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24.1.2 中位数和众数
课时1 中位数和众数
第二十四章 数据的分析
1.了解中位数和众数的意义，会求一组数据的中位数和众数.
2.会用中位数和众数描述一组数据的集中趋势.
3.掌握中位数、众数的作用，会用中位数、众数分析实际问题.
数学期中考试，小明同学得了78分.全班共30人，其他同学的成绩为1个100分，4个90分，22个80分，以及一个2分和一个10分.小明回家告诉妈妈说，他这次成绩处于班级“中上水平”
小明说谎了吗？如何证明？
甲、乙两组同学的跳绳成绩（单位：次/min）如下：
甲组 182 194 143 185 156
乙组 199 148 242 170 141
【问题3】在书本第149页“问题1”中，计算得到甲和乙两组跳绳成绩的平均数分别为172次/min和180次/min. 张华个人的跳绳成绩为175次/min，她认为自已的成绩在甲组中属于中上水平，在乙组中属于中下水平. 你认可张华的说法吗？
【分析】张华的跳绳成绩要处于一个组的中上（或中下）水平，意味着她的成绩超过（或低于）这个组至少一半人数的成绩，即超过（或低于）这个组中成绩排名居中的人的成绩.
按从小到大的顺序分别排列两组跳绳成绩，
甲组为 143　156　182　185　194
处在中间位置的数是 182，它的左侧和右侧各有 2 个数.
乙组为 141　148　170　199　242
处在中间位置的数是 170，它的左侧和右侧各有 2 个数.
张华的个人跳绳成绩 175 小于甲组中间位置的数 182，而大于乙组中间位置的数170，因此她的成绩在甲组中处于中下水平，在乙组中处于中上水平，这与她自己作出的判断正好相反.
解：
甲组 182 194 143 185 156
乙组 199 148 242 170 141
一般地，一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数叫作这组数据的中位数.
注意：当数据的个数为奇数时，处于中间位置的数就是中位数；
当数据的个数为偶数时，居中的数据有两个，取这两个数据的平均数为这组数据的中位数.
一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映了一组数据取值的中间水平.
中位数的概念：
【思考】为什么甲组同学跳绳成绩的平均数比乙组的小，而中位数反而大呢？
甲组同学跳绳成绩的平均数小，中位数大，是因为甲组数据相对比较均衡，而乙组中最小值和最大值相差比较大，导致乙组数据的总和比甲组大，所以甲组的平均数小，中位数反而大.
甲组 182 194 143 185 156
乙组 199 148 242 170 141
说谎了.
通过前面的学习我们可以知道如果将全班同学的成绩从小到大排列中位数是80，小明的成绩在中位数以下，因此他不处于班上的中上水平.
解决导入：数学期中考试，小明同学得了78分. 全班共30人，其他同学的成绩为1个100分，4个90分，22个80分，以及一个2分和一个10分.小明回家告诉妈妈说，他这次成绩处于班级“中上水平”
小明说谎了吗？如果证明？
【例5】在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取12名选手所用的时间（单位： min）如下：
136 140 129 180 124 154
146 145 158 175 165 148
(1)这组样本数据的中位数是多少？
(2)一名选手所用的时间是142 min，推测他的成绩是否超过这次比赛中一半以上选手的成绩？
解：(1)先将样本数据按照从小到大的顺序排列：
124 129 136 140 145 146
148 154 158 165 175 180
这组数据的中位数为处于中间的两个数146， 148的平均数，
即中位数为 147
因此样本数据的中位数是147.
136 140 129 180 124 154
146 145 158 175 165 148
(1)这组样本数据的中位数是多少？
解： (2)根据(1)中得到的样本数据的中位数，可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的所用时间小于147min，有一半选手的所用时间大于 147min.
这名选手的所用时间是142min，小于中位数，可以推测他的成绩比一半以上选手的成绩好.
136 140 129 180 124 154
146 145 158 175 165 148
(2)一名选手所用的时间是142 min，推测他的成绩是否超过这次比赛中一半以上选手的成绩？
中位数的特征及意义：
1.中位数是一个位置代表值（中间数），它是唯一的；
2.如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平；
3.如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，小于或大于这个中位数的数据各占一半，反映一组数据的中间水平.
【问题4】班级春游有三个备选地点，经全班一人一票投票，每个地点的得票数如表所示.
地点 北京故宫 颐和园 香山公园
票数 10 26 4
你认为班级的春游地点应该选择哪里？
【分析】全班一人一票投票，相当于对全班同学作了一次全面调查，收集到的是每位同学的投票结果（北京故宫、颐和园或香山公园），在统计中这也属于数据.
与前面见到的数据都是数值不同，这里的数据无法进行计算或排序，因此无法通过求它们的平均数或中位数去刻画班级的集体意见.
【问题4】班级春游有三个备选地点，经全班一人一票投票，每个地点的得票数如表所示.
地点 北京故宫 颐和园 香山公园
票数 10 26 4
你认为班级的春游地点应该选择哪里？
对于这种情况，一般我们会采取少数服从多数的原则，把得票数最多的地点作为班级的集体意见.
由表可知，颐和园得票数最多，可以把颐和园作为全班同学意见的代表.
一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数.
注意：
（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中.
（2）一组数据的众数可能不止一个.如1，1，2，3，3，5中众数是1和3.
（3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如1，1，1，2，2，5中众数是1而不是3.
（4）如果一组数据中没有出现相同的数据，则这组数据没有众数.
众数的概念及特点：
众数也是刻画数据集中趋势的一种统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能较好地反映其中趋势.
【例6】 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示.
你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？
【分析】一般来讲，鞋店比较关心哪种尺码的鞋销售量最大，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数.一段时间内卖出的30双女鞋的尺码组成一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的众数.进而可以估计这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多.
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 2 5 11 7 3 1
解：由表可以看出，在不同的尺码中，尺码为 23.5cm 的鞋销售量最大，即众数为 23.5，因此可以建议鞋店多进 23.5 cm的鞋.
分析表中的数据，你还能为鞋店进货提出哪些建议？
由表中的数据可以看出，尺码为22cm，22.5cm，25cm的鞋销售量很低，所以在进货时应少进这几种尺码的鞋子.
【例6】 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示.
你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 2 5 11 7 3 1
【练习】判断下列问题是否正确：
1.一组数据的平均数一定只有一个；
2.一组数据的中位数一定只有一个；
3.一组数据的中位数一定是这组数据中的某个数；
4.一组数据的众数一定只有一个；
5.一组数据的平均数，中位数，众数可以是同一个数.
正确
正确
错误
错误
正确
中位数和众数
中位数：将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则是处于中间位置的数；如果数据的个数是偶数，则是中间两个数据的平均数.
众数：一组数据中出现次数最多的数据
1.数据1，2，8，5，3，9，5，4，5，4的众数、中位数分别为（ ）
A.4.5、5 B.5、4.5 C. 5、4 D.5、5
2.要调查多数同学们喜欢看的电视节目，应关注的是哪个数据的代表（ ）
A.平均数 B．中位数 C．众数
3．在演讲比赛中，你想知道自己在所有选手中处于什么水平，应该选择哪个数据的代表（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数
B
C
B
人数
15
10
5
0
碳酸类
果蔬汁类
矿泉水类
茶类
乳类
其他
软饮料类型
4.为研究不同类型软饮料的市场销售情况，市场调查员在一家超市随机观察并记录了50名顾客购买的软饮料类型，如图所示.顾客购买的软饮料类型的众数是什么？
解：由题图可知，在所有的软饮料类型中，顾客购买乳类饮料最多，因此顾客购买的软饮料类型的众数是乳类.
5.已知一组数据10，10，x，8(由大到小排列)的中位数与平均数相等，求x值及这组数据的中位数，
解：∵10，10，，8的中位数与平均数相等
∴(10+)÷2= (10+10++8)÷4.
∴=8.
∵ (10+)÷2=9
∴这组数据的中位数是9.

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