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24.2 数据的离散程度
课时2 根据方差做决策
第二十四章 数据的分析
1.能熟练计算一组数据的方差.
2.通过实例体会方差的实际意义.
3.能用样本的方差估计总体的方差及根据方差作决策.
在生活中，很多自动化的工厂在制造产品时总会产生无法避免的误差，这是因为自动装配线在运行时，会受到机器精度、环境气候变化、等不可控因素的影响，导致产品的实际质量和标准之间产生误差. 这种误差在工业生产中是普遍存在的.
【例2】自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）．
甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500 mL的饮料，现要检验两条灌装线的灌装质量.
【问题1】可通过哪些统计量来关注灌装线的灌装质量
【问题2】如何获取数据？
每瓶饮料的含量；灌装线的稳定性.
抽样调查
【例2】现从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如下表所示.
(1)如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL为不合格品，两条灌装线的灌装质量是不是都合格？
(2)哪条灌装线的灌装质量更好？
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
【分析】在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好.
在误差都合格的前提下，比较两条线的整体波动程度. 波动更小的那条线，灌装质量更稳定、更好.
解：(1)甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500 mL的误差如下表所示.
甲组误差/mL 1 -4 -2 -1 3 -2 5 -2 1 1
乙组误差/mL -4 -7 4 -5 0 6 4 5 -2 -1
从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5 mL，7 mL，两者都小于10 mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的.
(1)如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL为不合格品，两条灌装线的灌装质量是不是都合格？
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
解：(2)甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为
甲==500,
乙==500.
两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量.
(2)哪条灌装线的灌装质量更好？
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
也可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为
= 6.6，
= 18.8.
可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小.
根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好.
(2)哪条灌装线的灌装质量更好？
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析. 平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况.
决策型问题的求解策略
【例3】甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示. 两地的气温有什么差异？
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/ ℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/ ℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示，得到下图.
时刻
气温/ ℃
25
20
15
10
5
0
时刻
气温/ ℃
25
20
15
10
5
0
从上图可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地. 为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较.
【例3】甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示. 两地的气温有什么差异？
两地气温的平均数分别为
甲= =16， 乙= =16.
将两地气温按从小到大排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
可以发现两地气温的中位数都是16，众数各有两个（甲地是16和21，乙地是15和17）且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性. 因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显.
【例3】甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示. 两地的气温有什么差异？
两地气温的方差分别为
s2甲= = ，
s2乙= = .
由s2甲＞s2乙可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定.
【例3】甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示. 两地的气温有什么差异？
【思考】在解决实际问题时，方差的作用是什么？运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
反映数据的离散程度．方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小，可用样本方差估计总体方差.
先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况.
【练习】甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是( )
A.甲 B. 乙 C.丙 D.丁
C
利用方差进行决策
决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析. 平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况.
方差越大，数据的离散程度越大；
方差越小，数据的离散程度越小.
方差的作用：比较数据的稳定性.
1.某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示:
要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择( )
甲 乙 丙 丁
平均值 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
A.甲 B. 乙 C.丙 D.丁
B
2.样本方差的作用是（ ）
A.表示总体的平均水平
B.表示样本的平均水平
C.准确表示总体的波动大小
D.表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小
D
3.在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续高低不等的台阶.如下图是其中的甲、乙两段台阶路的示意图. 哪段台阶路走起来更舒服？为什么
甲 21 20 21 19 19 20
乙 17 24 20 17 19 23
解：两段台阶的平均数分别为
甲= =20， 乙= =20.
两段台阶的方差分别为
s2甲= = ，s2乙= = .
由s2甲＜s2乙可知，走甲台阶的波动性更小，走起来更舒适.

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