
8．如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，则的度数为　 　．
【答案】121°
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵GP⊥EG
∴∠PGE=90°
∵
∴CD∥AB
∴∠GEB=∠FGE
∵平分
∴
∴∠FGE=31°
∴∠PGF=∠PGE+∠FGE=121°
故答案为：121°
【分析】根据垂直可得∠PGE=90°，根据直线平行判定定理可得CD∥AB，则∠GEB=∠FGE，根据角平分线定义可得∠GEB，再根据直线平行性质可得∠FGE=31°，再根据角之间的关系即可求出答案.
9．已知：如图，，，．求的度数．（请将解答过程补充完整）
解：∵（已知），
∴（ ），
又∵（已知），
∴（ ），
∴________________（内错角相等，两直线平行），
∴（ ），
∵（已知），
∴________________．
【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补；
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补；．
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定。根据题目条件，利用平行线的性质可以推导出，从而证明。进一步应用平行线的性质即可完成解答。
10．如图，已知∠1+∠BDE=180°，∠2+∠4=180°.
（1）试说明：AD∥EF.
（2）若∠3=90°，∠4=140°，求∠BAC的度数.
【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∴
∴
（2）解：∵
∴
∵
∴
∴.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行得到即结合题意可得到进而即可求证；
（2）根据题意求出∠2的度数，由（1）中的平行得到进而即可求出∠BAC的度数.
二、利用平行线性质解决三角板问题
11．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，且点在点的右侧，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】根据平行公理推论，，当AD平行时，AD也会平行，再根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，及角度之间的等量关系可算出答案．
12．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（　　）
A．30° B．15° C．45° D．20°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作直线，
由题意得，，，，
，
∴，
∴，，
∴，
∴
故选：B．
【分析】过点作直线，先求，再求，最后用平角减去，再减去即可．
13． 如图2，三角板ABC（其中，）和三角板DEF（其中， ) 按照如图所示的位置摆放，点 D 在边 AC 上，若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；补角；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点D作DK∥AB
∵AB∥EF
∴DK∥EF
∴∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°
∴∠ADE=∠ADK+∠EDK=75°
∵∠EDF=90°
∴∠CDF=180°-90°-75°=15°
故答案为： D
【分析】过点D作DK∥AB，根据直线平行性质可得∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°，再根据角之间的关系可得∠ADE，再根据补角即可求出答案.
14．一把直尺和一个含角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且，那么的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】
解：由题意可知，△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=90°-∠B=60°.
∵，
∴CAF=CAB-∠BAF=60°-10°=50°.
∵，
∴.
故选：C.
【分析】本题考查了平行线的性质，先求出∠CAB 的度数，再得到∠CAF 的度数，最后利用直尺对边平行的特征，结合平行线的性质得到∠CED =∠CAF ，进而求出∠CED 的大小。
15．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角板（量角器）画图-垂线
【解析】【解答】解：得出的是中边上的高，故A错误；
得出的是中边上的高，故B正确；
作出的不是的高，故C错误；
得出的是中边上的高，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据三角形的高的定义逐项进行判断即可．从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
16．已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵直线，
∴∠2=∠ABC，
又∵∠1=30°，∠1+∠ABC=90°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∴∠2=∠ABC=60°；
故答案为：．
【分析】 根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠ABC，由直角三角板两锐角互余求得∠ABC，进而可求解.
17．将一副三角板按如图所示的方式放置，边AC，EF在直线MN上，∠BAC=∠EDF=90°，∠ABC=30°，∠DFE=45°。三角板ABC保持不动，将三角板DEF绕点F顺时针旋转，当EF第一次与BC平行时，∠DFN的度数是　 　度。
【答案】75
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵ EF∥BC，
∴ ∠EFC=∠ACB=60°，
∵ ∠DFE=45°，
∴ ∠DFN=180°-∠EFC-∠DFE=75°.
故答案为：75.
【分析】根据三角板的各角大小，两直线平行同位角相等和平角，即可求得.
18．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一条直角边共线，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是　 　度．
【答案】135
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB
由题意可得，AB∥CD，∠AED=90°，∠EDH=45°
∴EF∥CD
∴∠FED=∠EDH=45°
∴∠AEF=∠AED-∠FED=45°
∵EF∥AB
∴∠1+∠AEF=180°
∴∠1=180°-∠AEF=135°
故答案为：135°
【分析】过点E作EF∥AB，由题意可得，AB∥CD，∠AED=90°，∠EDH=45°，则EF∥CD，根据直线平行性质可得∠FED=∠EDH=45°，根据角之间的关系可得∠AEF，再根据直线平行性质即可求出答案.
19．探索与实践：
数学兴趣小组的同学在学行线的性质后．用一副三角板进行探索．
如图：在三角板和三角板中，，，，将三角板绕着点C做旋转运动．
（1）当时，如图1所示．______；
（2）如图2所示，当时，求的度数．
（3）当时，直接写出的度数______．
【答案】（1）
（2）由题意可知，，
∵
∴，
∴，
即；
（3）或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】（1）由题意可知，，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）如图， 当时，
，
，
如图， 当时， 延长交于点，
∵
，
，
综上所述，满足条件的的度数为或
故答案为：或
【分析】（1）根据直线平行性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，当时，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
（1）由题意可知，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）由题意可知，，
∵
∴，
∴，
即；
（3）如图， 当时，
，
，
如图， 当时， 延长交于点，
∵
，
，
综上所述，满足条件的的度数为或
故答案为：或
20．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板．
（1）如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数；
（2）如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系；
（3）将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图1中，
，
，
，，
，
即．

（2）解：，
理由如下：
如图，过点作，
，
，
，，
，
，
.
（3）解：①如图3-1中，当点在直线的上方时，过点作．
，，
，
，，
，
．
②当点在直线与直线之间时，．
③当点在直线的下方时，过点作．
，，
，
，，
，
．
综上所述，①当点在直线的上方时，．
②当点在直线与直线之间时，．
③当点在直线的下方时，.
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠1=∠EGB，再利用角的运算求出的度数即可；
（2）过点作，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）分类讨论：①当点在直线的上方时；②当点在直线与直线之间时；③当点在直线的下方时，先分别画出图形，再利用平行线的性质和角的运算求解即可.
（1）解：如图1中，
，
，
，
，
，
即．
（2）解：， 理由如下：
如图，过点作，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：①如图3-1中，当点在直线的上方时，过点作．
，，
，
，，
，
．
②当点在直线与直线之间时，．
③当点在直线的下方时，过点作．
，，
，
，，
，
．
综上所述，①当点在直线的上方时，．
②当点在直线与直线之间时，．
③当点在直线的下方时，
三、利用平行线性质解决折叠问题
21．图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】邻补角；平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=α，
由折叠可得：∠EFC=180°-α，
∴∠CFG=∠EFC-∠EFB=180°-α-α=180°-2α，
故选C.
【分析】
先两直线平行内错角相等得∠DEF=∠EFB，再根据折叠的性质得出∠EFC与∠EFB互补，进而利用∠EFC与∠EFB的差即可求得∠CFG．
22．如图，将长方形纸片沿着直线折叠后，点A，B分别落在点，的位置上，再沿着线段折叠后，点，分别落在点M，N的位置上，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；邻补角；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由长方形 AD BC，得 CFG = BGD = 70。
因为 AEBF，所以 AEG =BGD = 70。
第一次折叠（沿 EF）后， BFE = EFG，且 CFG = 70，
故 GFB = 180 - 70 = 110，
所以EFG = 110 = 55。
第二次折叠（沿 AD）后， MEG =AEG = 70。
由 ADBC 得 GFE = BFE = 55。
因此 FEM =MEG - GFE = 70 - 55 = 15。
故选： B。
【分析】本题主要考查平行线的性质（同位角相等、内错角相等）以及折叠变换中对应角相等的性质。解题时需多次利用平行线传递角度，并结合折叠前后角度不变及平角关系，逐步推导出所求角度。
23．如图，将四边形CDFE沿AB折叠一下，如果CD//EF，∠1=130°，那么∠2是（　　）
A．110° B．115° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图所示
∵ ∠1=130° ，∴∠4=180°-∠1=50°，
∴∠2=∠4+∠3，
∵ CD//EF ，∴∠DAB+∠2=180°，即∠DAB=180°-∠2
∵ 四边形CDFE沿AB折叠 ，∴∠DAB=∠3，即∠2=∠4+∠3=50°+∠DAB=50°+180°-∠2，
解得∠2=115°。
故答案为：B.
【分析】 首先根据平角性质以及“三角形外角等于和它不相邻的两个内角和”，可以列出∠2=∠4+∠3，然后根据“两直线平行、同旁内角互补”列出∠DAB+∠2=180°，最后根据折叠得出∠DAB=∠3，角度等式变形即可求出答案。
24．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中度数是多少（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：四边形是长方形纸带，，
，
如图所示，
∵，
，
如图所示，
．
故选：A．
【分析】在图1中首先根据四边形是长方形纸带，可得，根据平行线的性质可得；在图2中根据邻补角的定义可以求出，从而可求，在图3中再根据角之间的关系即可求出的度数．
25．如图，一次数学活动中，检验两条纸带(1)(2)的上下边线是否平行，明明和小丽采用两种不同的方法：明明把纸带(1)沿AB 折叠，量得∠1=∠2=60°；小丽把纸带(2)沿 GH 折叠，发现GD与GC 重合，HF 与HE 重合.下列判断正确的是 (　　)
A．纸带(1)的上下边线平行，纸带(2)的上下边线不平行
B．纸带(1)的上下边线不平行，纸带(2)的上下边线平行
C．纸带(1)(2)的上下边线都平行
D．纸带(1)(2)的上下边线都不平行
【答案】C
【知识点】平行线的应用-折叠问题；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图，在纸带(1)中，∵∠1=∠2=60°，∠3=∠1=60°，
∴∠3=∠2=60°，
∴∠4=∠5=180°-60°-60°=60°，
∴∠2=∠4，
∴纸带(1)的上下边线平行.
在纸带(2)中，
∵GD与GC 重合，HF 与HE 重合，
∴∠CGH=∠DGH=90°，∠EHG=∠FHG=90°，
∴∠CGH+∠EHG=180°，
∴纸带(2)的上下边线平行.
故答案为：C.
【分析】根据“内错角相等，两直线平行”得纸带(1)的上下边线平行；根据“同旁内角互补，两直线平行”得纸带(2)的上下边线平行.
26．如图①，已知长方形纸带，，，，点E、F分别在边、上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠可得：，
，
．
，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据折叠和平行线的性质得到，即可得到，解题即可．
27．已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（　　）
A．74° B．72° C．70° D．68°
【答案】B
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由折叠得：
∵四边形ABCD为长方形，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
即：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得到∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，进而得到：然后结合平行线的性质得到：进而即可求解.
28．如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：，
，
由折叠性质可得：，
，
由题意得：，
，
，
由折叠性质可得：，
，
，
由题意得：，
，
故答案为：D.
【分析】由邻补角得出，由折叠的性质可得，由邻补角及对顶角相等可推出，由二直线平行，同旁内角互补可求，再由折叠性质可得，由二直线平行，内错角相等得，再由二直线平行，同位角相等可得，最后根据角的构成即可求解．
29．将一条长方形纸带的一端沿折叠成图1，．
（1）若，则的度数为　 　．
（2）将图1的另一端先沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若，则的度数为　 　．（用含的代数式表示）
【答案】；
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：（1）延长至M，
由翻折可得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）延长到点N，
由翻折可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了平行线的性质和翻折的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由平行线的性质结合折叠的性质知，是的2倍；
（2）由于折叠前后F、G总在同一条直线上，可作射线FG构造一组平行线间的同位角，再利用平行线的性质并结合折叠的性质计算即可．
30．如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．
（1）若图中，则　 　；
（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合（如图2），若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为　 　度．
【答案】55；45
【知识点】平行线的应用-折叠问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：（1）根据上下边互相平行可知，．
由折叠的性质可知，
∴．
故答案为：55；
（2）根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，
∴，即，
由（1）同理可得：．
故答案为：45．
【分析】（1）由二直线平行，同位角相等得，由折叠的性质及平角定义建立方程求解即可；和折叠的性质即可求解；
（2）根据折叠的性质及角平分线的定义可得折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，从而可知，再由（1）的思路可得的值．
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