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24.2 数据的离散程度
课时1 离差平方和与方差
第二十四章 数据的分析
1.了解数据离散程度的含义，掌握离差、离差平方和、方差的定义与意义.
2.会计算一组数据的离差平方和以及方差能用方差比较两组数据的波动大小.
3.能够运用方差判断数据的离散程度，并解决简单的实际问题.
小明和小陈两名同学想参加学校的射击比赛，它们射击的测试成绩统计如下:
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
小明命中环数 7 8 8 8 0
小陈命中环数 10 6 10 6 8
现要从小明和小陈两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛.
若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适？
在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是人们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度.本节我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和、方差.
【问题 】某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量 (单位：t) 如下表所示.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢
解： (1)上面两组数据的平均数分别是
甲=7.537，乙=7.515.
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.
由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.
(1)甜玉米的产量可用什么量来描述？请计算后说明.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
(2)如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢
解： (2) 设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况.
比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近. 因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好．
(3)如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？
(3)如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？
正如两幅图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小. 反过来也成立.
这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.
一般地，有 n 个数据 x1，x2，，xn，用表示它们的平均数，我们把 xi- （i=1，2，，n）叫作 xi 关于平均数的离差.
离差的概念：
【思考】可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？
用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由
(x1- )+(x2- )++(xn- )=x1+x2++xn-n=0
可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.
为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和. 我们把
(x1- )2+(x2- )2++(xn- )2
叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.
离差平方和的概念：
方差的概念：
有 n 个数据 x1，x2，，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1- )2，(x2- )2 ， (xn- )2 ，我们用这些值的平均数，即用
叫做这组数据的方差，记作“s2”.
方差的意义：
方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度.
方差越大，数据的离散程度越大；
方差越小，数据的离散程度越小.
回到本节“问题”，根据下表你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗
解 ≈ 0.010，
≈ 0.002.
由，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好.
甲=7.537.
乙=7.515.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定. 正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.
因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定.
综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.
≈ 0.010，
≈ 0.002.
【思考】用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.
在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.
【例1】甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示.
哪名射击运动员的发挥更稳定？
解：两名运动员射击成绩的平均数分别为
甲= =8.7，乙= =8.6.
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
两名运动员射击成绩的方差分别为
s2甲= =2.41，s2乙= =1.04.
由s2甲＞s2乙可知，乙射击运动员的发挥更稳定.
利用计算器的统计功能也可以求方差. 操作时需要参阅计算器的使用说明书，通常需要先按动某一功能键，使计算器进入统计状态，然后依次输入数据x1，x2，，xn ；最后按动求方差的功能键，计算器便会求出方差
s2 =的值.
哪名射击运动员的发挥更稳定？
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
一般地，有 n 个数据 x1，x2，，xn，用表示它们的平均数，我们把 xi- （i=1，2，，n）叫作 xi 关于平均数的离差.
s2= .
离差
数据的
离散程度
方差
离差平方和
d2=(x1- )2+(x2- )2++(xn- )2.
1.样本方差的作用是( )
A.表示总体的平均水平 B.表示样本的平均水平
C.准确表示总体的离散大小 D.表示样本的离散大小
2.一组数据2，0，1，，3的平均数是2，则这组数据的方差是( )
A.2 B. 4 C. 1 D. 3
D
A
3.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A
A.甲 B. 乙 C.丙 D.丁
4. 如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序.先通过直观判断排序，再根据方差排序.这两种排序的结果是否一致？
(3) 3= ×(4+5+6+7+8)=6，s23=×[(4 6) +(5 6) +(6 6) +(7 6) +(8 6) ]=2.
(4) 4= ×(4+4+6+8+8)=6，s24=×[(4 6) +(4 6) +(6 6) +(8 6) +(8 6) ]=3.2.
解：(1)1=×(6+6+6+6+6)=6，s21=×[(6 6) +(6 6) +(6 6) +(6 6) +(6 6) ]=0.
(2)2=×(5+6+6+6+7)=6，s22=×[(5 6) +(6 6) +(6 6) +(6 6) +(7 6) ]=0.4
所以这4组数据按方差大小，离散程度从小到大的排序为
(1)<(2)<(3)<(4).
通过直观判断和根据方差排序的结果是一致的.

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