资源简介

(共20张PPT)
24.4 数据的分组
第二十四章 数据的分析
1.理解组内离差平方和与计算.
2.经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法.
在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便. 对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，也会有助于我们解决问题.
在社会生活中，分类现象普遍存在. 例如，超市商品从“牛奶、面包、牙膏、洗发水”变成“食品区、日用品区、生鲜区”，能快速找到你要的东西.
【问题】一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
你认为哪一部分应聘者应当进入面试
【分析】自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进人面试．那么笔试成绩怎样才算好呢？
可以有不同的标准．例如，前三名或85分及以上等，不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组.
但是83分和85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于不太好的成绩.
这么看，有些标准没有考虑数据自身的特点. 从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法. 因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组.
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起. 因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法. 可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔，如图所示.
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法.
【思考】怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？
在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组.
如果把这组数据分为两组，前m(md12=(x1-1)2+(x2-1)2++(xm-1)2,
d22=(xm+1-2)2+(xm+2-2)2++(xn-2)2,
那么d2=(x1-)2+(x2-)2++(xn-)2
=(x1-1+1-)2+(x2-1+1-)2++(xm-1+1-)2+ (xm+1-2+2-)2+
(xm+2-2+2-)2++(xn-2+2-)2
=(x1-1)2+(x2-1)2++(xm-1)2+(xm+1-2)2+(xm+2-2)2++(xn-2)2+
m(1-)2+(n-m)(2-)2
=d12+d22+m(1-)2+(n-m)(2-)2.
一般地，设有n个数据x1，x2，，xn，其平均数记为，则离差平方和为
d2=(x1-)2+(x2-)2++(xn-)2.
其中d12+d22称为组内离差平方和. 表示两个组内数据的离散程度；
记d122=m(1-)2+(n-m)(2-)2，d122是m个第一组数据平均数、(n-m)个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异．根据组内离差平方和最小的原则进行分组时，由于d 不变，既可以按d12+d22最小来分组，也可以按d122最大来分组.
d2=d12+d22+m(1-)2+(n-m)(2-)2.
这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组．利用计算器或信息技术工具，可以计算出图中的9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示.
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 799.6 799.6
第2个间隔 18 503.5 521.5
第3个间隔 50.7 271.4 322.1
第4个间隔 152.8 170.8 323.6
第5个间隔 228.8 54.8 283.6
第6个间隔 411.3 26 437.3
第7个间隔 587.4 4.7 592.1
第8个间隔 819.5 2 821.5
第9个间隔 1 026.2 0 1 026.2
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小．
因此，按组内离差平方和最小的分法为{58，64，68，75，76}和{83，85，89，99，92}.
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 799.6 799.6
第2个间隔 18 503.5 521.5
第3个间隔 50.7 271.4 322.1
第4个间隔 152.8 170.8 323.6
第5个间隔 228.8 54.8 283.6
第6个间隔 411.3 26 437.3
第7个间隔 587.4 4.7 592.1
第8个间隔 819.5 2 821.5
第9个间隔 1 026.2 0 1 026.2
利用组内离差平方和最小原则对数据分组
【例】10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示.
城市 北京 石家庄 呼和 浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 -3 -11 10 21 22 12 9 17
解：将表中的数据按从小到大排列，可得
-11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22
根据平均高温的组内离差平方和最小的原则：把这10个城市分为两组.
将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示.
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 584.2 584.2
第2个间隔 32 380.9 412.9
第3个间隔 98.7 285.7 384.4
第4个间隔 132 158.8 290.8
第5个间隔 228.8 113.2 342
第6个间隔 308.8 62 370.8
第7个间隔 397.4 14 411.4
第8个间隔 562 0.5 562.5
第9个间隔 789.6 0 789.6
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 584.2 584.2
第2个间隔 32 380.9 412.9
第3个间隔 98.7 285.7 384.4
第4个间隔 132 158.8 290.8
第5个间隔 228.8 113.2 342
第6个间隔 308.8 62 370.8
第7个间隔 397.4 14 411.4
第8个间隔 562 0.5 562.5
第9个间隔 789.6 0 789.6
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为
{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}
和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}.
结合地理课所学知识，说一说这样分组合理吗？
合理. 这样分组大致沿秦岭淮河一线分为南北方.
{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}
和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}.
①排序：将一组数据从小到大排列；
②分组：把数据分成两组，前 m (m③计算：分别计算这两组数据的离差平方和 ；
④求和：计算组内离差平方和 .
组内离差平方和的计算步骤：
组内离差平方和： d122=m(1-)2+(n-m)(2-)2
组内离差平方和最小原则：组内数据越集中，组间差异越清楚，分组才有意义
数据的分组
1. 五个城市某月的平均低温单位： 如下表所示：
城市 A B C D
平均低温/ 0 -2 5 2 3
根据平均低温的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组．
解：将平均低温按从小到大的顺序排列，5个平均低温按顺序排列形成4个间隔，如图所示.
每个间隔都可以把平均低温分成两组，共有4种分法．
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 13 13
第2个间隔 2 4.67 6.67
第3个间隔 8 2 10
第4个间隔 14.75 0 14.75
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第2个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的分法为{A ，B}和{C，D，E} .
2.下表记录了我国10个省份2020年人均地区生产总值(人均GDP)的数据.数据表明，这10个省份的人均GDP是有区别的.如果要把这10个省份依据人均GDP的多少分为两个组，你认为应当如何划分 请说出划分的道理，
解：将表中10个数据按从小到大排列，得到6.24，7.16，7.18,7.37，8.85，10.07，10.11，12.13，15.68，16.42.将它们分成两组共有9种情况，分别计算组内离差平方和，如下表.
观察组内离差平方和可以发现，当按第7个间隔分组时，组内离差平方和最小. 因此，按组内离差平方和最小的分法为
{省份2，省份3，省份4，省份7，省份8，省份9，省份10}和{省份1，省份5，省份6}.
分组 组内离差平方和
第1个间隔 99.546
第2个间隔 87.023
第3个间隔 70.706
第4个间隔 50.822
第5个间隔 40.050
第6个间隔 36.286
第7个间隔 24.713
第8个间隔 28.399
第9个间隔 72.195

展开更多......

收起↑