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2025届广东省广州市第六中学高三三模数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知集合，，则集合
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由sinx=0解得x＝kπ，k∈Z，∴A＝{x|x＝kπ，k∈Z}，
由 ，解得0＜x＜4，∴B＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝{π}．
故选B．
【分析】利用正弦函数的性质和对数函数的性质先求出集合A，B，进而利用交集的定义即可求解．
2．已知复数为虚数单位)，则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的（　　）条件
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，复数在复平面内对应的点为，
点位于第四象限的充要条件是，即；
则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数在复平面内的表示，结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．已知向量的夹角为60°，，则（　　）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故选：D.
【分析】利用向量的模长公式和向量的数量积公式展开运算即可求解.
4．若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可知当时，则时，不等式恒成立，
故只需考虑，此时有，
令，则，易知在单调递减，在上单调递增，
∴，∴实数的最大值为.
故选：C.
【分析】当时，则时，不等式恒成立，故只需考虑，分类参数构造函数，求导可得函数的单调性进而可得实数k的最大值.
5．已知都是锐角，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：法一：因为是锐角，所以.
因为是锐角，所以.
又因为，所以，
所以.
法二：因为，且都是锐角 ，所以，
所以.
故选：C.
【分析】法一：先利用平方关系求出，，再根据，利用两角差的余弦公式展开计算即可求得的值 ；法二：，可得，进而利用结合三角恒等变换可求得的值.
6．已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过作C其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线交另一渐近线于点B，若，则双曲线C的焦距为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图所示，∵到渐近线距离为b，∴为等腰三角形，
，∴
，，∴焦距为12.
故选：D.
【分析】由双曲线的性质可得到渐近线距离为b，结合几何性质可得，从而，最后由的关系可得双曲线C的焦距.
7．渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 ……
改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 ……
那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（　　）
A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设1965年5月出生的男职工退休年龄为岁，
则1966年5月出生的男职工退休年龄为岁，
所以公差为，设5月出生的男职工退休年龄为是首项为，公差为的等差数列，
1974年5月出生的男职工退休年龄为.
故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月.
故答案为：C.
【分析】构造等差数列得出公差及首项，再根据等差数列通项公式计算即可.
8．已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】依题意，平面与以为球心的球相切，因正方体每个顶点发出了三条棱，
要使与该正方体的截面始终为三角形，就必须使球与每条棱都有公共点，
当球与每条棱有且仅有一个公共点时，球为正方体的棱切球，
当球半径继续增大到外接球半径之前，都能确保截面始终为三角形，
而当球半径为外接球半径或更大时，截面将不存在，
因此必须使球的半径满足.
又棱长为2的正方体的棱切球的半径为面对角线的一半即，
外接球的半径为体对角线的一半即，所以，
所以.
故选：A
【分析】要使平面α截正方体所得多边形恒为三角形，需保证平面α与正方体的相交区域仅包含一个顶点所在的三个面，其本质是球与每条棱都有公共点，然后利用临界分析，当球与每条棱有且仅有一个公共点时，球为正方体的棱切球，当球半径为外接球半径或更大时，截面将不存在，据此确定球O的半径范围，再利用球的表面积公式求解即可推导其表面积的取值范围.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知一组样本数据的方差，则（　　）
A．这组样本数据的总和等于100
B．这组样本数据的中位数一定为2
C．数据，，…，的标准差为3s
D．现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A，因为方差，所以，所以这组样本数据的总和，故选项A正确.
B，根据方差、均值无法求出中位数，故选项B错误.
C，数据，，的方差为，故其标准差为，故选项C正确.
D，原数据的平均数记为，
新数据的平均数为，
由A可得
，
，故选项D错误.
故选：AC.
【分析】对比方差的标准定义式可求样本均值，进而求得样本总和可判断选项A；根据中位数计算方法可判断B的正误；根据方差的性质可判断C； 计算新数据的平均数和方差，由，可知数据更集中，进而根据方差的意义即可判断选项D.
10．已知函数，则下列结论一定正确的是（　　）
A．的图象关于轴对称 B．的值域是
C．的最小正周期为 D．不是中心对称函数
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：A，函数的定义域为R，
，故选项A正确；
C，，是函数的周期，且，所以的最小正周期不为， 故选项C错误；
B，由选项C知，当时，，，值域为，故选项B正确；
D，由选项B知，函数在上单调递增，在上单调递减，
在上的图象关于直线对称，无对称中心，又的周期是，
因此函数的图象无对称中心，故选项D正确.
故选：ABD
【分析】利用奇函数即可判断选项A；利用诱导公式以及周期函数的定义判断选项C；利用周期性和三角函数的单调性，对称性分析判断选项BD.
11．已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（　　）
A． B．为偶函数
C．当时， D．在上单调递减
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A，因为，
令，，可得，所以，
令，，可得，所以，所以，故选项A正确；
B，由，令可得，，
再将中的替换为，可得，
所以，所以，所以函数为奇函数，故选项B错误；
C，当时，将中的用替换，可得，即，
当时，，由已知可得，所以，，
又函数为奇函数，所以当时，，，所以当时，，故选项C正确；
D，因为，所以若，则，
任取，且，
则，
因为，所以，，
所以，所以，所以函数在上单调递减，
设，当时，，
因为，所以，
因为函数在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，故选项D正确；
故选：ACD.
【分析】 通过赋值法求特殊点的函数值，由关系取，可求，取，可求，再求即可判断选项A； 通过赋值法判断函数的奇偶性，取，可得，的关系，再将替换为，求，由此判断函数的奇偶性即可判断选项B；将中的用替换可得，结合条件证明当时，，再结合函数的奇偶性判断选项C； 用单调性定义结合辅助函数证明，证明函数在上单调递减，再利用导数证明函数在上单调递减即可判断选项D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．椭圆可以看做是由圆经过“压缩”或“拉伸”而来.若将圆O：上各点横坐标“拉伸”到原来的2倍（纵坐标不变），得到椭圆C1．则C1的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：易知圆C的半径为1，各点横坐标“拉伸”到原来的2倍（纵坐标不变），得到椭圆C1． 可知椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，故半焦距为，所以离心率为.
故答案为：.
【分析】 分析变换过程，确定椭圆参数a，b的值，进而求得半焦距c的值，利用离心率的公式即可求解.
13．若的展开式中的系数为28，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式通项公式.
所以含的项由两部分组成.
第一部分：与展开式中项的乘积.
第二部分：与展开式中项的乘积.
因此 解得.
故答案为：.
【分析】先由二项式定理可得的展开式的通项公式，拆分 项的来源，进而列方程求得的值即可.
14．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则　 　，的值为　 　.
【答案】；3
【知识点】三角函数诱导公式二~六；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
由于，设，
由余弦定理知，
设，由余弦定理可得，
设AD，CE，BF为三角形的三条高，由于 ，
故 中，由正弦定理得
所以，
所以，
故答案为：；3
【分析】设，在中根据余弦定理计算可得，设， 再次用余弦定理计算， 分析垂心的角度关系 ，在中利用正弦定理求.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和；
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：
，
又，，解得，
所以，；
（2）解：由（1）得，
去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243，
，
综上，.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）由等比中项和等差中项的性质，及等比数列和等差数列的通项公式列方程求得d，q，进而即可求得数列和的通项公式；
（2）求的通项公式，再求得新数列的前4项，进而由分组求和法计算的前项和 .
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：
，
又，，解得，
所以，；
（2）由（1）得，
去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243，
，
综上，.
16．如图，在直三棱柱形状的木料中，是棱的中点，过上底面内一点E在上底面所在平面内作一条直线与垂直.
（1）画出直线说明作法和理由；
（2）当E为重心时，求直线l与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）解：如图所示，连接，在上底面过点作直线，
因为面，所以，
又因为，在平面上，
所以平面，
所以.
（2）解：依题两两垂直， 以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，
因为，，所以，
所以直线l的一个方向向量为，
设为平面的法向量，
，即，令x=2，则y=1，z=1，所以，
所以，
所以直线l与平面夹角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，在上底面过点作直线，根据线面垂直的性质可知，利用线面垂直的判定即可证得平面，即可证得；
（2）先根据已知点的坐标求出相关向量的坐标， 直线l的方向向量与平面的法向量，最后利用向量夹角公式即可求得直线l与平面所成的角的正弦值. .
（1）如图所示，连接，在上底面过点作直线即可，
因为面，所以，
根据作法知，
又因为在平面上，
所以平面，
所以.
（2）依题两两垂直 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
，
∴，∴，
∴直线l的一个方向向量为，
设为平面的法向量，
，即，可取，
从而，
所以直线l与平面夹角的正弦值为.
17．已知函数.
（1）当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，所以，
因为直线的斜率为，所以切线斜率为3，
令，解得，此时切点为，
所以切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，
①当时，，函数在单调递减，此时最多一个零点，舍去；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
因为当时，；时，
所以要函数有两个零点，当且仅当.
设，知函数在单调递增.
因为，则的解集为.
综上所述，的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；用斜率判定两直线垂直；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求得 的解析式，进而利用求导可得，利用直线垂直的斜率判定条件可得，可求切点坐标，进而可求切线方程；
（2）先求得函数的定义域，求导得，分和两种情况讨论其单调性，进而根据题意可得，求解即可求得实数的取值范围.
（1）当时，，求导可得，
因为直线的斜率为，所以切线斜率为3，
令，解得，此时切点为，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
①当时，，函数在单调递减，此时最多一个零点，舍去；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
因为当时，；时，
所以要函数有两个零点，当且仅当.
设，知函数在单调递增.
因为，则的解集为.
综上所述，的取值范围是.
18．已知直线与抛物线交于A，B两点，且.
（1）求p；
（2）M，N为抛物线C上异于顶点O的两点，F为焦点.若，求面积的最小值.
（3）若点，问x轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点Q、R两点，且点到直线PQ、PR的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：设，
联立，消x整理得，
方程的判别式，
由韦达定理可得，
因为，
所以，解得p=-4或p=2，
而，所以.
（2）解：由（1）得抛物线，焦点，直线不垂直于轴，
设直线：，，，
由，得
由方程的判别式，
得，
所以，，
由，得，即，
整理得，即，
整理得，所以，则，
由，解得或，或，
设点到直线的距离为，则，
，
因此的面积，
当且仅当时取等号，所以的面积最小值为.
（3）解：假设存在这样的点满足条件，设，
由点到直线PQ、PR的距离相等，得为的角平分线，即，
于是得直线的斜率互为相反数，而直线QR的斜率不能为零，
设直线QR的方程为，由得，
则，，
，整理得，
即，则，
而不恒为0，因此，此时，
所以存在点到直线的距离相等.
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，联立给定的直线与抛物线方程，利用韦达定理可得，进而利用弦长公式即可求得；
（2）由（1）求出，设直线：，，，直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，，利用数量积的坐标表示得，进而求得n的取值范围，点到直线的距离求得点到直线的距离与利用弦长公式求得|MN|，再利用三角形的面积公式求出三角形面积的函数关系求解得面积的最小值.
（3）假定存在，设出直线方程，重心抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式列式求解.
（1）设，由，得，
方程的判别式，
则，，
因此，而，所以.
（2）由（1）得抛物线，焦点，直线不垂直于轴，
设直线：，，，
由，得
由方程的判别式，
得，，，
由，得，即，
整理得，即，
整理得，而，则，
由，解得或，或，
设点到直线的距离为，则，
，
因此的面积，
当且仅当时取等号，所以的面积最小值为.
（3）假设存在这样的点满足条件，设，
由点到直线PQ、PR的距离相等，得为的角平分线，即，
于是得直线的斜率互为相反数，而直线QR的斜率不能为零，
设直线QR的方程为，由得，
则，，
，整理得，
即，则，而不恒为0，因此，此时，
所以存在点到直线的距离相等.
19．现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中.
（1）若，求的分布列和数学期望；
（2）求；
（3）求证：.
【答案】（1）解：依题意，的可能取值为，其中，
则，
，
，
所以，随机变量分布列为：
则.
（2）解：因为个周期结束后共有个细胞，
所以，必在某一个周期结束后分裂成个细胞.
不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率为，
所以
.
（3）证明：因为个周期结束后共有3个细胞，
设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，
这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，
另一个一直保持分裂为个细胞，
此事件的概率为：
得，
则
，
其中，，
令，，
记，，
令，得，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
则，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件分别求出取所有可能的值时的概率，再列出概率分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而求出随机变量的数学期望.
（2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，最后求和得出的值.
（3）设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，另一个一直保持分裂为个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和得到的解析式，再根据导数判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而证出不等式成立.
（1）的可能取值为，
其中，
，
，
，
所以分布列为
；
（2）个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞.
不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率，
所以
.
（3）个周期结束后共有3个细胞，设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，
这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，
另一个一直保持分裂为个细胞，此事件的概率
，
得，
，
其中，.
令，，
记，，令，得.
当，，单调递增；
当，，单调递减，
故，
即.
1 / 12025届广东省广州市第六中学高三三模数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知集合，，则集合
A． B． C． D．
2．已知复数为虚数单位)，则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的（　　）条件
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知向量的夹角为60°，，则（　　）
A．3 B． C．4 D．
4．若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为（　　）
A．0 B．1 C． D．
5．已知都是锐角，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过作C其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线交另一渐近线于点B，若，则双曲线C的焦距为（　　）
A． B． C． D．
7．渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 ……
改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 ……
那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（　　）
A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁
8．已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知一组样本数据的方差，则（　　）
A．这组样本数据的总和等于100
B．这组样本数据的中位数一定为2
C．数据，，…，的标准差为3s
D．现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差
10．已知函数，则下列结论一定正确的是（　　）
A．的图象关于轴对称 B．的值域是
C．的最小正周期为 D．不是中心对称函数
11．已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（　　）
A． B．为偶函数
C．当时， D．在上单调递减
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．椭圆可以看做是由圆经过“压缩”或“拉伸”而来.若将圆O：上各点横坐标“拉伸”到原来的2倍（纵坐标不变），得到椭圆C1．则C1的离心率为　 　.
13．若的展开式中的系数为28，则的值为　 　.
14．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则　 　，的值为　 　.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和；
16．如图，在直三棱柱形状的木料中，是棱的中点，过上底面内一点E在上底面所在平面内作一条直线与垂直.
（1）画出直线说明作法和理由；
（2）当E为重心时，求直线l与平面所成的角的正弦值.
17．已知函数.
（1）当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
18．已知直线与抛物线交于A，B两点，且.
（1）求p；
（2）M，N为抛物线C上异于顶点O的两点，F为焦点.若，求面积的最小值.
（3）若点，问x轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点Q、R两点，且点到直线PQ、PR的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
19．现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中.
（1）若，求的分布列和数学期望；
（2）求；
（3）求证：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由sinx=0解得x＝kπ，k∈Z，∴A＝{x|x＝kπ，k∈Z}，
由 ，解得0＜x＜4，∴B＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝{π}．
故选B．
【分析】利用正弦函数的性质和对数函数的性质先求出集合A，B，进而利用交集的定义即可求解．
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，复数在复平面内对应的点为，
点位于第四象限的充要条件是，即；
则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数在复平面内的表示，结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故选：D.
【分析】利用向量的模长公式和向量的数量积公式展开运算即可求解.
4．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可知当时，则时，不等式恒成立，
故只需考虑，此时有，
令，则，易知在单调递减，在上单调递增，
∴，∴实数的最大值为.
故选：C.
【分析】当时，则时，不等式恒成立，故只需考虑，分类参数构造函数，求导可得函数的单调性进而可得实数k的最大值.
5．【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：法一：因为是锐角，所以.
因为是锐角，所以.
又因为，所以，
所以.
法二：因为，且都是锐角 ，所以，
所以.
故选：C.
【分析】法一：先利用平方关系求出，，再根据，利用两角差的余弦公式展开计算即可求得的值 ；法二：，可得，进而利用结合三角恒等变换可求得的值.
6．【答案】D
【知识点】双曲线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图所示，∵到渐近线距离为b，∴为等腰三角形，
，∴
，，∴焦距为12.
故选：D.
【分析】由双曲线的性质可得到渐近线距离为b，结合几何性质可得，从而，最后由的关系可得双曲线C的焦距.
7．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设1965年5月出生的男职工退休年龄为岁，
则1966年5月出生的男职工退休年龄为岁，
所以公差为，设5月出生的男职工退休年龄为是首项为，公差为的等差数列，
1974年5月出生的男职工退休年龄为.
故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月.
故答案为：C.
【分析】构造等差数列得出公差及首项，再根据等差数列通项公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】依题意，平面与以为球心的球相切，因正方体每个顶点发出了三条棱，
要使与该正方体的截面始终为三角形，就必须使球与每条棱都有公共点，
当球与每条棱有且仅有一个公共点时，球为正方体的棱切球，
当球半径继续增大到外接球半径之前，都能确保截面始终为三角形，
而当球半径为外接球半径或更大时，截面将不存在，
因此必须使球的半径满足.
又棱长为2的正方体的棱切球的半径为面对角线的一半即，
外接球的半径为体对角线的一半即，所以，
所以.
故选：A
【分析】要使平面α截正方体所得多边形恒为三角形，需保证平面α与正方体的相交区域仅包含一个顶点所在的三个面，其本质是球与每条棱都有公共点，然后利用临界分析，当球与每条棱有且仅有一个公共点时，球为正方体的棱切球，当球半径为外接球半径或更大时，截面将不存在，据此确定球O的半径范围，再利用球的表面积公式求解即可推导其表面积的取值范围.
9．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A，因为方差，所以，所以这组样本数据的总和，故选项A正确.
B，根据方差、均值无法求出中位数，故选项B错误.
C，数据，，的方差为，故其标准差为，故选项C正确.
D，原数据的平均数记为，
新数据的平均数为，
由A可得
，
，故选项D错误.
故选：AC.
【分析】对比方差的标准定义式可求样本均值，进而求得样本总和可判断选项A；根据中位数计算方法可判断B的正误；根据方差的性质可判断C； 计算新数据的平均数和方差，由，可知数据更集中，进而根据方差的意义即可判断选项D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：A，函数的定义域为R，
，故选项A正确；
C，，是函数的周期，且，所以的最小正周期不为， 故选项C错误；
B，由选项C知，当时，，，值域为，故选项B正确；
D，由选项B知，函数在上单调递增，在上单调递减，
在上的图象关于直线对称，无对称中心，又的周期是，
因此函数的图象无对称中心，故选项D正确.
故选：ABD
【分析】利用奇函数即可判断选项A；利用诱导公式以及周期函数的定义判断选项C；利用周期性和三角函数的单调性，对称性分析判断选项BD.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A，因为，
令，，可得，所以，
令，，可得，所以，所以，故选项A正确；
B，由，令可得，，
再将中的替换为，可得，
所以，所以，所以函数为奇函数，故选项B错误；
C，当时，将中的用替换，可得，即，
当时，，由已知可得，所以，，
又函数为奇函数，所以当时，，，所以当时，，故选项C正确；
D，因为，所以若，则，
任取，且，
则，
因为，所以，，
所以，所以，所以函数在上单调递减，
设，当时，，
因为，所以，
因为函数在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，故选项D正确；
故选：ACD.
【分析】 通过赋值法求特殊点的函数值，由关系取，可求，取，可求，再求即可判断选项A； 通过赋值法判断函数的奇偶性，取，可得，的关系，再将替换为，求，由此判断函数的奇偶性即可判断选项B；将中的用替换可得，结合条件证明当时，，再结合函数的奇偶性判断选项C； 用单调性定义结合辅助函数证明，证明函数在上单调递减，再利用导数证明函数在上单调递减即可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：易知圆C的半径为1，各点横坐标“拉伸”到原来的2倍（纵坐标不变），得到椭圆C1． 可知椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，故半焦距为，所以离心率为.
故答案为：.
【分析】 分析变换过程，确定椭圆参数a，b的值，进而求得半焦距c的值，利用离心率的公式即可求解.
13．【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式通项公式.
所以含的项由两部分组成.
第一部分：与展开式中项的乘积.
第二部分：与展开式中项的乘积.
因此 解得.
故答案为：.
【分析】先由二项式定理可得的展开式的通项公式，拆分 项的来源，进而列方程求得的值即可.
14．【答案】；3
【知识点】三角函数诱导公式二~六；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
由于，设，
由余弦定理知，
设，由余弦定理可得，
设AD，CE，BF为三角形的三条高，由于 ，
故 中，由正弦定理得
所以，
所以，
故答案为：；3
【分析】设，在中根据余弦定理计算可得，设， 再次用余弦定理计算， 分析垂心的角度关系 ，在中利用正弦定理求.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：
，
又，，解得，
所以，；
（2）解：由（1）得，
去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243，
，
综上，.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）由等比中项和等差中项的性质，及等比数列和等差数列的通项公式列方程求得d，q，进而即可求得数列和的通项公式；
（2）求的通项公式，再求得新数列的前4项，进而由分组求和法计算的前项和 .
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：
，
又，，解得，
所以，；
（2）由（1）得，
去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243，
，
综上，.
16．【答案】（1）解：如图所示，连接，在上底面过点作直线，
因为面，所以，
又因为，在平面上，
所以平面，
所以.
（2）解：依题两两垂直， 以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，
因为，，所以，
所以直线l的一个方向向量为，
设为平面的法向量，
，即，令x=2，则y=1，z=1，所以，
所以，
所以直线l与平面夹角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，在上底面过点作直线，根据线面垂直的性质可知，利用线面垂直的判定即可证得平面，即可证得；
（2）先根据已知点的坐标求出相关向量的坐标， 直线l的方向向量与平面的法向量，最后利用向量夹角公式即可求得直线l与平面所成的角的正弦值. .
（1）如图所示，连接，在上底面过点作直线即可，
因为面，所以，
根据作法知，
又因为在平面上，
所以平面，
所以.
（2）依题两两垂直 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
，
∴，∴，
∴直线l的一个方向向量为，
设为平面的法向量，
，即，可取，
从而，
所以直线l与平面夹角的正弦值为.
17．【答案】（1）解：当时，，所以，
因为直线的斜率为，所以切线斜率为3，
令，解得，此时切点为，
所以切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，
①当时，，函数在单调递减，此时最多一个零点，舍去；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
因为当时，；时，
所以要函数有两个零点，当且仅当.
设，知函数在单调递增.
因为，则的解集为.
综上所述，的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；用斜率判定两直线垂直；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求得 的解析式，进而利用求导可得，利用直线垂直的斜率判定条件可得，可求切点坐标，进而可求切线方程；
（2）先求得函数的定义域，求导得，分和两种情况讨论其单调性，进而根据题意可得，求解即可求得实数的取值范围.
（1）当时，，求导可得，
因为直线的斜率为，所以切线斜率为3，
令，解得，此时切点为，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
①当时，，函数在单调递减，此时最多一个零点，舍去；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
因为当时，；时，
所以要函数有两个零点，当且仅当.
设，知函数在单调递增.
因为，则的解集为.
综上所述，的取值范围是.
18．【答案】（1）解：设，
联立，消x整理得，
方程的判别式，
由韦达定理可得，
因为，
所以，解得p=-4或p=2，
而，所以.
（2）解：由（1）得抛物线，焦点，直线不垂直于轴，
设直线：，，，
由，得
由方程的判别式，
得，
所以，，
由，得，即，
整理得，即，
整理得，所以，则，
由，解得或，或，
设点到直线的距离为，则，
，
因此的面积，
当且仅当时取等号，所以的面积最小值为.
（3）解：假设存在这样的点满足条件，设，
由点到直线PQ、PR的距离相等，得为的角平分线，即，
于是得直线的斜率互为相反数，而直线QR的斜率不能为零，
设直线QR的方程为，由得，
则，，
，整理得，
即，则，
而不恒为0，因此，此时，
所以存在点到直线的距离相等.
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，联立给定的直线与抛物线方程，利用韦达定理可得，进而利用弦长公式即可求得；
（2）由（1）求出，设直线：，，，直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，，利用数量积的坐标表示得，进而求得n的取值范围，点到直线的距离求得点到直线的距离与利用弦长公式求得|MN|，再利用三角形的面积公式求出三角形面积的函数关系求解得面积的最小值.
（3）假定存在，设出直线方程，重心抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式列式求解.
（1）设，由，得，
方程的判别式，
则，，
因此，而，所以.
（2）由（1）得抛物线，焦点，直线不垂直于轴，
设直线：，，，
由，得
由方程的判别式，
得，，，
由，得，即，
整理得，即，
整理得，而，则，
由，解得或，或，
设点到直线的距离为，则，
，
因此的面积，
当且仅当时取等号，所以的面积最小值为.
（3）假设存在这样的点满足条件，设，
由点到直线PQ、PR的距离相等，得为的角平分线，即，
于是得直线的斜率互为相反数，而直线QR的斜率不能为零，
设直线QR的方程为，由得，
则，，
，整理得，
即，则，而不恒为0，因此，此时，
所以存在点到直线的距离相等.
19．【答案】（1）解：依题意，的可能取值为，其中，
则，
，
，
所以，随机变量分布列为：
则.
（2）解：因为个周期结束后共有个细胞，
所以，必在某一个周期结束后分裂成个细胞.
不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率为，
所以
.
（3）证明：因为个周期结束后共有3个细胞，
设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，
这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，
另一个一直保持分裂为个细胞，
此事件的概率为：
得，
则
，
其中，，
令，，
记，，
令，得，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
则，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件分别求出取所有可能的值时的概率，再列出概率分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而求出随机变量的数学期望.
（2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，最后求和得出的值.
（3）设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，另一个一直保持分裂为个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和得到的解析式，再根据导数判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而证出不等式成立.
（1）的可能取值为，
其中，
，
，
，
所以分布列为
；
（2）个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞.
不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率，
所以
.
（3）个周期结束后共有3个细胞，设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，
这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，
另一个一直保持分裂为个细胞，此事件的概率
，
得，
，
其中，.
令，，
记，，令，得.
当，，单调递增；
当，，单调递减，
故，
即.
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