资源简介

江苏省扬州市第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题（每题5分共40分）
1．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（　　）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，且，
则
.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：，且，根据，结合空间向量的数量积公式计算即可.
2．已知函数在处取得极值，则（　　）
A．1 B．2 C． D．-2
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得，即，
，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则在处取得极大值，符合题意，故.
故答案为：C.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得求得a的值，注意验证即可.
3．平面经过三点，，，则平面的法向量可以是
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面的法向量
【解析】【解答】解：设平面的法向量为，
、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、由于，故D正确.故答案为：D.
【分析】设平面的法向量为，根据向量数量积的坐标运算，结合平面法向量的定义逐项验证判断即可.
4．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（　　）
A．在上为减函数 B．在处取极小值
C．在上为减函数 D．在处取极大值
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由导函数图象知，在和上单调递增，在上单调递减，在处取极大值，在处取极小值.
故答案为：C.
【分析】根据导函数图象研究原函数的单调以及极值点判断即可.
5．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（　　）
A．21种 B．315种 C．153种 D．143种
【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，
选一本数学书一本英语书有5×7=35种，
选一本语文书一本英语书有9×5=45种，
∴共有63+45+35=143种选法.
故答案为：D.
【分析】根据题意利用分类计数原理即可求得。
6．下列函数中，在区间上单调递减的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A、，则，即在上单调递减，故A满足；
B、，函数图象抛物线开口向上，对称轴为直线，所以在上单调递增，故B不满足；
C、函数定义域为，，由，解得，
即函数的单调递减区间为，故C不满足；
D、在定义域R上单调递增，故D不满足．
故答案为：A.
【分析】分别求导，利用导数判断函数的单调性即可判断AC；根据二次函数的单调性即可判断B；根据指数函数的图象与性质即可判断D.
7．如图，空间四边形OABC中，是BC的中点，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】以为基向量，根据空间向量的线性运算求解即可.
8．中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（　　）种
A．144 B．264 C．288 D．432
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：4种色彩设为1、2、3、4，正面相邻区域不能同色必定用三种颜色，
则有种不同方法，
对于中的一种再考虑反面设计，如正面用三色为1、2、3，
则反面颜色也可选1、2、3，但与正面不能同色，故对应为2、3、1和3、1、2两种，
反面颜色也能选1、2、4，与正面1、2、3对应分别为2、1、4，2、4、1，4、1、2三种，
同理反面颜色选1、3、4也为3种，反面选2、3、4也为3种，
则正面用三色为1、2、3，反面颜色对应有11种，
所以双面绣不同色彩设计方法共有种．
故答案为：B．
【分析】利用分步乘法计数原理求解即可.
二、多选题（每小题6分共18分）
9．下列式子正确的是（　　）
A． B．
C． D．!
【答案】A,B,D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：对于A选项：故A选项正确；对于B选项：故B选项正确；对于C选项：故C选项错误；对于D选项：故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题主要考查组合公式和排列公式，根据组合公式：和排列公式逐项判断即可求解.
10．对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（　　）
A．使的一定是函数的极值点
B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件
C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调
【答案】A,B,C
【知识点】充要条件；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对于A，的不一定是函数的极值点，
比如在处导函数的值为0，但不是的极值点，所以A错误；
对于B，函数在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如为单调递增函数，在处导函数值为0，故在R上单调递增不是在R上恒成立的充要条件，
所以B错误；
对于C，若函数既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，
比如，在处取得极大值-2，在处取得极小值2，极小值大于极大值，
所以C错误；
对于D，根据极值点和极值的定义可以判断，若在R上存在极值，则它在R一定不单调，
所以D正确.
故选：ABC.
【分析】利用已知条件结合导数求极值点的方法判断出选项A；利用导数判断单调性的方法和充要条件判断方法，进而判断出选项B；利用导数求极值的方法判断出选项C；利用导数判断单调性和求极值、极值点的方法，从而判断出选项C；进而找出说法不正确的选项.
11．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（　　）
A．直线与底面所成的角为
B．平面与底面夹角的余弦值为
C．直线与直线的距离为
D．直线与平面的距离为
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
易知，，，，，，
A、，平面的法向量，
设直线与底面所成的角为，则，
即直线与底面所成的角不为，故A错误；
B、，，
设平面的法向量，则，令，则
设平面与底面的夹角为，
则，即面与底面夹角余弦值为，故B正确；
C、，
直线与直线的距离为：，故C正确；
D、，平面，平面，
又，平面的法向量，
则直线与平面的距离为：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项求解判断即可.
三、填空题（每题5分共15分）
12．已知，，当时，实数的值为　 　．
【答案】6
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
则，
因为，
所以，解得.
故答案为：6.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列式求解即可.
13．若函数，则　 　．
【答案】3
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：根据题意，函数，
则，
则.
故答案为：3．
【分析】根据题意，先求出函数的导数，再将代入导数的解析式，从而得出的值．
14．把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有　 　种．
【答案】36
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，设5人为甲乙丙丁戊，①、将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况，
②、将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法，
③、排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有种安排方法，则不同的安排方案共有种.
故答案为：
【分析】利用“捆绑法”和“插空法”求解即可．
四、解答题
15．从7名男生和5名女生中选取3人依次进行面试．
（1）若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？
（2）若参加面试的人中，恰好有1名女生，则有多少种不同的面试方法？
【答案】（1）解：从5名女生中选取3人依次进行排列，则有种不同的面试方法；
（2）解：第一步从5名女生中选取1名女生；第二步从7名男生中选取名男生，
由分步乘法计数原理可知由种选法，
再对刚刚组合好的3名面试者进行一次排列，有种排列方法，
则不同的面试方法有种.
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）先从5名女生中选取3人，再将其排列即可；
（2）从5名女生中选取1名女生，再从7名男生中选取名男生，再将选出的3人全排列即可.
（1）由题意从5名女生中选取3人依次进行面试，结合排列数的意义可知相当于从5名女生中选取3人依次进行排列，
此时对应有种不同的面试方法.
（2）安排满足题意的面试顺序一共需要分以下两大步：
一方面：由题意先抽取符合题意的组合，这里可以分为两小步：
第一步从5名女生中选取1名女生；第二步从7名男生中选取名男生；
由分步乘法计数原理可得符合题意的组合有种.
另一方面：注意到3名面试者是依次进行面试的，即再对刚刚组合好的3名面试者进行一次排列，
有种排列方法.结合以上两方面且由分步乘法计数原理可知满足题意的不同的面试方法有
种.
16．如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，E为线段AB的中点，F为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线EF与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
因为为线段的中点，所以，所以，
易知平面的法向量为，
则，即，又因为平面，所以平面；
（2）解：由（1）可得，，，
设平面的法向量为，则，
令，，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，利用空间向量法求证即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由空间向量法计算直线与平面的夹角正弦值即可.
（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，
又为线段的中点，所以，
所以，
易知平面的法向量可以为，
所以，即，又平面，所以平面.
（2）由（1）可得，所以，，
设平面的法向量为，则，
令，可得，则，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
17．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程.
（2）试问是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，函数，求导可得，，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：假设存在实数，使得在上单调递增，
则对恒成立，即对恒成立，
当时，为减函数，，
则，因为，所以的取值范围为．
【知识点】函数的最大（小）值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）当时，求导函数，易知，，利用点斜式求切线方程即可；
（2）假设存在实数，使得在上单调递增，则对恒成立，分离变量得，利用函数的单调性求的最大值即可得的取值范围.
（1）当时，，
则，所以，因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即（或）.
（2）假设存在实数，使得在上单调递增，
则对恒成立，
即对恒成立．
当时，为减函数，则，
所以，又，所以的取值范围为．
18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面是正三角形，侧面底面，E为中点，作交于F．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）在平面内是否存在点Q．使得，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：由侧面底面，侧面底面，面，
又底面是直角梯形，，故，
所以面，面，则，
由侧面是正三角形，E为中点，则，
而且都在面内，则面，面，
所以面面，而，面面，面，
所以平面；
（2）解：建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，，
令是面的一个法向量，则，
令，则，
令是面的一个法向量，则，
令，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值；
（3）解：由，即，故点在以为直径的球体与平面的交线上，
又，其中点坐标为，则，
由（1）（2）知，是面的一个法向量，
所以到面的距离，
所以以为直径的球体与平面不相交，故不存在使.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，根据面面垂直的性质得面，推出，且，最后根据线面垂直的判定，面面垂直的判定及性质证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦值即可；
（3）将问题化为判断以为直径的球体与平面是否存在交线，结合点面距离判断中点与面的距离与的大小判断即可.
（1）由侧面底面，侧面底面，面，
又底面是直角梯形，，故，
所以面，面，则，
由侧面是正三角形，E为中点，则，
而且都在面内，则面，面，
所以面面，而，面面，面，
所以平面.
（2）依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，，
所以，，
令是面的一个法向量，则，
令，则，
令是面的一个法向量，则，
令，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值.
（3）由，即，故点在以为直径的球体与平面的交线上，
又，其中点坐标为，则，
由（1）（2）知，是面的一个法向量，
所以到面的距离，
所以以为直径的球体与平面不相交，故不存在使.
19．已知函数
（1）求函数的极值；
（2）当时，判断方程的实根个数，并加以证明；
（3）求证：当时，对于任意实数，不等式恒成立．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，函数存在极大值，无极小值；
（2）证明：令，
，
，，即，
令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，
，
函数在R上连续，所以有一个零点0，且在上有一个零点，即函数有两个零点，
故当时，方程的实根个数为2个；
（3）证明：由（2）知，即证：当时，对于任意实数，不等式恒成立，
因为，所以 ，
当，即时，则时，，单调递减；
时，，单调递增， ，
当时，恒成立；
当，即时，
则时，，单调递增；
，单调递减；
时，，单调递增， ，
因为 ，所以当时，恒成立，
综上：当时，对于任意实数，不等式恒成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）令，求导，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理求解即可；
（3）由（2）知，即证：当时，对于任意实数，不等式恒成立，分和，利用导数函数的单调性，证明即可．
（1） ，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数存在极大值，无极小值；
（2）令，
，
，，即，
令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，
，
函数在R上连续，所以有一个零点0，且在上有一个零点，
即函数有两个零点，
当时，方程的实根个数为2个；
（3）由（2）知，即证：当时，对于任意实数
不等式恒成立． ， ，
当，即时，则时，，单调递减；
时，，单调递增， ，
当时，恒成立；
当，即时，
则时，，单调递增；
，单调递减；
时，，单调递增， ，
，
当时，恒成立；
综上：当时，对于任意实数，不等式恒成立．
1 / 1江苏省扬州市第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题（每题5分共40分）
1．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（　　）
A． B． C． D．4
2．已知函数在处取得极值，则（　　）
A．1 B．2 C． D．-2
3．平面经过三点，，，则平面的法向量可以是
A． B．
C． D．
4．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（　　）
A．在上为减函数 B．在处取极小值
C．在上为减函数 D．在处取极大值
5．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（　　）
A．21种 B．315种 C．153种 D．143种
6．下列函数中，在区间上单调递减的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，空间四边形OABC中，是BC的中点，，则（　　）
A． B．
C． D．
8．中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（　　）种
A．144 B．264 C．288 D．432
二、多选题（每小题6分共18分）
9．下列式子正确的是（　　）
A． B．
C． D．!
10．对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（　　）
A．使的一定是函数的极值点
B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件
C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调
11．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（　　）
A．直线与底面所成的角为
B．平面与底面夹角的余弦值为
C．直线与直线的距离为
D．直线与平面的距离为
三、填空题（每题5分共15分）
12．已知，，当时，实数的值为　 　．
13．若函数，则　 　．
14．把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有　 　种．
四、解答题
15．从7名男生和5名女生中选取3人依次进行面试．
（1）若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？
（2）若参加面试的人中，恰好有1名女生，则有多少种不同的面试方法？
16．如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，E为线段AB的中点，F为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线EF与平面所成角的正弦值.
17．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程.
（2）试问是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面是正三角形，侧面底面，E为中点，作交于F．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）在平面内是否存在点Q．使得，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
19．已知函数
（1）求函数的极值；
（2）当时，判断方程的实根个数，并加以证明；
（3）求证：当时，对于任意实数，不等式恒成立．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，且，
则
.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：，且，根据，结合空间向量的数量积公式计算即可.
2．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得，即，
，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则在处取得极大值，符合题意，故.
故答案为：C.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得求得a的值，注意验证即可.
3．【答案】D
【知识点】平面的法向量
【解析】【解答】解：设平面的法向量为，
、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、由于，故D正确.故答案为：D.
【分析】设平面的法向量为，根据向量数量积的坐标运算，结合平面法向量的定义逐项验证判断即可.
4．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由导函数图象知，在和上单调递增，在上单调递减，在处取极大值，在处取极小值.
故答案为：C.
【分析】根据导函数图象研究原函数的单调以及极值点判断即可.
5．【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，
选一本数学书一本英语书有5×7=35种，
选一本语文书一本英语书有9×5=45种，
∴共有63+45+35=143种选法.
故答案为：D.
【分析】根据题意利用分类计数原理即可求得。
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A、，则，即在上单调递减，故A满足；
B、，函数图象抛物线开口向上，对称轴为直线，所以在上单调递增，故B不满足；
C、函数定义域为，，由，解得，
即函数的单调递减区间为，故C不满足；
D、在定义域R上单调递增，故D不满足．
故答案为：A.
【分析】分别求导，利用导数判断函数的单调性即可判断AC；根据二次函数的单调性即可判断B；根据指数函数的图象与性质即可判断D.
7．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】以为基向量，根据空间向量的线性运算求解即可.
8．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：4种色彩设为1、2、3、4，正面相邻区域不能同色必定用三种颜色，
则有种不同方法，
对于中的一种再考虑反面设计，如正面用三色为1、2、3，
则反面颜色也可选1、2、3，但与正面不能同色，故对应为2、3、1和3、1、2两种，
反面颜色也能选1、2、4，与正面1、2、3对应分别为2、1、4，2、4、1，4、1、2三种，
同理反面颜色选1、3、4也为3种，反面选2、3、4也为3种，
则正面用三色为1、2、3，反面颜色对应有11种，
所以双面绣不同色彩设计方法共有种．
故答案为：B．
【分析】利用分步乘法计数原理求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：对于A选项：故A选项正确；对于B选项：故B选项正确；对于C选项：故C选项错误；对于D选项：故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题主要考查组合公式和排列公式，根据组合公式：和排列公式逐项判断即可求解.
10．【答案】A,B,C
【知识点】充要条件；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对于A，的不一定是函数的极值点，
比如在处导函数的值为0，但不是的极值点，所以A错误；
对于B，函数在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如为单调递增函数，在处导函数值为0，故在R上单调递增不是在R上恒成立的充要条件，
所以B错误；
对于C，若函数既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，
比如，在处取得极大值-2，在处取得极小值2，极小值大于极大值，
所以C错误；
对于D，根据极值点和极值的定义可以判断，若在R上存在极值，则它在R一定不单调，
所以D正确.
故选：ABC.
【分析】利用已知条件结合导数求极值点的方法判断出选项A；利用导数判断单调性的方法和充要条件判断方法，进而判断出选项B；利用导数求极值的方法判断出选项C；利用导数判断单调性和求极值、极值点的方法，从而判断出选项C；进而找出说法不正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
易知，，，，，，
A、，平面的法向量，
设直线与底面所成的角为，则，
即直线与底面所成的角不为，故A错误；
B、，，
设平面的法向量，则，令，则
设平面与底面的夹角为，
则，即面与底面夹角余弦值为，故B正确；
C、，
直线与直线的距离为：，故C正确；
D、，平面，平面，
又，平面的法向量，
则直线与平面的距离为：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项求解判断即可.
12．【答案】6
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
则，
因为，
所以，解得.
故答案为：6.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列式求解即可.
13．【答案】3
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：根据题意，函数，
则，
则.
故答案为：3．
【分析】根据题意，先求出函数的导数，再将代入导数的解析式，从而得出的值．
14．【答案】36
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，设5人为甲乙丙丁戊，①、将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况，
②、将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法，
③、排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有种安排方法，则不同的安排方案共有种.
故答案为：
【分析】利用“捆绑法”和“插空法”求解即可．
15．【答案】（1）解：从5名女生中选取3人依次进行排列，则有种不同的面试方法；
（2）解：第一步从5名女生中选取1名女生；第二步从7名男生中选取名男生，
由分步乘法计数原理可知由种选法，
再对刚刚组合好的3名面试者进行一次排列，有种排列方法，
则不同的面试方法有种.
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）先从5名女生中选取3人，再将其排列即可；
（2）从5名女生中选取1名女生，再从7名男生中选取名男生，再将选出的3人全排列即可.
（1）由题意从5名女生中选取3人依次进行面试，结合排列数的意义可知相当于从5名女生中选取3人依次进行排列，
此时对应有种不同的面试方法.
（2）安排满足题意的面试顺序一共需要分以下两大步：
一方面：由题意先抽取符合题意的组合，这里可以分为两小步：
第一步从5名女生中选取1名女生；第二步从7名男生中选取名男生；
由分步乘法计数原理可得符合题意的组合有种.
另一方面：注意到3名面试者是依次进行面试的，即再对刚刚组合好的3名面试者进行一次排列，
有种排列方法.结合以上两方面且由分步乘法计数原理可知满足题意的不同的面试方法有
种.
16．【答案】（1）证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
因为为线段的中点，所以，所以，
易知平面的法向量为，
则，即，又因为平面，所以平面；
（2）解：由（1）可得，，，
设平面的法向量为，则，
令，，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，利用空间向量法求证即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由空间向量法计算直线与平面的夹角正弦值即可.
（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，
又为线段的中点，所以，
所以，
易知平面的法向量可以为，
所以，即，又平面，所以平面.
（2）由（1）可得，所以，，
设平面的法向量为，则，
令，可得，则，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
17．【答案】（1）解：当时，函数，求导可得，，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：假设存在实数，使得在上单调递增，
则对恒成立，即对恒成立，
当时，为减函数，，
则，因为，所以的取值范围为．
【知识点】函数的最大（小）值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）当时，求导函数，易知，，利用点斜式求切线方程即可；
（2）假设存在实数，使得在上单调递增，则对恒成立，分离变量得，利用函数的单调性求的最大值即可得的取值范围.
（1）当时，，
则，所以，因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即（或）.
（2）假设存在实数，使得在上单调递增，
则对恒成立，
即对恒成立．
当时，为减函数，则，
所以，又，所以的取值范围为．
18．【答案】（1）证明：由侧面底面，侧面底面，面，
又底面是直角梯形，，故，
所以面，面，则，
由侧面是正三角形，E为中点，则，
而且都在面内，则面，面，
所以面面，而，面面，面，
所以平面；
（2）解：建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，，
令是面的一个法向量，则，
令，则，
令是面的一个法向量，则，
令，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值；
（3）解：由，即，故点在以为直径的球体与平面的交线上，
又，其中点坐标为，则，
由（1）（2）知，是面的一个法向量，
所以到面的距离，
所以以为直径的球体与平面不相交，故不存在使.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，根据面面垂直的性质得面，推出，且，最后根据线面垂直的判定，面面垂直的判定及性质证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦值即可；
（3）将问题化为判断以为直径的球体与平面是否存在交线，结合点面距离判断中点与面的距离与的大小判断即可.
（1）由侧面底面，侧面底面，面，
又底面是直角梯形，，故，
所以面，面，则，
由侧面是正三角形，E为中点，则，
而且都在面内，则面，面，
所以面面，而，面面，面，
所以平面.
（2）依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，，
所以，，
令是面的一个法向量，则，
令，则，
令是面的一个法向量，则，
令，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值.
（3）由，即，故点在以为直径的球体与平面的交线上，
又，其中点坐标为，则，
由（1）（2）知，是面的一个法向量，
所以到面的距离，
所以以为直径的球体与平面不相交，故不存在使.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，函数存在极大值，无极小值；
（2）证明：令，
，
，，即，
令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，
，
函数在R上连续，所以有一个零点0，且在上有一个零点，即函数有两个零点，
故当时，方程的实根个数为2个；
（3）证明：由（2）知，即证：当时，对于任意实数，不等式恒成立，
因为，所以 ，
当，即时，则时，，单调递减；
时，，单调递增， ，
当时，恒成立；
当，即时，
则时，，单调递增；
，单调递减；
时，，单调递增， ，
因为 ，所以当时，恒成立，
综上：当时，对于任意实数，不等式恒成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）令，求导，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理求解即可；
（3）由（2）知，即证：当时，对于任意实数，不等式恒成立，分和，利用导数函数的单调性，证明即可．
（1） ，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数存在极大值，无极小值；
（2）令，
，
，，即，
令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，
，
函数在R上连续，所以有一个零点0，且在上有一个零点，
即函数有两个零点，
当时，方程的实根个数为2个；
（3）由（2）知，即证：当时，对于任意实数
不等式恒成立． ， ，
当，即时，则时，，单调递减；
时，，单调递增， ，
当时，恒成立；
当，即时，
则时，，单调递增；
，单调递减；
时，，单调递增， ，
，
当时，恒成立；
综上：当时，对于任意实数，不等式恒成立．
1 / 1

展开更多......

收起↑