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江苏省南京市中华中学2024-2025学年高三下学期校内模拟考试(二模)数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（　　）
A． B．
C． D．
3．设等差数列的前n项和为，若，则（　　）
A．70 B．80 C．120 D．140
4．若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（　　）
A． B． C． D．
5．在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（　　）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，，，则
D．若，且，则
6．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（　　）
A． B． C．2 D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.
9．已知如图是函数的部分图象，则（　　）
A．的图象关于中心对称
B．在单调递增
C．若在上的值域为，则的最大值为
D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象
10．已知函数，则下列说法正确的有（　　）
A．若是上的增函数，则
B．当时，函数有两个极值
C．当时，函数有三个零点
D．若关于的方程恰有两个非零的实数根，则
11．设数列是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数．则下列说法正确的是（　　）
A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是4
C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是3
D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知拋物线的焦点为，点在上且位于第一象限，过点作直线垂直于的准线，垂足为，若直线的倾斜角为，则　 　.
13．已知正四棱台的上，下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为　 　
14．小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展．某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：
观看人次x（万次） 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
销售量y（百件） 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77
参考数据：．
（1）已知观看人次与销售量线性相关，且计算得相关系数，求回归直线方程；
（2）规定：观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1．从金牌主播中随机抽取3名，若用表示这3名主播赋分的和，求随机变量的分布列和数学期望．
（附：，相关系数）
16．已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线；
（2）讨论函数的单调性.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
（1）求证：；
（2）若，求．
18．如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，点在平面内的射影恰为的重心.
（1）证明：；
（2）求线段长；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）.
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离；
（3）求四边形面积的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，
故.
故答案为：B
【分析】本题考查复数的除法运算与模的计算，核心是先通过分母实数化化简复数，再利用复数模的坐标公式计算；也可直接利用复数模的性质快速求解。
2．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量的线性运算求解即可.
3．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：在等差数列中，，则 ，
故，
故答案为：A
【分析】本题考查等差数列的性质与前项和公式，核心是利用等差数列的等差中项性质求出，再结合前项和的性质计算。
4．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由展开式的二项式系数之和为，可得，解得，
展开式的通项为，
令，得，则，即含项的系数为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，求得，写出展开式的通项，令，求解即可.
5．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，，当平面的交线为时，满足，此时，A错误；
对于B，由，得存在过直线的平面，，由于，
则平面与平面必相交，令，于是，
显然，而，则，同理，又是平面内的两条相交直线，因此，B正确；
对于C，，，，或异面，C错误；
对于D，，令，当直线在平面内，且时，满足，此时不成立，D错误.
故选：B
【分析】利用线面垂直的判定条件（如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；如果两个平行平面中的一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线）说明、推理判断AB；利用面面平行的性质说明判断C，利用线面平行的判定说明判断D.
6．【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
连接，则、，设，其中，
，，
则点到直线的距离
，
设，因为，所以，则，
故点到直线的距离的最小值为.
故答案为：A.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接，设，利用空间向量法求解即可.
7．【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
设圆，
由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，则，解得，
即或，
故实数a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】易知圆的圆心和半径，设圆，由题意可得两圆相交，根据两圆相交列不等式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，弦的中点为，离心率为，
则，同理.
由，两式相减整理得，
所以弦的垂直平分线方程为，令，得，
则，此时在的右侧，因为，所以，
所以，，
由，得，所以.
故答案为：C.
【分析】本题考查双曲线的性质与离心率求解，核心是利用双曲线的焦半径公式、点差法求弦的斜率，结合弦的垂直平分线方程得到点P坐标，再根据∣AB∣=∣PF∣的条件建立等式求解离心率。
9．【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：观察图象，得，即，而，解得，
又，且在函数的递增区间内，则，
解得，，解得，因此，，
A，，不是函数的对称中心，A错误；
B，由，得，在单调递增，B正确；
C，由，得，由在上的值域为，
得，解得，因此的最大值为，C正确；
D，将向左平移个单位后，得，为偶函数，D正确.
故答案为：BCD
【分析】本题考查余弦型函数的解析式求解与性质分析，核心是先根据图像求出函数解析式，再结合余弦函数的对称性、单调性、值域与图像平移性质逐一验证选项。
10．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A，是上的增函数，得恒成立，
则，解得，A正确；
B，当时，，有两个异根，则函数有两个极值，B正确；
C，令，则或，
当，即时，有相等的根，有两零点，C错误；
D，方程，
由方程恰有两个非零的实数根，得是二重根、是单根或是单根、是二重根，
① 若是二重根、是单根，
，则得；
② 若是单根、是二重根，同理，D错误.
故答案为：AB
【分析】本题考查利用导数研究三次函数的单调性、极值与零点问题，核心是通过求导分析导函数的判别式与根的情况，结合函数零点、方程根的性质逐一验证选项。
11．【答案】B,D
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】A，设数列的公比为，则，
因为，所以，若，则，不是间隔递增数列，故A错误；
B，，易得是递增数列，
则，所以时，一定是间隔递增数列，且最小间隔数是4，故B正确；
C，，
当为奇数时，，显然时，，
当为偶数时，，显然时，，故C错误；
D，由是间隔递增数列，则对恒成立，
即对恒成立，则恒成立，
因为最小间隔是3，所以即对于恒成立，且时，，于是，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查间隔递增数列的定义应用，核心是根据“对任意，”的定义，结合数列通项公式分析差值、单调性与参数范围，逐一验证选项。
12．【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点为，准线方程为，
设准线与轴交于点，则，所以，
因为直线的倾斜角为，所以，
所以，则，
又，轴，所以，
则，
在中由余弦定理，
即，解得（负值已舍去）.
故答案为：.
【分析】本题考查抛物线的定义与性质、解三角形的应用，核心是利用抛物线的定义得到∣PA∣=∣PF∣，结合直线倾斜角求出△FAP的内角与边长关系，再用余弦定理求解∣PF∣。
13．【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：连接，过D作平行线，交于E点，连接DE，如图所示：
因为//，所以四边形为平行四边形，
由，，则，
又，，则，
则等腰直角三角形斜边上的高，即棱台的高为，
则棱台体积为：.
故答案为：.
【分析】连接，过D作平行线，交于E点，连接DE，由题意可得棱台的高，再根据棱台的体积公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，
事件：吃到的前个饺子均为玉米肉馅饺子.
则，，，，
当时，，
由题知，，
所以，
又，
所以.
故答案为：
【分析】本题考查条件概率与全概率公式的应用，核心是先定义事件（16个饺子中有个香菇馅）和事件（前13个为玉米馅），利用全概率公式求，再通过条件概率公式计算结果。
15．【答案】（1）解：因为，所以
所以，所以，
，
，
所以回归直线方程为．
（2）解：金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1，
则随机变量的可能取值为3，4，5，
，，，
所以的分布列为：
3 4 5
所以．
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 根据相关系数公式求出，再利用回归系数公式计算和，进而得到回归直线方程。
(2) 先确定金牌主播的人数，再区分其中优秀和不优秀的人数；分析随机变量的可能取值，计算每个取值对应的概率，列出分布列后求数学期望。
（1）因为，所以
所以，所以，
，
，
所以回归直线方程为．
（2）金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1，
则随机变量的可能取值为3，4，5，
，，，
所以的分布列为：
3 4 5
所以．
16．【答案】（1）解：当时，，求导得，则，而，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，
求导得
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在和上单调递增；
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在和上单调递增，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在和上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 将代入函数解析式，求导后利用导数的几何意义（切线斜率为），结合点斜式求出切线方程。
(2) 先求函数的定义域和导数，将导数因式分解后，按、、、分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调性。
（1）当时，，求导得，则，而，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
求导得
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在和上单调递增；
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在和上单调递增，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在和上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.
17．【答案】（1）证明：在中，，
则
整理得，则
又，则
在中，由正弦定理得，则
在中，由正弦定理得，则
则
则
（2）解：由，可得，又
则
由
可得，解之得
又，则，
由，可得
则
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 先利用余弦定理将的表达式展开，结合已知条件求出和角，再对和分别应用正弦定理，结合已知的三角函数等式推导的长度。
(2) 由结合确定和的长度，再利用余弦定理求出边、与的关系，最后在中再次应用余弦定理求出。
（1）在中，，
则
整理得，则
又，则
在中，由正弦定理得，则
在中，由正弦定理得，则
则
则
（2）由，可得，又
则
由
可得，解之得
又，则，
由，可得
则
18．【答案】（1）证明：过作于，
∵平面平面，平面平面，又平面，
∴平面，又平面，
∴，又∵平面，平面，
∴，又平面，，
∴平面，又平面，∴；
（2）解：连接并延长交于，连接，
以为原点，分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，设，
平面，平面，，同理，
又，平面，平面，
又平面，，
又是的重心，是的中点，，由（1）知，，
，，，又，
，解得（负值已舍去），，
设，则，故，
，，
平面，平面，，
，，即；
（3）解：由（2）可知，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 利用面面垂直的性质定理，结合平面的条件，证明平面，进而得出。
(2) 建立空间直角坐标系，设的长度为，根据重心坐标公式表示出点的坐标，结合平面的条件（向量垂直）列方程，求解的值。
(3) 先求出平面的法向量，再计算向量与平面法向量的夹角，进而得到直线与平面所成角的正弦值。
（1）过作于，
∵平面平面，平面平面，又平面，
∴平面，又平面，
∴，又∵平面，平面，∴，
又平面，，
∴平面，又平面，∴；
（2）连接并延长交于，连接，
以为原点，分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，设，
平面，平面，，同理，
又，平面，平面，
又平面，，
又是的重心，是的中点，，由（1）知，，
，，，又，
，解得（负值已舍去），，
设，则，故，
，，
平面，平面，，
，，即；
（3）由（2）可知，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19．【答案】（1）解：设椭圆的焦距为，则，
因为，所以中，
又因为为正三角形，所以，即，所以椭圆的离心率；
（2）解：由于正三角形的面积为，得到，解得，，
又，得到，则椭圆方程为，
设，且，即，
，
其对称轴为，而，当，即时，
在时取得最大值，；
当，即时，
在时取得最大值，.
综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为；
（3）解：设直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，.
因为点分别在第一、四象限，
所以，即，
故，解得，
得到四边形的面积为，
，
因为，，
所以，
令，，则，
因为，所以在上单调递增，
故，即四边形面积的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）设椭圆的焦距为，利用为正三角形得到，再根据椭圆的离心率公式求解即可；
（2）根据正三角形的面积求出基本量，得椭圆方程，设，由点在椭圆上，利用两点间距离公式表示，问题转化为二次函数分类讨论求解最值即可；
（3）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理可得，根据点分别在第一、四象限，得，解得，四边形的面积可表示为，可得，令，得到，再利用对勾函数单调性求四边形面积的范围即可.
（1）如图，设椭圆的焦距为，则，
因为，所以中，
又因为为正三角形，所以，即，
所以椭圆的离心率.
（2）由于正三角形的面积为，得到，
解得，，又，得到，故椭圆方程为，
设，且，即，
，
其对称轴为，而，当，即时，
在时取得最大值，；
当，即时，
在时取得最大值，.
综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为.
（3）设直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，.
因为点分别在第一、四象限，
所以，即，
故，解得，
得到四边形的面积为，
，
因为，，
所以，
令，，则，
因为，所以在上单调递增，
故，即四边形面积的取值范围为.
1 / 1江苏省南京市中华中学2024-2025学年高三下学期校内模拟考试(二模)数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，
故.
故答案为：B
【分析】本题考查复数的除法运算与模的计算，核心是先通过分母实数化化简复数，再利用复数模的坐标公式计算；也可直接利用复数模的性质快速求解。
2．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量的线性运算求解即可.
3．设等差数列的前n项和为，若，则（　　）
A．70 B．80 C．120 D．140
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：在等差数列中，，则 ，
故，
故答案为：A
【分析】本题考查等差数列的性质与前项和公式，核心是利用等差数列的等差中项性质求出，再结合前项和的性质计算。
4．若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由展开式的二项式系数之和为，可得，解得，
展开式的通项为，
令，得，则，即含项的系数为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，求得，写出展开式的通项，令，求解即可.
5．在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（　　）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，，，则
D．若，且，则
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，，当平面的交线为时，满足，此时，A错误；
对于B，由，得存在过直线的平面，，由于，
则平面与平面必相交，令，于是，
显然，而，则，同理，又是平面内的两条相交直线，因此，B正确；
对于C，，，，或异面，C错误；
对于D，，令，当直线在平面内，且时，满足，此时不成立，D错误.
故选：B
【分析】利用线面垂直的判定条件（如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；如果两个平行平面中的一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线）说明、推理判断AB；利用面面平行的性质说明判断C，利用线面平行的判定说明判断D.
6．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
连接，则、，设，其中，
，，
则点到直线的距离
，
设，因为，所以，则，
故点到直线的距离的最小值为.
故答案为：A.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接，设，利用空间向量法求解即可.
7．若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
设圆，
由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，则，解得，
即或，
故实数a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】易知圆的圆心和半径，设圆，由题意可得两圆相交，根据两圆相交列不等式求解即可.
8．过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，弦的中点为，离心率为，
则，同理.
由，两式相减整理得，
所以弦的垂直平分线方程为，令，得，
则，此时在的右侧，因为，所以，
所以，，
由，得，所以.
故答案为：C.
【分析】本题考查双曲线的性质与离心率求解，核心是利用双曲线的焦半径公式、点差法求弦的斜率，结合弦的垂直平分线方程得到点P坐标，再根据∣AB∣=∣PF∣的条件建立等式求解离心率。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.
9．已知如图是函数的部分图象，则（　　）
A．的图象关于中心对称
B．在单调递增
C．若在上的值域为，则的最大值为
D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象
【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：观察图象，得，即，而，解得，
又，且在函数的递增区间内，则，
解得，，解得，因此，，
A，，不是函数的对称中心，A错误；
B，由，得，在单调递增，B正确；
C，由，得，由在上的值域为，
得，解得，因此的最大值为，C正确；
D，将向左平移个单位后，得，为偶函数，D正确.
故答案为：BCD
【分析】本题考查余弦型函数的解析式求解与性质分析，核心是先根据图像求出函数解析式，再结合余弦函数的对称性、单调性、值域与图像平移性质逐一验证选项。
10．已知函数，则下列说法正确的有（　　）
A．若是上的增函数，则
B．当时，函数有两个极值
C．当时，函数有三个零点
D．若关于的方程恰有两个非零的实数根，则
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A，是上的增函数，得恒成立，
则，解得，A正确；
B，当时，，有两个异根，则函数有两个极值，B正确；
C，令，则或，
当，即时，有相等的根，有两零点，C错误；
D，方程，
由方程恰有两个非零的实数根，得是二重根、是单根或是单根、是二重根，
① 若是二重根、是单根，
，则得；
② 若是单根、是二重根，同理，D错误.
故答案为：AB
【分析】本题考查利用导数研究三次函数的单调性、极值与零点问题，核心是通过求导分析导函数的判别式与根的情况，结合函数零点、方程根的性质逐一验证选项。
11．设数列是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数．则下列说法正确的是（　　）
A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是4
C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是3
D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
【答案】B,D
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】A，设数列的公比为，则，
因为，所以，若，则，不是间隔递增数列，故A错误；
B，，易得是递增数列，
则，所以时，一定是间隔递增数列，且最小间隔数是4，故B正确；
C，，
当为奇数时，，显然时，，
当为偶数时，，显然时，，故C错误；
D，由是间隔递增数列，则对恒成立，
即对恒成立，则恒成立，
因为最小间隔是3，所以即对于恒成立，且时，，于是，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查间隔递增数列的定义应用，核心是根据“对任意，”的定义，结合数列通项公式分析差值、单调性与参数范围，逐一验证选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知拋物线的焦点为，点在上且位于第一象限，过点作直线垂直于的准线，垂足为，若直线的倾斜角为，则　 　.
【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点为，准线方程为，
设准线与轴交于点，则，所以，
因为直线的倾斜角为，所以，
所以，则，
又，轴，所以，
则，
在中由余弦定理，
即，解得（负值已舍去）.
故答案为：.
【分析】本题考查抛物线的定义与性质、解三角形的应用，核心是利用抛物线的定义得到∣PA∣=∣PF∣，结合直线倾斜角求出△FAP的内角与边长关系，再用余弦定理求解∣PF∣。
13．已知正四棱台的上，下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为　 　
【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：连接，过D作平行线，交于E点，连接DE，如图所示：
因为//，所以四边形为平行四边形，
由，，则，
又，，则，
则等腰直角三角形斜边上的高，即棱台的高为，
则棱台体积为：.
故答案为：.
【分析】连接，过D作平行线，交于E点，连接DE，由题意可得棱台的高，再根据棱台的体积公式求解即可.
14．小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为　 　.
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，
事件：吃到的前个饺子均为玉米肉馅饺子.
则，，，，
当时，，
由题知，，
所以，
又，
所以.
故答案为：
【分析】本题考查条件概率与全概率公式的应用，核心是先定义事件（16个饺子中有个香菇馅）和事件（前13个为玉米馅），利用全概率公式求，再通过条件概率公式计算结果。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展．某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：
观看人次x（万次） 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
销售量y（百件） 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77
参考数据：．
（1）已知观看人次与销售量线性相关，且计算得相关系数，求回归直线方程；
（2）规定：观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1．从金牌主播中随机抽取3名，若用表示这3名主播赋分的和，求随机变量的分布列和数学期望．
（附：，相关系数）
【答案】（1）解：因为，所以
所以，所以，
，
，
所以回归直线方程为．
（2）解：金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1，
则随机变量的可能取值为3，4，5，
，，，
所以的分布列为：
3 4 5
所以．
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 根据相关系数公式求出，再利用回归系数公式计算和，进而得到回归直线方程。
(2) 先确定金牌主播的人数，再区分其中优秀和不优秀的人数；分析随机变量的可能取值，计算每个取值对应的概率，列出分布列后求数学期望。
（1）因为，所以
所以，所以，
，
，
所以回归直线方程为．
（2）金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1，
则随机变量的可能取值为3，4，5，
，，，
所以的分布列为：
3 4 5
所以．
16．已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）解：当时，，求导得，则，而，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，
求导得
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在和上单调递增；
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在和上单调递增，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在和上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 将代入函数解析式，求导后利用导数的几何意义（切线斜率为），结合点斜式求出切线方程。
(2) 先求函数的定义域和导数，将导数因式分解后，按、、、分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调性。
（1）当时，，求导得，则，而，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
求导得
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在和上单调递增；
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在和上单调递增，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在和上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
（1）求证：；
（2）若，求．
【答案】（1）证明：在中，，
则
整理得，则
又，则
在中，由正弦定理得，则
在中，由正弦定理得，则
则
则
（2）解：由，可得，又
则
由
可得，解之得
又，则，
由，可得
则
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 先利用余弦定理将的表达式展开，结合已知条件求出和角，再对和分别应用正弦定理，结合已知的三角函数等式推导的长度。
(2) 由结合确定和的长度，再利用余弦定理求出边、与的关系，最后在中再次应用余弦定理求出。
（1）在中，，
则
整理得，则
又，则
在中，由正弦定理得，则
在中，由正弦定理得，则
则
则
（2）由，可得，又
则
由
可得，解之得
又，则，
由，可得
则
18．如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，点在平面内的射影恰为的重心.
（1）证明：；
（2）求线段长；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：过作于，
∵平面平面，平面平面，又平面，
∴平面，又平面，
∴，又∵平面，平面，
∴，又平面，，
∴平面，又平面，∴；
（2）解：连接并延长交于，连接，
以为原点，分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，设，
平面，平面，，同理，
又，平面，平面，
又平面，，
又是的重心，是的中点，，由（1）知，，
，，，又，
，解得（负值已舍去），，
设，则，故，
，，
平面，平面，，
，，即；
（3）解：由（2）可知，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 利用面面垂直的性质定理，结合平面的条件，证明平面，进而得出。
(2) 建立空间直角坐标系，设的长度为，根据重心坐标公式表示出点的坐标，结合平面的条件（向量垂直）列方程，求解的值。
(3) 先求出平面的法向量，再计算向量与平面法向量的夹角，进而得到直线与平面所成角的正弦值。
（1）过作于，
∵平面平面，平面平面，又平面，
∴平面，又平面，
∴，又∵平面，平面，∴，
又平面，，
∴平面，又平面，∴；
（2）连接并延长交于，连接，
以为原点，分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，设，
平面，平面，，同理，
又，平面，平面，
又平面，，
又是的重心，是的中点，，由（1）知，，
，，，又，
，解得（负值已舍去），，
设，则，故，
，，
平面，平面，，
，，即；
（3）由（2）可知，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19．已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）.
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离；
（3）求四边形面积的取值范围.
【答案】（1）解：设椭圆的焦距为，则，
因为，所以中，
又因为为正三角形，所以，即，所以椭圆的离心率；
（2）解：由于正三角形的面积为，得到，解得，，
又，得到，则椭圆方程为，
设，且，即，
，
其对称轴为，而，当，即时，
在时取得最大值，；
当，即时，
在时取得最大值，.
综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为；
（3）解：设直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，.
因为点分别在第一、四象限，
所以，即，
故，解得，
得到四边形的面积为，
，
因为，，
所以，
令，，则，
因为，所以在上单调递增，
故，即四边形面积的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）设椭圆的焦距为，利用为正三角形得到，再根据椭圆的离心率公式求解即可；
（2）根据正三角形的面积求出基本量，得椭圆方程，设，由点在椭圆上，利用两点间距离公式表示，问题转化为二次函数分类讨论求解最值即可；
（3）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理可得，根据点分别在第一、四象限，得，解得，四边形的面积可表示为，可得，令，得到，再利用对勾函数单调性求四边形面积的范围即可.
（1）如图，设椭圆的焦距为，则，
因为，所以中，
又因为为正三角形，所以，即，
所以椭圆的离心率.
（2）由于正三角形的面积为，得到，
解得，，又，得到，故椭圆方程为，
设，且，即，
，
其对称轴为，而，当，即时，
在时取得最大值，；
当，即时，
在时取得最大值，.
综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为.
（3）设直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，.
因为点分别在第一、四象限，
所以，即，
故，解得，
得到四边形的面积为，
，
因为，，
所以，
令，，则，
因为，所以在上单调递增，
故，即四边形面积的取值范围为.
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