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24.1.1 平均数
课时1 平均数和加权平均数
第二十四章 数据的分析
1.理解数据的权和加权平均数的概念，体会权的作用.
2.明确加权平均数与算术平均数的关系，掌握加权平均数的计算方法.
在生活、学习中，我们经常会说某班同学身高较高或成绩较好，这往往比较的是身高或成绩数据的“中心”所在位置，统计中把它称为数据的集中趋势，以前学过的平均数就是刻画数据集中趋势的常见统计量，本节我们将进一步学习平均数.
【问题1】甲、乙两组同学的跳绳成绩（单位：次/min）如下：
甲组 182 194 143 185 156
乙组 199 148 242 170 141
你认为哪组的跳绳成绩更好
【分析】为了便于比较，需要分别把每组数据汇总到一个数值．对于问题1，可以用每组跳绳成绩的平均数进行比较.
解：甲组跳绳成绩的平均数为；
乙组跳绳成绩的平均数为.
由于乙组的跳绳成绩的平均数大于甲组的，所以乙组的跳绳成绩更好.
【问题1】甲、乙两组同学的跳绳成绩（单位：次/min）如下：
甲组 182 194 143 185 156
乙组 199 148 242 170 141
你认为哪组的跳绳成绩更好
是否可以用每组跳绳成绩的总数比较两组跳绳成绩？如果两组人数不同呢？
可以用每组跳绳成绩的总数比较两组跳绳成绩，如果两组人数不同，那么不能用每组跳绳成绩的总数比较两组跳绳成绩.
一般地，有n个数据x1，x2，，xn，我们把叫作这n个数据的平均数，记作“”，即
平均数反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势最常用的统计量.
说明：根据样本数据计算得到的平均数，叫作样本平均数；
根据总体数据计算得到的平均数，叫作总体平均数.
平均数的概念：
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
【问题2】一家公司打算招聘一名英文翻译.对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如下表所示.
(1)如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩.从他们的成绩看，应该录取谁？
(2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的英文翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，计算两名应试者的平均成绩.从他们的成绩看，应该录取谁？
(1)如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩.从他们的成绩看，应该录取谁？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
解：根据平均数公式，
甲的平均成绩为80.25，
乙的平均成绩为79.5，
因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲.
【分析】听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，这说明各项成绩的“重要程度”有所不同，读、写的成绩比听、说的成绩更加“重要”.
(2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的英文翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，计算两名应试者的平均成绩.从他们的成绩看，应该录取谁？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
(2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的英文翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，计算两名应试者的平均成绩.从他们的成绩看，应该录取谁？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
解：因此，
甲的平均成绩为，
乙的平均成绩为.
因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙.
上述问题(1)是利用平均数的公式计算平均成绩，其中每个数据被认为同等重要.
相应的对于上述问题(2)是根据实际需要对不同的数据赋予与其重要程度相应的权重，其中的2，1，3，4分别称为听、说、读、写四项成绩的权，相应的平均数79.5，80.4分别称为甲和乙的听、说、读、写四项成绩的加权平均数.
【思考】能把这种加权平均数的计算方法推广到一般吗？
一般地，若n个数x1，x2，，xn的权分别是w1，w2，，wn，则
叫作这n个数的加权平均数.
意义：加权平均数是一种考虑数据权重的统计方法，其核心特点在于通过赋予不同数据不同的重要性（权）来更准确地反映数据的整体趋势.
加权平均数的概念：
“权”原指秤锤，用于称物体，这里有表示数据重要程度的意思
【思考1】如果这家公司想招一名口语能力较强的英文翻译，听、说、读、写成绩按照3∶3∶2∶2的比确定，那么甲、乙两人谁将被录取？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
解：若听、说、读、写成绩按照 3∶3∶2∶2 的比确定，
则甲的平均成绩为 80.5，
乙的平均成绩为 78.9.
因为甲的平均成绩比乙的高，所以应该录取甲.
【思考2】通过上面的问题探究，你能体会到权的作用吗？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
数据的权能够反映数据的相对重要程度
同样一张应试者的应聘成绩单，由于各个数据所赋的权数不同，造成的录取结果截然不同！
选手 演讲内容 语言表达 形象风度
A 85 95 95
B 95 85 95
【例1】一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、语言表达、形象风度三个方面为选手打分.各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%、语言表达占40%、形象风度占10%，计算选手的综合成绩.进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，请确定两人的名次.
【分析】这个问题可以看成是求两名选手三项成绩的加权平均数，50%， 40%，10%说明演讲内容、语言表达、形象风度三项成绩在总成绩中的重要程度，是三项成绩的权.
解：选手A的最后得分是 90，
选手B的最后得分是 91.
由上可知，选手B获得第一名，选手A获得第二名.
选手 演讲内容 语言表达 形象风度
A 85 95 95
B 95 85 95
【思考】两名选手的单项成绩都是两个95分与一个85分，为什么他们的综合成绩不同呢？你能说一说权是如何影响加权平均数大小的吗？
因为演讲内容、语言表达、形象风度三项成绩在总成绩中的重要程度，即三项成绩的权不同，分别为 50%，40%，10%，所以他们最后得分不同.
由此可以看出数据的权对统计结果的影响.
选手 演讲内容 语言表达 形象风度
A 85 95 95
B 95 85 95
你能说说算术平均数与加权平均数的区别和联系吗
1.算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权相等）
2.在实际问题中，各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数
平均数与加权平均数
算术
平均数
加权
平均数
在一组数据中，由于每个数据的权不同，所以计算平均数时，用加权平均数，才符合实际，数据的权能够反映数据的相对“重要程度”
1.学校把学生学科的期中、期末两次成绩分别按40%，60%的比例计入学期学科总成绩.小明期中数学成绩是85分，期末数学成绩是90分，那么他的学期数学总成绩是( )
A.85分 B.87.5分 C.88分 D.90分
C
2.某班共有50人，平均身高为168cm，其中30名男生的平均身高为170cm,则20名女生的平均身高为( )
A.165分cm B.168cm C.170cm D.172cm
A
3.若 a，b，c 的平均数是 5，d，e 的平均数是 10， 则a，b，c，d，e 的平均数是_______.
7
4.晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中平时体育活动评估成绩占20%，期中成绩占30%，期末成绩占50%则平时体育活动评估成绩、期中成绩、期末成绩的权分别为_____、 ______和______.
20%
30%
50%
5.某公司欲招聘一名公关人员.对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下表所示.
应试者 面试 笔试
甲 86 90
乙 92 83
(1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
(2)如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们 6 和 4 的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
应试者 面试 笔试
甲 86 90
乙 92 83
(1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
解：甲= = 88 (分)， 乙= = 87.5 (分)，
因为 ，所以甲将被录取.
(2)如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们 6 和 4 的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
解： = = 87.6 (分)，= = 88.4 (分)，
因为 ，所以乙将被录取.

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