资源简介

广东省广州市第三中学2024-2025学年高三高考冲刺综合测试(三)数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
3．若函数为偶函数，则实数（　　）
A．1 B． C．－1 D．
4．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则圆锥母线与底面所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
5．已知向量满足：，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
6．若直线与函数和的图象分别相切于点，则（　　）
A．2 B． C． D．
7．在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．14
8．如图，函数的部分图象，若点是中点，则点的纵坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题中正确的为（　　）
A．若，且，则相互独立
B．若三个事件两两独立，则满足
C．给定三个事件，且，则
D．若事件满足，则
10．已知函数是上的奇函数，等差数列的前项的和为，数列的前n项的和为.则下列各项的两个命题中，是的必要条件的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
11．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（　　）
A．函数的图象关于对称 B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知具有线性相关性的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则　 　．
13．在的展开式中有理项的系数的和为　 　．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为　 　.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．已知数列满足，且对任意的，都有.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）数列表示不超过的最大整数，求的前350项和.
16．为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.
（1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；
（2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望；
（3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率.
参考数据：若，则，.
17．已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为．
（1）求双曲线的方程：
（2）当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程．
18．如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点.
（1）证明：；
（2）若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球心到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角余弦值的最小值.
19．已知是函数定义域的子集，若成立，则称为上的“函数”.
（1）判断是否是上的“函数”？请说明理由；
（2）证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，；
（3）已知是上的“函数”，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，得，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合共轭复数的定义及复数混合运算法则，从而得出.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为对数函数是上的减函数，
所以，由，得，则；
因为指数函数是上的增函数，
所以，由，得，则，
所以，.
故答案为：B.
【分析】利用对数函数求值域的方法得出和指数函数求值域的方法，从而得出集合A和集合B，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解： 函数 的定义域为，
因为函数为偶函数，
所以，即，解得，
所以，
所以，
所以为偶函数，符合题意.
故选：D.
【分析】先求得函数的定义域，进而根据偶函数的定义，可得，列式可求得，再代入进而检验即可.
4．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：设圆锥底面的半径为，母线长为，高为，
由题意，得，
解得，
设圆锥母线与底面所成角为，
则，
所以圆锥母线与底面所成角的大小为.
故答案为：A.
【分析】先利用题中条件得出圆锥母线与高的关系，再结合三角函数定义得出圆锥母线与底面所成角的大小.
5．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
而，
所以在上的投影向量为.
故选：B.
【分析】根据条件先求，进而再代入投影向量公式即可求得在上的投影向量 .
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：设，，
因为，，
所以，函数的图象在点处的切线方程为，
即，
函数的图象在点处的切线方程为，
即，
因为直线是两函数图象的公切线，
所以，
由①可得，
代入②得，
因为，所以，
所以，，
所以.
故答案为：C．
【分析】先设出切点，再由导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式得出函数的图象在点处的切线方程和函数的图象在点处的切线方程，再结合已知条件和公切线定义，从而列方程得出点A，B的坐标，最后由两点间距离公式得出A，B两点的距离.
7．【答案】A
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2），
当五点共线时，取得最小值，且最小值为.
故选：A
【分析】将正四棱柱的侧面展开，当五点共线时，取得最小值.
8．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：设，则，所以，
设，，则，所以，
其中
，
所以，解得，负值舍去，
即，所以的纵坐标为.
故选：C
【分析】设，，，则，代入函数解析式得到方程组，结合题意和三角恒等变换可得，进而解得，即，即可求得点B的纵坐标.
9．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A，因为，所以，所以事件相互独立，故选项A正确，
B，设样本空间含有等可能的样本点，且，，，
所以，，，
所以，，，即两两独立，
但，故选项B错误；
C， 因为，所以，故选项C正确，
D，，所以，
又，所以，
因为互斥，所以，故选项D正确，
故选：ACD
【分析】根据条件概率以及相互独立的定义即可判断选项AC；利用相互独立事件的定义举反例即可判断选项B，根据互斥事件的概率公式即可判断选项D.
10．【答案】A,D
【知识点】必要条件；函数的奇偶性；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【解答】解：A，因为为等差数列，所以，得，
因为函数是上的奇函数，，所以是的必要条件，故选项A正确；
B，若，则时满足，此时，故不是的必要条件，故选项B错误；
C，若，满足，但，故不是的必要条件，故选项C错误；
D，因为为等差数列且，所以，
因为函数是上的奇函数，所以，
所以，
故是的必要条件，故选项D正确；
故选：AD
【分析】若是的必要条件，需证，结合差数列的性质和前n项和公式由及等差数列的性质可得，进而利用奇函数的性质即可得可判断选项A；可设，由反例证明不是的必要条件即可判断选项BC；由等差数列的性质结合奇函数可判断选项D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A，因为，所以，
因为，所以，
用去替，所以有，所以有，
令，则，则，
故，用换，可得，
则函数的图象关于对称，故选项A正确；
B，因为为奇函数，所以过，所以图象向右移动两个单位得到过，
故图象关于对称，；
因为，而，所以有，则的周期.
是由的图象移动变化而来，故的周期也是4，
因为，，
所以，，
所以，故选项B错误；
C，因为的周期，，，
所以，故选项C正确；
D，，周期为4，，，
，，
故，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】根据逆向思维得到，代入推出的对称轴为可判断选项A；根据为奇函数可得图象关于对称，进一步得到的周期为4，从而周期也为4，而，，利用计算即可判断选项B；利用的周期为4，，，即可判断选项C；周期为4，算出时的函数值以及一个周期内的值即可判断选项D.
12．【答案】8
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
可知经验回归方程为过样本中心点，
则，可得．
故答案为：8.
【分析】先求得样本中心点，再代入经验回归方程中计算即可求解.
13．【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为：，
当时，展开式为有理项，则展开式中有理项的系数的和为.
故答案为：.
【分析】写出展开式的通项，易知时展开式为有理项，结合二项式系数的性质求有理项的系数的和即可.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设椭圆的半焦距为，则，，
因为为等腰三角形，且为钝角，则，所以
由余弦定理可知，e
所以，即，
即，又因为0又因为，即，所以a<3c，所以
综上所述，.
故答案为：.
【分析】结合题意可设，，利用余弦定理，三角形的三边关系以及椭圆的性质可求得椭圆的离心率的取值范围.
15．【答案】（1）解：由，可得，
因为，所以，即数列是以3为公差的等差数列，
又因为，所以，，
所以，解得，即，
则；
（2）解：由（1），可得，
因为数列，所以，
则.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）将递推公式变形，可得数列是以3为公差的等差数列，再根据，求数列的首项，即可得数列的通项公式；
（2）由（1）求数列的某些项，再求的整数部分， 再分区间求和即可.
（1）由可得，
又，所以，即是以3为公差的等差数列，
又，得，，
所以，解得，故，
所以.
（2）由（1）可得，
又
所以，
所以.
16．【答案】（1）解：由题意有，
所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为.

（2）解：由题意有，
因为，即，所以，
由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数服从二项分布，即，
所以，
所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为.

（3）解：由频率分布直方图有：分数在和的频率分别为和，
按照分层抽样，抽取10份，其中在应抽取份，分数应抽取份，
令事件抽取3份试卷来自不同区间，事件取出的试卷有2份来自区间，
所以，
所以.
所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；二项分布；正态密度曲线的特点；条件概率
【解析】【分析】（1）利用平均数的计算公式即可求得此次知识竞赛成绩的平均数 ；
（2）根据正态分布的对称性求解，再利用二项分布的期望公式即可求得的数学期望 ；
（3）根据分层抽样求得在和的试卷中抽取的试卷份数，再利用条件概率公式求解即可.
（1）由题意有，
所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为；
（2）由题意有，因为，即，所以，
由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数服从二项分布，即，所以，
所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为；
（3）由频率分布直方图有：分数在和的频率分别为和，
按照分层抽样，抽取10份，其中在应抽取份，分数应抽取份，
令事件抽取3份试卷来自不同区间，事件取出的试卷有2份来自区间，
所以，
所以.
所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为.
17．【答案】（1）解：由题意，知，得，
所以或，
则或，
所以，双曲线的方程为：，
或双曲线的方程为：．
（2）证明：由（1）知，
当时，双曲线：，
设，，
联立直线与双曲线，
得，
又因为，方程的两根为，，
则，．
所以，，
则直线：，直线：，
因为直线，相交于点，
所以，，
消去，整理得：，
，
因此，
故点在定直线上．

【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的实轴长度得出a的值，再根据双曲线的渐近线夹角确定双曲线渐近线的斜率，从而确定b的取值，进而得出双曲线的方程.
（2）先联立直线方程与双曲线方程，根据韦达定理确定，两点坐标关系，从而表示出直线和直线的方程，再联立两直线方程结合已知条件，从而代入列出等式，代入韦达定理得出，从而证出点在定直线上，并求出定直线方程．
（1）由题知，得，
或，得或，
所以双曲线的方程为：或：．
（2）由（1）知，当时，：，
设，，
联立直线与双曲线得：，
，方程的两根为，，则，．
，，则：，：，
因为直线，相交于点，
故，，
消去，整理得：，
，
因此，
故点在定直线上．
18．【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为，，且的中点，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：当时，由，则，
取的中点，连接，如图所示：
故到四点的距离相等，即为三棱锥外接球的球心，
因为，所以，
设到平面的距离为，到平面的距离为，
由等体积法可得而
由于，故，
则，，
故到平面的距离为；
（3）解：以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
过点作平面的垂线，垂足为，
设为翻折过程中所旋转的角度，则，
故，
，
则，
设平面的法向量为，
则，
取，则，即，
设平面的法向量
则，
取，，即，
设平面平面与的夹角为，
，
，
令，，故，
由于，故，
当且仅当，即时等号成立，
故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据，，利用线线垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直的性质证明即可；
（2）取的中点，连接，利用等体积法求解即可；
（3）以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解，利用换元法，结合基本不等式求解最值即可.
（1）取的中点，连接，
因为，，且的中点，所以，
又平面，故平面，
由于平面，故，
（2）当时，由则，
取的中点，连接
故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心，
因为故，
设到平面的距离为，到平面的距离为，
由等体积法可得
而
由于故，
所以从而
故到平面的距离为，
（3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
过点作平面的垂线，垂足为，
设为翻折过程中所旋转的角度，则，
故，
，
则，
设平面的法向量为，则
，
取则，
设平面的法向量
，
取则，
设平面平面与的夹角为，
故
，
，
令，，故，
由于，故
当且仅当即时取等号，
故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时.
19．【答案】（1）解：是上的“函数”，
理由如下：，.
，，
，
在恒成立，
是上的“函数”.
（2）证明：是上的“函数”，在上恒成立，
设，则，
∴在上单调递增，且.
又，，即.
∵在上单调递增，，∴.
（3）解：，.∵是上的“函数”，
∴在上恒成立，
即在上恒成立.
当时，对任意的，上式恒成立，符合题意；
当时，恒成立，
设，，
则，∴函数在上单调递减，
∴，即；
当时，恒成立，
设，，
则，∴函数在上单调递减，
∴，即.
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；导数在最大值、最小值问题中的应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）对函数进行求导，结合定义和辅助角公式以及三角函数的性质判断即可；
（2）结合定义可得在上恒成立，设，求导可知函数在上单调递增，且.由，可知，根据的单调性证明即可；
（3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论可求得实数的取值范围.
（1）是上的“函数”，理由如下：
，.
，，
，
在恒成立，
是上的“函数”.
（2）是上的“函数”，
在上恒成立，
设，则，
∴在上单调递增，且.
又，，即.
∵在上单调递增，，∴.
（3），.
∵是上的“函数”，
∴在上恒成立，
即在上恒成立.
当时，对任意的，上式恒成立，符合题意；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即.
综上所述，.
1 / 1广东省广州市第三中学2024-2025学年高三高考冲刺综合测试(三)数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，得，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合共轭复数的定义及复数混合运算法则，从而得出.
2．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为对数函数是上的减函数，
所以，由，得，则；
因为指数函数是上的增函数，
所以，由，得，则，
所以，.
故答案为：B.
【分析】利用对数函数求值域的方法得出和指数函数求值域的方法，从而得出集合A和集合B，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
3．若函数为偶函数，则实数（　　）
A．1 B． C．－1 D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解： 函数 的定义域为，
因为函数为偶函数，
所以，即，解得，
所以，
所以，
所以为偶函数，符合题意.
故选：D.
【分析】先求得函数的定义域，进而根据偶函数的定义，可得，列式可求得，再代入进而检验即可.
4．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则圆锥母线与底面所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：设圆锥底面的半径为，母线长为，高为，
由题意，得，
解得，
设圆锥母线与底面所成角为，
则，
所以圆锥母线与底面所成角的大小为.
故答案为：A.
【分析】先利用题中条件得出圆锥母线与高的关系，再结合三角函数定义得出圆锥母线与底面所成角的大小.
5．已知向量满足：，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
而，
所以在上的投影向量为.
故选：B.
【分析】根据条件先求，进而再代入投影向量公式即可求得在上的投影向量 .
6．若直线与函数和的图象分别相切于点，则（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：设，，
因为，，
所以，函数的图象在点处的切线方程为，
即，
函数的图象在点处的切线方程为，
即，
因为直线是两函数图象的公切线，
所以，
由①可得，
代入②得，
因为，所以，
所以，，
所以.
故答案为：C．
【分析】先设出切点，再由导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式得出函数的图象在点处的切线方程和函数的图象在点处的切线方程，再结合已知条件和公切线定义，从而列方程得出点A，B的坐标，最后由两点间距离公式得出A，B两点的距离.
7．在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．14
【答案】A
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2），
当五点共线时，取得最小值，且最小值为.
故选：A
【分析】将正四棱柱的侧面展开，当五点共线时，取得最小值.
8．如图，函数的部分图象，若点是中点，则点的纵坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：设，则，所以，
设，，则，所以，
其中
，
所以，解得，负值舍去，
即，所以的纵坐标为.
故选：C
【分析】设，，，则，代入函数解析式得到方程组，结合题意和三角恒等变换可得，进而解得，即，即可求得点B的纵坐标.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题中正确的为（　　）
A．若，且，则相互独立
B．若三个事件两两独立，则满足
C．给定三个事件，且，则
D．若事件满足，则
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A，因为，所以，所以事件相互独立，故选项A正确，
B，设样本空间含有等可能的样本点，且，，，
所以，，，
所以，，，即两两独立，
但，故选项B错误；
C， 因为，所以，故选项C正确，
D，，所以，
又，所以，
因为互斥，所以，故选项D正确，
故选：ACD
【分析】根据条件概率以及相互独立的定义即可判断选项AC；利用相互独立事件的定义举反例即可判断选项B，根据互斥事件的概率公式即可判断选项D.
10．已知函数是上的奇函数，等差数列的前项的和为，数列的前n项的和为.则下列各项的两个命题中，是的必要条件的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A,D
【知识点】必要条件；函数的奇偶性；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【解答】解：A，因为为等差数列，所以，得，
因为函数是上的奇函数，，所以是的必要条件，故选项A正确；
B，若，则时满足，此时，故不是的必要条件，故选项B错误；
C，若，满足，但，故不是的必要条件，故选项C错误；
D，因为为等差数列且，所以，
因为函数是上的奇函数，所以，
所以，
故是的必要条件，故选项D正确；
故选：AD
【分析】若是的必要条件，需证，结合差数列的性质和前n项和公式由及等差数列的性质可得，进而利用奇函数的性质即可得可判断选项A；可设，由反例证明不是的必要条件即可判断选项BC；由等差数列的性质结合奇函数可判断选项D.
11．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（　　）
A．函数的图象关于对称 B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A，因为，所以，
因为，所以，
用去替，所以有，所以有，
令，则，则，
故，用换，可得，
则函数的图象关于对称，故选项A正确；
B，因为为奇函数，所以过，所以图象向右移动两个单位得到过，
故图象关于对称，；
因为，而，所以有，则的周期.
是由的图象移动变化而来，故的周期也是4，
因为，，
所以，，
所以，故选项B错误；
C，因为的周期，，，
所以，故选项C正确；
D，，周期为4，，，
，，
故，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】根据逆向思维得到，代入推出的对称轴为可判断选项A；根据为奇函数可得图象关于对称，进一步得到的周期为4，从而周期也为4，而，，利用计算即可判断选项B；利用的周期为4，，，即可判断选项C；周期为4，算出时的函数值以及一个周期内的值即可判断选项D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知具有线性相关性的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则　 　．
【答案】8
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
可知经验回归方程为过样本中心点，
则，可得．
故答案为：8.
【分析】先求得样本中心点，再代入经验回归方程中计算即可求解.
13．在的展开式中有理项的系数的和为　 　．
【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为：，
当时，展开式为有理项，则展开式中有理项的系数的和为.
故答案为：.
【分析】写出展开式的通项，易知时展开式为有理项，结合二项式系数的性质求有理项的系数的和即可.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设椭圆的半焦距为，则，，
因为为等腰三角形，且为钝角，则，所以
由余弦定理可知，e
所以，即，
即，又因为0又因为，即，所以a<3c，所以
综上所述，.
故答案为：.
【分析】结合题意可设，，利用余弦定理，三角形的三边关系以及椭圆的性质可求得椭圆的离心率的取值范围.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．已知数列满足，且对任意的，都有.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）数列表示不超过的最大整数，求的前350项和.
【答案】（1）解：由，可得，
因为，所以，即数列是以3为公差的等差数列，
又因为，所以，，
所以，解得，即，
则；
（2）解：由（1），可得，
因为数列，所以，
则.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）将递推公式变形，可得数列是以3为公差的等差数列，再根据，求数列的首项，即可得数列的通项公式；
（2）由（1）求数列的某些项，再求的整数部分， 再分区间求和即可.
（1）由可得，
又，所以，即是以3为公差的等差数列，
又，得，，
所以，解得，故，
所以.
（2）由（1）可得，
又
所以，
所以.
16．为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.
（1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；
（2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望；
（3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率.
参考数据：若，则，.
【答案】（1）解：由题意有，
所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为.

（2）解：由题意有，
因为，即，所以，
由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数服从二项分布，即，
所以，
所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为.

（3）解：由频率分布直方图有：分数在和的频率分别为和，
按照分层抽样，抽取10份，其中在应抽取份，分数应抽取份，
令事件抽取3份试卷来自不同区间，事件取出的试卷有2份来自区间，
所以，
所以.
所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；二项分布；正态密度曲线的特点；条件概率
【解析】【分析】（1）利用平均数的计算公式即可求得此次知识竞赛成绩的平均数 ；
（2）根据正态分布的对称性求解，再利用二项分布的期望公式即可求得的数学期望 ；
（3）根据分层抽样求得在和的试卷中抽取的试卷份数，再利用条件概率公式求解即可.
（1）由题意有，
所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为；
（2）由题意有，因为，即，所以，
由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数服从二项分布，即，所以，
所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为；
（3）由频率分布直方图有：分数在和的频率分别为和，
按照分层抽样，抽取10份，其中在应抽取份，分数应抽取份，
令事件抽取3份试卷来自不同区间，事件取出的试卷有2份来自区间，
所以，
所以.
所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为.
17．已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为．
（1）求双曲线的方程：
（2）当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程．
【答案】（1）解：由题意，知，得，
所以或，
则或，
所以，双曲线的方程为：，
或双曲线的方程为：．
（2）证明：由（1）知，
当时，双曲线：，
设，，
联立直线与双曲线，
得，
又因为，方程的两根为，，
则，．
所以，，
则直线：，直线：，
因为直线，相交于点，
所以，，
消去，整理得：，
，
因此，
故点在定直线上．

【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的实轴长度得出a的值，再根据双曲线的渐近线夹角确定双曲线渐近线的斜率，从而确定b的取值，进而得出双曲线的方程.
（2）先联立直线方程与双曲线方程，根据韦达定理确定，两点坐标关系，从而表示出直线和直线的方程，再联立两直线方程结合已知条件，从而代入列出等式，代入韦达定理得出，从而证出点在定直线上，并求出定直线方程．
（1）由题知，得，
或，得或，
所以双曲线的方程为：或：．
（2）由（1）知，当时，：，
设，，
联立直线与双曲线得：，
，方程的两根为，，则，．
，，则：，：，
因为直线，相交于点，
故，，
消去，整理得：，
，
因此，
故点在定直线上．
18．如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点.
（1）证明：；
（2）若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球心到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角余弦值的最小值.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为，，且的中点，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：当时，由，则，
取的中点，连接，如图所示：
故到四点的距离相等，即为三棱锥外接球的球心，
因为，所以，
设到平面的距离为，到平面的距离为，
由等体积法可得而
由于，故，
则，，
故到平面的距离为；
（3）解：以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
过点作平面的垂线，垂足为，
设为翻折过程中所旋转的角度，则，
故，
，
则，
设平面的法向量为，
则，
取，则，即，
设平面的法向量
则，
取，，即，
设平面平面与的夹角为，
，
，
令，，故，
由于，故，
当且仅当，即时等号成立，
故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据，，利用线线垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直的性质证明即可；
（2）取的中点，连接，利用等体积法求解即可；
（3）以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解，利用换元法，结合基本不等式求解最值即可.
（1）取的中点，连接，
因为，，且的中点，所以，
又平面，故平面，
由于平面，故，
（2）当时，由则，
取的中点，连接
故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心，
因为故，
设到平面的距离为，到平面的距离为，
由等体积法可得
而
由于故，
所以从而
故到平面的距离为，
（3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
过点作平面的垂线，垂足为，
设为翻折过程中所旋转的角度，则，
故，
，
则，
设平面的法向量为，则
，
取则，
设平面的法向量
，
取则，
设平面平面与的夹角为，
故
，
，
令，，故，
由于，故
当且仅当即时取等号，
故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时.
19．已知是函数定义域的子集，若成立，则称为上的“函数”.
（1）判断是否是上的“函数”？请说明理由；
（2）证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，；
（3）已知是上的“函数”，求的取值范围.
【答案】（1）解：是上的“函数”，
理由如下：，.
，，
，
在恒成立，
是上的“函数”.
（2）证明：是上的“函数”，在上恒成立，
设，则，
∴在上单调递增，且.
又，，即.
∵在上单调递增，，∴.
（3）解：，.∵是上的“函数”，
∴在上恒成立，
即在上恒成立.
当时，对任意的，上式恒成立，符合题意；
当时，恒成立，
设，，
则，∴函数在上单调递减，
∴，即；
当时，恒成立，
设，，
则，∴函数在上单调递减，
∴，即.
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；导数在最大值、最小值问题中的应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）对函数进行求导，结合定义和辅助角公式以及三角函数的性质判断即可；
（2）结合定义可得在上恒成立，设，求导可知函数在上单调递增，且.由，可知，根据的单调性证明即可；
（3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论可求得实数的取值范围.
（1）是上的“函数”，理由如下：
，.
，，
，
在恒成立，
是上的“函数”.
（2）是上的“函数”，
在上恒成立，
设，则，
∴在上单调递增，且.
又，，即.
∵在上单调递增，，∴.
（3），.
∵是上的“函数”，
∴在上恒成立，
即在上恒成立.
当时，对任意的，上式恒成立，符合题意；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即.
综上所述，.
1 / 1

展开更多......

收起↑