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2026年春季八年级综合素养评价（一）
数学试题
试卷共6页 满分：150分 考试时间：120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中，属于分式的是( )
A. B. C. D.
2.若分式的值为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.武汉理工大学科研团队研发的溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，数据“”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.若把分式的、同时扩大为原来的倍，则分式的值( )
A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 不变 D. 缩小倍
6.如图，四边形为平行四边形，为延长线上一点，
若，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
8.若关于的方程的解为正数，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
9.如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点，分别为线段，的中点，点为边上的一个动点，当值最小时，点的坐标为 ．
A. B. C. D.
10.已知且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
12.将正比例函数的图象向上平移个单位长度后得到函数图象的解析式为 ．
13.若点在轴上，则点的坐标是 ．
14.计算： ．
15.已知，则的值______．
16.若关于的一元一次不等式组的解为，且关于的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
三、计算题：解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。。
17.本小题分计算： ．
18.本小题分 解方程：．
19.本小题分
先化简，在求值：，其中
20.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
求一次函数与反比例函数的解析式；
求的面积．
21.本小题分
如图所示，已知平行四边行的周长为，对角线，相交于点，的周长比的周长多，求平行四边行的各边长．
22.本小题分
《哪吒之魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进款哪吒玩偶的金额是元，购进款哪吒玩偶的金额是元，购进款哪吒玩偶的数量比款哪吒玩偶少个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的倍．
、两款玩偶的单价分别是多少元？
为满足消费者需求，在、两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进、两款玩偶共个，款哪吒玩偶的数量不多于款哪吒玩偶数量的倍，且总金额不超过元，问有多少种进货方案？
23.本小题分
某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的页数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）【基础设问】
乙复印社要求客户每月支付的会员费是 元，甲复印社每页收费是 元
求出乙复印社的收费元关于复印页数的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义．
如果每月复印页，应选择哪家复印社请说明理由．
（2）【能力设问】
顾客如何选择复印社更划算请通过计算说明．
②已知市场上有两种纸可供复印社选择，每包型纸和每包型纸的售价分别是元和元现在商家对复印纸张价格进行调整，其中型纸的售价上涨，型纸按原价出售甲复印社准备购进这两种型号的纸共包要求两种型号的纸均购买，并且型纸的数量不超过型纸数量的倍，求购买这包复印纸的最少费用．
24.本小题分
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式整式与真分式的和的形式．
如：；
再如：．
下列各式：；；；，是假分式的有 填序号．
将假分式化为带分式的形式．
已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值．
一个三位数，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数．
25.本小题分
如图，为等腰直角三角形，，，则可证≌由于三个直角的顶点都在同一直线上，因此我们将其称为“一线三直角”．
如图，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，则点坐标为______．
如图，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为分别与轴，轴交于点，，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式；
如图，在平面直角坐标系中，点，过点作轴于点，作轴于点，为线段上的中点，点是直线上的一动点若，求点坐标．2026年春季八年级综合素养评价（一）答案及评分标准
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11. 12. 13.
14. 15. 16.
三、计算题：解答题：本题共9小题，共86分。
17. 本小题分解：原式， -------------------------6分
． ---------------------------8分
18. 本小题分解：原方程两边同时乘以去分母可分为：
， ----------------------4分
， ------------------------------6分
经检验：，是分式方程的解． ----------------------8分
19. 本小题分解：原式 ---------------------4分
， ---------------------6分
当时，原式． ----------------------------8分
.20 本小题分解：将代入反比例函数，
得，，解得， ---------------------------------1分
，
点的坐标为，
反比例函数解析式为， -- ------------------------------2分
将点代入得，
解得，，
所以，点的坐标为，
将点，代入得，
， ----------------------------------3分
解得，，
则一次函数解析式为； ---------------------------------4分
设与轴相交于点，令，
解得， -------------------------------5分
点的坐标为，即， ----------------------------------6分
． ------------------8分

21.本小题分 解：因为四边形为平行四边形，
所以，，． -------------------------------2分
因为，，-4分
所以，， ------------------------------6分
所以，．
即 的各边长分别为，，，．-----------------8分
22. 本小题分
（1）解：设款哪吒玩偶的单价是元，则款哪吒玩偶的单价是元．
依题意，得， ----------------------------3分
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
． ------------------------------4分
答：款哪吒玩偶的单价是元，款哪吒玩偶的单价是元． -----------5分
（2)设再次购进个款哪吒玩偶，则再次购进个款哪吒玩偶．
依题意，得 -----------7分
解得．
为正整数，可以为，，，．----------------------------9分
有种进货方案．
答：该超市有种进货方案．-----------------------------------------10分

23.本小题分
解：【基础设问】
--------------------------------------1分
设乙复印社的收费元关于复印页数的函数表达式为．
把和分别代入表达式，得解得
故乙复印社的收费元关于复印页数的函数表达式为．---------------2分
一次项系数的实际意义为在每月支付会员费元的基础上，每页收费元 -------------------3分
应选择乙复印社理由如下：
由题意易知，甲复印社的收费元关于复印页数的函数表达式为．
当时，甲复印社的费用为元，乙复印社的费用为元分
，每月复印页，应选择乙复印社． -----------------------------4分
(2)【能力设问】
当时，，解得
当时，，解得
当时，，得． -----------------------------6分
综上所述，当复印的页数大于时，选择乙复印社更划算
当复印的页数小于时，选择甲复印社更划算
当复印的页数等于时，选择两家复印社都一样． ----------------------------------7分
设购买型纸包，购买包复印纸的总费用为元，
由题意，得． -----------------8分
，，且为正整数．
，的值随的值的增大而减小， ----------------------------9分
当时，的值最小，是，
购买这包复印纸的最少费用是元． --------------------------------------10分

24. 本小题分
（1） ----------------------------2分
（2）解： ． ------------------------------------4分
（3）解： ， -----------------6分
是整数，分式的值也是整数，
是整数，
或或或或或或或． ------------7分
（4）解：设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为，
，，
----------------8分
=
=
． -----------------------------------------9分
由题意可得，，，且，均为整数．
这个三位数的平方能被这个两位数整除，
为整数，即 为整数，----------------------------------10分
当时， ，没有满足题意的值，
当时， ，没有满足题意的值，
当时， ，，
当时， ，没有满足题意的值，-----------------------------------------11分
综上，满足条件的两位数为． ---------------------------------------------12分
25. 本小题分
解：如图，为等腰直角三角形，过点作交点，

，，
在和中，
，
≌， ---------------------------------------------1分
，，
点，点，
，，
， ------------------------------------------2分
点
故答案为：； -------------------------------------------3分
（备注：答案对，给满分 答案不对，按以上步骤给分）
(2)如图，过点作交点，过点作轴于点， ---------------------------4分

，，
，， ---------------------------5分
在和中，
，
≌
，， ---------------------------6分
直线：分别与轴，轴交于点，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
点在第二象限，
点 ---------------------------7分
设直线的解析式为，
，
解得：，
故直线的解析式为； ---------------------------8分
如图，点，轴，轴，

，
为线段上的中点，
---------------------------9分
设直线的解析式为，将点的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为， ---------------------------10分
当时，得：，
， ---------------------------12分
，
，
， ---------------------------12分
或． ---------------------------14分

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