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24.1.2 中位数和众数
课时2 平均数、中位数和众数的应用
第二十四章 数据的分析
1.在解决实际问题中进一步理解平均数、中位数众数作为数据代表的意义.
2.能结合具体情境体会平均数、中位数、众数三者的特点与差异.
八年级某班的教室里，三位同学正在为谁的数学成绩好而争论，他们的五次数学成绩分别是：
小华：62，94，95，98，98;
小明：62，62，98，99，100;
小丽：40，62，85，99，99.
他们都认为自己的数学成绩比另两位同学好，你觉得呢？
虽然平均数、中位数和众数都可以用于刻画一组数据的集中趋势，但它们刻画的角度并不相同．在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的统计量刻画数据的集中趋势.
【例7】 下表是某公司员工月收入的资料.
月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 000 3 600 3 000
人数 1 1 1 7 6 4
(1)分别计算这家公司员工月收入的平均数和中位数；
(2)若要反映这家公司员工月收入水平, 你认为用平均数还是中位数 为什么
(1)分别计算这家公司员工月收入的平均数和中位数；
解：（1）这家公司员工月收入的平均数为
=7 080.
将公司20名员工的月收入按从小到大排列，可以得到第10个和第11个数据分别为3 600和5 000，可得中位数为
月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 000 3 600 3 000
人数 1 1 1 7 6 4
(1)分别计算这家公司员工月收入的平均数和中位数；
平均数为7 080.
中位数为
为什么平均数比中位数高这么多？
因为平均数的计算要用到所有的数据，但这组数据中，有一个极端值“45 000”，平均数受此极端值的影响较大，而中位数不受其影响，所以出现“公司员工月收入的平均数比中位数高得多”的情况.
月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 000 3 600 3 000
人数 1 1 1 7 6 4
解：(2)在20名员工中，仅有3名员工的月收入在7 080元以上，而另外17名员工的月收入都在7 080元以下. 因此，用月收入的平均数代表所有员工的月收入水平不太合适.
而中位数4 300说明一半员工的月收入高于4 300元，另一半员工的月收入低于4 300元.相对平均数而言，中位数更能代表这家公司所有员工的月收入水平.
(2)若要反映这家公司员工月收入水平, 你认为用平均数还是中位数 为什么
月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 000 3 600 3 000
人数 1 1 1 7 6 4
【思考】求出这家公司员工月收入的众数，用众数刻画这家公司员工月收入水平是否合适？为什么？
出现次数最多的月收入是5000元（出现7次）.
用众数刻画收入水平基本合适，因为5000元是公司最常见的月收入，能反映多数员工的收入情况. 但众数忽略了其他员工（如3600元、3000元）的分布，不如中位数稳健. 若仅看最常见收入，众数也可作为参考.
月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 000 3 600 3 000
人数 1 1 1 7 6 4
【例8】某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励.为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下：
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 14 15 26
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
(1)月销售额在哪个值的人数最多？中间位置的月销售额是多少？平均月销售额是多少？
(2)如果想确定一个较高的销售目标，你认为在(1)的三个销售额中选哪一个作为销售目标合适？请说明理由.
(3)如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？请说明理由.
【分析】商场服装部统计的每位营业员在某月的销售额组成一个样本，通过分析样本数据的平均数、中位数、众数来估计总体的情况，从而解决问题.
确定一个适当的月销售目标是一个关键问题，如果目标定得太高，多数营业员完不成任务，会使营业员失去信心；如果目标定得太低，不能发挥营业员的潜力.
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 14 15 26
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
销售额/万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32
人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 2 3 1 2
解： (1)整理题干中所给出的数据，得到如下的表和图.
13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32 月销售额/万元
人数
6
4
2
0
(1)月销售额在哪个值的人数最多？中间位置的月销售额是多少？平均月销售额是多少？
从上表或上图可以看出，样本数据的众数是15，中位数是 18，利用计算器求得这组数据的平均数约是20.
可以推测，这个服装部营业员的月销售额为15万元的人数最多，中间的月销售额是18万元，平均月销售额大约是20万元.
销售额/万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32
人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 2 3 1 2
13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32 月销售额/万元
人数
6
4
2
0
(2)如果想确定一个较高的销售目标，你认为在(1)的三个销售额中选哪一个作为销售目标合适？请说明理由.
解：(2)如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为每月20万元（平均数）. 因为从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大.
可以估计，月销售额定为每月20万元是一个较高目标，大约会有的营业员获得奖励.
众数是15，中位数是 18，平均数约是20.
销售额/万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32
人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 2 3 1 2
(3)如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？请说明理由.
解：(3)如果想让一半左右的营业员能够达到销售目标，月销售额可以定为每月18万元（中位数）. 因为从样本情况看，月销售额在18万元以上（含18万元）的有16人，占总人数的一半左右.
可以估计，如果月销售额定为18万元，将有一半左右的营业员获得奖励.
众数是15，中位数是 18，平均数约是20.
销售额/万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32
人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 2 3 1 2
【思考】根据前面的例题，对平均数、中位数、众数的特点进行总结.
平均数是一组数据的平均值，计算时要用到所有的数据，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动，它能够充分利用数据提供的信息，但它受极端值的影响较大.
众数是当一组数据中出现次数最多的数据，众数不易受极端值的影响，这是它的一个优势，缺点是当各个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性.
中位数仅是一组数据按大小排序后处于中间位置的数，计算简单，不易受极端值影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给的数据中，中位数不能充分利用数据提供的信息.
利用平均数、众数、中位数与统计图结合的问题
甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别绘制成下列两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如表:
(1)写出表格中，的值;
解：=7，=7.5.
(2)分别运用表中的三个统计量，简要分析这两名队员的射击成绩，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员
解：从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多.综合以上各因素，若选派一名学生参赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大.
=7
=7.5
平均数：计算要用到所有数据，它能够利用数据提供的信息，因此在生活中较为常用，但它容易受极端值影响.
平均数、中位数和众数的应用
平均数、中位数、众数的特征：平均数是最常用的指标，它表示“一般水平”，中位数表示“中等水平”，众数表示“多数水平”
中位数：计算量很少，仅与数据的排列位置有关，不易受极端值影响.
众数：是当一组数据中某些数据多次重复出现时，人们往往关心的一个量，众数不易受极端值的影响.
1.某地区每天最高温度(单位:℃)情况如图所示，则表示最高温度的这组数据的中位数是( )
A.24
B.25
C.26
D.27
B
2.某校在包括小明在内的7名学生中根据成绩进行选拔，成绩最好的3名学生参加数学竞赛．现已知这7名学生的成绩都不相同，小明想知道自己能否进入前三名，那么需要知道这7个成绩的(　　)
A．最高分 B．最低分
C．平均分 D．中位数
D
3.关于一组数据的平均数、中位数、众数，下列说法中正确的是(　　)
A．平均数一定是这组数中的某个数
B．中位数一定是这组数中的某个数
C．众数一定是这组数中的某个数
D．一组数据的中位数和众数不可能相等
C
4.某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图:
请根据以上提供的信息解答下列问题:
(1)把一班竞赛成绩统计图补充完整;
(2)直接写出表格中a，b，c的值；
解： (1) 25—6—12－5=2（人)，如图所示
(2) =87.6，=90，=100.
请根据以上提供的信息解答下列问题:
(1)把一班竞赛成绩统计图补充完整;
(2)直接写出表格中a，b，c的值；

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