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2025届广东省深圳市建文外国语学校两学部高三二模二模数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足：，则的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．2
2．若复数z在复平面中的对应点都在一个过原点的圆上，则的对应点均在（　　）
A．一条直线上 B．一个圆上
C．一条抛物线上 D．一支双曲线上
3．如图，在正方形网格中，已知，，三点不共线，为平面内一定点，点为平面外任意一点，则下列向量能表示向量的为（　　）
A． B．
C． D．
4．若，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．若，，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（　　）
A．55 B．70 C．89 D．630
7．已知双曲线C：（，），若四个点，，，（，）中有三个点在C上，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
8．已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．在一次考试后的数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取班的一组数据：，，，，，和班的一组数据：，，，进行分析.经计算，两组数据的平均数分别为，，方差分别为，.将两组数据合并为一组数据，则这组新数据的平均数和方差分别为（　　）
A．平均数为85 B．平均数为86 C．方差为28 D．方差为52
10．下列说法中，正确的是（　　）
A．存在一个实数，使
B．所有的素数都是奇数
C．至少存在一个正整数，能被5和7整除
D．所有的矩形都是平行四边形
11．若，，，则（　　）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为　 　．
13．已知某工厂生产三种型号的零件，这三种型号的零件周产量之比为，现在用分层抽样的方法从某周生产的零件中抽取若干个进行质量检查，若抽取型号零件15个，则这三种型号的零件共抽取的个数为　 　．
14．已知数列的前n项和，则数列的通项公式是　 　.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．在复平面内，复数，．
（1）若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围；
（2）若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围．
16．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的.
（1）填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 　 　 　
没有抗体 　 　 　
合计 　 　 　
（2）用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求.
参考公式：（其中为样本容量）
参考数据：
0.1 0.05 0.005 0.001
2.706 3.841 7.879 10.828
17．“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米．
（1）求与的关系；
（2）判断是不是等比数列，并说明理由；
（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？
18．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）对于点在处的切线方程为，若对任意，都有，则称为“好”点.当时，求的“好”点.（只要求写出结果，不需说明理由）
19．设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线，交于点.
（i）求的最小值；
（ii）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由复数模的几何意义知满足的对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，
因为的中点为，所以的最小值就是原点到直线的距离即为，
故选：B．
【分析】根据复数模的几何意义可知对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，转化为求原点到直线的距离即可求得的最小值．
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；直线的一般式方程；圆的标准方程；共轭复数
【解析】【解答】解：设，所以，
所以的对应点坐标为，
记圆心为，则圆的方程为，即，
所以，变形得，
所以的对应点坐标为在直线上.
故选：A
【分析】设，求出对应点的坐标，根据点在已知圆上，代入圆的方程变形可得即可求解.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：根据，，，四点共面，可知存在唯一的实数对，使．
由图可知，，故，
故选：C.
【分析】根据，，，四点共面，可知存在唯一的实数对，使，结合图形可得的值，再利用向量的运算法则即可求解.
4．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；换底公式及其推论；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故选：A
【分析】根据对数的换底公式运算性质，结合指数函数和对数函数的单调性，将各数和特殊值比较大小即可求解.，
5．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，解得，
因为，所以，
所以.
故选：A
【分析】由同角的三角函数关系结合已知建立方程，解出的正余弦，再由两角和的正弦公式即可求得 .
6．【答案】A
【知识点】子集与真子集；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：最小元素是2时，3个元素其中一个元素是2，另外2个元素从{3，4，5，6，7} 中选 2 个，共个；
最小元素是3时，3个元素其中一个元素是3，另外2个元素从{4，5，6，7} 中选 2 个，共个；
最小元素是4时，3个元素其中一个元素是4，另外2个元素从{5，6，7} 中选 2 个，共个；
最小元素是5时，3个元素其中一个元素是5，另外2个元素从{6，7} 中选 2 个，共个，
所以.
故选：A
【分析】对于含3个元素的子集，设其最小元素为m，则另外两个元素必须从大于m的元素中选取，利用排列组合公式即可求得对应的子集个数进而即可求得 .
7．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵，关于原点对称，线段垂直于y轴且在x轴的同侧，
∴不在双曲线上，
将，代入双曲线方程得，解得，，
∴该双曲线的渐近线方程为．
故选：D．
【分析】首先根据双曲线的对称性，通过数形结合来排除一个点，然后，代入双曲线方程求出的值，进而得到双曲线的渐近线方程.
8．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由函数是奇函数得函数的图象关于原点对称，
由任意的x，总有成立，即恒成立，
于是得函数的周期是4，又当时，，
而是奇函数，当时，，
又，，从而行，
即时，，而函数的周期是4，
于是得函数在R上的值域是，
因为对任意，存在，使得成立，
从而得不等式在R上有解，当时，显然成立，
当时，在R上有解，必有，解得，则，
综上得，即实数构成的集合为.
故答案为：B．
【分析】由题意求得函数的周期是4，再根据函数为奇函数求得函数的值域，问题转化为不等式在R上有解，分和讨论求解即可．
9．【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以
故选：BD
【分析】先算出新数据的平均数，再利用根据分组数据合并方差公式计算即可.
10．【答案】C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A，对于方程，其判别式，所以，该方程无实根，故不存在一个实数，使 ，故选项A错误；
B，2是素数，但是2不是奇数，故选项B错误；
C，正整数35和70能被5和7整除.，故选项C正确；
D，依据矩形定义，故选项D正确.
故选：CD
【分析】根据一元二次方程的判别式即可判断选项A；举反例否定选项B；举例证明选项C正确；依据矩形定义判断选项D.
11．【答案】A,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；余弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：A，，可得，
又因为，所以，可得，故选项A正确；
B，由得，
又因为，所以，
因为，，所以，
因为所以，
由得，故选项B错误；
C，因为，，
所以，故选项1C正确；
D，因为，所以
，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
【分析】利用余弦的二倍角公式求出，再利用正弦函数的单调性即可判断选项A；利用余弦的二倍角公式求出，余弦的二倍角公式求出，再求得2B的取值范围，利用余弦函数的单调性即可可判断选项B；求出再利用正弦函数的单调性可判断选项C；利用两角和的余弦公式求出结合余弦函数的性质可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由，得，
所以两点在直线上，
联立，消得，
因为恒成立，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】由，可得两点在直线上，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可求得 弦长.
13．【答案】50
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设这三种型号的零件共抽取的个数为个，
由题意可知，，解得.
故答案为：50.
【分析】利用分层抽样的定义求解即可求得这三种型号的零件共抽取的个数 .
14．【答案】
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解： 数列的前n项和 ，
当 时，，
当时，=，
又 时，不适合，
则.
故答案为：.
【分析】根据数列中的关系求数列的通项公式即可.
15．【答案】（1）解：由题意得，解得或.
（2）解：复数在复平面内对应的点为，
因为复数对应的点在第二象限或第四象限，
所以或解得或，
所以实数的取值范围为或}．
【知识点】一元二次不等式及其解法；复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）依题意可得实部为，列方程求解即可求得m的取值范围；
（2）先求得复数z的点坐标，进而列不等式组求解即可求得实数m的取值范围.
（1）由题意得，解得或；
（2）复数在复平面内对应的点为，
依题意可得，
则或
解得或，即实数的取值范围为或．
16．【答案】（1）解：列联表如下：
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 25 125 150
没有抗体 20 30 50
合计 45 155 200
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联，
，
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.001；
（2）解：由题知，每只小白鼠在注射疫苗后产生抗体的概率的估计值为，随机变量，
则，
要使最大，则
解得，则.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意完善列表，计算卡方，再比较临界值判断求解即可；
（2）根据二项分布写出概率，再列不等式计算求解即可.
（1）由题可得，列联表如下：
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 25 125 150
没有抗体 20 30 50
合计 45 155 200
假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中的数据，得：，
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）由题知每只小白鼠在注射疫苗后产生抗体的概率的估计值为，
所以随机变量，
所以，要使最大，则
解得：，所以.
17．【答案】（1）解：由题意时，，
所以，.

（2）解：数列是等比数列．理由如下：
由（1）得，所以，且，
因此，数列是首项为，公比为的等比数列．
（3）解：由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，即．
令，得，
两边取常用对数，得，
所以，
，所以，，
所以，至少经过年，绿洲面积可超过．
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据题意可得出，化简可得与的关系；
（2）构造数列，利用等比数列的定义可得结论；
（3）求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论.
（1）由题意时，
，
所以，.
（2）数列是等比数列．理由如下：
由（1）得，
设，可得，所以，，可得，
所以，，且，
因此，数列是首项为，公比为的等比数列．
（3）由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，即．
令，得，
两边取常用对数，得，
所以，
，所以，，
所以，至少经过年，绿洲面积可超过．
18．【答案】（1）解：当时，函数，
令，即，解得，则函数的定义域为，
，
当时，；当时，，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：，
当时，，
则函数在内单调单增，所以成立，符合题意；
当时，若，即时，则，在内单调单增，所以成立，符合题意；
若，即时，令，解得；
可知在内单调单减，此时，不合题意；
综上所述：的取值范围是；
（3）解：的“好”点为，其理由如下：设为的“好”点，
即对任意，都有，
当时，等号显然成立；当时，；当时，成立，
因为在处的切线方程为，
设，则，
因为，则，显然其为偶函数，
且当时，在内单调递增，
所以在内单调递减，
（i）当时，因为为“好”点，所以此时成立，
①若，由于在单调递增，则
即，可知在递增，
所以，满足条件，即成立；
②若，当时，，即，
所以在单调递减，此时，矛盾，不满足条件；
（ⅱ）当时，因为为“好”点，所以此时成立，
①若，由于在单调递减，，
则，所以在单调递增，
即，满足条件，则成立；
②若，当时，，即，
所以在递增，此时，矛盾，不满足条件.
综上所述：，则只有一个“好”点.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，求导，利用导数判断函数单调区间即可；
（2）求导，分类讨论a的范围，利用导数判断函数单调性，结合恒成立问题运算求解即可；
（3）分析可知对任意，都有，构建函数，结合的单调性分类讨论，结合恒成立问题分析求解即可.
（1）令，即，解得，
可知的定义域为.
当时，，
则，
当时，；当时，；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为，
①当时，则，
可知在内单调单增，所以成立，符合题意；
②当时，若，即时，则，
可知在内单调单增，所以成立，符合题意；
若，即时，令，解得；
可知在内单调单减，此时，不合题意；
综上所述：的取值范围是.
（3）的“好”点为，其理由如下：
设为的“好”点，
即对任意，都有，
当时，等号显然成立；当时，；当时，成立.
因为在处的切线方程为，
设，则，
因为，则，显然其为偶函数，
且当时，在内单调递增，
所以在内单调递减，
（i）当时，因为为“好”点，所以此时成立.
①若，由于在递增，则
即，可知在递增，
所以，满足条件，即成立；
②若，当时，，即，
所以在递减，此时，矛盾，不满足条件；
（ⅱ）当时，因为为“好”点，所以此时成立.
①若，由于在递减，，
则，所以在递增，
即，满足条件，则成立；
②若，当时，，即，
所以在递增，此时，矛盾，不满足条件.
综上所述：，所以只有一个“好”点.
19．【答案】（1）解：设，则，所以，
所以，
所以，即，
所以椭圆的方程为.
（2）解：（i）依题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立，消去得，
所以，
所以，
设，由题意知，，
，
由题意知，所以，
，所以，即，
所以，所以，所以，即在直线上，
由题意知，所以，
所以，即，所以，
所以，所以，
即在直线上，因为直线的方程为，直线的方程为，
由，得，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为6；
（ii）证明：因为直线与直线相交于点，
又的中点为，所以，，
设，当时，，
，
由题意得，所以，当时，也满足，
故平分，所以，所以为的中垂线，
所以，即在圆上，
又，所以，所以与定圆相切.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；斜率的计算公式；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，结合已知条件和直线的斜率公式，列出方程，整理即可得出曲线E的轨迹方程；
（2）设直线的方程为，，将直线的方程与曲线联立，利用韦达定理和直线的斜率公式可得，与，联立得，即得的表达式，再利用基本不等式即可求得的最小值；
（）利用斜率公式和三角函数和差角公式可得，得，进而得到圆的方程，利用可得直线与定圆相切.
（1）设，则，所以，
所以，
所以，即，
所以椭圆的方程为；
（2）（i）依题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立，消去得，
设，所以，
所以，
设，由题意知，，
，
由题意知，所以，
，所以，即，
所以，所以，所以，即在直线上，
由题意知，所以，
所以，即，所以，
所以，所以，
即在直线上，因为直线的方程为，直线的方程为，由，得，
所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6；
（ii）证明：因为直线与直线相交于点，又的中点为，所以，，
设，当时，，
，
由题意得，所以，当时，也满足，
故平分，所以，所以为的中垂线，
所以，即在圆上，
又，所以，所以与定圆相切.
1 / 12025届广东省深圳市建文外国语学校两学部高三二模二模数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足：，则的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由复数模的几何意义知满足的对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，
因为的中点为，所以的最小值就是原点到直线的距离即为，
故选：B．
【分析】根据复数模的几何意义可知对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，转化为求原点到直线的距离即可求得的最小值．
2．若复数z在复平面中的对应点都在一个过原点的圆上，则的对应点均在（　　）
A．一条直线上 B．一个圆上
C．一条抛物线上 D．一支双曲线上
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；直线的一般式方程；圆的标准方程；共轭复数
【解析】【解答】解：设，所以，
所以的对应点坐标为，
记圆心为，则圆的方程为，即，
所以，变形得，
所以的对应点坐标为在直线上.
故选：A
【分析】设，求出对应点的坐标，根据点在已知圆上，代入圆的方程变形可得即可求解.
3．如图，在正方形网格中，已知，，三点不共线，为平面内一定点，点为平面外任意一点，则下列向量能表示向量的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：根据，，，四点共面，可知存在唯一的实数对，使．
由图可知，，故，
故选：C.
【分析】根据，，，四点共面，可知存在唯一的实数对，使，结合图形可得的值，再利用向量的运算法则即可求解.
4．若，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；换底公式及其推论；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故选：A
【分析】根据对数的换底公式运算性质，结合指数函数和对数函数的单调性，将各数和特殊值比较大小即可求解.，
5．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，解得，
因为，所以，
所以.
故选：A
【分析】由同角的三角函数关系结合已知建立方程，解出的正余弦，再由两角和的正弦公式即可求得 .
6．已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（　　）
A．55 B．70 C．89 D．630
【答案】A
【知识点】子集与真子集；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：最小元素是2时，3个元素其中一个元素是2，另外2个元素从{3，4，5，6，7} 中选 2 个，共个；
最小元素是3时，3个元素其中一个元素是3，另外2个元素从{4，5，6，7} 中选 2 个，共个；
最小元素是4时，3个元素其中一个元素是4，另外2个元素从{5，6，7} 中选 2 个，共个；
最小元素是5时，3个元素其中一个元素是5，另外2个元素从{6，7} 中选 2 个，共个，
所以.
故选：A
【分析】对于含3个元素的子集，设其最小元素为m，则另外两个元素必须从大于m的元素中选取，利用排列组合公式即可求得对应的子集个数进而即可求得 .
7．已知双曲线C：（，），若四个点，，，（，）中有三个点在C上，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵，关于原点对称，线段垂直于y轴且在x轴的同侧，
∴不在双曲线上，
将，代入双曲线方程得，解得，，
∴该双曲线的渐近线方程为．
故选：D．
【分析】首先根据双曲线的对称性，通过数形结合来排除一个点，然后，代入双曲线方程求出的值，进而得到双曲线的渐近线方程.
8．已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由函数是奇函数得函数的图象关于原点对称，
由任意的x，总有成立，即恒成立，
于是得函数的周期是4，又当时，，
而是奇函数，当时，，
又，，从而行，
即时，，而函数的周期是4，
于是得函数在R上的值域是，
因为对任意，存在，使得成立，
从而得不等式在R上有解，当时，显然成立，
当时，在R上有解，必有，解得，则，
综上得，即实数构成的集合为.
故答案为：B．
【分析】由题意求得函数的周期是4，再根据函数为奇函数求得函数的值域，问题转化为不等式在R上有解，分和讨论求解即可．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．在一次考试后的数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取班的一组数据：，，，，，和班的一组数据：，，，进行分析.经计算，两组数据的平均数分别为，，方差分别为，.将两组数据合并为一组数据，则这组新数据的平均数和方差分别为（　　）
A．平均数为85 B．平均数为86 C．方差为28 D．方差为52
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以
故选：BD
【分析】先算出新数据的平均数，再利用根据分组数据合并方差公式计算即可.
10．下列说法中，正确的是（　　）
A．存在一个实数，使
B．所有的素数都是奇数
C．至少存在一个正整数，能被5和7整除
D．所有的矩形都是平行四边形
【答案】C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A，对于方程，其判别式，所以，该方程无实根，故不存在一个实数，使 ，故选项A错误；
B，2是素数，但是2不是奇数，故选项B错误；
C，正整数35和70能被5和7整除.，故选项C正确；
D，依据矩形定义，故选项D正确.
故选：CD
【分析】根据一元二次方程的判别式即可判断选项A；举反例否定选项B；举例证明选项C正确；依据矩形定义判断选项D.
11．若，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；余弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：A，，可得，
又因为，所以，可得，故选项A正确；
B，由得，
又因为，所以，
因为，，所以，
因为所以，
由得，故选项B错误；
C，因为，，
所以，故选项1C正确；
D，因为，所以
，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
【分析】利用余弦的二倍角公式求出，再利用正弦函数的单调性即可判断选项A；利用余弦的二倍角公式求出，余弦的二倍角公式求出，再求得2B的取值范围，利用余弦函数的单调性即可可判断选项B；求出再利用正弦函数的单调性可判断选项C；利用两角和的余弦公式求出结合余弦函数的性质可判断选项D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为　 　．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由，得，
所以两点在直线上，
联立，消得，
因为恒成立，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】由，可得两点在直线上，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可求得 弦长.
13．已知某工厂生产三种型号的零件，这三种型号的零件周产量之比为，现在用分层抽样的方法从某周生产的零件中抽取若干个进行质量检查，若抽取型号零件15个，则这三种型号的零件共抽取的个数为　 　．
【答案】50
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设这三种型号的零件共抽取的个数为个，
由题意可知，，解得.
故答案为：50.
【分析】利用分层抽样的定义求解即可求得这三种型号的零件共抽取的个数 .
14．已知数列的前n项和，则数列的通项公式是　 　.
【答案】
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解： 数列的前n项和 ，
当 时，，
当时，=，
又 时，不适合，
则.
故答案为：.
【分析】根据数列中的关系求数列的通项公式即可.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．在复平面内，复数，．
（1）若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围；
（2）若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，解得或.
（2）解：复数在复平面内对应的点为，
因为复数对应的点在第二象限或第四象限，
所以或解得或，
所以实数的取值范围为或}．
【知识点】一元二次不等式及其解法；复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）依题意可得实部为，列方程求解即可求得m的取值范围；
（2）先求得复数z的点坐标，进而列不等式组求解即可求得实数m的取值范围.
（1）由题意得，解得或；
（2）复数在复平面内对应的点为，
依题意可得，
则或
解得或，即实数的取值范围为或．
16．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的.
（1）填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 　 　 　
没有抗体 　 　 　
合计 　 　 　
（2）用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求.
参考公式：（其中为样本容量）
参考数据：
0.1 0.05 0.005 0.001
2.706 3.841 7.879 10.828
【答案】（1）解：列联表如下：
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 25 125 150
没有抗体 20 30 50
合计 45 155 200
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联，
，
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.001；
（2）解：由题知，每只小白鼠在注射疫苗后产生抗体的概率的估计值为，随机变量，
则，
要使最大，则
解得，则.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意完善列表，计算卡方，再比较临界值判断求解即可；
（2）根据二项分布写出概率，再列不等式计算求解即可.
（1）由题可得，列联表如下：
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 25 125 150
没有抗体 20 30 50
合计 45 155 200
假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中的数据，得：，
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）由题知每只小白鼠在注射疫苗后产生抗体的概率的估计值为，
所以随机变量，
所以，要使最大，则
解得：，所以.
17．“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米．
（1）求与的关系；
（2）判断是不是等比数列，并说明理由；
（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？
【答案】（1）解：由题意时，，
所以，.

（2）解：数列是等比数列．理由如下：
由（1）得，所以，且，
因此，数列是首项为，公比为的等比数列．
（3）解：由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，即．
令，得，
两边取常用对数，得，
所以，
，所以，，
所以，至少经过年，绿洲面积可超过．
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据题意可得出，化简可得与的关系；
（2）构造数列，利用等比数列的定义可得结论；
（3）求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论.
（1）由题意时，
，
所以，.
（2）数列是等比数列．理由如下：
由（1）得，
设，可得，所以，，可得，
所以，，且，
因此，数列是首项为，公比为的等比数列．
（3）由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，即．
令，得，
两边取常用对数，得，
所以，
，所以，，
所以，至少经过年，绿洲面积可超过．
18．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）对于点在处的切线方程为，若对任意，都有，则称为“好”点.当时，求的“好”点.（只要求写出结果，不需说明理由）
【答案】（1）解：当时，函数，
令，即，解得，则函数的定义域为，
，
当时，；当时，，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：，
当时，，
则函数在内单调单增，所以成立，符合题意；
当时，若，即时，则，在内单调单增，所以成立，符合题意；
若，即时，令，解得；
可知在内单调单减，此时，不合题意；
综上所述：的取值范围是；
（3）解：的“好”点为，其理由如下：设为的“好”点，
即对任意，都有，
当时，等号显然成立；当时，；当时，成立，
因为在处的切线方程为，
设，则，
因为，则，显然其为偶函数，
且当时，在内单调递增，
所以在内单调递减，
（i）当时，因为为“好”点，所以此时成立，
①若，由于在单调递增，则
即，可知在递增，
所以，满足条件，即成立；
②若，当时，，即，
所以在单调递减，此时，矛盾，不满足条件；
（ⅱ）当时，因为为“好”点，所以此时成立，
①若，由于在单调递减，，
则，所以在单调递增，
即，满足条件，则成立；
②若，当时，，即，
所以在递增，此时，矛盾，不满足条件.
综上所述：，则只有一个“好”点.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，求导，利用导数判断函数单调区间即可；
（2）求导，分类讨论a的范围，利用导数判断函数单调性，结合恒成立问题运算求解即可；
（3）分析可知对任意，都有，构建函数，结合的单调性分类讨论，结合恒成立问题分析求解即可.
（1）令，即，解得，
可知的定义域为.
当时，，
则，
当时，；当时，；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为，
①当时，则，
可知在内单调单增，所以成立，符合题意；
②当时，若，即时，则，
可知在内单调单增，所以成立，符合题意；
若，即时，令，解得；
可知在内单调单减，此时，不合题意；
综上所述：的取值范围是.
（3）的“好”点为，其理由如下：
设为的“好”点，
即对任意，都有，
当时，等号显然成立；当时，；当时，成立.
因为在处的切线方程为，
设，则，
因为，则，显然其为偶函数，
且当时，在内单调递增，
所以在内单调递减，
（i）当时，因为为“好”点，所以此时成立.
①若，由于在递增，则
即，可知在递增，
所以，满足条件，即成立；
②若，当时，，即，
所以在递减，此时，矛盾，不满足条件；
（ⅱ）当时，因为为“好”点，所以此时成立.
①若，由于在递减，，
则，所以在递增，
即，满足条件，则成立；
②若，当时，，即，
所以在递增，此时，矛盾，不满足条件.
综上所述：，所以只有一个“好”点.
19．设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线，交于点.
（i）求的最小值；
（ii）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切.
【答案】（1）解：设，则，所以，
所以，
所以，即，
所以椭圆的方程为.
（2）解：（i）依题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立，消去得，
所以，
所以，
设，由题意知，，
，
由题意知，所以，
，所以，即，
所以，所以，所以，即在直线上，
由题意知，所以，
所以，即，所以，
所以，所以，
即在直线上，因为直线的方程为，直线的方程为，
由，得，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为6；
（ii）证明：因为直线与直线相交于点，
又的中点为，所以，，
设，当时，，
，
由题意得，所以，当时，也满足，
故平分，所以，所以为的中垂线，
所以，即在圆上，
又，所以，所以与定圆相切.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；斜率的计算公式；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，结合已知条件和直线的斜率公式，列出方程，整理即可得出曲线E的轨迹方程；
（2）设直线的方程为，，将直线的方程与曲线联立，利用韦达定理和直线的斜率公式可得，与，联立得，即得的表达式，再利用基本不等式即可求得的最小值；
（）利用斜率公式和三角函数和差角公式可得，得，进而得到圆的方程，利用可得直线与定圆相切.
（1）设，则，所以，
所以，
所以，即，
所以椭圆的方程为；
（2）（i）依题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立，消去得，
设，所以，
所以，
设，由题意知，，
，
由题意知，所以，
，所以，即，
所以，所以，所以，即在直线上，
由题意知，所以，
所以，即，所以，
所以，所以，
即在直线上，因为直线的方程为，直线的方程为，由，得，
所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6；
（ii）证明：因为直线与直线相交于点，又的中点为，所以，，
设，当时，，
，
由题意得，所以，当时，也满足，
故平分，所以，所以为的中垂线，
所以，即在圆上，
又，所以，所以与定圆相切.
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