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广东省佛山市华南师范大学附属中学南海实验高级中学2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．角的终边过点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
4．已知，则（　　）
A．1 B． C．5 D．
5．在△ABC中，， M是AB的中点，N是CM的中点，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知 ， 与 夹角为 ，则 与 的夹角为（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数z满足，则（　　）
A． B．z的虚部为 C． D．
10．下列式子化简正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（　　）
A．边上的高为 B．
C． D．边上的中线为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，不共线，若向量和共线，则实数　 　.
13．已知，，则　 　．
14．如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，　 　；的最大值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． 已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
16．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式.
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间.
17．在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，．
（1）求角A的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
18．北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E．
（1）求；
（2）求；
（3）求四边形的面积．
19．对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求函数的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为；
①当时，求相伴函数的值域；
②当时，不等式恒成立，求实数的取值范围
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，可知复数在复平面内对应的点为，所以z在复平面内对应的点位于第三象限.
故答案为：C
【分析】本题考查复数的代数形式运算及复平面内点的坐标特征，核心是先将复数展开化简为 a+bi（a，b∈R）的形式，再根据横、纵坐标的符号判断点所在象限。
2．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角的终边过点，所以，由余弦的二倍角公式得.
故答案为：B.
【分析】本题考查任意角的三角函数定义与余弦二倍角公式的应用，核心是先根据终边上点的坐标求出cosα，再代入二倍角公式计算cos2α。
3．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：令该扇形圆心角的弧度为，半径为，
则，解得，
故答案为：D.
【分析】根据弧长，扇形面积（为扇形圆心角），据此列方程组求解即可．
4．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：，
则.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式化简求得，再利用同角三角函数基本关系化弦为切代值计算即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：如图，∵，M是AB的中点，N是CM的中点；
∴．
故答案为：D．
【分析】本题考查向量的线性运算，核心是利用中点的向量性质，结合向量的加法、数乘法则，将逐步拆解为以、为基底的线性组合。
6．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题得 ，
所以 与 的夹角为 ，
所以两向量的夹角为 .
故答案为：C
【分析】利用数量积表示向量的模，再利用数量积表示两向量 与 的夹角 。
7．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，由于，则，
因为在区间上单调递增，则，
所以，，解得，因此，的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】本题考查正切函数的单调性，核心是利用正切函数的单调区间为，结合复合函数的单调性，将在上的取值范围限制在正切函数的单一单调区间内，进而求解的取值范围。
8．【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，由正弦定理得，则，
在中，，所以.
故答案为：A
【分析】本题考查正弦定理与解直角三角形的实际应用，核心是先在△BCD中利用正弦定理求出BC的长度，再在Rt△ABC中结合正切函数的定义求出塔高AB。
9．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、由，
可得，故A正确；
B、复数的虚部为，故B错误；
C、复数的共轭复数为，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据复数的模、复数代数形式的乘除化简求得复数z，再根据复数的概念、共轭复数以及复数的乘法运算逐项分析判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、，
，故A错误；
B、由诱导公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得
，故B正确；
C、
，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用诱导公式，结合两角和的余弦公式求解即可判断A；利用诱导公式和正弦的二倍角公式求解即可判断B；利用辅助角公式，结合特殊角三角函数值求解即可判断C；逆用两角和的正切公式求解即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点D，
则向量在向量上的投影向量为，
由已知，所以，
设，则，又，所以，所以，
在中，，又，所以，
所以，，，所以，
在中，易得，
所以边BC的高为，故选项A正确；
在中，由余弦定理的推论得，
又因为，
所以，故选项B正确；
，故选项C错误；
设的中点为，则，
所以，
则，故选项D正确，
故答案为：ABD.
【分析】A：过C作于D，由向量投影定义得，结合与求出AD、CD，再求BC边上的高，判断A。
B：在中用余弦定理求，再由同角关系求，判断B。
C：用数量积定义求，判断C。
D：设AB中点为M，用两边平方求中线长，判断D。
12．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为向量和共线，
所以，
所以，解得.
故答案为：
【分析】本题考查向量共线定理的应用，核心是利用 “若两个不共线基底表示的向量共线，则对应系数成比例” 的性质，建立关于k的方程求解。
13．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，，得，
所以．
故答案为：
【分析】本题考查三角恒等变换的综合应用，核心是先利用同角三角函数的平方关系求出，再结合降幂公式和诱导公式将转化为含的表达式，进而代入计算。
14．【答案】2；2
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：由题意可知O为的中点，且，
则；
设，作，交的延长线于E，
在中，
故，则，
，又，故，
则，
故，
当时，取到最大值2，
故答案为：2；2
【分析】本题考查向量的线性运算、模长计算与向量数量积的最值求解，核心是先利用向量的线性变换求，再通过参数化设角，结合三角函数的性质求的最大值。
15．【答案】（1）解：因为向量，，且，
所以，解得，所以．
（2）解：因为，且，
所以，解得
（3）解：因为与的夹角是钝角，则且与不共线．
即且，所以且．
所以的范围是
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）先利用平面向量平行的坐标转化公式求出的值，再利用平面向量的模长公式可求出答案.
（2）先根据平面向量的坐标运算求出，再根据平面向量垂直的坐标转化公式可列出关于k的方程，解方程可求出k的值.
（3）根据题意可得夹角为钝角转化为：且与不共线，利用平面向量数量积的坐标表示公式和平面向量平行的坐标转化公式可列出不等式组，解不等式组可求出实数k的取值范围.
16．【答案】（1）解：由图形可知，，得，
因为过点，所以，
即，解得，
又因为，所以，
则函数的解析式；
（2）解：将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，
再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，
即，
由，得，
则的对称中心为，
令，得，
则的单调递增区间为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）由函数图象可得和周期，再利用周期求得，最后根据函数图象过点，求，即可得函数的解析式；
（2）利用三角函数图象的伸缩、平移变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间.
（1）由图形可知，，得
过点，，即，
，
函数的解析式
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，
得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，
得到的图象，
即，
由，得
所以的对称中心为，
令，得，
所以的单调递增区间为.
17．【答案】（1）解：在中，，，
由正弦定理得，，
则，
由余弦定理，，
因为，所以.
（2）解：由（1）知，，
又，的面积为，
所以，
解得，所以，
又由余弦定理，，即，
所以的周长为.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，整理后结合余弦定理求出的值，进而确定角的大小；
(2) 先根据三角形面积公式结合、求出和的长度，再利用余弦定理求出的长度，最后计算三角形的周长。
（1）在中，，，
由正弦定理得，，
则，
由余弦定理，，
因为，所以.
（2）由（1）知，，
又，的面积为，
所以，
解得，所以，
又由余弦定理，，即，
所以的周长为.
18．【答案】（1）解：在中，由余弦定理，解得；
（2）解：在中，，
在中，由余弦定理，
则，
；
（3）解：在中，，，
由正弦定理可得，
，
则四边形的面积为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理求即可；
（2）在中，，在中，利用余弦定理求得，再利用两角和的正弦公式求即可；
（3）利用正弦定理，结合三角形的面积公式求解即可.
（1）在中，由余弦定理，
，所以．
（2）在中，，在中，由余弦定理，
，
则，
．
（3）在中，，，
由正弦定理，，
，
四边形的面积为．
19．【答案】（1）解：，
由题可知：函数的相伴特征向量的坐标；
（2）解：向量的相伴函数
①、因为，所以，所以在上单调递增，所以，
则相伴函数的值域为，；
②、当时，不等式
即可化为恒成立，
因为，所以，
，即时，，
恒成立，所以，
因为，所以，
则，即，
当，即时，，
恒成立，即，
因为，所以，
则，即，
当时，，
对任意实数，不等式都成立，
综上可知的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用两角差的正公式，诱导公式化简，结合相伴特征向量的定义求解即可；
（2）根据相伴特征向量的定义求出相伴函数，
①、利用整体法，根据正弦函数的性质求解即可；
②、不等式转化为恒成立，再分为和以及三种情形，结合正切函数的性质求解即可.
（1），
∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标.
（2）向量的相伴函数.
①因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
故相伴函数的值域为.
②当时，不等式
即可化为恒成立.
，.
，即时，，
恒成立，所以，
，，
则，，
当，即时，，
恒成立，即，
，
则，，
当时，，
对任意实数，不等式都成立，
综上可知的取值范围是.
1 / 1广东省佛山市华南师范大学附属中学南海实验高级中学2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，可知复数在复平面内对应的点为，所以z在复平面内对应的点位于第三象限.
故答案为：C
【分析】本题考查复数的代数形式运算及复平面内点的坐标特征，核心是先将复数展开化简为 a+bi（a，b∈R）的形式，再根据横、纵坐标的符号判断点所在象限。
2．角的终边过点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角的终边过点，所以，由余弦的二倍角公式得.
故答案为：B.
【分析】本题考查任意角的三角函数定义与余弦二倍角公式的应用，核心是先根据终边上点的坐标求出cosα，再代入二倍角公式计算cos2α。
3．若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：令该扇形圆心角的弧度为，半径为，
则，解得，
故答案为：D.
【分析】根据弧长，扇形面积（为扇形圆心角），据此列方程组求解即可．
4．已知，则（　　）
A．1 B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：，
则.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式化简求得，再利用同角三角函数基本关系化弦为切代值计算即可.
5．在△ABC中，， M是AB的中点，N是CM的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：如图，∵，M是AB的中点，N是CM的中点；
∴．
故答案为：D．
【分析】本题考查向量的线性运算，核心是利用中点的向量性质，结合向量的加法、数乘法则，将逐步拆解为以、为基底的线性组合。
6．已知 ， 与 夹角为 ，则 与 的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题得 ，
所以 与 的夹角为 ，
所以两向量的夹角为 .
故答案为：C
【分析】利用数量积表示向量的模，再利用数量积表示两向量 与 的夹角 。
7．已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，由于，则，
因为在区间上单调递增，则，
所以，，解得，因此，的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】本题考查正切函数的单调性，核心是利用正切函数的单调区间为，结合复合函数的单调性，将在上的取值范围限制在正切函数的单一单调区间内，进而求解的取值范围。
8．如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，由正弦定理得，则，
在中，，所以.
故答案为：A
【分析】本题考查正弦定理与解直角三角形的实际应用，核心是先在△BCD中利用正弦定理求出BC的长度，再在Rt△ABC中结合正切函数的定义求出塔高AB。
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数z满足，则（　　）
A． B．z的虚部为 C． D．
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、由，
可得，故A正确；
B、复数的虚部为，故B错误；
C、复数的共轭复数为，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据复数的模、复数代数形式的乘除化简求得复数z，再根据复数的概念、共轭复数以及复数的乘法运算逐项分析判断即可.
10．下列式子化简正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、，
，故A错误；
B、由诱导公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得
，故B正确；
C、
，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用诱导公式，结合两角和的余弦公式求解即可判断A；利用诱导公式和正弦的二倍角公式求解即可判断B；利用辅助角公式，结合特殊角三角函数值求解即可判断C；逆用两角和的正切公式求解即可判断D.
11．在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（　　）
A．边上的高为 B．
C． D．边上的中线为
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点D，
则向量在向量上的投影向量为，
由已知，所以，
设，则，又，所以，所以，
在中，，又，所以，
所以，，，所以，
在中，易得，
所以边BC的高为，故选项A正确；
在中，由余弦定理的推论得，
又因为，
所以，故选项B正确；
，故选项C错误；
设的中点为，则，
所以，
则，故选项D正确，
故答案为：ABD.
【分析】A：过C作于D，由向量投影定义得，结合与求出AD、CD，再求BC边上的高，判断A。
B：在中用余弦定理求，再由同角关系求，判断B。
C：用数量积定义求，判断C。
D：设AB中点为M，用两边平方求中线长，判断D。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，不共线，若向量和共线，则实数　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为向量和共线，
所以，
所以，解得.
故答案为：
【分析】本题考查向量共线定理的应用，核心是利用 “若两个不共线基底表示的向量共线，则对应系数成比例” 的性质，建立关于k的方程求解。
13．已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，，得，
所以．
故答案为：
【分析】本题考查三角恒等变换的综合应用，核心是先利用同角三角函数的平方关系求出，再结合降幂公式和诱导公式将转化为含的表达式，进而代入计算。
14．如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，　 　；的最大值为　 　．
【答案】2；2
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：由题意可知O为的中点，且，
则；
设，作，交的延长线于E，
在中，
故，则，
，又，故，
则，
故，
当时，取到最大值2，
故答案为：2；2
【分析】本题考查向量的线性运算、模长计算与向量数量积的最值求解，核心是先利用向量的线性变换求，再通过参数化设角，结合三角函数的性质求的最大值。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． 已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为向量，，且，
所以，解得，所以．
（2）解：因为，且，
所以，解得
（3）解：因为与的夹角是钝角，则且与不共线．
即且，所以且．
所以的范围是
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）先利用平面向量平行的坐标转化公式求出的值，再利用平面向量的模长公式可求出答案.
（2）先根据平面向量的坐标运算求出，再根据平面向量垂直的坐标转化公式可列出关于k的方程，解方程可求出k的值.
（3）根据题意可得夹角为钝角转化为：且与不共线，利用平面向量数量积的坐标表示公式和平面向量平行的坐标转化公式可列出不等式组，解不等式组可求出实数k的取值范围.
16．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式.
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间.
【答案】（1）解：由图形可知，，得，
因为过点，所以，
即，解得，
又因为，所以，
则函数的解析式；
（2）解：将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，
再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，
即，
由，得，
则的对称中心为，
令，得，
则的单调递增区间为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）由函数图象可得和周期，再利用周期求得，最后根据函数图象过点，求，即可得函数的解析式；
（2）利用三角函数图象的伸缩、平移变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间.
（1）由图形可知，，得
过点，，即，
，
函数的解析式
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，
得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，
得到的图象，
即，
由，得
所以的对称中心为，
令，得，
所以的单调递增区间为.
17．在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，．
（1）求角A的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）解：在中，，，
由正弦定理得，，
则，
由余弦定理，，
因为，所以.
（2）解：由（1）知，，
又，的面积为，
所以，
解得，所以，
又由余弦定理，，即，
所以的周长为.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，整理后结合余弦定理求出的值，进而确定角的大小；
(2) 先根据三角形面积公式结合、求出和的长度，再利用余弦定理求出的长度，最后计算三角形的周长。
（1）在中，，，
由正弦定理得，，
则，
由余弦定理，，
因为，所以.
（2）由（1）知，，
又，的面积为，
所以，
解得，所以，
又由余弦定理，，即，
所以的周长为.
18．北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E．
（1）求；
（2）求；
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）解：在中，由余弦定理，解得；
（2）解：在中，，
在中，由余弦定理，
则，
；
（3）解：在中，，，
由正弦定理可得，
，
则四边形的面积为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理求即可；
（2）在中，，在中，利用余弦定理求得，再利用两角和的正弦公式求即可；
（3）利用正弦定理，结合三角形的面积公式求解即可.
（1）在中，由余弦定理，
，所以．
（2）在中，，在中，由余弦定理，
，
则，
．
（3）在中，，，
由正弦定理，，
，
四边形的面积为．
19．对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求函数的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为；
①当时，求相伴函数的值域；
②当时，不等式恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1）解：，
由题可知：函数的相伴特征向量的坐标；
（2）解：向量的相伴函数
①、因为，所以，所以在上单调递增，所以，
则相伴函数的值域为，；
②、当时，不等式
即可化为恒成立，
因为，所以，
，即时，，
恒成立，所以，
因为，所以，
则，即，
当，即时，，
恒成立，即，
因为，所以，
则，即，
当时，，
对任意实数，不等式都成立，
综上可知的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用两角差的正公式，诱导公式化简，结合相伴特征向量的定义求解即可；
（2）根据相伴特征向量的定义求出相伴函数，
①、利用整体法，根据正弦函数的性质求解即可；
②、不等式转化为恒成立，再分为和以及三种情形，结合正切函数的性质求解即可.
（1），
∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标.
（2）向量的相伴函数.
①因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
故相伴函数的值域为.
②当时，不等式
即可化为恒成立.
，.
，即时，，
恒成立，所以，
，，
则，，
当，即时，，
恒成立，即，
，
则，，
当时，，
对任意实数，不等式都成立，
综上可知的取值范围是.
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