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2025-2026八年级下册数学期中测试卷【押题A卷】
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
19题（6分）、
20题（6分）、
21题（8分）、
22题（8分）、
23题（9分）、
24题（9分）、
25题（10分）、
26题（10分）、/ 让教学更有效
2025-2026八年级下册数学期中测试卷【押题A卷】
【湘教版】
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第一章~第二章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．若点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．直角坐标平面上有一点，其中，先将点A沿着直线翻折，得到点B，再将点B绕着原点逆时针旋转后得到点C，那么点C与点A的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
4．（新情境试题·规律型）在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（新情境试题·规律型）如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，…，依此规律，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．有公共顶点，的正三角形与正五边形按如图位置摆放，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次连接四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（ ）
A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B．矩形的垂足四边形是矩形
C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D．菱形的垂足四边形是菱形
9．如图，在中，，分别是的中点，连接．若，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则点的坐标为____．
12．如图，小明用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为________ ．
13．已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形．
14．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2026次碰到长方形边上的点的坐标为_____．
15．在平面直角坐标系中，已知点，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是________．
16．已知平行四边形的三个顶点分别为，则第四个顶点的坐标为_______．
17．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________．
18．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点G为的中点，连接，则的长为_______．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）三角形和三角形在平面直角坐标系的位置如图所示．
(1)写出下列各点的坐标：________，________．
(2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？
(3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是________．
20．（6分）正多边形的每条边都相等．每个角都相等．已知正边形的内角和为．边长为2．
(1)求正边形的周长；
(2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
21．（8分）在图中网格上按要求画出图形：
(1)如果将平移，使得点平移到图中点位置，点、点的对应点分别为点、点，请在图1画出；
(2)在图2画出关于点成中心对称的；
22．（8分）已知：如图，、是平行四边形对角线上的两点，且．求证：．
23．（9分）已知平行四边形中，对角线相交于点．
(1)如图1，若，求的长：
(2)如图2，过点作于点，连接，过点作交于点，求证：．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，，，交轴于点．
(1)求三角形的面积；
(2)求的长；
(3)将线段沿某一方向平移，点的对应点为（在轴正半轴上），点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标．
25．（10分）（新情境试题·新定义问题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故为它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题：
(1)如图2，已知点的坐标为．
①点的“长距”是 ；
②在点，，中，为点的“等距点”的是 ；
③若点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值．
(2)若，两点为“等距点”，求的值．
(3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）．
①则点的“长距”的最小值是 ；
②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是 ．
26．（10分）（新情境试题·综合与实践）问题发现
(1)基本模型——十字架模型
如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论．
对于上述问题请选择一个命题加以证明．
(2)模型运用
如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．
①若，求的值．
②如图3，若与交于点，连接，若，求证：．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2025-2026八年级下册数学期中测试卷【押题A卷】
【湘教版】
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第一章~第二章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．若点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．直角坐标平面上有一点，其中，先将点A沿着直线翻折，得到点B，再将点B绕着原点逆时针旋转后得到点C，那么点C与点A的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
4．（新情境试题·规律型）在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（新情境试题·规律型）如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，…，依此规律，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．有公共顶点，的正三角形与正五边形按如图位置摆放，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次连接四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（ ）
A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B．矩形的垂足四边形是矩形
C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D．菱形的垂足四边形是菱形
9．如图，在中，，分别是的中点，连接．若，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则点的坐标为____．
12．如图，小明用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为________ ．
13．已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形．
14．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2026次碰到长方形边上的点的坐标为_____．
15．在平面直角坐标系中，已知点，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是________．
16．已知平行四边形的三个顶点分别为，则第四个顶点的坐标为_______．
17．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________．
18．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点G为的中点，连接，则的长为_______．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）三角形和三角形在平面直角坐标系的位置如图所示．
(1)写出下列各点的坐标：________，________．
(2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？
(3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是________．
20．（6分）正多边形的每条边都相等．每个角都相等．已知正边形的内角和为．边长为2．
(1)求正边形的周长；
(2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
21．（8分）在图中网格上按要求画出图形：
(1)如果将平移，使得点平移到图中点位置，点、点的对应点分别为点、点，请在图1画出；
(2)在图2画出关于点成中心对称的；
22．（8分）已知：如图，、是平行四边形对角线上的两点，且．求证：．
23．（9分）已知平行四边形中，对角线相交于点．
(1)如图1，若，求的长：
(2)如图2，过点作于点，连接，过点作交于点，求证：．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，，，交轴于点．
(1)求三角形的面积；
(2)求的长；
(3)将线段沿某一方向平移，点的对应点为（在轴正半轴上），点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标．
25．（10分）（新情境试题·新定义问题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故为它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题：
(1)如图2，已知点的坐标为．
①点的“长距”是 ；
②在点，，中，为点的“等距点”的是 ；
③若点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值．
(2)若，两点为“等距点”，求的值．
(3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）．
①则点的“长距”的最小值是 ；
②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是 ．
26．（10分）（新情境试题·综合与实践）问题发现
(1)基本模型——十字架模型
如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论．
对于上述问题请选择一个命题加以证明．
(2)模型运用
如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．
①若，求的值．
②如图3，若与交于点，连接，若，求证：．
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2025-2026八年级下册数学期中测试卷【押题A卷】
【湘教版】
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第一章~第二章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．若点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．直角坐标平面上有一点，其中，先将点A沿着直线翻折，得到点B，再将点B绕着原点逆时针旋转后得到点C，那么点C与点A的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
4．（新情境试题·规律型）在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（新情境试题·规律型）如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，…，依此规律，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．有公共顶点，的正三角形与正五边形按如图位置摆放，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次连接四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（ ）
A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B．矩形的垂足四边形是矩形
C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D．菱形的垂足四边形是菱形
9．如图，在中，，分别是的中点，连接．若，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则点的坐标为____．
12．如图，小明用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为________ ．
13．已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形．
14．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2026次碰到长方形边上的点的坐标为_____．
15．在平面直角坐标系中，已知点，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是________．
16．已知平行四边形的三个顶点分别为，则第四个顶点的坐标为_______．
17．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________．
18．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点G为的中点，连接，则的长为_______．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）三角形和三角形在平面直角坐标系的位置如图所示．
(1)写出下列各点的坐标：________，________．
(2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？
(3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是________．
20．（6分）正多边形的每条边都相等．每个角都相等．已知正边形的内角和为．边长为2．
(1)求正边形的周长；
(2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
21．（8分）在图中网格上按要求画出图形：
(1)如果将平移，使得点平移到图中点位置，点、点的对应点分别为点、点，请在图1画出；
(2)在图2画出关于点成中心对称的；
22．（8分）已知：如图，、是平行四边形对角线上的两点，且．求证：．
23．（9分）已知平行四边形中，对角线相交于点．
(1)如图1，若，求的长：
(2)如图2，过点作于点，连接，过点作交于点，求证：．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，，，交轴于点．
(1)求三角形的面积；
(2)求的长；
(3)将线段沿某一方向平移，点的对应点为（在轴正半轴上），点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标．
25．（10分）（新情境试题·新定义问题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故为它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题：
(1)如图2，已知点的坐标为．
①点的“长距”是 ；
②在点，，中，为点的“等距点”的是 ；
③若点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值．
(2)若，两点为“等距点”，求的值．
(3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）．
①则点的“长距”的最小值是 ；
②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是 ．
26．（10分）（新情境试题·综合与实践）问题发现
(1)基本模型——十字架模型
如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论．
对于上述问题请选择一个命题加以证明．
(2)模型运用
如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．
①若，求的值．
②如图3，若与交于点，连接，若，求证：．2025-2026八年级下册数学期中测试卷【押题A卷】
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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二、填空题
三、解答题
19题（6分）、
20题（6分）、
21题（8分）、
22题（8分）、
23题（9分）、
24题（9分）、
25题（10分）、
26题（10分）、
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注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【详解】A.不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意．
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
2．若点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∴，
解得，
又∵，
∴，
∴．
3．直角坐标平面上有一点，其中，先将点A沿着直线翻折，得到点B，再将点B绕着原点逆时针旋转后得到点C，那么点C与点A的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】B
【分析】先根据轴对称的坐标变换规律得到点B的坐标，再根据绕原点逆时针旋转的坐标变换规律得到点C的坐标，最后对比点A和点C的坐标，判断二者位置关系．
【详解】解：∵ 点沿直线翻折得到点B，点关于对称时横纵坐标互换，
∴ 点B的坐标为．
∵ 平面内任意点绕原点逆时针旋转后，所得点的坐标为，
∴ 将代入得，点C的坐标为．
∵ 点与点纵坐标相等，横坐标互为相反数，
∴ 点A与点C关于轴对称．
4．（新情境试题·规律型）在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据初始点和绕原点顺时针转的坐标变换规律，算出前次旋转后的坐标，发现周期为；再用除以，余数为，故第次旋转后坐标与第次相同，为．
【详解】解：由图可得，初始点的坐标为，
绕原点顺时针旋转的坐标，旋转后的对应点坐标：
第次旋转后：；
第次旋转后：；
第次旋转后：；
第次旋转后：，回到初始坐标，
∴每旋转次，坐标会循环一次（旋转，回到原位置），周期为，
∴，余数为，
说明第次旋转后坐标和第次旋转后坐标相同，为
5．（新情境试题·规律型）如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，…，依此规律，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】观察发现：，，
(为自然数)，
，
，即点的坐标是
6．有公共顶点，的正三角形与正五边形按如图位置摆放，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分别求出正五边形和正三角形每个内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出，最后求出结果即可．
【详解】解：正五边形每个内角的度数为：，
正三角形每个内角的度数为，
∴，
∵正五边形中，正三角形中，
∴，
∴，
∴．
7．如图，在矩形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据矩形的性质得出，，；根据折叠的性质得出，；在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长；再在中利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
由沿翻折得到，
，
，，
在中，由勾股定理可得：，
，
设，则，，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得：，
的长为．
8．从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次连接四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（ ）
A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B．矩形的垂足四边形是矩形
C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D．菱形的垂足四边形是菱形
【答案】C
【分析】对于等腰梯形、矩形、平行四边形和菱形，分别分析它们的对角线性质，再根据垂足四边形的定义判断其形状．
【详解】解：A、等腰梯形的对角线相等，但不一定互相垂直，当等腰梯形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是等腰梯形，故A选项错误，不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直，当矩形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是矩形，故B选项错误，不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，且是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，两组对边的垂足分别关于对称中心对称，故顺次连接四个垂足得到的四边形的对角线互相平分，则顺次连接四个垂足得到的四边形是平行四边形，故C选项正确，符合题意；
D、菱形的对角线垂直且互相平分，但不一定相等，当菱形的对角线不相等时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是菱形，故D选项错误，不符合题意．
9．如图，在中，，分别是的中点，连接．若，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】A
【分析】先说明是的中位线，即；再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【详解】解：∵分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是的中点，
∴．
10．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据矩形的边长和甲乙的速度，计算出两人每次相遇时甲所走的路程，进而确定相遇点的坐标，找出相遇点坐标的变化规律，利用周期性求解即可．
【详解】解：由图可知，矩形的长为，宽为，
故矩形的周长为，
因为物体乙的速度是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为，
由题意知：第一次相遇物体甲与物体乙行驶的路程和为，物体甲行驶的路程为，物体乙行驶的路程为，在边相遇，相遇地点的坐标是；
第二次相遇物体甲与物体乙行驶的路程和为，物体甲行驶的路程为，物体乙行驶的路程为，在边相遇，相遇地点的坐标是；
第三次相遇物体甲与物体乙行驶的路程和为，物体甲行驶的路程为，物体乙行驶的路程为，在点相遇，相遇地点的坐标是； ，
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
，
故两个物体运动后的第2026次相遇地点与第一次相遇的地点重合，此时相遇点的坐标为：．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则点的坐标为____．
【答案】
【分析】根据点在平面直角坐标系中的平移规律，向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加，计算即可得到点的坐标．
【详解】解：∵点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
∴点的坐标为，即．
12．如图，小明用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为________ ．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质结合题意得到，由，代入计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
13．已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形．
【答案】
十
【分析】利用多边形的内角和公式，列方程求解即可得到边数．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
根据多边形内角和公式，得，
等式两边同除以，得
，
解得．
14．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2026次碰到长方形边上的点的坐标为_____．
【答案】
【分析】先根据动点的运动规律，依次写出前几次碰到长方形边上的点的坐标，找出坐标的循环周期，再用总次数除以周期，根据余数确定第2026次碰到的点的坐标．
【详解】解：如图，
第1次碰到的点坐标：；
第2次碰到的点坐标：；
第3次碰到的点坐标：；
第4次碰到的点坐标：；
第5次碰到的点坐标：；
第6次碰到的点坐标：；
第7次碰到的点坐标：；
……；
由此可知，动点的坐标以次为一个循环周期．
，
即第2026次碰到的点的坐标与第4次碰到的点的坐标相同，为．
15．在平面直角坐标系中，已知点，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是________．
【答案】或
【分析】根据点到两坐标轴的距离相等，即横坐标与纵坐标的绝对值相等，列出方程求解即可．
【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴或，
解得或，
代入得点坐标为或．
16．已知平行四边形的三个顶点分别为，则第四个顶点的坐标为_______．
【答案】
或或
【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论，分别以为对角线，结合中点坐标公式计算第四个顶点的坐标．
【详解】解：设第四个顶点为，分三种情况讨论：
1. 当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线互相平分，得中点与中点重合，
∴中点的坐标为，即，中点的坐标为，
∴可得方程组，
解得，此时第四个顶点的坐标为；
2. 当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线互相平分，得中点与中点重合，
∴中点的坐标为，即，中点的坐标为，
∴可得方程组，
解得，此时第四个顶点的坐标为；
3. 当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线互相平分，得中点与中点重合，
∴中点的坐标为，即，中点的坐标为，
可得方程组，
解得，此时第四个顶点的坐标为．
综上，第四个顶点的坐标为或或．
17．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________．
【答案】
【分析】先得到四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，然后表示出，再对运用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：由题意得，，则，
∵四边形是矩形
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
∵
∴，
解得
∴四边形是菱形，则的值为．
18．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点G为的中点，连接，则的长为_______．
【答案】
【分析】由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，，取中点，连接，则，，再用勾股定理解即可．
【详解】解：∵在菱形中，对角线与相交于点，，，
∴，，，
∵，
∴，
如图，取中点，连接，
∵点为的中点，点为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）三角形和三角形在平面直角坐标系的位置如图所示．
(1)写出下列各点的坐标：________，________．
(2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？
(3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是________．
【答案】(1)，；
(2)先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度（或先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度）；
(3)
【分析】（1）根据平面直角坐标系直接写出坐标即可；
（2）根据点和的坐标，即可得出平移方式；
（3）根据（2）所得平移方式作答即可．
【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得：，；
（2）解：由平面直角坐标系可得：，，
则平移方式为先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度（或先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度）；
（3）解：若点是三角形内部一点，
则三角形内部的对应点的坐标是．
20．（6分）正多边形的每条边都相等．每个角都相等．已知正边形的内角和为．边长为2．
(1)求正边形的周长；
(2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
【答案】(1)20
(2)5
【分析】（1）根据正多边形的内角和求出的值，进而求出周长即可；
（2）先求出正边形的一个外角的度数，再根据多边形的外角和为360度，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，
解得，
∵正边形的边长为2，
∴周长为；
（2）解：由（1）可知，正边形每个内角的度数为，
∴正边形的每个外角的度数为；
∴．
21．（8分）在图中网格上按要求画出图形：
(1)如果将平移，使得点平移到图中点位置，点、点的对应点分别为点、点，请在图1画出；
(2)在图2画出关于点成中心对称的；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平移的性质进行画图；
（2）根据中心对称的性质画图．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
22．（8分）已知：如图，、是平行四边形对角线上的两点，且．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到，，由平行线的性质得到，利用证明得出，从而证明，根据平行线的判定即可得出结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
．
在和中，
，
，
．
23．（9分）已知平行四边形中，对角线相交于点．
(1)如图1，若，求的长：
(2)如图2，过点作于点，连接，过点作交于点，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案；
（2）先证明，，再证明，即可证明．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
，即，
．
，
∴，
或（舍去）．
（2）证明：，
∴，
∴，
．
又，
∴，
又∵，
∴
，
又∵，
，
．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，，，交轴于点．
(1)求三角形的面积；
(2)求的长；
(3)将线段沿某一方向平移，点的对应点为（在轴正半轴上），点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）根据三角形的面积公式计算即可求解；
（）根据列式解答即可求解；
（）由已知可得，即得点的坐标为或，设点的坐标为（），由平移可得，再分两种情况解答即可求解；
本题考查了坐标与图形，图形的平移，掌握点的平移规律是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
解得；
（3）解：∵，，
∴，
∴点的坐标为或，
设点的坐标为（），
∵线段平移得到线段，，点的对应点为，
∴线段先向右平移个单位长度，再向上平移的单位长度得到线段，
∵，点的对应点为，
∴，即，
当点的坐标为时，如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，符合题意，
∴；
当点的坐标为时，如图，过点作轴于点，
同理可得，，
∵，
∴，
解得，不合题意，舍去；
综上，点的坐标为．
25．（10分）（新情境试题·新定义问题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故为它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题：
(1)如图2，已知点的坐标为．
①点的“长距”是 ；
②在点，，中，为点的“等距点”的是 ；
③若点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值．
(2)若，两点为“等距点”，求的值．
(3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）．
①则点的“长距”的最小值是 ；
②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是 ．
【答案】(1)①；②点；③或
(2)或
(3)①；②
【分析】（1）①根据题中定义即可解答；
②根据题中定义判断即可；
③根据，即可解答；
（2）分情况讨论，即或，解出答案，再判断是否符合条件；
（3）①根据图形即可解答；
②分点的“长距”为，，，三种情况，再找出所有符合条件的点，即可解答．
【详解】（1）解：①根据定义可得点的“长距”是；
②点的“长距”是，为点的“等距点”；
点的“长距”是，不是点的“等距点”；
点的“长距”是，不是点的“等距点”；
③、两点为“等距点”，
，
解得或；
（2）解：，两点为“等距点”，
<1>当时，
解得或，
在时，，
点的“长距”为，点的“长距”为，符合条件；
在时，，
点的“长距”为，点的“长距”为，不符合条件；
<2>当时，
可得或，
解得或，
在时，，
点的“长距”为，点的“长距”为，符合条件；
在时，，
点的“长距”为，点的“长距”为，不符合条件；
综上，或；
（3）解：①根据图形可得当点在时，点的“长距”最小，
“长距”为；
②点的横、纵坐标均为整数，且，两点为“等距点”，
∴点的横、纵坐标均为整数，
当点的“长距”为时，没有符合条件的点；
当点的“长距”为时，符合条件的有点，共个；
当点的“长距”为时，符合条件的有点，，，，，共个；
当点的“长距”为时，符合条件的有点，，，，，，，，，共个，
综上，所有可能满足条件的点的个数是个．
26．（10分）（新情境试题·综合与实践）问题发现
(1)基本模型——十字架模型
如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论．
对于上述问题请选择一个命题加以证明．
(2)模型运用
如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．
①若，求的值．
②如图3，若与交于点，连接，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得；
②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明；
（2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算；
②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明．
【详解】（1）选择①，证明如下：
证明：四边形是正方形，
，，
，
，，，
，
在和中，
，
，
；
选择②，证明如下：
证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）①解：四边形是正方形，，
，
在中，，
由翻折得，垂直平分，
记与相交于点，则，且，
在中，
，即，
解得，，
；
②证明：由翻折得，，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
由翻折得，垂直平分，
是等腰三角形，是的角平分线，
，
在中，，，
在中，，，
，
，
，，
在和中，
，
．
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